2025年中考数学二轮复习专题二次函数综合题练习

这是一份2025年中考数学二轮复习专题二次函数综合题练习，共10页。试卷主要包含了二次函数中的线段最值问题，二次函数中的线段比值最值问题，二次函数中的几何综合问题，二次函数中与圆的综合问题等内容，欢迎下载使用。
例1.已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象和x轴交于点A、B，与y轴交于点C，抛物线的顶点是点D
（1）求直线AC的解析式；
（2）若点E是抛物线对称轴上一个动点，当BE+CE的值最小时，求点E坐标；
（3）抛物线对称轴上是否存一动点F，使得|AF﹣CF|的值最大，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由
（4）设点Q是线段AC上的动点，作PQ⊥x轴交抛物线于点D，求线段PQ长度的最大值．
（5）当线段PQ的长度最大时，在直线AC上有一动点M，使得△PMD的周长最小，求△PMD周长最小时点M的坐标．
二、二次函数中的线段比值最值问题
例2．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．
（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，FC+BF的值最小．并求出这个最小值．
（4）点C关于x轴的对称点为H，当FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
三、二次函数中的线段最值问题（化折为直）
例3．如图①，抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D．
（1）求直线AD的函数解析式；
（2）如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点
①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；
②当点P到直线AD的距离为时，求sin∠PAD的值．
四、二次函数中的几何综合问题
例4.如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．
①若S△PMN＝2，求k的值；
②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；
③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．
五、二次函数中与圆的综合问题
例5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣5）（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于P点，过其顶点C作直线CH⊥x轴于点H．
（1）若∠APB＝30°，请直接写出满足条件的点P的坐标；
（2）当∠APB最大时，请求出a的值；
（3）点P、O、C、B能否在同一个圆上？若能，请求出a的值，若不能，请说明理由．
（4）若a＝，在对称轴HC上是否存在一点Q，使∠AQP＝∠ABP？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
例6.如图，已知直线l：y＝﹣1和抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0），抛物线L的顶点为原点，且经过点，直线y＝kx+1与y轴交于点F，与抛物线L交于点B（x1，y1），C（x2，y2），且x1＜x2．
（1）求抛物线L的解析式；
（2）点P是抛物线L上一动点．
①以点P为圆心，PF为半径作⊙P，试判断⊙P与直线l的位置关系，并说明理由；
②若点Q（2，3），当|PQ﹣PF|的值最小时，求点P的坐标；
（3）求证：无论k为何值，直线l总是与以BC为直径的圆相切．
课后练习
练习1．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣9m，0），B（m，0），（m＞0）以AB为直径的⊙M交y正半轴于点C，CD是⊙M的切线，交x正半轴于点D，过A作AE⊥CD于E，交⊙M于F．
（1）求C的坐标：（用m的式子表示）
（2）①请证明：EF＝OB；
②用含m的式子表示△AFC的周长；
③若CD＝，S△AFC，S△BDC分别表示△AFC，△BDC的面积，记k＝，对于经过原点的二次函数y＝ax2﹣x+c，当≤x≤k时，函数y的最大值为a，求此二次函数的解析式．
练习2.已知：如图，过点B（4，0）作直线l∥y轴，⊙A的直径为BO，以直线l为对称轴的抛物线经过点A，与x轴另一交点为C，抛物线的顶点为点E，CO＝2BE．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作⊙A的切线CD，D为切点，求CD的长；
（3）在切线CD上是否存在点F，使△BFC与△CAD相似？若存在，求出CF的长；若不存在，请说明理由．
练习3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；
（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．
练习4．已知抛物线y＝x2﹣（m﹣3）x+n与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若抛物线的对称轴为x＝2，A （1，0）
（1）求此抛物线的解析式．
（2）如图1，若点P是（1）中B点右边的抛物线上一动点，问：是否存在这样的点P，使得∠CAP＝∠CAO，若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，若抛物线y＝﹣+1与过原点的直线交于E、F两点，求的值．
练习5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点和点A（4，0）．经过点A的直线与该二次函数图象交于点B（1，3），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．
①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
练习6．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，过点P作PD⊥x轴，交直线BC于点E，若PE＝2ED，求点P的坐标．
（3）如图2，连接AC、PC、AP，AP与BC交于点G，过点P作PF∥AC交BC于点F．记△ACG、△PCG、△PGF的面积分别为S1，S2，S3.当取得最大值时，求sin∠BCP的值．
练习7．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+4经过点A（﹣4，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，4），点P是抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当点P的坐标为（﹣2，6）时，求四边形AOCP的面积；
（3）当∠PBA＝45°时，求点P的坐标；
（4）过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接AE、AF、EF，判断△AEF的形状，并说明理由．