2025-2026学年下学期重庆南开中学高一数学5月3日练习试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期重庆南开中学高一数学5月3日练习试卷含答案，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分. 满分 150 分，考试时间 120 分 钟. 第 I 卷和第 II 卷都答在答题卷上.
一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项 是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 在复平面内,若 z⋅i4=1+2i ,则 z 的共轭复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知向量 a,b 是平面内的一组基底，则 “ λ1λ2=0 ” 是 “ λ1a+λ2b=0 ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 在 △ABC 中， BC=4BD ，若 AD=xAB+yAC ，则 x−y= ( )
A. 12 B. −12 C. 1 D. -1
4. 已知 A1,2,B3,4 ，点 P 在直线 AB 上，且 AP=3AB ，则点 P 的坐标为( )
A. −5,6 B. −5,−4 C. 7,8 D. −5,−4 或 7,8

5. 太行山在河南的最高峰——济源斗顶，远近闻名. 如图，某校高一年级数学实践小组为了测其高度. 在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为 α ,沿倾斜角为 β 的斜坡向上走 a m 到达 B 处,在 B 处测得山顶 P 的仰角为 γ ,若 α=45∘ , β=30∘,γ=75∘,a=2000 m ，则山高 PQ 为( )(图中的点 A,B,P ，
C,Q 均在同一个铅直平面内)
A. 2000m B. 20002 m C. 1000 m D. 10002 m
6. 在 △ABC 中，若 csAcsB=−cs2C2+1 ，则 △ABC 一定是( )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形
C. 等边三角形 D. 等腰三角形
7. 在 △ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,b=2 ，且 3csinB=3a−3bcsC . 若角 B 的角平分线交 AC 于点 D ，则 BD 长度的最大值为( )
A. 32 B. 32 C. 3 D. 3
8. 在菱形 ABCD 中， AB=4 ， ∠A=120∘ ， P 为菱形 ABCD 所在平面内的动点，且 AP⋅AB=8 ，则 DP+AP 的最小值为( )
A. 4 B. 43 C. 2+3 D. 45
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若 z 为复数，则( )
A. 若 z=z ，则 z 为实数
B. z2=z2
C. 若复数 z 满足 z−1÷i=1 ，则 z 的最大值和最小值的和为 22
D. 若 z=3i2025÷6i2026 ,则 zz=45
10. 下列关于向量的说法正确的是( )
A. 若 a//b,b//c ，则 a//c
B. 若动点 P 满足 OP=OA+PB+PC ,则点 P 为 ΔABC 的重心
C. 若 a⋅c=b⋅c 且 c≠0 ，则 a=b
D. 若非零向量 a,b 满足 a⋅b=a⋅b ，则 a//b
11. 在 △ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，且 3bcsC+3ccsB=a2 ，则下列说法正确的是 ( )
A. 若 B+C=2A ，则 △ABC 的外接圆的面积为 9π
B. 若 A=π4 ，且 △ABC 有两解，则 b 的取值范围为 3,32
C. 若 C=2A ，且 △ABC 为锐角三角形，则 c 的取值范围为 32,33
D. 若 A=2C ，且 sinB=2sinC ， O 为 △ABC 的内心，则 △AOB 的面积为 33+34
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知单位向量 a,b 满足 a⋅a+b=2 ，则向量 a 与 b 的夹角为_____.
13. 记 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边为 a,b,c ，已知 csBccsB+bcsC=12a,b2−c2=ac,b=2 ，则 S△ABC= _____.
14. 已知平面内的三个非零向量 a,b,c ，满足: a,b=π4 ， a−b=2 ， b−c=c−a=17 ，则当 a⋅c−b⋅cc 取得最大值时， c=
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 z 是复数， z−3i 为实数， z−5i2−i 为纯虚数( i 为虚数单位)
(1)求复数 z ；
(2)求 2z1−i−1 的模.
16. 已知 m∈R ,向量 a=m+1,2,b=−1,−m .
(I)若 a,b 为锐角，求 m 的取值范围；
(2)若 m>0 ，且 a+b⊥b ，求 a⋅b 和 a 在 b 方向上的投影向量的坐标.
17. 如图，在 △ABC 中， D 为 BC 边上的一点，满足 BD=2DC ，且 ∠BAC+∠DAC=π ，

(1)求 ABAD ；
(2)若 AC=DC ，求 cs∠ACD 的值.
18. 如图，在等腰梯形 OABC 中， OA//CB,OA=2AB=2BC=2OC , BM=λBAλϵ0,1 ， OM 交 AC 于 P .

(1)当 λ=12 时，
(i) 用 OA 和 OC 表示 OM ；
(ii) 求 CPPA ;
(2)设 OB=xCA+yOM ，求 x+y 的取值范围.
19. 在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c .
(1)已知 bcsC+3bsinC=a+c .
(i) 求角 B ;
(ii) 若 c=1 ，且 △ABC 为锐角三角形，求 △ABC 面积的取值范围.
(2)设 P 为 △ABC 内一点，满足 ∠APB=∠BPC=∠CPA=120∘ ，若 cs2B+cs2C−cs2A=1 ， PB+PC=tPA ，求实数 t 的最小值.
重庆南开中学高 2028 届高一数学练习 (5.3) 参考答案
一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 0∘ ;
13. 33 ; 14. 7 .

8. 如图, 以菱形的对角线交点为坐标原点建立平面直角坐标系
O0,0,A0,2,B23,0,C0,−2,D−23,0 ,
设 P 点坐标为 x,y,AP=x,y−2,AB=23,−2
由 AP⋅AB=8 得 23x−2y−2=8 ,化简得 y=3x−2 ,过 AB 的中点 E 及
C ,又因为三角形 ABC 是等边三角形,所以 CE 是 AB 的垂直平分线,所以 DP+AP=DP+PB , 白两点之间直线段最短,得 DP+PB 的最小值为 DB,DB=43 ， DP+AP 的最小值为 43 .
11. 因为 3bcsC+3ccsB=a2 ,所以 3ba2+b2−c22ab+3ca2+c2−b22ac=a2 ,解得 a=3 : 因为 B+C=2A,A+B+C=π ,所以 A=π3 ,设 △ABC 的外接圆的半径为 R ,则 2R=asinA=23 ,所以 R=3 ，所以 △ABC 的外接圆的面积为 3x ， A 不正确；
由正弦定理可得 sinB=bsinAa=b⋅223=b26,△ABC 有两解等价于 B 有两个不同值,
所以 22