第一章 有理数-七年级数学上册表格教案（2024人教）

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1．1　正数和负数正数与负数是七年级数学第一章第一节的内容，属于数与代数领域的知识．本节课是学生学过的自然数与分数的延续和拓展，又是后面研究有理数的基础，因此起到了承上启下的作用．作为初中阶段的第一节课，不仅要让学生学会区分正、负数以及用正、负数表示相反意义的量，还要培养学生对数学学习的兴趣和自信心．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【置疑导入】问题1：天气预报：北京市冬季某天的温度为－5～5 ℃，它的确切含义是什么？这一天北京市的温差是多少？问题2：有三个队参加的足球比赛中，红队胜黄队(4∶1)，黄队胜蓝队(1∶0)，蓝队胜红队(1∶0)，如何确定三个队的净胜球数与排名顺序？问题3：某机器零件的长度设计为100 mm，加工图纸标注的合格尺寸为100±0.5(mm)，这里的0.5代表什么意思？合格产品的长度范围是多少？【说明与建议】　说明：利用生活中的实际问题设置一系列的问题串，紧紧抓住了学生的好奇心，使学生带着疑惑学习内容，保证学生学习注意力的集中，自然而然地紧跟老师的节奏展开新课．建议：引导学生发现生活中的负数时，给其适当的时间来发表自己的观点，然后总结，使其在学习中有参与感、成就感．【复习导入】问题1：小学里已经学过哪些类型的数呢？学生回答后，教师总结展示小学里学过的三类数：整数、分数和零(小数包括在分数之中)，它们的出现对我们的生活有什么影响吗？借助图片提示它们都是由于实际需要而产生的．问题2：你会表示下面图中的数吗？【说明与建议】　说明：通过展示实际生活情景引导学生认识到数字的发展源于生活的需要，进而认识负数的出现亦源于生活的需要．建议：学生认识负数后，建议其思考为什么要引入负数，“－”号的出现有哪些优点呢？进而系统地讲授具有相反意义的量．命题角度1　认识正数、负数、01．下列四个数中，既不是正数，也不是负数的是(D)A．－3 B．3 C．π D．02．有如下一些数：3，－3.14，0，＋2.3，－2，其中负数有(A)A．2个 B．3个 C．4个 D．5个命题角度2　用正数、负数表示具有相反意义的量3．(济宁中考)若盈余2万元记作＋2万元，则－2万元表示(B)A．盈余2万元 B．亏损2万元 C．亏损－2万元 D．不盈余也不亏损4．小明同学的微信钱包部分账单明细如图所示，＋10.5表示收入10.5元，下列说法正确的是(C)A．－6.3表示收入6.3元B．－6.3表示支出－6.3元C．－6.3表示支出6.3元D．收支总和为16.8元5．(兰州中考)《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．大意是：今有两数若其意义相反，则分别叫作正数与负数．若水位上升2 m记作＋2 m，则下降1 m记作－1m.6．(金昌中考)近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果．例如，由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度为10 907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9 050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界纪录．如果把海平面以上9 050米记作“＋9 050米”，那么海平面以下10 907米记作－10__907米．负数的产生今天人们都知道用正负数来表示两种相反意义的量．例如，1个大气压下冰水混合物的温度表示0 ℃，则开水的温度为＋100 ℃，而零下10 ℃则记为－10 ℃.若以海平面为0点，则珠穆朗玛峰的高度约为＋8 848米，最深的马里亚纳海沟深约－11 034米．在日常生活中，人们常用“＋”表示收入，用“－”表示支出．可是在历史上，负数的引入却经历了漫长而曲折的道路．古人在生活实践活动中遇到了一些问题：如两人互相借用东西，对借出方和借入方来说，同一东西具有不同的意义；再如从同一地点，两人同时向相反方向行走，离开出发点的距离即使相同，但其表示的意义却不同．久而久之，古人意识到仅用数量表示一个事物是不全面的，似乎还应加上表示方向的符号．为了表示具有相反意义的量等问题，逐渐产生了负数．中国是世界上最早认识使用负数的国家．据《九章算术》记载，早在2 000年前我国古人已经开始使用负数，而且明确指出若“卖”是正，则“买”是负；“余钱”是正，则“不足钱”是负．1 700多年前，我国数学家刘徽首次明确地提出了正数和负数的概念．他还规定筹算时“正算赤，负算黑”，就是用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数．这个记载比国外早七八百年．同时还规定了有理数的加、减法则，认为“正、负术曰：同名相益，异名相除．”这“同名”“异名”即现在的“同号”“异号”，“除”和“益”则是“减”和“加”，这些思想，西方要迟于中国八九百年才出现．续表续表详见电子资源1.2　有理数1．2.1　有理数有理数的概念是数学中最基本的概念之一，在现实生活中有理数有广泛的应用，是继续学习代数式、方程、不等式、函数等数学内容以及相关学科知识的重要基础．当数的范围进一步扩充，由有理数扩充到实数后，许多数学问题的研究都依然与有理数有着密切的联系．在教学中，应引导学生学会给有理数进行分类，体会分类思想在有理数概念学习中的作用．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【情景导入】东京奥运会上的成绩：1．中国选手苏炳添以9.83秒成绩刷新亚洲纪录，首次闯入男子100米决赛，并取得历史性的第6名．这不仅是中国速度，也是亚洲荣耀．2．在女子标枪决赛中，中国选手刘诗颖仅用时9秒完成第一掷，扔出66.34米的个人赛季最好成绩，为中国田径队夺得该项目的首枚金牌．3．在举重女子＋87公斤以上级决赛项目中，中国选手李雯雯以抓举140公斤，挺举180公斤，总成绩320公斤夺得第29枚金牌．获得银牌的英国选手与李雯雯相比，抓举－18公斤，挺举－19公斤．【说明与建议】　说明：利用奥运会上的情景设置问题，紧紧抓住了学生的好奇心，使学生带着疑惑学习内容，保证学生学习注意力的集中，自然而然地紧跟老师的节奏展开新课．建议：引导学生体会有理数的分类，给其适当的时间来发表自己的观点，然后老师做总结．【置疑导入】问题一：想一想，我们已经学过的数有哪些？请你说出两个你认为不同的数．问题二：请观察下列一组数：1，3，5.7，6，－7，－9，－10，0，eq \f(1,3)，eq \f(3,5)，－3eq \f(1,2)，－7.4，－15.2.(1)以上各数，哪些是小学学过的数？它们可以分为哪几类？试说出名称．(2)你能模仿小学学过的数的分类方法对上面的数进行分类吗？还能进一步分吗？(3)想一想，小数与分数的关系如何？【说明与建议】　说明：通过简单的问题引入，既能促使学生回忆所学知识，又能诱发学生的兴趣，同时在解答问题的过程中让学生体会、感悟有理数的分类．建议：此类问题难度不大，应让不同层次的学生都参与到活动中来，并通过引导让学生把所学过的数都列举出来．命题角度　有理数的概念及分类1．在下列数－eq \f(1,2)，－π，2，－3中，为正有理数的是(C)A．－eq \f(1,2) B．－π C．2 D．－32．在数－12，π，－3.4，0，＋3，－eq \f(7,3)中，属于非负整数的有(C)A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．下列说法中正确的是(A)A．正分数和负分数统称为分数B．正整数、负整数统称为整数C．0既可以是正整数，也可以是负整数D．一个有理数不是正数就是负数4．在有理数－3，eq \f(1,3)，0，－eq \f(7,2)，－1.2，5中，整数有0，－3，5，负有理数有－3，－eq \f(7,2)，－1.2．5．把下列各数填在相应的集合里：3，－1，－2，0.5，eq \f(1,10)，－eq \f(1,3)，－0.75，0，30%，π.负数集合：{－1，－2，－eq \f(1,3)，－0.75，…}；整数集合：{3，－1，－2，0，…}；正有理数集合：{3，0.5，eq \f(1,10)，30%，…}．有理数是“有道理”的数吗？“有理数”这一名称不免叫人费解，而有理数并不比别的数更“有道理”．事实上，这似乎是一个翻译上的失误．“有理数”一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”．中国在近代翻译西方科学著作时，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”．但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思(这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同)．所以这个词的意义也很明显，就是整数的“比”．与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理．由于生产实践的需要，随着科学技术的发展，数的概念一直在不断地扩充．目前，对于人类已经掌握的数的概念，其关系可综述为：复数eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(实数\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(有理数\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(正有理数,0,负有理数)),无理数)),虚数))　　　　eq \b\lc\ (\a\vs4\al\co1(　,（初中阶段学习）,　,　,（高中阶段学习）))续表续表详见电子资源1.2.2　数轴本节课主要是在学生学习了有理数概念的基础上，从实际事例出发，通过数学建模，初步向学生渗透数形结合的数学思想，以使学生借助直观的图形来理解有理数的有关问题．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【情景导入】问题1：观察温度计，体会其特点．1．读出三个温度计上的温度，并表示出来．2．我们能否用类似温度计的图形表示有理数呢？问题2：画情境图，体会方向与距离．在一条东西方向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东3 m和7.5 m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌西3 m和4.8 m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境，你会怎样画图呢？【说明与建议】　说明：结合实例引导学生以轻松愉悦的心情进入本节课的学习，让学生体会到数学来源于实践，在生活中发现数学．通过问题1和问题2的解决，帮助学生感受到点与数之间的关系，从而对点表示数由感性认识上升到理性认识，同时对新知识的学习有了期待．建议：问题1中，找学生读温度计，通过学生读出温度计的温度初步了解数轴的特点；问题2中，学生根据题意画图并展示，对作图较好的学生给予表扬．【悬念导入】在一个大森林里，一群动物正在玩“寻宝”游戏．裁判长狮子介绍规则：寻宝必须根据寻宝图，而寻宝图分成四份，藏在一条路(东西方向)旁的四棵树的附近，它们分别是从现场向东300 m的柳树、向东750 m的杨树、向西460 m的槐树和向西800 m的松树．同学们，你能帮助动物们画图表示这些位置从而快速地找到宝物吗？【说明与建议】　说明：从同学们感兴趣的游戏入手，激发学生的积极性，同时调动学生探究问题的热情，借助“寻宝图”引出数轴．建议：让学生结合所给的条件分组讨论，动手画图(教师可以进行适当的提示)，然后教师提出问题：你能把更多的数表示在你所作的图上吗？命题角度1　数轴上的点与有理数的关系1．如图，数轴上一个点被叶子盖住了，这个点表示的数可能是(A)A．2.3 B．－1.3 C．3.7 D．1.32．在数轴上位于－4和2之间(不包括－4和2)的整数点有(B)A．6个 B．5个 C．4个 D．无数个3．如图，将一刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是1 cm)，刻度尺上“0 cm”和“3 cm”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“5.6 cm”对应数轴上的数为(C)A．－1.4 B．－1.6 C．－2.6 D．1.64．请画一条数轴，并把2，－1，0，eq \f(3,2)，－1eq \f(1,2)这五个数在数轴上表示出来．解：在数轴上表示如图所示：命题角度2　数轴上两点之间的距离5．数轴上点A表示的有理数是－5，那么到点A的距离为10的点表示的数是－15或5．续表续表续表详见电子资源1.2.3　相反数“相反数”是中学学习的主要内容之一，它是在研究了负数的基础上，遵循过渡时期学生的认知特点．既把小学所学的正数、零和初中的负数知识紧密结合起来，又为学生以后顺利掌握绝对值的意义，进行有理数运算打下基础．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【激趣导入】成语故事《南辕北辙》讲了一个人从魏国要到楚国去，楚国在南边，他硬要往北边走．他的马越好，赶车的本领越大，盘缠带得越多，走得越远，就越到不了楚国．1．如果点O表示魏国的位置，点A表示楚国的位置，我们假设楚国与魏国的距离为30 km，以魏国为原点，我们规定向南为正方向，而此人从魏国出发向北到了点B也走了30 km，请同学们把这3个点在数轴上表示出来．2．你还能在数轴上表示出类似于A，B这样的点吗？【说明与建议】　说明：利用学生感兴趣的成语故事，培养学生的学习兴趣，同时也让学生进一步加深对数轴的理解，表示30，－30的点与原点的距离相等，但方向相反，引出相反数，为新课的导入做好铺垫．建议：首先用简短的成语故事《南辕北辙》激发学生的兴趣，然后让一名学生在黑板上画出数轴，将30，0，－30这3个数用数轴上的点表示出来，其余学生在练习本上完成．完成后教师引导学生复习数轴的三要素，加深学生对数轴的理解，体会用数轴上的点表示一个给定的有理数的方法．问题2由学生口答完成，让学生体会解决问题所用的数形结合的方法，从而引出新课．【复习导入】问题1：如果支出50元记作－50元，那么收入50元记作什么？问题2：如果河道中的水位比正常水位高3厘米记作＋3厘米，那么比正常水位低3厘米记作什么？比较上述问题中的两组数据，除了发现它们表示具有相反意义的量之外，你还有什么发现吗？【说明与建议】　说明：用正负数表示具有相反意义的量，并发现特殊的一对数，从而为本节课的学习做好铺垫．建议：引导学生通过类比的方法，完成上述两个问题的解答．然后教师总结这些问题的共性，即实际生活中存在着许多具有相反意义的量，因此产生了正数与负数，并且像＋3与－3这样的一对数较为特殊，比较后发现两数只有符号不同，从而引出新课．命题角度1　相反数的概念1．若一个数的相反数是－eq \f(2,3)，则这个数是(C)A．－eq \f(3,2) B.eq \f(3,2) C.eq \f(2,3) D．－eq \f(2,3)2．如图，数轴上表示3的相反数的点是(A)A．M B．N C．P D．Q3．＋3eq \f(1,2)与－3eq \f(1,2)互为相反数，只有0的相反数是它本身．命题角度2　多重符号化简4．－(－3)化简后是(B)A．－3 B．3 C．±3 D．以上都不对5．化简下列各数：(1)－(＋3.5)；(2)－{－[＋(－eq \f(2,3))]}．解：(1)－(＋3.5)＝－3.5.(2)－{－[＋(－eq \f(2,3))]}＝－[－(－eq \f(2,3))]＝－eq \f(2,3).续表续表1.2.4　绝对值“绝对值”是七年级数学教材上册1.2.4节内容．在此之前，学生已学习了有理数、数轴、相反数等基础内容，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用．绝对值不仅可以使学生加深对有理数的认识，还为以后学习两个负数比较大小以及有理数的运算作好必要的准备！所以说本讲内容在有理数这一节中，占据了一个承上启下的位置．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【激趣导入】六尺巷故事：清康熙年间，宰相张英的老家人与邻居吴家在宅地的问题上发生了争执，谁也不肯相让．后来张家人千里传书到京城求救．张英收书后批诗一首，云：一纸书来只为墙，让他三尺又何妨．长城万里今犹在，不见当年秦始皇．张家人豁然开朗，退让了三尺．吴家见状深受感动，也让出三尺，形成了一个六尺宽的巷子．用数轴表示出两家人退让之后形成的巷子宽度如下：【说明与建议】　说明：通过创设故事情境，活跃课堂气氛，调动学生的学习兴趣，激发学生的学习欲望，为引入绝对值的概念做准备，为下面的教学做好铺垫．建议：先留给学生自主思考的时间，然后教师引导学生进行分析相反数在数轴上的表示，为进一步学习积累数学活动经验．【情景导入】星期天，黄老师从学校出发，开车去游玩，她先向东行20千米，到陈家峪，下午她又向西行30千米，回到家中(学校、陈家峪、黄老师家在同一直线上)，规定向东的方向为正方向．(1)用有理数表示黄老师两次所行的路程；(2)如果汽车行驶1千米耗油0.15升，计算这天汽车共耗油多少升．【说明与建议】　说明：通过创设问题情境，活跃课堂气氛，调动学生的学习兴趣，激发学生的学习欲望，为引入绝对值的概念做准备，并使学生体验数学知识与生活实际的联系，为下面的教学做好铺垫．建议：先留给学生自主思考的时间，然后教师引导学生进行分析，为进一步学习积累数学活动经验．命题角度1　求绝对值1．如果一个数的绝对值是3，那么这个数是(A)A．±3 B．－3 C．±eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)2．2024年4月，乒乓球世界杯在澳门举行，比赛用的乒乓球质量有严格的规定，但实际生产的乒乓球的质量可能会有一些偏差．以下检验记录(“＋”表示超出标准质量，“－”表示不足标准质量)中，其中最接近标准质量的是(C)A.1号 B．2号 C．3号 D．4号3．化简：－|＋(－3.5)|＝－3.5．命题角度2　绝对值的性质4．我们知道，|5|＝|5－0|，它在数轴上的意义是：表示5的点与原点(即表示0的点)之间的距离．又如式子|6－3|，它在数轴上的意义是：表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子|a－(－5)|在数轴上的意义是表示a的点与表示－5的点之间的距离．5．已知m，n满足|m－2|＋|n－4|＝0，则m＋n＝6．绝对值以及绝对值符号的溯源绝对值这个概念是七年级接触的第一个最具代数特征的数学概念，这个概念的确立距今已经一百多年．绝对值概念的产生是基于解析几何的需要，也就是说目的是表达数轴或坐标系条件下的距离概念，而这个概念的产生距离正负数的出现足足晚了1 400多年，绝对值的概念是由德国著名数学家魏尔斯特拉斯首先引用的．绝对值符号的由来来源于计算机，在计算机中为了能更好地进行表达，研究出了不少的符号，而这种符号的应用就成为一大关键．在1841年魏尔斯特拉斯首次使用了这种符号，之后该符号不仅成为计算机专用的符号类型，并且也载入了书本中，成为表达绝对值的一种方式，这种表达方式为“||”，既简单也很直接，并且在计算机中使用也很直观，当然在使用的时候也是有相关规定的．续表续表续表详见电子资源1.2.5　有理数的大小比较本节内容是绝对值概念的应用，主要是两个负数的比较大小．可以体现数形结合，分类讨论的思想方法，也为有理数的运算作好必要的准备．所以说本讲内容在有理数这一节中，占据了一个承上启下的位置．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【置疑导入】在小学里，我们已学会比较两个正数的大小，那么，引进负数以后，怎样比较任意两个有理数的大小呢？例如，2与－3哪个大？－4与－5哪个大？想一想：2 ℃与－3 ℃哪个温度高？－4 ℃与－5 ℃哪个温度高？这个关系在温度计上是怎样的情形？把温度计横过来放，就好比一条数轴，从中能发现在数轴上怎样比较两个有理数的大小吗？【说明与建议】　说明：结合实例使学生以轻松愉快的心情进入本节课的学习，也使学生体会到数学来源于实践，为顺利完成教学任务做好思想上的准备．建议：学生结合已给条件分组讨论、动手画图，教师可以进行适当的提示：先利用数轴比较几个正数的大小后，利用规律(数轴上右边的数总比左边的数大)再比较这两个温度的高低．【情景导入】我们已知两个正数比较大小，以及正数和0比较大小的方法，那么怎样比较任意两个有理数的大小呢？问题：请同学们观察教材第14页思考中的图，回答下面问题：(1)题目中涉及14个不同的气温，你能把这14个数用数轴上的点表示出来吗？(2)最低气温是多少？最高气温是多少？(3)你能将这七天中的最低气温按照从高到低的顺序排列吗？【说明与建议】　说明：从常见的气温入手，激发学生的求知欲望，用来源于学生身边的问题吸引他们的注意力，激发他们的好奇心，体会数学来源于生活并服务于生活，诱发学生对新知识的需求．建议：通过学生自己动手操作、观察、思考，让学生亲身体验探索的乐趣，在探究中不知不觉获得了知识，为本节课的学习做好铺垫．教师可以通过以下问题去引导学生：两个负数，绝对值大的就大吗？也可以再举出一两个例子进行说明．命题角度1　利用数轴比较大小1．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中绝对值最小的数对应的点是B．2．将下列各数表示在数轴上，并用“＞”连接．5，－2，3，－eq \f(1,2)，0.解：如图所示：由数轴上右边的数大于左边的数可知：5>3>0>－eq \f(1,2)>－2.命题角度2　利用法则比较大小3．(宁夏中考)下列各数中，比－3小的数是(D)A．1 B．0 C．－2 D．－44．(淄博中考)下表是几种液体在标准大气压下的沸点，则沸点最高的液体是(A)A.液态氧 B．液态氢 C．液态氮 D．液态氦5．比较大小：－|－2eq \f(2,3)|>－eq \f(11,4)(填“>”“0），,0 （a＝0），,－a （a0），,0（a＝0），,－a（a3，2>－3，0>－1.所以，我们得到结论：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．即又由于正数在零的右边，负数在零的左边，由此得到以下的比较法则：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．2．利用绝对值比较两个负数的大小发现、总结(1)在数轴上，画出表示－2和－5的点，这两个数中哪个较大？再找几对类似的数试一下，从中你能概括出直接比较两个负数大小的法则吗？(2)我们发现：两个负数，绝对值大的反而小．这样，比较两个负数的大小，只要比较它们的绝对值的大小就可以了．例如，比较两个负数－4和－3的大小：(1)先分别求出它们的绝对值：|－4|＝4，|－3|＝3.(2)比较绝对值的大小：4>3(3)－4－2.(2)先求绝对值，|－3|＝3，|－7|＝7.因为3－2，即－(－1)>－(＋2)．(4)先化简，－(－0.5)＝0.5，|－1.5|＝1.5.因为0.5－y>0>y>－x.【变式训练】1．比较－eq \f(7,8)和－eq \f(6,7)；－|－(＋5)|和－[－(＋5)]的大小，并写出比较过程．解：－eq \f(7,8)