第47讲　带电粒子(或带电体)在电场中运动的综合问题——2027届高三物理一轮复习讲义（含答案）

这是一份第47讲　带电粒子(或带电体)在电场中运动的综合问题——2027届高三物理一轮复习讲义（含答案），文件包含专题08圆与相似三角形四边形综合原卷版pdf、专题08圆与相似三角形四边形综合解析版pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共68页， 欢迎下载使用。
(能力考点·深度研析)
1．带电粒子在交变电场中的直线运动
当粒子平行于电场方向射入时，粒子做直线运动，其初速度和受力情况决定了粒子的运动情况，粒子可以做周期性的直线运动。
2．带电粒子在交变电场中的偏转
当粒子垂直于电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场方向的分运动具有周期性。
3．思维方法
(1)注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件。
(2)从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系。
4．解题技巧
(1)按周期性分段研究。
(2)将eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(φ－t图像,U－t图像,E－t图像))转化,a－t图像转化,v－t图像。
特别提醒：
对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，若粒子穿过板间的时间极短，带电粒子穿过电场瞬间可认为是在匀强电场中运动。
►考向1 带电粒子在交变电场中的直线运动
(2024·浙江温州模拟)如图甲所示为粒子直线加速器原理图，它由多个横截面积相同的同轴金属圆筒依次组成，序号为奇数的圆筒与序号为偶数的圆筒分别和交流电源相连，交流电源两极间的电势差的变化规律如图乙所示。在t＝0时，奇数圆筒比偶数圆筒电势高，此时和偶数圆筒相连的金属圆板(序号为0)的中央有一自由电子由静止开始在各间隙中不断加速。若电子的质量为m，电荷量为e，交流电源的电压为U，周期为T。不考虑电子的重力和相对论效应，忽略电子通过圆筒间隙的时间。下列说法正确的是( )
A．电子在圆筒中也做加速直线运动
B．电子离开圆筒1时的速度为2eq \r(\f(Ue,m))
C．第n个圆筒的长度应满足Ln＝Teq \r(\f(nUe,2m))
D．保持加速器筒长不变，若要加速比荷更大的粒子，则要调大交变电压的周期
►考向2 带电粒子在交变电场中的偏转运动
如图甲所示，A、B为两块相距很近的平行金属板，A、B间电压UAB＝－U0，紧贴A板有一电子源，不停地飘出质量为m、带电荷量为e的电子(初速度可视为0)。在B板右侧两块平行金属板M、N间加有如图乙所示的电压，电压变化的周期T＝Leq \r(\f(m,2eU0))，板间中线与电子源在同一水平线上，已知极板间距为d，极板长为L，不计电子重力，求：
(1)电子进入偏转极板时的速度大小；
(2)eq \f(T,4)时刻沿中线射入偏转极板间的电子刚射出偏转极板时与板间中线的距离(未与极板接触)。
【跟踪训练】
如图甲所示，在两距离足够大的平行金属板中央有一个静止的质子(不计重力)，t＝0时刻，A板电势高于B板电势，当两板间加上如图乙所示的交变电压后，下列图像中能正确反映质子速度v、位移x、加速度a和动能Ek四个物理量随时间变化规律的是( )
(多选)如图甲所示，A、B两平行板构成一加速电场，C、D两平行板构成一偏转电场，有电子源源不断地从A板上的小孔由静止进入加速电场，并从B板的小孔离开加速电场进入偏转电场，虚线恰好为偏转电场的中轴线，A、B板间的加速电压与时间的关系图像如图乙所示。已知C、D板间的电压为U0，C、D板间的距离为d，C、D的极板长度为eq \f(3,2)d，电子的电荷量为e，质量为m。电子穿过加速电场的时间远小于T，不计电子重力及电子间的相互作用，下列说法正确的是( )
A．在t＝0时刻进入加速电场的电子能离开偏转电场
B．在t＝eq \f(2,3)T时刻进入加速电场的电子能离开偏转电场
C．t＝T时刻进入加速电场的电子离开偏转电场时速度方向与图甲中虚线夹角的正切值为eq \f(3,16)
D．在t＝T时刻进入加速电场的电子离开偏转电场时的速度大小为eq \f(1,8)eq \r(\f(265eU0,m))
用等效法处理带电体在电场和重力场中的运动
(能力考点·深度研析)
1．等效重力法
将重力与电场力进行合成，如图所示，则F合为等效重力场中的“重力”，g′＝eq \f(F合,m)为等效重力场中的“等效重力加速度”，F合的方向为等效“重力”的方向，即在等效重力场中的“竖直向下”方向。
2．等效最高点与等效最低点
小球能自由静止的位置，即是“等效最低点”，圆周上与该点在同一直径的点为“等效最高点”。
3．举例
►考向1 电场线竖直时的等效重力法
(2024·河北卷)如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为q(q>0)，质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求：
(1)电场强度E的大小；
(2)小球在A、B两点的速度大小。
►考向2 电场线水平时的等效重力法
(多选)如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m、电荷量大小为q的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得一个与线垂直的初速度，小球能绕O点在与电场平行的竖直平面内做圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．匀强电场的电场强度大小E＝eq \f(mgtan θ,q)
B．运动过程中小球动能的最小值可以为Ek＝eq \f(mgL,2cs θ)
C．小球能完成圆周运动，小球运动一周的过程中，机械能的最大值与最小值之间的差值为2mgLsin θ
D．小球从初始位置开始，在竖直平面内能完成圆周运动，初速度最小为eq \r(\f(5gL,cs θ))
【跟踪训练】
(2024·四川省三模)如图所示，A、B、C、D、E、F、G、H是竖直光滑绝缘圆轨道的八等分点，AE竖直，空间存在平行于圆轨道面的匀强电场，从A点静止释放一质量为m的带电小球，小球沿圆弧恰好能到达C点。若在A点给带电小球一个水平向右的冲量，让小球沿轨道做完整的圆周运动，则小球在运动过程中( )
A．E点的动能最小 B．B点的电势能最大
C．C点的机械能最大 D．F点的机械能最小
应用力学三大观点解决力电综合问题
(能力考点·深度研析)
一、电场中的力、电综合问题的解题观点
1．动力学的观点
(1)由于匀强电场中带电粒子所受电场力和重力都是恒力，可用正交分解法。
(2)综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动公式，注意受力分析要全面，特别注意重力是否需要考虑的问题。
2．能量的观点
(1)运用动能定理，注意过程分析要全面，准确求出过程中的所有力做的功，判断是对分过程还是对全过程使用动能定理。
(2)运用能量守恒定律，注意题目中有哪些形式的能量出现。
3．动量的观点
(1)运用动量定理，要注意动量定理的表达式是矢量式，在一维情况下，各个矢量必须选同一个正方向。
(2)运用动量守恒定律，除了要注意动量守恒定律的表达式是矢量式，还要注意题目中是否在某方向上动量守恒。
►考向1 利用动力学观点求解力、电综合问题
(2022·辽宁卷，12分)如图所示，光滑水平面AB和竖直面内的光滑eq \f(1,4)圆弧导轨BO在B点平滑连接，导轨半径为R。质量为m的带正电小球将轻质弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧后经过B点时的速度大小为eq \r(gR)，之后沿导轨BO运动。以O为坐标原点建立直角坐标系xOy，在x≥－R区域有方向与x轴夹角为θ＝45°的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为eq \r(2)mg。小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度为g。求：
(1)弹簧压缩至A点时的弹性势能；
(2)小球经过O点时的速度大小；
(3)小球过O点后运动的轨迹方程。
►考向2 利用能量观点和动量观点分析力、电综合问题
【跟踪训练】
(2023·山东卷)电磁炮灭火消防车(图甲)采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速灭火。电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图乙所示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离L＝60 m，灭火弹出膛速度v0＝50 m/s，方向与水平面夹角θ＝53°，不计炮口离地面高度及空气阻力，取重力加速度大小g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8。
(1)求灭火弹击中高楼位置距地面的高度H；
(2)已知电容器储存的电能E＝eq \f(1,2)CU2，转化为灭火弹动能的效率η＝15%，灭火弹的质量为3 kg，电容C＝2.5×104 μF，电容器工作电压U应设置为多少？
(2023·河北卷)由点电荷组成的系统的电势能与它们的电荷量、相对位置有关。如图1，a、b、c、d四个质量均为m、带等量正电荷的小球，用长度相等、不可伸长的绝缘轻绳连接，静置在光滑绝缘水平面上，O点为正方形中心，设此时系统的电势能为E0。剪断a、d两小球间的轻绳后，某时刻小球d的速度大小为v，方向如图2，此时系统的电势能为( )
A．E0－eq \f(7,4)mv2 B．E0－eq \f(5,4)mv2
C．E0－eq \f(1,4)mv2 D．E0－eq \f(5,8)mv2
带电粒子在圆形电场中的运动规律
规律一 同种带电粒子以相同动能从同一点射入
在圆形区域内有平行纸面的匀强电场，同种带电粒子从圆周上同一点(图中A点)，以相同初动能沿不同方向射入电场，经电场后从圆周上某点(P点)射出的动能最大，则电场方向平行于过该点(P点)的直径，射出点为沿电场方向最远的点(正、负粒子分别对应为电势最低、最高点)。
在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面是以O为圆心、半径为R的圆，AB为圆的直径，如图所示。质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子在纸面内自A点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C点以速率v0穿出电场，AC与AB的夹角θ＝60°。运动中粒子仅受电场力作用。
(1)求电场强度的大小。
(2)为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？
规律二 同种带电粒子以不同动能从不同点射入
在圆形区域内有平行纸面的匀强电场(如图所示)，同种带电粒子从圆周上不同点(图中A、B、C等)，垂直电场方向射入电场，若使粒子经过圆形电场区域，均获得最大动能增量，则带电粒子应从过圆心的电场线与圆的交点(P)射出，射出点(P)为沿电场方向最远的点(正、负粒子分别对应为电势最低、最高点)。
(2024·青岛模拟)如图所示，垂直x轴放置一长度为2R的电子源MN，可释放质量为m、电荷量为q、初速度为0的电子，忽略电子之间的相互作用。MN右侧的三角形区域Ⅰ内存在水平向左的匀强电场。半径为R的圆形区域Ⅱ内存在竖直向上的匀强电场，坐标轴y过圆形区域的圆心，坐标轴x与该圆形区域相切。两个区域内的电场强度大小均为E。
(1)设区域Ⅰ的顶角为θ，若有一个电子经过Ⅰ、Ⅱ电场后刚好从O点射出，速度方向与x轴正向成45°角，求该电子在MN上的出发点的纵坐标y；
(2)若要使MN上释放的所有能够进入区域Ⅱ的电子均能在该区域中能获得最大动能增量，求区域Ⅰ顶角θ的正切值。
提能训练 练案[47]
基础巩固练
题组一 带电粒子在交变电场中的运动
1. (多选)如图所示为匀强电场的电场强度E随时间t变化的图像。当t＝0时，在此匀强电场中由静止释放一个带电粒子，设带电粒子只受电场力的作用，则下列说法中正确的是( )
A．带电粒子将始终向同一个方向运动
B．2 s末带电粒子回到原出发点
C．3 s末带电粒子的速度为零
D．0～3 s内，电场力做的总功为零
2.如图所示，在两平行金属板中央有一个静止的电子(不计重力)，当两板间的电压分别如图中甲、乙、丙、丁所示时，电子在板间运动(假设不与板相碰)，下列说法正确的是( )
A．电压是甲图时，在0～T时间内，电子的电势能一直减少
B．电压是乙图时，在0～eq \f(T,2)时间内，电子的电势能先增加后减少
C．电压是丙图时，电子在板间做往复运动
D．电压是丁图时，电子在板间做往复运动
3.如图所示，在一对平行金属板MN、PQ加电压，两板间形成匀强电场，忽略边缘效应，两板边缘连线外面的电场忽略不计，电压按正弦规律变化，变化周期为T。某时刻有一带电粒子沿两板间的中线OO′以初速度为v0射入电场，经t＝2T时间粒子离开电场。则以下说法中正确的是( )
A．粒子一定从O′点离开电场
B．粒子离开电场时的速度一定大于v0
C．粒子离开电场时的速度可能小于v0
D．粒子在0～T内的位移一定等于在T～2T内的位移
题组二 用等效法处理带电体在电场和重力场中的运动
4．(多选)如图所示，带电小球(可视为质点)用绝缘细线悬挂在O点，在竖直平面内做完整的变速圆周运动，小球运动到最高点时，细线受到的拉力最大。已知小球运动所在的空间存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E，小球质量为m、带电荷量为q，细线长为l，重力加速度为g，则( )
A．小球带正电
B．静电力大于重力
C．小球运动到最低点时速度最大
D．小球运动过程最小速度至少为v＝eq \r(\f(qE－mgl,m))
5. (2025·广东中山市期末)空间中有竖直向上的匀强电场，电场强度E＝eq \f(3mg,q)。绝缘圆形轨道竖直放置，O点是它的圆心、半径为R，A、C为圆轨道的最低点和最高点，B、D为与圆心O等高的两点，如图所示。在轨道A点放置一质量为m，带电荷量为＋q的光滑小球。现给小球一初速度v0(v0≠0)，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．无论v0多大，小球不会脱离轨道
B．只有v0≥eq \r(gR)，小球才不会脱离轨道
C．v0越大，小球在A、C两点对轨道的压力差也越大
D．若将小球无初速度从D点释放，小球一定会沿轨道经过C点
题组三 应用力学三大观点解决力、电综合问题
6．(多选)如图甲所示，在绝缘光滑斜面上方的MM′和PP′范围内有沿斜面向上的电场，电场强度大小沿电场线方向的变化关系如图乙所示，一质量为m、带电荷量为q(q>0)的可视为点电荷小物块从斜面上的A点以初速度v0沿斜面向上运动，到达B点时速度恰好为零。已知斜面倾角为θ，A、B两点间的距离为l，重力加速度为g，则以下判断正确的是( )
A．小物块在运动过程中所受到的电场力一直小于mgsin θ
B．小物块在运动过程中的中间时刻速度大于eq \f(v0,2)
C．A、B两点间的电势差为eq \f(m2glsin θ－v\\al(2,0),2q)
D．此过程中小物块机械能增加量为mglsin θ
7. (2024·福建漳州模拟)如图，质量为9m的靶盒(可视为质点)带正电，电荷量为q，静止在光滑水平面上的O点。O点右侧存在电场强度大小为E、方向水平向左的匀强电场。在O点左侧有一质量为m的子弹，以速度v0水平向右打入靶盒后与靶盒一起运动。已知子弹打入靶盒的时间极短，子弹不带电，且靶盒带电荷量始终不变，不计空气阻力。
(1)求子弹打入靶盒后的瞬间，子弹和靶盒共同的速度大小v1；
(2)求子弹打入靶盒后，靶盒向右离开O点的最大距离s；
(3)若靶盒回到O点时，第2颗完全相同的子弹也以v0水平向右打入靶盒，求第2颗子弹对靶盒(包含第1颗子弹)的冲量大小I。
能力提升练
8．(2025·八省联考四川卷)如图，竖直平面内有一光滑绝缘轨道，取竖直向上为y轴正方向，轨道形状满足曲线方程y＝x2。质量为m、电荷量为q(q>0)的小圆环套在轨道上，空间有与x轴平行的匀强电场，电场强度大小E＝eq \f(2mg,q)，圆环恰能静止在坐标(1,1)处，不计空气阻力，重力加速度g大小取10 m/s2。若圆环由(3,9)处静止释放，则( )
A．恰能运动到(－3,9)处
B．在(1,1)处加速度为零
C．在(0,0)处速率为10eq \r(3) m/s
D．在(－1,1)处机械能最小
9．(2025·云南省联考)如图甲，一带电粒子沿平行板电容器中线MN以速度v平行于极板进入(记为t＝0时刻)，同时在两板上加一按图乙变化的电压。已知粒子比荷为k，带电粒子只受静电力的作用且不与极板发生碰撞，经过一段时间，粒子以平行极板方向的速度射出。则下列说法中正确的是( )
A．粒子射出时间可能为t＝4 s
B．粒子射出的速度大小为2v
C．极板长度满足L＝3vn(n＝1,2,3，…)
D．极板间最小距离为eq \r(\f(3kU0,2))
10. (2025·江苏扬州月考)如图所示，匀强电场中有一个以O为圆心、半径为R的圆，电场方向与圆所在平面平行，圆上有三点A、B、C，其中A与C的连线为直径，∠BAC＝30°。有两个完全相同的带正电粒子，带电荷量均为q(q>0)，以相同的初动能Ek从A点先后沿不同方向抛出，它们分别运动到B、C两点。若粒子运动到B、C两点时的动能分别为EkB＝2Ek、EkC＝3Ek，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，则匀强电场的场强大小为( )
A．eq \f(Ek,qR) B．eq \f(2Ek,qR)
C．eq \f(\r(3)Ek,3qR) D．eq \f(2\r(3)Ek,3qR)
11. (2025·广东茂名月考)如图所示，有一长度L＝1 m、质量M＝10 kg的平板小车，静止在光滑的水平面上，在小车左端放置一质量m＝4 kg的带正电小物块，电荷量q＝1.6×10－2 C(始终保持不变)，小物块与小车间的摩擦因数μ＝0.25，现突然施加一个水平向右的匀强电场，要使物块在2 s内能运动到小车的另一端，g取10 m/s2。
(1)所施加的匀强电场的电场强度多大？
(2)若某时刻撤去电场，物块恰好不从小车右端滑下，则电场的作用时间多长？
12．如图甲，一质量m＝1 kg、电荷量q＝5.0×10－4 C的带正电小球(可视作点电荷)，它在一高度和水平位置都可调节的平台上滑行一段距离后做平抛运动，并沿光滑竖直圆弧轨道下滑，A、B为圆弧两端点，其连线水平，在圆弧区域内有一平行于半径OA斜向左下方的匀强电场，电场强度大小为E。为保证小球从不同高度h平抛，都恰能沿切线从A点进入圆弧轨道，小球平抛初速度v0和h满足如图乙所示的抛物线，同时调节平台离A点的水平距离。已知圆弧半径R＝1.0 m，平台距AB连线的高度h可以在0.2～0.8 m之间调节。不计空气阻力，取g＝10 m/s2。
(1)求平台离A的水平距离x的范围(h＝0.2 m时初速度的准确值未知)；
(2)当h＝0.2 m且E＝5.0×103 N/C时，求小球滑到最低点C的速度大小vC；
(3)如果将匀强电场的方向变为平行于AB水平向左，电场强度大小变为E＝2.0×104 N/C，其他条件不变。当h＝0.8 m时，求带电小球对圆弧轨道最大压力的大小(结果保留两位有效数字)。