第17章 一元二次方程及其应用【章末复习】-课件--沪科版数学八年级下册（新教材）

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沪科版数学8年级下册培优精做课件授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月23日小结 · 评价第17章 一元二次方程及其应用第17章 一元二次方程及其应用班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟一、基础题（每题15分，共30分）1. 解分式方程：$$\frac{2}{x} + \frac{x}{x-1} = 2$$解析：可化为一元二次方程的分式方程核心解法是“去分母”，将分式方程转化为整式方程（一元二次方程）求解，关键步骤是：去分母→解整式方程→检验（检验分母不为0，排除增根）。第一步，确定最简公分母：分母为x和x-1，最简公分母为$$x(x-1)$$；第二步，去分母：方程两边同时乘以$$x(x-1)$$，得$$2(x-1) + x^2 = 2x(x-1)$$；第三步，整理为一元二次方程：展开左边得$$2x - 2 + x^2 = 2x^2 - 2x$$，移项化简得$$x^2 - 4x + 2 = 0$$；第四步，解一元二次方程：用公式法求解，$$a=1$$，$$b=-4$$，$$c=2$$，$$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 2 = 16 - 8 = 8$$，解得$$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$$；第五步，检验：将$$x = 2 + \sqrt{2}$$和$$x = 2 - \sqrt{2}$$代入最简公分母$$x(x-1)$$，分母均不为0，均为原方程的根；结论：原分式方程的根为$$x_1 = 2 + \sqrt{2}$$，$$x_2 = 2 - \sqrt{2}$$。2. 解分式方程：$$\frac{3}{x+1} + \frac{1}{x-1} = \frac{6}{x^2 - 1}$$解析：巩固分式方程去分母解法，重点考查最简公分母的确定（平方差公式因式分解）和增根检验。第一步，因式分解分母：$$x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$$，最简公分母为$$(x+1)(x-1)$$；第二步，去分母：方程两边同乘$$(x+1)(x-1)$$，得$$3(x-1) + (x+1) = 6$$；第三步，整理求解：展开左边得$$3x - 3 + x + 1 = 6$$，化简得$$4x = 8$$，解得$$x = 2$$；第四步，检验：将$$x=2$$代入最简公分母$$(x+1)(x-1) = 3 \times 1 = 3 \neq 0$$，是原方程的根；结论：原分式方程的根为$$x = 2$$。二、中档题（每题20分，共40分）3. 解分式方程：$$\frac{x}{x-2} - \frac{1}{x^2 - 4} = 1$$解析：进阶考点——分母因式分解、去分母后化为一元二次方程，重点关注增根的产生（使分母为0的根需舍去）。第一步，因式分解分母：$$x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$$，最简公分母为$$(x+2)(x-2)$$；第二步，去分母：方程两边同乘$$(x+2)(x-2)$$，得$$x(x+2) - 1 = (x+2)(x-2)$$；第三步，整理为一元二次方程：展开左边得$$x^2 + 2x - 1$$，右边得$$x^2 - 4$$，移项化简得$$2x + 3 = 0$$（此处虽为一元一次方程，属于可化为一元二次方程的分式方程的常见变式，重点练检验）；第四步，求解：解得$$x = -\frac{3}{2}$$；第五步，检验：将$$x = -\frac{3}{2}$$代入最简公分母，分母不为0，是原方程的根；结论：原分式方程的根为$$x = -\frac{3}{2}$$。4. 若分式方程$$\frac{ax}{x-1} + 1 = \frac{2}{x-1}$$有增根，求a的值。解析：进阶应用——结合增根求参数值，核心是明确“增根是使分母为0的根，且增根满足去分母后的整式方程”。第一步，确定增根：分母为$$x-1$$，令$$x-1 = 0$$，得增根为$$x = 1$$；第二步，去分母：方程两边同乘$$x-1$$，得$$ax + (x-1) = 2$$，整理为$$(a+1)x = 3$$；第三步，代入增根求a：将$$x = 1$$代入整式方程$$(a+1) \times 1 = 3$$，解得$$a = 2$$；检验：当$$a=2$$时，原方程为$$\frac{2x}{x-1} + 1 = \frac{2}{x-1}$$，去分母得$$3x = 3$$，$$x=1$$为增根，符合题意；结论：a的值为2。三、拓展题（30分）5. 某工程队计划完成一项工程，若单独做，甲队需要x天完成，乙队需要(x+5)天完成。两队合作2天后，剩下的工程由乙队单独做，还需3天才能完成，求x的值。解析：进阶拓展——分式方程实际应用（工程问题），核心是根据“工作量=工作效率×工作时间”列分式方程，再化为整式方程求解，检验结果符合实际意义。第一步，确定工作效率：甲队工作效率为$$\frac{1}{x}$$，乙队工作效率为$$\frac{1}{x+5}$$；第二步，分析工作量：两队合作2天的工作量 + 乙队单独做3天的工作量 = 总工作量（看作1）；第三步，列分式方程：$$2\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} \right) + \frac{3}{x+5} = 1$$；第四步，去分母化为整式方程：最简公分母为$$x(x+5)$$，两边同乘得$$2(x+5) + 2x + 3x = x(x+5)$$；第五步，整理求解：展开左边得$$2x + 10 + 5x = 7x + 10$$，右边得$$x^2 + 5x$$，移项化简得$$x^2 - 2x - 10 = 0$$；用公式法求解：$$a=1$$，$$b=-2$$，$$c=-10$$，$$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-10) = 44$$，解得$$x = \frac{2 \pm \sqrt{44}}{2} = 1 \pm \sqrt{11}$$；第六步，检验：工作时间不能为负数，舍去$$x = 1 - \sqrt{11}$$（负数），$$x = 1 + \sqrt{11} \approx 4.32$$（符合实际意义）；结论：x的值为$$1 + \sqrt{11}$$（或约4.32）。总结：可化为一元二次方程的分式方程重点考查“去分母化整式方程”和“检验增根”，核心是找准最简公分母，去分母时注意每一项都要乘最简公分母，避免漏乘；求解后必须检验，排除使分母为0的增根；实际应用中，还需检验结果是否符合实际场景（时间、工作量为正），确保解题严谨。知识体系一元二次方程解法根的判别式直接开平方法配方法公式法因式分解法根与系数的关系应用回顾与思考 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫作一元二次方程.ax2 + bx + c = 0（a，b，c 为常数，a ≠ 0）一般形式：举一反三训练1. 方程 (2x + 1)(x – 3) = x2 + 1 化成一般形式为_______________，二次项系数、一次项系数和常数项分别是____________. x2 – 5x – 4 = 01，– 5，– 4举一反三训练2. 已知 2 是关于 x 的一元二次方程 kx2 + (k2 – 2)x + 2k + 4 = 0 的一个根，则 k 的值为_____. – 3直接开平方法配方法公式法因式分解法把方程化为 (x + n)2 = p 的形式 (mx + n)2 = p (m ≠ 0，p ≥ 0) 适用于一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程提公因式法公式法十字相乘法思 考解一元二次方程的方法中，哪些体现了化归的思想方法？ “化归方法”是将待解的问题转化成先前已经解决的问题的一种数学思想方法.配方法：将一元二次方程配成完全平方式，转化成可直接开平方求解的方程.因式分解法：将一元二次方程因式分解，转化成两个一元一次方程.步骤：审、找、列、解、验、答几种常见类型面积问题数字问题变化率问题循环问题商品利润问题可化为一元二次方程的分式方程1. 解下列方程：A组【教材P47复习题A组 T1】（1）x2 = 64；（2）x2 = 8；（3）(3x + 2)2 = 4(x – 3)2；（4）（5）(2x + 1)2 = 2x + 1.所以原方程的根是 x1 = 8，x2 = – 8.A组【教材P47复习题A组 T1】（3）(3x + 2)2 = 4(x – 3)2；（4）（3）移项，得(3x + 2)2 – 4(x – 3)2 = 0.把方程左边分解因式，整理，得(x + 8)(5x – 4) = 0.因此，有 x + 8 = 0 或 5x – 4 = 0.（4）把方程左边分解因式，得A组【教材P47复习题A组 T1】（5）(2x + 1)2 = 2x + 1.（5）移项，得(2x + 1)2 – (2x + 1)2 = 0.把方程左边分解因式，整理，得2x(2x + 1) = 0.因此，有 2x = 0 或 2x + 1 = 0.A组【教材P47复习题A组 T2】2. 用配方法解下列方程：（1）x2 – x – 1 = 0；（2）3x2 = – 1 – 5x；（3）5y – 84 + y2 = 0；（4）解：（1）移项，得 x2 – x = 1 配方，得则开平方，得所以原方程的根是A组【教材P47复习题A组 T2】（2）移项，二次项系数化为 1，得配方，得则开平方，得所以原方程的根是2. 用配方法解下列方程：（1）x2 – x – 1 = 0；（2）3x2 = – 1 – 5x；A组【教材P47复习题A组 T2】（3）5y – 84 + y2 = 0；（4）（3）移项，得 y2 + 5y = 84 配方，得则开平方，得所以原方程的根是A组【教材P47复习题A组 T2】（3）5y – 84 + y2 = 0；（4）（4）二次项系数化为 1，得配方，得则开平方，得所以原方程的根是【教材P47复习题A组 T3】A组3. 用公式法解下列方程：（1） ；（2）9x2 + 4 = 12x；（3）(2x – 1)2 – 5 = x(x – 5)2 ；（4）解：（1）将方程化为一般形式，得代入求根公式，得所以原方程的根是【教材P47复习题A组 T3】A组3. 用公式法解下列方程：（1） ；（2）9x2 + 4 = 12x；（2）将方程化为一般形式，得 9x2 – 12x + 4 = 0 ∵ a = 9，b = – 12，c = 4，∴ b2 – 4ac = (– 12)2 – 4×9×4 = 0.代入求根公式，得所以原方程的根是【教材P47复习题A组 T3】A组（3）(2x – 1)2 – 5 = x(x – 5)；（4）（3）将方程化为一般形式，得 3x2 + x – 4 = 0 ∵ a = 3，b = 1，c = – 4，∴ b2 – 4ac = 12 – 4×3×(– 4) = 49 > 0.代入求根公式，得所以原方程的根是【教材P47复习题A组 T3】A组（3）(2x – 1)2 – 5 = x(x – 5)；（4）（4）将方程化为一般形式，得 y2 – 2y + 1 = 0 ∵ a = 1，b = – 2，c = 1，∴ b2 – 4ac = (– 2)2 – 4×1×1 = 0.代入求根公式，得所以原方程的根是【教材P47复习题A组 T4】A组4. 用适当的方法解下列方程：（1） x2 + 6x – 5 = 0；（2）(x + 3)(x – 3) = 2；（3） ；（4）3x(x – 1) = 2 – 2x.解：（1）移项，得 x2 + 6x = 5 配方，得则开平方，得所以原方程的根是【教材P47复习题A组 T4】A组4. 用适当的方法解下列方程：（1） x2 + 6x – 5 = 0；（2）(x + 3)(x – 3) = 2；（2）将方程化为一般形式，得 x2 – 11 = 0 移项，得 x2 = 11开平方，得所以原方程的根是【教材P47复习题A组 T4】A组（3） ；（4）3x(x – 1) = 2 – 2x.（3）将方程化为一般形式，得把方程左边分解因式，得开平方，得所以原方程的根是【教材P47复习题A组 T4】A组（3） ；（4）3x(x – 1) = 2 – 2x.（4）将方程化为一般形式，得 3x2 – x – 2 = 0 ∵ a = 3，b = – 1，c = – 2，∴ b2 – 4ac = (– 1)2 – 4×3×(– 2) = 25 > 0.代入求根公式，得所以原方程的根是【教材P47复习题A组 T5】A组5. 已知关于 x 的方程 2x2 – 5x + k = 0 有两个根，其中一个根是 1.（1）求 k 的值；（2）解这个方程.解：（1）将 x = 1 代入原方程，得 2 – 5 + k = 0（2）设另一个根为 x2 ，由根与系数的关系，得解得 k = 3.解得所以原方程的根是【教材P48复习题A组 T6】A组6. 已知实数 m，n (m ≠ n) 满足条件 m2 – 7m + 2 = 0，n2 – 7n + 2 = 0，求 的值.解：由题意，m，n 分别是方程 x2 – 7x + 2 = 0 的两个根，根据根与系数的关系，得m + n = 7，mn = 2.7. 有一块长 25 cm、宽 15 cm 的长方形硬纸板. 如果在纸板的四个角上各截去一个相同大小的小正方形，然后折成一个底面积为 231 cm2 的无盖长方体盒子，求截去的小正方形的边长.【教材P48复习题A组 T7】A组解：设截去的小正方形的边长是 x cm，根据题意，得(25 – 2x)(15 – 2x) = 231整理得 x2 – 20x + 36 = 0解得 x1 = 18，x2 = 2.x1 = 18 不合题意，所以 x = 2．答：截去的小正方形的边长为 2 cm．8. 某商厦 10 月份的营业额是 50 万元，第四季度的营业额是 182 万元. 第四季度后两个月营业额的月平均增长率是多少？【教材P48复习题A组 T8】A组解：设第四季度后两个月营业额的月平均增长率为 x，根据题意，得 50(1 + x)2 + 50(1 + x) + 50 = 182整理得 50x2 + 150x – 32 = 0解得 x1 = 0.2 = 20%，x2 = – 3.2答：第四季度后两个月营业额的月平均增长率是 20%.x2 = – 3.2 不合题意，所以 x = 20%.1. 已知 y = x2 – 2x – 3. 【教材P48复习题B组 T1】B组（1）x 是什么数时， y = 0？（2）x 是什么数时， y = – 4？解：（1）令 x2 – 2x – 3 = 0，解得 x1 = 3，x2 = – 1， ∴当 x = 3 或 – 1 时，y = 0. （2）令 x2 – 2x – 3 = – 4，解得 x1 = x2 = 1， ∴当 x = 1 时，y = – 4．2. 有三个连续奇数，它们的平方和等于 251，求这三个数. 【教材P48复习题B组 T2】B组解：设这三个奇数依次为 n – 2，n，n + 2（其中 n 为奇数），根据题意，得 (n – 2)2 + n2 + (n + 2)2 = 251， 解得 n1 = 9，n2 = – 9． 当 n = 9 时，n – 2 = 7，n + 2 = 11； 当 n = – 9 时，n – 2 = – 11，n + 2= – 7．答：这三个连续奇数为 7、9、11 或 – 11、 – 9、 – 7．3. 已知：关于 x 的一元二次方程 (b – c)x2 + (c – a)x + (a – b) = 0 有两个相等的实数根. 求证：2b = a + c.【教材P48复习题B组 T3】B组证明：由题意，b – c ≠ 0，Δ = (c – a)2 – 4(b – c)(a – b) = 0， 整理，得 c2 + 2ac + a2 – 4ab – 4bc + 4b2 = 0． ∴ (a + c)2 – 4b(a + c) + 4b2 = 0， ∴ (a + c – 2b)2 = 0， ∴ 2b = a + c．【教材P48复习题B组 T4】B组4. 要建一个面积为 150 m2 的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一道墙，另三边用铁丝网围成，如果铁丝网的长为 35 m．（1）若墙足够长，则养鸡场的长与宽各为多少？（2）若给定墙长为 a m，则墙长对养鸡场的长、宽是否有影响？解：（1）设垂直于墙的边长为 x m，则平行于墙的边长为 (35 – 2x) m，根据题意，得 x(35 – 2x) = 150， 解得 x1 = 7.5，x2 = 10． ∴ 35 – 2x1 = 20，35 – 2x2 = 15．答：长为 20 m，宽为 7.5 m；或长为 15 m，宽为 10 m．【教材P48复习题B组 T4】B组（2）当 a < 15 时，题目无解； 当 15 ≤ a < 20 时，题目只有一个解； 当 a ≥ 20 时，题目有两个解．【教材P48复习题B组 T5】B组5. 如图，OA = OB = 50 cm，OC 是一条射线，OC⊥AB 于点 O，一小虫由点 A 以 2 cm/s 的速度沿线段 AB 爬行，同时另一小虫由点 O 以 3 cm/s 的速度沿 OC 爬行，则在几秒时，两小虫所在位置与点 O 组成的三角形的面积等于 450 cm2？解：设两小虫爬行的时间为 t s．【教材P48复习题B组 T5】B组答：在 10 s 或 15 s 或 25 s 时，两小虫所在位置与点 O 组成的三角形的面积等于 450 cm2．解得 t1 = 10，t2 = 15；解得 t1 = 30，t2 = – 5（不合题意，舍去）.【教材P48复习题B组 T6】B组6. 某家快递公司今年 1 月与 3 月完成投递的快件总分别为 10 万件和 14.4万件，现假定该公司每月投递的快件总数的增长率相同.（1）求该快递公司投递快件总数的月平均增长率；（2）该公司现有 21 名快件投递业务员，如果该公司平均每名快件投递业务员每月最多可投递快件 0.6 万件，那么他们能否完成今年 4 月的快件投递任务？如果不能，至少需要增加几名投递业务员？解：（1）设该快递公司投递快件总数的月平均增长率为 x.根据题意，得 10(1 + x)2 = 14.4解方程，得 x1 = 0.2 = 20%，x2 = – 2.2.x2 = – 2.2 不合题意，所以 x = 20%.答：该快递公司投递快件总数的月平均增长率为 20%.【教材P48复习题B组 T6】B组（2）该快递公司 4 月投递快件总数为14.4×(1 + 20%) = 17.28 (万件)21 名业务员最多可投递快件21×0.6 = 12.6 (万件)12.6 < 17.28所以 21 名业务员不能完成今年 4 月的快件投递业务.17.28÷0.6 – 21 = 7.8 (人)所以至少需要增加 8 名投递业务员.【教材P48复习题B组 T6】B组【教材P49复习题B组 T7】B组7. 一小艇顺流航行 24 km 到达目的地，然后逆流回到出发地，航行时间共 6 h. 已知水流速度是 3 km/h，求小艇在静水中的速度.解：设小艇在静水中的速度是 x km/h，根据题意，得方程两边同乘以(x + 3)(x – 3)，整理，得 x2 – 8x – 9 = 0，解方程，得 x1 = 9，x2 = – 1.经检验， x1 = 9，x2 = – 1 都是原方程的根，但 x2 = – 1 不合题意，所以 x = 9 ．答：小艇在静水中的速度是 9 km/h．【教材P49复习题B组 T7】B组【教材P49复习题B组 T8】B组8. 某商店以 2400 元购进一种茶叶，第一个月每盒按进价增加 20% 作为售价，售出 50 盒. 第二个月每盒以低于进价 5 元作为售价，售完余下的茶叶. 全部售完后共盈利 350 元，求每盒茶叶的进价.【教材P49复习题B组 T8】B组解：设每盒茶叶的进价为 x 元，根据题意，得解得 x1 = 40，x2 = – 30. 经检验， x1 = 40，x2 = – 30 都是原方程的解，但 x2 = – 30 不符合题意，所以 x = 40．答：每盒茶叶的进价为 40 元．【教材P49复习题C组 T1】C组解：（1）根据题意，得，整理，得，8 – 4k > 0.即 k < 2.（2）当 k 取最大整数时，k = 1.如 x2 – 2x – 3 = 0(答案不唯一) 【教材P49复习题C组 T2】C组2. 在一次象棋比赛中，实行单循环赛制（即每个选手都与其他选手比赛一局），每局赢者记 2 分，输者记 0 分，如果平局，两个选手各记 1 分. 今有 4 个同学统计了比赛中全部选手的得分总和，结果分别为 2005 分、2004 分、2070 分、2008 分，经核实确定只有一位同学统计正确，试计算这次比赛中共有多少名选手参赛.解：设这次比赛的选手共有 x 名，则每局比赛两名选手得分总和均为 2 分，且共比赛了 x(x – 1) 局，得分总数为 2× x(x – 1) = x(x – 1)．【教材P49复习题C组 T2】C组∵ x 是大于 1 的正整数，∴ x，x – 1 是连续的正整数.∴ x(x – 1) 的值的末位数字只能是 0，2，6，即得分总数只能是 2070．∴ x(x – 1) = 2070.解得 x1 = 46，x2 = – 45（舍去）. ∴ x = 46．答：这次比赛中共有 46 名选手参赛．【教材P49复习题C组 T3】C组3. 一商店用 1800 元购进玩具若干个，其中有 2 个损坏无法出售，剩余的每个以比进价多 5 元的价格出售. 若剩余的玩具全部卖完，则商店共赚 400 元. 这批玩具每个进价是多少元？共买进了多少个玩具？【教材P49复习题C组 T3】C组解：设每个玩具的进价是 x 元，根据题意，得解得 x1 = 20，x2 = – 225．经检验， x1 = 20，x2 = – 225 都是原方程的解，但 x2 = – 225 不合题意，所以 x = 20．1800÷ 20 = 90（个）答：这批玩具每个的进价是 20 元，共买进了 90 个玩具.