2026年高考数学考前冲刺四套卷（三）【含答案解析】

这是一份2026年高考数学考前冲刺四套卷（三）【含答案解析】，共11页。试卷主要包含了 不做，只观摩， 拆解保底步骤， 独立复现， 本卷只观摩，不要求完整解答， 已知F1,F2是椭圆C等内容，欢迎下载使用。
1. 本卷所有题目来自2026年5月全国卷地区模考、联考，选取难度在当前水平之上的压轴题.目标是学会拆解得分步骤，在无法完整求解的情况下，稳定获取步骤分.
2. 不做，只观摩.每道题直接看标准答案，圈出得分点.
3. 拆解保底步骤.导数题锁定“定义域+求导+因式分解”，解析几何锁定“设直线+联立+韦达定理”.无论题目难度如何，均需写出上述内容.
4. 独立复现.盖住答案，能规范写出保底步骤即可，后续部分不作要求.每类压轴题的保底步骤，能在2分钟内规范写出，无遗漏.
5. 本卷只观摩，不要求完整解答.目标是让每道压轴题从“0分”变为“3-5分”，不追求理解全部过程，不深究复杂技巧.
第一部分（选择题 共59分）
一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在平面中，|AB|=|AE|=3，|AC|=4，且AB⋅AC=0，若AD=(1+λ)AB+(1−λ)AC，则|DE|的最小值为（ ）
A. 95 B. 2 C. 125 D. 3
2. 椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点. 设椭圆C的两个焦点分别为F1(−2,0),F2(2,0)，如图，光线由点F1发出射到椭圆C上的点P处，经反射后到点F2，再经过x轴反射到椭圆C上的点H，最后反射回点F1，若光线经过的总路程为12，且|PF2|=2|HF2|，则直线PF2的斜率为（ ）
A. −3 B. −2 C. −2 D. −43
3. 已知正实数x,y满足ln(2x)+lny=x+2y−2，则xy−yx=（ ）
A. 24 B. 12 C. 22 D. 1
4. 设平面内动点P在单位圆x2+y2=1上，P到直线l1:x−y=0,l2:x+y=0的距离分别为d1,d2，即d12+d22=1；推广到空间：动点Q在单位球x2+y2+z2=1上，Q到平面α1:x−y=0,α2:x+y=0的距离分别为D1,D2. 记g(Q)=mD1+D2(m>0)，则当g(Q)取最大值为5时，m=（ ）
A. 2 B. 4 C. 26 D. 24
5. 在△ABC中，AD=DB,AE=2EC，O为BE与CD的交点，且OB=2OD. 若AB=6，则△ABC面积的最大值为（ ）
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
6. 已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点，点P在椭圆上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120∘，则椭圆C的离心率为（ ）
A. 14 B. 12 C. 2−33 D. 3−12
7.在三棱锥A−BCD中，AB=BC=AC=CD=23，∠BCD=2π3，二面角A−BC−D的大小为π3，则三棱锥A−BCD的外接球表面积为（ ）
A. 84π3B. 100π3C. 27πD. 148π3
8. 已知a=e−32,b=ln87,c=215，则下列大小关系正确的是（ ）
A. a>b>c B. c>b>a C. b>a>c D. a>c>b
二、选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在一块木板上绘制平面直角坐标系，在A(1,1),B(1,−1),C(−1,−1),D(−1,1)四点处钉上四枚钉子，将长度为10的细绳环放在木板上围出一个封闭区域，且四枚钉子在此区域内. 用一支铅笔拉紧细绳，移动笔尖一周，笔尖在木板上留下了封闭的轨迹C，则（ ）
A. 轨迹C上任意一点到原点距离的最大值为3
B. 轨迹C上任意一点到原点距离的最小值为7
C. 轨迹C的面积大于20
D. 直线x+2y+c=0(c∈R)与轨迹C最多有2个公共点
10. 已知a，b均为正实数，且a+2b=2，则（ ）
A. a2+4b2≤2 B. 2a+4b≥4
C. lg2a+lg2b≤−1 D. (tana−1)(tan2b−1)0)的焦点为F，过点F且斜率为正数的直线l与抛物线C相交于A，B两点，与抛物线C的准线相交于点D，若AF=3FB，DB=λBF，则实数λ=______.
14. 定义：[x]是不大于x的最大整数，⟨x⟩是不小于x的最小整数，设函数f(x)=⟨x[x]⟩在定义域[0,n)(n∈N∗)上值域为Cn，记Cn元素个数为an，则1a1+1a2+⋯+1an=__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 调和级数在工程学、物理学和计算数学中都有广泛的运用. 欧拉证明了调和级数1+12+13+⋯+1n−1+1n=lnn+γ+εn，其中γ被称为欧拉常数，εn为误差. 当n足够大时，我们近似的认为1+12+13+⋯+1n−1+1n≈lnn+γ，在本题中，调和级数均取这个近似值.
（1） 证明：当x∈(0,1)时，xx+10，ln(2x)+lny=ln(2xy)=lnx+ln(2y)，则ln(2x)+lny=x+2y−2等价于lnx+ln(2y)=x−1+2y−1.设f(t)=t−1−lnt，则f'(t)=t−1t，则f(t)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以f(t)≥f（1）=0，即t−1≥lnt，当且仅当t=1时等号成立.由t−1≥lnt得x−1≥lnx，2y−1≥ln(2y)，则lnx+ln(2y)≤x−1+2y−1，又lnx+ln(2y)=x−1+2y−1，所以x=1，2y=1即y=12，则xy−yx=1−12=12.
4. C
设Q(x,y,z)，由点Q在单位球上可得x2+y2+z2=1.点Q到平面α1:x−y=0,α2:x+y=0的距离分别为D1=|x−y|2，D2=|x+y|2.
计算平方和：D12+D22=(x−y)22+(x+y)22=x2+y2≤x2+y2+z2=1.
利用柯西不等式可得：g(Q)=mD1+D2≤(m2+1)(D12+D22)≤m2+1.当且仅当z=0且D1m=D21时，g(Q)取得最大值.
由题意最大值为5，故m2+1=5，解得m2=24，又m>0，所以m=26.
5. B
设AB=b,AC=c，则AD=12b,AE=23c.由于O在BE和CD上，利用基底与共线定理可推得AO=14b+12c.
从而得到OB=AB−AO=34b−12c，OD=AD−AO=14b−12c.
已知OB=2OD，即OB2=4OD2，代入得34b−12c2=414b−12c2.
展开并化简得516b2+14b⋅c−34c2=0.已知b=AB=6，代入得c2−2ccsA=15，即csA=c2−152c.
则△ABC的面积S=12bcsinA=3c1−cs2A=32−c4+34c2−225.令t=c2，二次函数在t=17时取得最大值64，故Smax=3264=12.
6. B
由题意知A(−a,0),F1(−c,0),F2(c,0)，由△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P=120∘，得|PF2|=|F1F2|=2c作PQ垂直x轴于Q，如图所示，则在Rt△PF2Q中，∠PF2Q=180∘−120∘=60∘，故|PQ|=|PF2|sin∠PF2Q=2c×32=3c，|F2Q|=|PF2|cs∠PF2Q=2c×12=c，所以P(c+c,3c)，即P(2c,3c)，代入直线AP的方程y=34(x+a)，得3c=34(2c+a)，即a=2c，所以所求的椭圆离心率为e=ca=12.
7. D
取BC中点E，连接AE,DE，∵AB=BC=AC=23，∴AE⟂BC,AE=3,CD=23,CE=3，∠BCD=120∘,DE⟂BC,DE=3，∠AED为二面角A−BC−D的平面角，∠AED=60∘，∴AE=DE=3，△AED为等边三角形，AD=3。设△BCD的外心为O1，△ABC的外心为O2，△BCD中，BD=6,2r1=BDsin120∘=43,r1=23，△ABC为等边三角形，2r2=BCsin60∘=4,r2=2，过O1作平面BCD的垂线，过O2作平面ABC的垂线，交点为球心O，由二面角60∘计算得R2=373，所以表面积为1483π，选D。
8. A
要证a>c，需证−32>ln215,ln152>32.因为e30).求导得f'(x)=x2(1+x)(x+2)2>0，故f(x)在(0,+∞)单调递增.因此f(x)>f（0）=0.即ln(1+x)>2xx+2.令x=17，得ln87>2/715/7=215，得b>c.由ln(1+x)0)，得ln87b>c.
二、多选题
9. BCD
由于正方形边长为2，周长为8，绳长为10.拉紧时，笔尖P与相邻两点（如B、D）的距离之和为10−4=6.即在第一象限，轨迹是以B(1,-1), D(-1,1)为焦点的椭圆弧.
此时，2c=|BD|=22，c=2，2a=6，a=3.b2=a2−c2=7.椭圆中心在原点，长轴在y=−x上，短轴在第一、三象限平分线y=x上.
由于第一象限的轨迹仅包含短轴部分，轨迹C上任意一点到原点的最小值为短半轴长7，B正确.而最大值在坐标轴交界处取得，经计算为8.5≠3，A错误.
四个圆弧拼接的总面积为一个完整的椭圆面积πab=37π≈3×2.64×3.14>24>20，C正确.
轨迹C为严格凸的封闭曲线，任何直线与其最多有2个公共点，D正确.
10 BC
a2+4b2≥(a+2b)22=2，当且仅当a=2b=1时等号成立，A错误；2a+22b≥22a⋅22b=22a+2b=4，当且仅当a=2b=1时等号成立，B正确；因为a+2b≥22ab，可得ab≤12，所以lg2a+lg2b=lg2(ab)≤−1，当且仅当a=2b=1时等号成立，C正确；由a+2b=2，得tan(a+2b)=tan22，所以D错误.
11. ABC
底面半径为1，圆锥高PO=3. M为PB的中点，所以截面圆的半径为底面圆的半径的12，即截面圆半径为12，则圆的面积为π4，故A正确；如图1，在圆锥的轴截面PAB中，作MC⟂AB于点C，则|MC|=12|PO|=32，|AC|=1+12=32，所以椭圆的长轴长|AM|=|AC|2+|MC|2=3，故B正确；如图2，设抛物线与底面圆的一个交点为H，以M为原点，MO为y轴，在平面OMH中建立平面直角坐标系如图2，则|OM|=12|PA|=1，|OH|=1，所以H(−1,1)，设抛物线方程为x2=2py(p>0)，则12=2p，解得p=12，则抛物线的焦点到准线的距离为p=12，故C正确；如图3，在与平面PAB垂直且过点M的平面内，建立平面直角坐标系，坐标原点O″与点P到底面的距离相等，且M在x轴上，则M32,0，双曲线与底面圆的一个交点为D3,32，设双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，则a=32，将3,32代入双曲线方程得334−34b2=1，解得b=12，所以c=1，故双曲线的离心率为e=ca=233，故D错误.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题
12. 174,0
设C(x0,0)，因为AC⟂BC且AC=BC，所以△ABC是面积为9的等腰直角三角形，即12AC2=9，AC=32.
设C到A的向量为(Δx,Δy)，则C到B的向量为(−Δy,Δx)（由A,B在第一象限决定纵坐标必须均为正，故Δy>0且横纵置换方向唯一）.
于是A(x0+Δx,Δy)，B(x0−Δy,Δx).代入抛物线方程y2=4x得：
Δy2=4(x0+Δx) 且 Δx2=4(x0−Δy).
两式相减得：Δy2−Δx2=4(Δx+Δy).因为Δx+Δy>0，所以Δy−Δx=4.
又因为面积条件可知向量模长平方：Δx2+Δy2=AC2=18.
联立两式解得Δx=−2+5，Δy=2+5.
代入原式求x0：x0=Δy24−Δx=9+454−(−2+5)=174.故C的坐标为174,0.
13. 2
如图，分别过A，B作准线的垂线交准线于点A1，B1，则有|BB1|=|BF|，|AA1|=|AF|，由AF=3FB，所以有BB1AA1=13，即BDDA=13，所以BDBF=2，即DB=2BF，所以λ=2.
14. 2nn+1
由函数f(x)=⟨x[x]⟩在定义域[0,n)(n∈N∗)上的值域为Cn，记Cn中元素的个数为an，当n=1时，x∈[0,1)，可得[x]=0,x[x]=0，⟨x[x]⟩=0，即a1=1，当n=2时，x∈[0,2)，可得[x]=0或1,x[x]=0或x，⟨x[x]⟩=0或1或2，即a2=3，当n=3时，x∈[0,3)，可得[x]=0或1或2，x[x]=0或x或2x，⟨x[x]⟩=0或1或2或4或5或6，即a3=6，当n=k−1(k∈N∗,k≥2)时，函数f(x)=⟨x[x]⟩在定义域[0,k−1)(k∈N∗,k≥2)上的值域为Ck−1，记Ck−1中元素的个数为ak−1，当n=k时，函数f(x)=⟨x[x]⟩在定义域[0,k)(k∈N∗)上的值域为Ck，记Ck中元素的个数为ak，设x∈[k−1,k)，则[x]=k−1,(k−1)2≤x[x]=(k−1)x0且x≠1时，由f(x)=x−1x−alnxf1x=−x+1x+alnx，得到：f(x)+f1x=0；
故f(x)=0,f1x=0，又因为f（1）=0，故x1,x2,x3满足0