2026年高考物理一轮讲义+练习(湖南专用)第51讲 习题课 带电粒子在立体空间运动问题(复习讲义)(学生版+解析)

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\l "_Tc203479459" 01考情解码·命题预警 PAGEREF _Tc203479459 \h 2
\l "_Tc203479460" 02体系构建·思维可视 PAGEREF _Tc203479460 \h 3
\l "_Tc203479461" 03核心突破·靶向攻坚 PAGEREF _Tc203479461 \h 3
\l "_Tc203479471" 带电粒子在立体空间中的运动 PAGEREF _Tc203479471 \h 25
\l "_Tc203479472" 知识点1 带电粒子的旋进运动 PAGEREF _Tc203479472 \h 25
\l "_Tc203479473" 知识点2 带电粒子在立体空间中的偏转 PAGEREF _Tc203479473 \h 26
\l "_Tc203479474" 考向1 带电粒子在叠加场中的旋进运动 PAGEREF _Tc203479474 \h 26
\l "_Tc203479475" 考向2 带电粒子在立体空间的运动 PAGEREF _Tc203479475 \h 29
\l "_Tc203479476" 04真题溯源·考向感知 PAGEREF _Tc203479476 \h 37

考点 带电粒子在叠加场中的运动
\l "_Tc25045" 知识点1 带电粒子在叠加场中的运动
1.叠加场
电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。
2.带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式
带电粒子在匀强磁场中“旋进”运动
空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。现在主要讨论两种情况：
(1)空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
(2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做“旋进”运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
知识点1 带电粒子的旋进运动
空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。现在主要讨论两种情况：
(1)空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
(2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做“旋进”运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
知识点2 带电粒子在立体空间中的偏转
分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系。带电粒子依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。一般情况下利用降维法，要将粒子的运动分解为两个互相垂直的分运动来求解。
考向1 带电粒子在叠加场中的旋进运动
例1（2025·湖南岳阳模拟] 如图甲所示,在xOy平面内存在沿y轴正方向的匀强电场和垂直于平面向外的匀强磁场,电场强度大小未知,磁感应强度大小为B.让质量为m、电荷量为q的带正电小球从坐标原点O沿xOy平面以不同的初速度入射,均能在复合场中做匀速圆周运动.已知重力加速度大小为g.
(1)带电小球从O点以初速度v沿y轴正方向入射时,恰好能经过x轴上的P(2a,0)点,求电场强度大小和v的大小;
(2)保持匀强电场的方向不变,大小变为原来的两倍,带电小球从O点沿y轴正方向入射,速度大小为v0=mgqB,小球运动轨迹如图乙所示.研究表明:小球在xOy平面内做周期性运动,利用运动的合成与分解规律,可将带电小球的初速度分出一个速度v1,并且qv1B与电场力、重力三力平衡,得到小球的一个分运动是速度为v1的匀速直线运动;然后利用矢量运算,将初速度减去v1得到速度v2,得到另一个分运动是线速度为v2的匀速圆周运动,再由这两个分运动得到合运动的运动规律(题中v1和v2均为未知量).
①求该带电小球运动过程中的最大速度值vm;
②写出该带电小球的y坐标随时间t变化的函数表达式(小球从O点发射时为t=0时刻).
[答案] (1)mgq Bqam (2)①2+1mgqB
②y=m2gq2B2-2m2gq2B2cs π4+qBmt或y=m2gq2B2-2m2gq2B2sin π4-qBmt
[解析] (1)带电小球在复合场中做匀速圆周运动,则Eq=mg
解得E=mgq
小球沿y轴正方向入射,转过半个圆周至P点,则运动的半径R=a
由洛伦兹力提供向心力,有qvB=mv2R
解得v=Bqam
(2)电场强度大小变为原来的两倍,小球的运动为复杂的曲线运动,其两个分运动为:
一个速度为v1的匀速直线运动,有qv1B+mg=2Eq
解得v1=mgqB,方向水平向右;
一个线速度为v2的匀速圆周运动,轨迹半径为R2,则
v2=v12+v02=2mgqB,方向与y轴正方向夹角为45°,
由洛伦兹力提供向心力,有qv2B=mv22R2
解得R2=2m2gq2B2
①带电小球运动过程中速度最大时,v1与v2同向,故vm=2+1mgqB
②带电小球在y方向的位移只与匀速圆周运动有关,圆周运动的轨迹如图所示
小球做圆周运动的周期为T=2πmqB
则带电小球的y坐标随时间t变化的函数表达式为y=R2cs π4-R2cs π4+ωt=R2cs π4-R2cs π4+qBmt
将R2=2m2gq2B2代入,可得
y=m2gq2B2-2m2gq2B2cs π4+qBmt
或利用正弦计算得到
y=m2gq2B2-2m2gq2B2sin π4-qBmt
【变式训练1】用图所示的洛伦兹力演示仪演示带电粒子在匀强磁场中的运动时发现，有时玻璃泡中的电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状．现将这一现象简化成如图所示的情景来讨论：在空间存在平行于x轴的匀强磁场，由坐标原点在xOy平面内以初速度v0沿与x轴正方向成α角的方向射入磁场的电子运动轨迹为螺旋线，其轴线平行于x轴，直径为D，螺距为Δx,则下列说法中正确的是（ ）
A．匀强磁场的方向为沿x轴正方向
B．若仅增大匀强磁场的磁感应强度，则直径D减小，而螺距Δx将增大
C．若仅增大电子入射的初速度v0，则直径D增大，而螺距Δx将减小
D．若仅增大α角α