第17章 一元二次方程 拔尖检测卷（含答案）2025-2026学年沪科版数学八年级下册

这是一份第17章 一元二次方程 拔尖检测卷（含答案）2025-2026学年沪科版数学八年级下册，共17页。
第17章 拔尖检测一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．下列方程中，是一元二次方程的是(　　)A．ax2＋bx＋c＝0 B．(x－1)(x－3)＝x2C．－x2＝0 D．eq \f(2,x2)＋3x－5＝02．若关于x的一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为(　　)A．－4 B．－1 C．1 D．43．用配方法解一元二次方程x2＋6x＋3＝0时，将它化为(x＋m)2＝n的形式，则m－n的值为(　　)A．3 B．0 C．－1 D．－34．若x＝－1是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)的根，则2 025－3a＋3b的值为(　　)A．2 029 B．2 026 C．2 027 D．2 0285. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8 000辆增加到三月份的12 000辆，设该汽车一月至三月销售量的月平均增长率为x，则可列方程为(　　)A．8 000(1＋2x)＝12 000 　　　B．8 000(1＋x)2＝12 000C．8 000＋8 000(1＋x)＋8 000(1＋x)2＝12 000 　　　D．8 000×2(1＋x)＝12 0006. 《代数学》中记载，形如x2＋8x＝33的方程，求其正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的长方形，得到大正方形的面积为33＋16＝49，则该方程的正数解为7－4＝3.”小唐按此方法解关于x的方程x2＋12x＝m时，构造出如图②所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为(　　)A．4 B．6 C．8 D．107. 关于x的方程a(x＋m)2＋bx－c＝0的根是x1＝－3，x2＝2(a，m，b，c均为常数，a≠0)，则关于x的方程a(x＋m－1)2＋b(x－1)＝c的根是(　　)A．x3＝－2，x4＝3 B．x3＝－2，x4＝1C．x3＝2，x4＝1 D．x3＝－2，x4＝－38．已知x1，x2是方程x2－x－2 026＝0的两个实数根，则代数式x13－2 026x1＋x22的值为(　　)A．4 053 B．4 052 C．2 026 D．19．若分式方程eq \f(3x－a,x2－2x)＋eq \f(1,x－2)＝eq \f(2,x)无解，则实数a的值是(　　)A．0或2 B．4 C．8 D．4或810．对于代数式ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)，下列说法正确的是(　　)①若b2－4ac＝0，则ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；②存在三个实数m，n，h(m≠n≠h)，使得am2＋bm＋c＝an2＋bn＋c＝ah2＋bh＋c；③若ax2＋bx＋c＋2＝0与方程(x＋2)(x－3)＝0的解相同，则a＋b＝0.A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．关于x的方程(a－3)xa2－7－3x－2＝0是一元二次方程，则a＝________．12．若关于x的一元二次方程x2＋bx＋2c＝0有两个相等的实数根，则b2－2(3＋4c)的值为________．13．为了节省材料，某农场水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为120米的围网在水库中围成了如图所示的①，②，③三块长方形区域，且这三块长方形区域的面积都为225平方米，则图中a的值为________．14. 如果一个三位自然数abc的各数位上的数字均不为0，且使得关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，那么称这个三位数为该方程的“等根数”．例如：三位数441是方程4x2＋4x＋1＝0的“等根数”，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的最小“等根数”是________；如果m是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的“等根数”，记F(m)＝a2＋b2＋c2，G(m)＝a－c，若eq \f(F(m),G(m))是整数，则满足条件的m的最大值是________．三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．解方程：(1)3x2－6x＋1＝0; (2)x(x－1)＝x.16．已知关于x的一元二次方程x2－mx－2＝0.(1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有一个根为－2，求m的值．四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17. 对于实数m，n，我们定义一种运算“※”：m※n＝mn＋m＋n，例如：1※2＝1×2＋1＋2＝5.(1)化简：1※x；(2)解关于x的方程：x※(1※x)＝3.18．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，△ABC的周长为11，且有(BC＋1)2＝4AB，求△ABC的腰长和底边长．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．已知关于x的一元二次方程x2＋4x－2a＝0.(1)若方程有两个实数根，求a的取值范围；(2)在(1)中，设x1，x2是该方程的两个根，且2x1＋2x2－3x1x2＝0，求a的值．20. 高乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和灰色正方形按一定规律搭建图形(如图)，观察图形，回答下列问题：(1)图①中的灰色正方形的个数为1＋1＝1＋eq \f(1×(1＋1),2)；图②中的灰色正方形的个数为1＋1＋2＝1＋eq \f(2×(1＋2),2)；图③中的灰色正方形的个数为1＋1＋2＋3＝1＋eq \f(3×(1＋3),2)；图④中的灰色正方形的个数为1＋1＋2＋3＋4＝1＋eq \f(4×(1＋4),2)；…；则图中的灰色正方形的个数为______________________________；(2)图①中，白色正方形比灰色正方形多1个；图②中，白色正方形比灰色正方形多2个；图③中，白色正方形比灰色正方形多3个；…；则图中的白色正方形有____________个；(3)若图中灰色正方形比等边三角形多45个，求图中白色正方形的个数．六、(本题满分12分)21．“网络直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件20元，并且每件的售价不低于进货价．经过初期试销售调查发现：每周的销售量y(单位：件)与每件的售价x(单位：元)之间满足如图所示的函数关系．(1)求每周的销售量y(单位：件)与每件的售价x(单位：元)之间的函数关系式．(不必写出自变量的取值范围)(2)物价部门规定，该防护品每件的利润不得高于进货价的70%，该带货主播销售这种防护品每周的总利润要想达到3 360元，那么每件的售价应定为多少元？七、(本题满分12分)22．根据以下素材，完成探索任务八、(本题满分14分)23. 如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.(1)点P从点A出发以1 cm/s的速度沿AB边向点B移动，点Q从点B出发以2 cm/s的速度沿BC边向点C移动．如果P，Q分别从A，B两点同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出移动的时间；若不能，请说明理由．(2)若点P从点A出发沿射线AB以1 cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿射线CB以2 cm/s的速度移动，P，Q分别从A，C两点同时出发，经过几秒，△PBQ的面积为1 cm2?答案一、1. C　2. C　3. D　4. D　5. B6. A　【点拨】∵阴影部分的面积为64，∴x2＋12x＝64.先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为3x的长方形，得到大正方形的面积为64＋32×4＝64＋36＝100，则该方程的正数解为10－6＝4，故选A.7. A8. A　【点拨】由题意得x12－x1－2 026＝0，x1＋x2＝1，x1x2＝－2 026，∴x12－2 026＝x1.∴原式＝x1(x12－2 026)＋x22＝x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝1＋4 052＝4 053.【点方法】在遇到求值问题时，遇到高次代数式，可根据条件进行降次，再整体代值计算.9. D　【点拨】eq \f(3x－a,x2－2x)＋eq \f(1,x－2)＝eq \f(2,x).去分母，得3x－a＋x＝2(x－2)，去括号、移项、合并同类项，得2x＝a－4，两边同时除以2，得x＝eq \f(a－4,2).若原分式方程无解，则x(x－2)＝0，解得x＝0或2.当x＝0时，eq \f(a－4,2)＝0，解得a＝4；当x＝2时，eq \f(a－4,2)＝2，解得a＝8.∴a＝4或8.故选D.10. B　【点拨】∵Δ＝b2－4ac＝0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根．∴①正确；∵ 一元二次方程ax2＋bx＋c＝k(k为常数)最多有两个解，∴②错误；方程(x＋2)(x－3)＝0的解为x1＝－2，x2＝3，将x＝－2代入ax2＋bx＋c＋2＝0，得4a－2b＋c＋2＝0，即4a－2b＝－2－c；将x＝3代入ax2＋bx＋c＋2＝0，得9a＋3b＋c＋2＝0，即9a＋3b＝－2－c，∴4a－2b＝9a＋3b，即5a＋5b＝0.∴a＋b＝0.∴③正确．故选B.二、11.－3　12.－6　13.3014. 121；882　【点拨】∵abc是方程ax2＋bx＋c＝0的“等根数”，∴Δ＝b2－4ac＝0.∴b2＝4ac，即b＝2eq \r(ac).∵abc为最小“等根数”，∴a＝1，b＝2.∴c＝1.∴最小“等根数”是121.∵b2＝4ac，∴eq \f(F(m),G(m))＝eq \f(a2＋b2＋c2,a－c)＝eq \f(a2＋4ac＋c2,a－c)＝eq \f((a－c)2＋6ac,a－c)＝a－c＋eq \f(6ac,a－c).∵eq \f(F(m),G(m))是整数，∴eq \f(6ac,a－c)是整数．当a＝9时，b＝6eq \r(c)，此时c＝1，b＝6，但eq \f(6ac,a－c)不是整数，∴a≠9.当a＝8时，b＝4eq \r(2c).此时c＝2，b＝8，满足eq \f(6ac,a－c)是整数，∴m的最大值是882.三、15.【解】(1)∵3x2－6x＋1＝0，∴3x2－6x＝－1.∴x2－2x＝－eq \f(1,3).∴x2－2x＋1＝eq \f(2,3)，即(x－1)2＝eq \f(2,3).∴x－1＝±eq \f(\r(6),3)，即x1＝eq \f(3＋\r(6),3)，x2＝eq \f(3－\r(6),3).(2)∵x(x－1)＝x，∴x(x－1)－x＝0.∴x(x－2)＝0.∴x＝0或x－2＝0，即x1＝0，x2＝2.16(1)【证明】∵Δ＝(－m)2－4×1×(－2)＝m2＋8>0，∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根．(2)【解】若方程有一个根为－2，则(－2)2－(－2)m－2＝0，解得m＝－1.四、17.【解】(1)由题意得1※x＝x＋1＋x＝2x＋1.(2)∵x※(1※x)＝3，∴x※(2x＋1)＝3.∴2x2＋x＋x＋2x＋1＝3，解得x1＝－1＋eq \r(2)，x2＝－1－eq \r(2).18.【解】设AB＝AC＝x，则BC＝11－2x.∵(BC＋1)2＝4AB，∴(11－2x＋1)2＝4x.整理，得x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9(不合题意，舍去)，∴AB＝AC＝4，BC＝3.即腰长为4，底边长为3.五、19.【解】(1)由题意得16＋8a≥0，解得a≥－2，即a的取值范围为a≥－2.(2)由一元二次方程的根与系数的关系，得x1＋x2＝－eq \f(4,1)＝－4，x1x2＝eq \f(－2a,1)＝－2a.∵2x1＋2x2－3x1x2＝0，∴－8－3×(－2a)＝0，解得a＝eq \f(4,3).20.【解】(1)1＋1＋2＋3＋…＋n＝1＋eq \f(n(1＋n),2)(2)eq \f((n＋2)(n＋1),2)(3)由题图可知，图中等边三角形的个数为(n＋1)．∵图中灰色正方形比等边三角形多45个，∴1＋eq \f(n(1＋n),2)＝n＋1＋45，解得n＝10或n＝－9(舍去)．当n＝10时，eq \f((n＋2)(n＋1),2)＝eq \f(12×11,2)＝66，∴图中白色正方形的个数为66.六、21【解】(1)由图象可知每周的销售量y与每件的售价x之间为一次函数关系，设其函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，将(30，300)，(40，200)的坐标代入，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(30k＋b＝300，,40k＋b＝200，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－10，,b＝600，))∴每周的销售量y与每件的售价x之间的函数关系式为y＝－10x＋600.(2)根据题意得(－10x＋600)(x－20)＝3 360，整理，得x2－80x＋1 536＝0，解得x1＝32，x2＝48.∵该防护品每件的利润不得高于进货价的70%，∴x≤20×(1＋70%)，即x≤34.∴x＝48不合题意，舍去．∴x＝32.∴当这种防护品每件的售价定为32元时，该带货主播销售这种防护品每周的总利润可达到3 360元．七、22.【解】(1)5≤x≤12.(2)根据题意得(300－2x)(200－2×2x)＝44 800，整理，得x2－200x＋1 900＝0，解得x1＝10，x2＝190(不符合题意，舍去)．∵5≤x≤12，∴路面设置的宽度符合要求．(3)(－400x2＋80 000x)(4)可以获得．理由如下：100(200－2×2x)(300－2x)－(－400x2＋80 000x)－250 000－330 000－250 000＝4 000 000，化简，得x2－200x＋975＝0，解得x1＝5，x2＝195(舍去)．∴可以获得400万元预期净利 润．八、23.【解】(1)不能．理由如下：设经过y s，线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分．∵△ABC的面积＝eq \f(1,2)×6×8＝24(cm2)，∴eq \f(1,2)(6－y)×2y＝eq \f(1,2)×24，即y2－6y＋12＝0.∴Δ＝36－4×12＝－12