第46讲　电容器　带电粒子在电场中的运动——2027届高三物理一轮复习讲义

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一、电容器 电容
1．电容器
(1)组成：由两个彼此 绝缘 又相距很近的导体组成。
(2)带电荷量：一个极板所带电荷量的_绝对值__。
(3)电容器的充、放电
①充电：使电容器带电的过程，充电后电容器两极板带上等量的_异种电荷__，电容器中储存_电场能__。
②放电：使充电后的电容器失去电荷的过程，放电过程中_电场能__转化为其他形式的能。
2．电容
(1)意义：表示电容器容纳电荷本领的物理量。
(2)定义式：C＝eq \f(Q,U)＝eq \f(ΔQ,ΔU)。
(3)单位：法拉(F)，1 F＝_106__ μF＝_1012__pF。
(4)意义：表示电容器 容纳电荷 本领的高低。
(5)决定因素：由电容器本身物理条件(大小、形状、极板相对位置及电介质)决定，与电容器是否带电及电压 无关 。
3．平行板电容器
(1)影响因素：平行板电容器的电容与两极板的_正对面积__成正比，与电介质的_相对介电常数__成正比，与_两极间的距离__成反比。
(2)决定式：C＝eq \f(εrS,4πkd)，k为静电力常量。
二、带电粒子在电场中的运动
1．带电粒子在电场中的加速
(1)处理方法：利用动能定理qU＝ eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0) 。
(2)适用范围：_任何电场__。
2．带电粒子在匀强电场中的偏转
(1)研究条件：带电粒子_垂直__于电场方向进入匀强电场。
(2)处理方法：类似于_平抛运动__，应用运动的合成与分解的方法。
①沿初速度方向做_匀速直线__运动，运动时间t＝ eq \f(L,v0) 。
②沿电场方向，做初速度为零的_匀加速直线__运动。
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(加速度：a＝\f(F,m)＝ \f(Eq,m) ＝ \f(Uq,md ) ,运动时间\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a.能飞出平行板电容器：t＝ \f(L,v0) ,b.打在平行极板上：y＝\f(1,2)at2＝, \f(1,2)·\f(qU,md)t2 t＝\r(\f(2mdy,qU)))),离开电场时的偏移量：y＝\f(1,2)at2＝ \f(qUL2,2mv\\al(2,0)d) ,离开电场时的偏转角：tan θ＝\f(vy,v0)＝ \f(qUL,mv\\al(2,0)d) ))
1．电容器所带的电荷量是指每个极板所带电荷量的代数和。( × )
2．电容器的电容与电容器所带电荷量成反比。( × )
3．放电后的电容器电荷量为零，电容也为零。( × )
4．带电粒子在匀强电场中只能做类平抛运动。( × )
5．带电粒子在电场中，只受电场力时，也可以做匀速圆周运动。( √ )
6．示波管屏幕上的亮线是由于电子束高速撞击荧光屏而产生的。( √ )
7．带电粒子在电场中运动时重力一定可以忽略不计。( × )
平行板电容器的动态分析
(能力考点·深度研析)
1．电容器两类问题的比较
2．两类典型动态分析思路
(多选)(2025·河南高三阶段练习)如图所示，水平正对的金属板A、B与干电池连接，B板接地，静电计的电荷量、导线以及电池的内阻均不计。开关S闭合，一带负电的油滴静止于两板间的P点。下列说法正确的是( )
A．若仅将A板上移一些，则静电计指针的张角减小
B．若仅将B板下移一些，则油滴向下运动
C．若断开S，且仅将B板下移一些，则油滴的电势能减小
D．若断开S，且仅在A、P间插入玻璃板，则油滴向上运动
【跟踪训练】
(2024·黑吉辽卷)某种不导电溶液的相对介电常数εr与浓度cm的关系曲线如图(a)所示。将平行板电容器的两极板全部插入该溶液中，并与恒压电源、电流表等构成如图(b)所示的电路。闭合开关S后，若降低溶液浓度，则( )
A．电容器的电容减小
B．电容器所带的电荷量增大
C．电容器两极板之间的电势差增大
如图所示水平放置平行板电容器的两极板M、N间，在O点有一电荷量大小为q的带电微粒(q远小于Q)恰好静止，图中二极管为理想二极管，以Q表示电容器储存的电荷量，U表示两极板间电压，E表示两极板间电场强度，Ep表示带电微粒在O点的电势能。若保持极板M不动，将极板N稍向下平移后，下列说法中正确的是( )
A．二极管中有从a到b的电流
B．U减小
C．E减小
D．Ep减小
带电粒子(或带电体)在电场中的直线运动
(能力考点·深度研析)
1．带电粒子(或带电体)在电场中运动时是否考虑重力的处理方法
(1)基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等，除有说明或明确的暗示以外，一般都不考虑重力(但并不忽略质量)。
(2)带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都要考虑重力。
2．做直线运动的条件
(1)粒子所受合外力F合＝0，粒子静止或做匀速直线运动。
(2)粒子所受合外力F合≠0，且合外力与初速度方向在同一条直线上，带电粒子将做变速直线运动；若电场为匀强电场，则带电粒子做匀变速直线运动。
►考向1 仅在电场力作用下的直线运动
多反射飞行时间质谱仪是一种测量离子质量的新型实验仪器，其基本原理如图所示，从离子源A处飘出的离子初速度不计，经电压为U的匀强电场加速后射入质量分析器。质量分析器由两个反射区和长为l的漂移管(无场区域)构成，开始时反射区1、2均未加电场，当离子第一次进入漂移管时，两反射区开始加上电场强度大小相等、方向相反的匀强电场，其电场强度足够大，使得进入反射区的离子能够反射回漂移管。离子在质量分析器中经多次往复即将进入反射区2时，撤去反射区的电场，离子打在荧光屏B上被探测到，可测得离子从A到B的总飞行时间。设实验所用离子的电荷量均为q，不计离子重力。
(1)求质量为m的离子第一次通过漂移管所用的时间T1；
(2)反射区加上电场，电场强度大小为E，求离子能进入反射区的最大距离x；
(3)已知质量为m0的离子总飞行时间为t0，待测离子的总飞行时间为t1，两种离子在质量分析器中反射相同次数，求待测离子质量m1。

带电粒子(体)在电场中直线运动的分析方法
►考向2 带电体在静电力和重力作用下的直线运动
(2023·浙江卷)AB、CD两块正对的平行金属板与水平面成30°角固定，竖直截面如图所示。两板间距10 cm，电荷量为1.0×10－8 C、质量为3.0×10－4 kg的小球用长为5 cm的绝缘细线悬挂于A点。闭合开关S，小球静止时，细线与AB板夹角为30°；剪断细线，小球运动到CD板上的M点(未标出)，则( )
A．MC距离为5eq \r(3) cm
B．电势能增加了eq \f(3,4)eq \r(3)×10－4 J
C．电场强度大小为eq \r(3)×104 N/C
D．减小R的阻值，MC的距离将变大
带电粒子(或带电体)在电场中的偏转
(能力考点·深度研析)
1．带电粒子在匀强电场中偏转时的两个结论
(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的。
证明：由qU0＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
y＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(1,2)·eq \f(qU1,md)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,v0)))2
tan θ＝eq \f(qU1l,mdv\\al(2,0))
得：y＝eq \f(U1l2,4U0d)，tan θ＝eq \f(U1l,2U0d)。
(2)粒子经电场偏转后，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点，即O到偏转电场边缘的距离为eq \f(l,2)。
2．带电粒子在匀强电场中偏转的功能关系
当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，其中Uy＝eq \f(y,d)U，指初、末位置间的电势差。
►考向1 仅在电场力作用下的偏转
►考向2 在电场力和重力作用下的匀变速曲线运动
(多选)如图所示，一质量为m、带正电的液滴，在水平向右的匀强电场中运动，运动轨迹在竖直平面内，A、B为其运动轨迹上的两点，已知该液滴在A点的速度大小为v0，方向与竖直方向的夹角为30°，它运动到B点时速度大小仍为v0，方向与竖直方向的夹角为60°，则液滴从A运动到B的过程( )
A．液滴在水平方向和竖直方向的分位移相等
B．重力势能增加eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
C．电势能增加eq \f(1,4)mveq \\al(2,0)
D．机械能增加eq \f(1,4)mveq \\al(2,0)
►考向3 示波管的原理
一束电子从静止开始经加速电压U1＝U0加速后，水平射入水平放置的两平行金属板中间，如图所示。金属板长为l，两板距离为d＝l，竖直放置的荧光屏距金属板右端为L＝2l，若在两金属板间加直流电压U2＝2U0时，光点偏离中线打在荧光屏上的P点，其中电子的质量为m，电荷量为e，不计电子重力及电子之间的相互作用。求：(结果用e、m、l、U0表示)
(1)电子刚进入偏转电场时的速度大小；
(2)电子离开偏转电场时垂直于板面方向的位移大小；
(3)OP的长度和电子打到P点时的动能。

确定最终偏移距离
思路一
思路二
【跟踪训练】
(2024·黑吉辽卷)在水平方向的匀强电场中，一带电小球仅在重力和电场力作用下于竖直面(纸面)内运动。如图，若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线；若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到与O点等高处的过程中( )
A．动能减小，电势能增大
B．动能增大，电势能增大
C．动能减小，电势能减小
D．动能增大，电势能减小
(2023·浙江卷)如图所示，示波管由电子枪、竖直方向偏转电极YY′、水平方向偏转电极XX′和荧光屏组成。电极XX′的长度为l、间距为d、极板间电压为U，YY′极板间电压为零，电子枪加速电压为10U。电子刚离开金属丝的速度为零，从电子枪射出后沿OO′方向进入偏转电极。已知电子电荷量为e，质量为m，则电子( )
A．在XX′极板间的加速度大小为eq \f(eU,m)
B．打在荧光屏时，动能大小为11eU
C．在XX′极板间受到电场力的冲量大小为eq \r(2meU)
D．打在荧光屏时，其速度方向与OO′连线夹角α的正切tan α＝eq \f(l,20d)
如图所示，空间固定两平行板电容器甲、乙，甲电容器水平放置，乙电容器两极板与水平方向的夹角为53°，B极板的右端与C极板的下端彼此靠近且绝缘，忽略极板外的电场。一电子从靠近A板左端的位置，以水平向右的速度v0射入，飞离甲后垂直C从小孔进入乙，且恰好到达D。已知电子的质量为m，电荷量为e，甲、乙板间距离均为d，甲的板长为2d，sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6。求：
(1)电子离开甲电容器的速度大小；
(2)甲电容器的板间电压；
(3)乙电容器的板间电压；
(4)电子从开始至到达D极板所用时间。
提能训练 练案[46]
基础巩固练
题组一 电容器
1．平行板电容器的电容为C，带电荷量为Q，板间距离为d，今在两板间的中间位置处放一电荷q，则它所受静电力的大小为( )
A．keq \f(2Qq,d2) B．keq \f(4Qq,d2)
C．eq \f(Qq,Cd) D．eq \f(2Qq,Cd)
2．(2022·重庆卷)如图为某同学采用平行板电容器测量材料竖直方向尺度随温度变化的装置示意图，电容器上极板固定，下极板可随材料尺度的变化上下移动，两极板间电压不变。若材料温度降低时，极板上所带电荷量变少，则( )
A．材料竖直方向尺度减小 B．极板间电场强度不变
C．极板间电场强度变大 D．电容器电容变大
3．如图甲所示为电容传感器式计算机键盘的结构简图，每个键下面都有相互平行的活动金属片和固定金属片组成的平行板电容器，两金属片间有空气间隙，每个键内部电路如图乙所示。在按键的过程中，下列说法正确的是( )
A．电容器的电容减小
B．电容器的电荷量减小
C．图乙中电流从b流向a
D．电容器极板间的电场强度不变
题组二 带电粒子(或带电体)在电场中的运动
4.一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力不计)以速度v0逆着电场线方向射入有左边界的匀强电场，电场强度为E(如图所示)，则( )
A．粒子射入的最大深度为eq \f(mv\\al(2,0),qE)
B．粒子射入的最大深度为eq \f(mv\\al(2,0),4qE)
C．粒子在电场中运动的最长时间为eq \f(mv0,qE)
D．粒子在电场中运动的最长时间为eq \f(2mv0,qE)
5.如图所示，一电荷量为q的带电粒子以一定的初速度由P点射入匀强电场，入射方向与电场线垂直。粒子从Q点射出电场时，其速度方向与电场线成30°角。已知匀强电场的宽度为d，方向竖直向上，P、Q两点间的电势差为U(U>0)，不计粒子重力，P点的电势为零。则下列说法正确的是( )
A．粒子带负电
B．带电粒子在Q点的电势能为qU
C．P、Q两点间的竖直距离为eq \f(d,2)
D．此匀强电场的电场强度为eq \f(2\r(3)U,3d)
6. (多选)如图所示，六面体真空盒置于水平面上，它的ABCD面与EFGH面为金属板，其他面为绝缘材料。ABCD面带正电，EFGH面带负电。从小孔P沿水平方向以相同速率射入三个质量相同的带正电液滴a、b、c，最后分别落在1、2、3三点，不计三个液滴间的相互作用，则下列说法正确的是( )
A．三个液滴在真空盒中都做平抛运动
B．三个液滴的运动时间一定相同
C．三个液滴落到底板时的速率相同
D．液滴c所带电荷量最多
7．如图所示的纸面是光滑、绝缘的水平桌面。在桌面上有一直角坐标系xOy，它的第一象限内有一过O点的虚线OP，虚线与x轴正方向间夹角θ＝30°。虚线右下方到第四象限内有与虚线平行、电场强度E＝1.0×103 N/C的匀强电场。虚线上有一点K，OK＝5 m。一个质量为m＝0.02 kg、电荷量为q＝－1.0×10－4 C的带负电小球从K点以速度v＝4 m/s垂直虚线射入电场，则小球运动过程中( )
A．到x轴的最小距离为0.1 m
B．到x轴的最小距离为2.4 m
C．恰能到达x轴
D．能穿过x轴
能力提升练
8．(2025·浙江高三校联考)让一价氢离子、一价氦离子和二价氦离子的混合物由静止开始经过同一加速电场加速，然后在同一偏转电场里偏转，最后都从偏转电场右侧离开，图中画出了其中一种粒子的运动轨迹，下列说法正确的是( )
A．在加速电场中运动时间最长的是一价氢离子
B．经加速电场加速度后动能最小的是二价氦离子
C．在偏转电场中三种离子的加速度之比为1∶4∶2
D．在加速和偏转过程中三种离子的轨迹都重合
9．如图装置是由粒子加速器和平移器组成，平移器由两对水平放置、间距为Δd的相同平行金属板构成，极板间距离和板长均为L。加速电压为U0，两对极板间偏转电压大小相等均为U0，电场方向相反。质量为m，电荷量为＋q的粒子无初速度地进入加速电场，被加速器加速后，从平移器下板边缘水平进入平移器，最终从平移器上板边缘水平离开，不计重力。下列说法正确的是( )
A．粒子离开加速器时速度v0＝eq \r(\f(qU0,m))
B．粒子通过左侧平移器时，竖直方向位移y1＝eq \f(L,4)
C．Δd＝2L
D．只增加加速电压，粒子将不能从平移器离开
10．(多选)(2025·山东潍坊统考)如图所示为某款手机内部加速度传感器的俯视图，M、N为电容器的两极板，M板固定在手机上，N板通过两完全相同的水平弹簧与手机相连，电容器充电后与电源断开，M、N间距离为d0，电压传感器示数为U0，已知弹簧的劲度系数为k，N板质量为m，不计摩擦，当手机在水平面内以加速度a沿NM方向运动时( )
A．电容器的电容变大
B．M、N板间的电场强度不变
C．电压传感器示数为U0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(ma,2kd0)))
D．电压传感器示数为U0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(ma,2kd0)))
11．如图，两金属板P、Q水平放置，间距为d。两金属板正中间有一水平放置的金属网G，P、Q、G的尺寸相同。G接地，P、Q的电势均为φ(φ>0)。质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子自G的左端上方距离G为h的位置，以速度v0平行于纸面水平射入电场，重力忽略不计。
(1)求粒子第一次穿过G时的动能，以及它从射入电场至此时在水平方向上的位移大小；
(2)若粒子恰好从G的下方距离G也为h的位置离开电场，则金属板的长度最短应为多少？
分类
充电后与电池两极相连
充电后与电池两极断开
不变量
U
Q
d变大
C变小→Q变小、E变小
C变小→U变大、E不变
S变大
C变大→Q变大、E不变
C变大→U变小、E变小
εr变大
C变大→Q变大、E不变
C变大→U变小、E变小