广东广州市部分学校2026年中考二模九年级数学试卷

这是一份广东广州市部分学校2026年中考二模九年级数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.)
1．我国古代数学名著《九章算术》在“方程”一章中首次提出负数的概念.检测4包薯片，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是( )
A．+0.1gB．- 0.3gC．+0.2gD．- 0.4g
2．如图，是由若干个大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，则该几何体的主视图为( )
A．B．C．D．
3．如图，一副直角三角板如图摆放，若∠α=55°，则∠β的度数是( )
A．15°B．25°C．35°D．45°
4．下列各式计算正确的是( )
A．39=3B．2+3=5C．5a3b−4a3b=1D．−3ab2=9a2b2
5．将一次函数 y=−2x−72的图象向上平移m个单位长度，若平移后的直线不经过第三象限，则m的值可以为( )
A．1B．2C．3D．4
6．某不等式组的解集在数轴上表示如图，从-2，-1，3，-3中任选一个数，是该不等式组的整数解的概率为( )
A．12B．14C．1D．34
7．为实现“双碳”目标，某光伏企业优化生产线.优化后A生产线比B生产线每小时多组装30块太阳能板，且A生产线组装900块太阳能板与B生产线组装600块太阳能板所用时间相同.设优化后B生产线每小时组装x块太阳能板，则所列方程正确的是( )
A．900x=600x−30B．900x+30=600x
C．600(x-30)=900xD．x+30600=x900
8．如图，将△ABC绕点A 顺时针旋转得到△AB'C'，若B'C'⊥AC，∠BAB'=43°，则∠C的度数为( )
A．33°B．43°C．47°D．57°
9．如图，A，B是⊙O上的两点，C为劣弧 AB的中点，∠ACB=120°，若OA=2，则四边形 OACB 的面积为( )
A．3B．23C．33D．43
10．已知非负实数x，y满足3x+y-4=0和2x-y+z=0，则下列式子正确的是( )
A．x-z=4B．0≤x≤1C．5y-3z=8D．z≥0
二、填空题(本题有6个小题，每小题3分，共18分.)
11． 2025年，我国实名登记无人机总数突破328万架，328万用科学记数法表示为 .
12． 如图，点 D，E，F分别在△ABC的三边上，若 DE//AC,DF//AB,AEEB=43,则 AFFC的值为 .
13．某校为了解学生报名参加社团活动的情况，对2022~2025年学生参加社团活动的总人数及参加科技社团的人数的情况统计并作出如下统计图：
该校参加科技社团的人数在该年参加社团活动总人数中占比最高的年份是 年，其最高占比为 %.
14． 已知点P(1，m)，Q(3，m)都在抛物线 y=ax2−bx+1上，则b= (用含a的代数式表示).
15．我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念.“幻圆”各圆周上的数字之和相同，同一圆两条直径上的数字之和也相同.如图是一个关于有理数的幻圆模型，则a+b的值为 .
16．如图，BD是正方形ABCD 的对角线，点E，F分别是 BC，CD 边的中点，作点 E 关于 CD 的对称点C，连接DE，AF，CG，DG，AF交BD于点P，延长AF交DG于点Q.
则下列结论：
①AF=DG； ②AF⊥DE；
③BG=2BP； ④AP=DQ.
其中正确的结论有 .(填写所有正确结论的序号)
三、解答题(本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.)
17．解方程：2(x+1)=5-3x.
18．如图，在 ▱ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F.求证：AE=CF.
19．已知 P=x−yx÷x−2xy−y2x.
（1）化简P；
（2）若点(x，y)在函数y=x+3的图象上，求P的值.
20．某校引入AI学情分析系统辅助数学教学.为评估效果，随机抽取20名学生，统计使用系统后成绩提升及知识点掌握度评分，数据统计表如下：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）m= ，成绩提升的中位数所在分组为 ；
（2）AI系统评估“有效应用”的标准为平均成绩提升≥10分，请通过计算判断是否达标(求平均数取组中间值)；
（3）AI系统提示：知识点掌握度≥80分，但成绩提升≤5分的学生可能存在“高原现象”，请针对该群体提出一条教学干预建议，并说明理由.
21．如图，已知△ABC.
（1）尺规作图：△ABC和△ABD关于AB所在直线对称，请画出 △ABD(保留作图痕迹，不用写作法)；
（2）在(1)的条件下，过点B作BE∥AC交AD 于点E，若线段BE和DE 的长是方程. x2−6x+5=0的两个实数根，求AC的长.
22．某海洋保护区使用监测无人机巡查生态环境，以海岸线为x轴，垂直海岸线方向为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，无人机主巡航航线是直线 y1=12x+b,需与一条洋流边界线 y2=kx(x>0)交汇以采集水样.无人机与洋流边界在交汇点A(3，2)相遇.
（1）求无人机航线参数b和洋流边界参数k；
（2）一架无人机在A处采集水样后，转向沿西北方向航行，到达洋流边界上的点 P投放浮标，求点 P的坐标.
23．当光从介质1射入介质2时，会发生折射现象.物理学中把入射角θ1与折射角 θ2的正弦之比称为介质2相对介质1的“相对折射率”，即相对折射率 n=sinθ1sinθ2.当外部环境不变时，两种介质的相对折射率是固定的.
如图，在水平放置的容器中有某透明液体，容器底部B 点光源发出的一束光线到达液面C点后，折射光线为CA，入射点为C点，MN为法线.测得BN=12mm，液体深度为16mm，∠ACM=60°.
（1）求空气相对该液体的相对折射率；(注：入射角，折射角指入射光线，折射光线与法线的夹角，法线与液面垂直，结果保留根号)
（2）另一束光线BE经该液体折射，折射光线为ED，入射点为E点，PQ为法线，若折射角. ∠DEP=45∘,求CE的长；
（3）若n∠APB,，所以当点 P 与点 C 重合时， ∠APB最大，也就是说，当 △PAB的外接圆与l相切时，∠APB最大.
【解决问题】
（1）请完成材料中∠ACB>∠APB的证明；
（2）材料中的最大视角问题，设AB=a，点B 到直线l的距离为b，当 ∠APB最大时，点P到AB所在直线的距离是多少?(用含a，b的代数式表示)
（3）如图③，E是射线AM上的一点， AB⟂AM,AB=23，C 是AE的中点.把CB 绕点 C顺时针旋转60∘得到CD，连接DE.求当∠CDE最大时，AC的长.
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】D
5．【答案】D
6．【答案】A
7．【答案】B
8．【答案】C
9．【答案】B
10．【答案】C
11．【答案】3.28×106
12．【答案】34
13．【答案】2023；30
14．【答案】4a
15．【答案】-4
16．【答案】①②④
17．【答案】解：去括号，得2x+2=5-3x，
移项，得2x+3x=5-2，
合并同类项，得5x=3，
系数化为1，得 x=35.
18．【答案】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAO=∠BCO，∠AEO=∠CFO，
∵O为对角线AC的中点，
∴OA=OC，
∴在△AEO 和△CFO中，
∠AEO=∠CFO∠EAO=∠FCO,OA=OC
∴△AEO≌△CFO(AAS)，
∴AE=CF.
19．【答案】（1）解：P=x−yx÷x−2xy−y2x
=x−yx÷x2−2xy+y2x
=x−yx⋅xx−y2
=1x−y;
（2）解：∵点(x，y)在函数y=x+3的图象上，
∴x-y=-3，
∴P=1x−y=1−3=−13.
20．【答案】（1）8；1010分，
∴达标；
（3）解：建议为该群体提供进阶挑战性任务或拓展性学习资源.(答案不唯一，合理即可)
理由：该群体知识点掌握度已达88 分(较高水平)，说明基础知识扎实，但成绩提升仅0-5分，表明可能处于“高原期”——基础题已熟练但缺乏突破瓶颈的动力或难度适配的练习.通过提供更高阶的思维训练或变式问题，帮助其突破舒适区，实现成绩进一步提升.
21．【答案】（1）解：画出△ABD 如解图所示；(作法不唯一)
（2）解：如解图，过点B作BE∥AC交AD于点E，
∴∠EBA=∠BAC，
∵△ABC和△ABD关于AB所在直线对称，
∴∠BAE=∠BAC，AC=AD，
∴∠EBA=∠BAE，
∴BE=AE，
∵线段 BE 和 DE 的长是方程 x2−6x+5=0的两个实数根，
∴BE+DE=6，
∴AD=AE+DE=BE+DE=6，
∴AC=AD=6.
22．【答案】（1）解：将A(3，2)分别代入 y1=12x+b和 y2=kx(x>0)，
得 2=12×3+b,2=k3,
解得 b=12,k=6;
（2）解：如解图，过点P，A分别作x轴，γ轴的垂线，两垂线交于点 B，连接AP，
则有∠PAB=45°，∠PBA=90°，
∴△APB为等腰直角三角形，
∴PB=AB，
设P(a， 64)
则 3−a=6a−2,
∴a2−5a+6=0,
解得 a1=2,a2=3(舍去)，
∴a=2，
∴P(2，3).
23．【答案】（1）解：在Rt△BCN中，∠BNC=90°，
BC=CN2+BN2=162+122=20mm,
∴sin∠BCN=BNBC=1220=35,
∴相对折射率 n=sin∠BCNsin∠ACM
=35sin60∘
=3532
=235,
即空气相对该液体的相对折射率为 235;
（2）解：由(1)可知， n=235,
∴sin∠BEQsin∠DEP=235,
∴sin∠BEQ=235×sin45∘
=235×22
=65
=BQBE,
设 BQ=6x,则BE=5x，
在Rt△BEQ中， BQ2+EQ2=BE2,
即 6x2+162=5x2,
∴6x2+256=25x2,
解得 x=161919(负值已舍去)，
∴BQ=6x=6×161919=1611419,
∴CE=NQ=BN−BQ=12−1611419；
（3）解：由 n=sinθ1sinθ2可得 sinθ2=sinθ1n,
当n11，而一个角的正弦不可能大于1，
∴当入射角的正弦值大于相对折射率n时，不存在折射角，也就不出现折射光线.
24．【答案】（1）证明：令y=0，则 ax2+bx−2=0,
∴△=b2−4ac=b2+8a,
∵a>12,b2≥0,
∴△=b2+8a>0,
∴该抛物线与x轴一定有2个交点；
（2）解：①解：设A(x1，0)，B(x2，0)(x11和x2是方程 ax2+bx−2=0的两个根，
∴x1+x2=−ba,x1x2=ca=−2a,
设点E(t，s)，
AE2=x1−t2+s2=x12−2tx1+t2+s2,
BE2=x2−t2+s2=x22−2tx2+t2+s2,
AB2=x1−x22=x12−2x1x2+x22,
∵∠AEB=90°，∴AE2+BE2=AB2，
∴x12−2tx1+t2+s2+x22−2tx2+t2+s2=x12−2x1x2+x22,
整理，得 t2+s2−tx1+x2+x1x2=0,
∴t2+s2+t⋅ba−2a=0,
整理，得 at2+as2+bt−2=0,①
∵E(t，s)在抛物线 y=ax2+bx−2上，
∴at2+bt−2=s,将其代入①式，可得 as2+s=0,当s=-1时，代入可得a=1；
②证明：设点E(t，s)，A(x1，0)，B(x2，0)，
由(2)①可得 as2+s=0,
∴s=0(舍去)或 s=−1a,
∴Et−1a,
∴P−t1a,Q−tat2−bt−2.
证法一：如解图，设直线 PQ与x轴交于点 M，连接AP，EP，BQ，则M(-t，0)，
∴AM=∣x1−−t∣=∣x1+t∣,BM=∣x2+t∣,
PM=∣1a∣=1a,QM=∣at2−bt−2∣,
∵抛物线与x轴交点为A(x1，0)，B(x2，0)，
∴y=ax2+bx−2=ax−x1x−x2,
当x=-t时，等式变为at2−bt−2=at+x1t+x2,
∴OM=∣at2−bt−2∣=∣at+x1t+x2∣.
∴tan∠PAM=PMAM
=1a∣x1+t∣
=∣1ax1+t∣,
tan∠BQM=BMQM
=∣x2+t∣∣ax1+tx2+t∣
=∣1ax1+t∣,
∴∠PAB=∠PQB、
∴P，A，Q，B四点共圆.
证法二：∵点 P−ι1a,Q−tat2−bt−2,
∴PQ的垂直平分线为直线 y=121a+yQ,其中 yQ=at2−bt−2=ax1+tx2+t,
AB的垂直平分线为直线 x=x1+x22,设这两条中垂线的交点为N，则 Nx1+x2212a+y02,
则有 AN2=x1+x22−x12+12a+yQ22,
PN2=x1+x22+t2+
∴AN2−PN2=x2+ι−x1−t+y0a=0利用平方差公式)，∴AN=PN，
由垂直平分线性质，可知AN=BN=PN=QN，∴P，A，Q，B四点在以点 N为圆心的圆上.
25．【答案】（1）解：∵⊙O与直线l相切于点C，
∴点C是⊙O与直线l的唯一公共点，
∴当点P异于点C时，点P在圆外，
如图，设AP与⊙O交于点D，连接BD，
∵AB=AB,
∴∠ACB=∠ADB，
∵∠ADB=∠DBP+∠APB>∠APB，
∴∠ACB>∠APB；
（2）解：由题意可知，当点 P与点 C重合时，∠APB最大.
如图，设AB所在直线与l相交于点 F，则CF即为此时点P到AB 所在直线的距离，
连接OA，OC，过点O作OE⊥AB于点E，
∵⊙O与直线l相切于点C，
∴OC⊥CF，
∵OE⊥AB，AB⊥l.
∴AE=BE=12AB=a2, 且四边形 OEFC 为矩形，
∴OC=EF=BE+BF=a2+b,OE=CF,
∴OA=OC=a2+b,
在Rt△OAE中， OE=OA2−AE2=a2+b2−a22= ab+b2,
∴CF=OE=ab+b2;
即当∠APB 最大时，点P到AB 所在直线的距离是 ab+b2;
如图，延长 DC 到点 F，使 CF=DC，连接AF，BF，
∵AC=CE，∠ACF=∠ECD，CF=CD，
∴△ACF≌△ECD，
∴∠AFC=∠EDC，
由旋转性质可知，BC=CD，∠BCD=60°，
∴BC=CF，∠BCF=120°，
∴∠CFB=30°，
∴∠CDE=∠AFC=∠AFB+30°，
∴当∠AFB 最大时，∠CDE 最大.
在 AB 左侧作△ABC，使得△ABC∽△CBF，连接FG，
则∠BCA=∠CBA=∠CBF=30°，
（3）解：BCBF=BABC,
∴∠CBF=∠ABC,BGBA=BFBC, ∴△BGF△BAC,∴GFAC=BFBC=3,∠BCF=∠BAC=90°，
∴点 F 在过点 G 且与 BG垂直的直线上运动，
∴ 当 △BAF 的外接圆与直线 GF 相切时，∠AFB 最大，
延长BA，交GF于点 H.
此时，∠AFC=∠ABF，(弦切角，证明略)
又∵∠AHF=∠FHB，
∴△AHF∽△FHB，
∴AHFH=HFHB,
即 HF2=AH⋅BH,
∵在△AGH中，∠GAH=180°-∠BAG=60°，∠AGH=90°-∠BGA=60°，
∴△AGH为等边三角形，
∴GH=AH=AG=AB=2
3 ∴HF2=AH⋅BH=23×43=24,
∴HF=26,
∴CF=GH+HF=23+26,
∴AC=GF3=2+22.个人成绩提升分组(x/分)
频数
知识点掌握度评分(分)
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