第61讲　带电粒子在立体空间中的运动——2027届高三物理一轮复习讲义（含答案）

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带电粒子在匀强磁场中“旋进”运动一般包括以下两种情况
(1)空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
(2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做“旋进”运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
如图所示，竖直平面MNRS的右侧存在方向竖直向上且足够大的匀强磁场，从平面MNRS上的O点处以初速度v0＝10 m/s垂直MNRS面向右抛出一带电荷量为q、质量为m的小球。若磁感应强度大小B＝eq \f(πm,q)，g取10 m/s2。求：
(1)小球离开磁场时的速度大小；
(2)小球离开磁场时的位置与抛出点的距离。
[答案] (1)10eq \r(2) m/s (2)eq \f(5,π)eq \r(π2＋16) m
[解析] (1)小球在水平方向做匀速圆周运动，在竖直方向做自由落体运动，水平方向小球恰好转半个周期离开磁场，故离开磁场的时间为t＝eq \f(T,2)＝eq \f(πm,qB)＝1 s，则离开磁场时在竖直方向上的速度vy＝gt＝10 m/s，故小球离开磁场时的速度大小为v＝eq \r(v\\al(2,0)＋v\\al(2,y))＝10eq \r(2) m/s。
(2)小球离开磁场时在竖直方向的位移大小为y＝eq \f(1,2)gt2＝5 m，小球在水平方向做匀速圆周运动有qv0B＝eq \f(mv\\al(2,0),R)，解得R＝eq \f(mv0,qB)，水平方向位移为直径，即x＝2R＝eq \f(2mv0,qB)＝eq \f(20,π) m，则小球离开磁场时的位置与抛出点的距离为s＝eq \r(x2＋y2)＝eq \f(5,π)eq \r(π2＋16) m。
考点2 带电粒子在立体空间中的偏转
(基础考点·自主探究)
带电粒子在立体空间中的偏转问题的处理思路
(1)分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系。
(2)带电粒子依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。
(3)有时需要将粒子的运动分解为两个互相垂直的平面内的运动(比如螺旋线运动和旋进运动)来求解。
(2023·天津卷)信号放大器是一种放大电信号的仪器，如图1，其可以通过在相邻极板间施加电压，使阴极逸出的电子击中极板时激发出更多电子，从而逐级放大电信号。已知电子质量m，带电量e。
(1)如图2，在极板上建系。极板上方空间内存在磁场，其强度为B，方向平行z轴。极板间电压U极小，几乎不影响电子运动。如图，某次激发中，产生了2个电子a和b，其初速度方向分别在xOy与zOy平面内，且与y轴正方向成θ角，则：
①判断B的方向；
②a、b两个电子运动到下一个极板的时间t1和t2；
(2)若单位时间内阴极逸出的电子数量不变，每个电子打到极板上可以激发出δ个电子，且δ∝U，阳极处接收电子产生的电流为I，在图3给出坐标系里画出表示U和I关系的图像并说出这样画的理由。
[答案] (1)①沿z轴负方向
②t1＝eq \f(π－2θm,eB)，t2＝eq \f(πm,eB) (2)见解析
[解析] (1)①a电子，初速度方向在xOy平面内，与y轴正方向成θ角；若磁场方向沿z轴正方向，a电子在洛伦兹力作用下向x轴负方向偏转，不符合题意；若磁场方向沿z轴负方向，a电子在洛伦兹力作用下向x轴正方向偏转，符合题意；b电子，初速度方向在zOy平面内，与y轴正方向成θ角。将b电子初速度沿坐标轴分解，沿z轴的分速度与磁感线平行不受力，沿y轴方向的分速度受到洛伦兹力使得电子沿x轴正方向偏转，根据左手定则可知，磁场方向沿z轴负方向。符合题意；综上可知，磁感应强度B的方向沿z轴负方向。
②a电子在洛伦兹力作用下运动轨迹如图，由图可知电子运动到下一个极板的时间
t1＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ)),2π)T＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ)),π)eq \f(2πm,eB)＝eq \f(π－2θm,eB)
b电子，沿z轴的分速度与磁感线平行不受力，对应匀速直线运动；沿y轴方向的分速度受到洛伦兹力使电子向右偏转，电子运动半个圆周到下一个极板的时间
t2＝eq \f(π,2π)T＝eq \f(πm,eB)。
(2)设δ＝kU，单位时间内阴极逸出的电子数量N0不变，每个电子打到极板上可以激发δ个电子，经过n次激发阳极处接收电子数量
N＝N0δn＝N0(kU)n＝N0knUn
对应的电流
I＝Ne＝eN0knUn＝(eN0kn)Un＝AUn
可得I－U图像如图
提能训练 练案[61]
基础巩固练
题组一 带电粒子在匀强磁场中的“旋进”运动
1.如图所示，质子以初速度v进入磁感应强度为B且足够大的匀强磁场中，速度方向与磁场方向的夹角为θ。已知质子的质量为m、电荷量为e。质子重力不计，则下列说法正确的是( )
A．质子运动的轨迹为螺旋线，螺旋线的中轴线方向垂直于纸面向里
B．质子在垂直于磁场平面做圆周运动的半径为eq \f(mvcs θ,eB)
C．质子做螺旋线运动的周期为eq \f(2πm,eBsin θ)
D．一个周期内，质子沿着螺旋线轴线方向运动的距离(即螺距)为eq \f(2πmvcs θ,eB)
[答案] D
[解析] 将质子的初速度分解为垂直于磁场方向的速度v1＝vsin θ，沿磁场方向的速度v2＝vcs θ，质子沿垂直磁场方向做匀速圆周运动，沿磁场方向做匀速直线运动，则质子运动的轨迹为螺旋线，螺旋线的中轴线方向平行磁场方向，选项A错误；质子做螺旋线运动的半径为r＝eq \f(mv1,eB)＝eq \f(mvsin θ,eB)，选项B错误；质子做螺旋线运动的周期为T＝eq \f(2πr,v1)＝eq \f(2πm,eB)，选项C错误；一个周期内，质子沿着螺旋线轴线方向运动的距离(即螺距)为x＝v2T＝eq \f(2πmvcs θ,eB)，选项D正确。
2.(2022·重庆卷)2021年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场(如图)，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量大小为v2，不计离子重力，则( )
A．电场力的瞬时功率为qEeq \r(v\\al(2,1)＋v\\al(2,2))
B．该离子受到的洛伦兹力大小为qv1B
C．v2与v1的比值不断变大
D．该离子的加速度大小不变
[答案] D
[解析] 根据功率的计算公式可知P＝Fvcs θ，则电场力的瞬时功率为P＝Eqv1，A错误；由于v1与磁场B平行，则根据洛伦兹力的计算公式有F洛＝qv2B，B错误；根据运动的叠加原理可知，离子在垂直于纸面内做匀速圆周运动，沿水平方向做加速运动，则v1增大，v2不变，v2与v1的比值不断变小，C错误；离子受到的洛伦兹力不变，电场力不变，则该离子的加速度大小不变，D正确。故选D。
题组二 带电粒子在立体空间中的偏转
3.(2022·广东卷)如图所示，一个立方体空间被对角平面MNPQ划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场。一质子以某一速度从立方体左侧垂直Oyz平面进入磁场，并穿过两个磁场区域。下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是( )
[答案] A
[解析] 由题意知，当质子射出后先在MN左侧运动，刚射出时根据左手定则可知质子在MN左侧受到沿y轴正方向的洛伦兹力，即在MN左侧会向y轴正方向偏移，做匀速圆周运动，y轴坐标增大；在MN右侧根据左手定则可知洛伦兹力反向，质子在y轴正方向上做减速运动，故A正确，B错误；根据左手定则可知质子在整个运动过程中都只受到平行于xOy平面的洛伦兹力作用，在z轴方向上没有运动，z轴坐标不变，故C、D错误。
4.(2023·北京卷)如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，固定一内部真空且内壁光滑的圆柱形薄壁绝缘管道，其轴线与磁场垂直。管道横截面半径为a，长度为l(l≫a)。带电粒子束持续以某一速度v沿轴线进入管道，粒子在磁场力作用下经过一段圆弧垂直打到管壁上，与管壁发生弹性碰撞，多次碰撞后从另一端射出，单位时间进入管道的粒子数为n，粒子电荷量为＋q，不计粒子的重力、粒子间的相互作用，下列说法不正确的是( )
A．粒子在磁场中运动的圆弧半径为a
B．粒子质量为eq \f(Bqa,v)
C．管道内的等效电流为nqπa2v
D．粒子束对管道的平均作用力大小为Bnql
[答案] C
[解析] 带正电的粒子沿轴线射入，然后垂直打到管壁上，可知粒子运动的圆弧半径为r＝a，故A正确，不符合题意；根据qvB＝meq \f(v2,r)，可得粒子的质量m＝eq \f(Bqa,v)，故B正确，不符合题意；管道内的等效电流为I＝nqSv，单位体积内电荷数为eq \f(n,πa2v)，则I＝eq \f(n,πva2)qπa2v＝nq，故C错误，符合题意；由动量定理可得FΔt＝2nmΔtv，粒子束对管道的平均作用力大小等于等效电流受的安培力F＝BIl＝nBql，故D正确，不符合题意。故选C。
能力提升练
5.(2025·河北沧州联考)某实验装置的基本原理如图所示，平行正对放置半径均为R、间距为d的圆形金属板M、N的圆心分别为O1、O2，位于O1处的粒子源能向两板间各个方向发射质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，不计粒子重力及相互间作用，忽略边缘效应。
(1)仅在两板间加电压U，两板间产生方向沿O1O2方向的匀强电场。求粒子源发射出的粒子速度大小满足什么条件时能全部击中N板；
(2)仅在两板间加沿O1O2方向的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，求粒子源发射出的方向与O1O2连线成θ(0