陕西省2026八年级数学下册第一章三角形的证明学情评估试卷（附答案北师大版）

这是一份陕西省2026八年级数学下册第一章三角形的证明学情评估试卷（附答案北师大版），共11页。
第一章　学情评估卷一、选择题(共8小题，每小题3分，共24分)1．若一个等腰三角形的顶角为30°，则这个等腰三角形的底角为(　　)A．30° B．50° C．65° D．75°2．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是(　　)A．1，2，3 B．1，eq \r(3)，eq \r(2) C.eq \r(3)，2，eq \r(5) D．5，6，73．下列命题的逆命题是真命题的是(　　)A．对顶角相等 B．等边三角形是轴对称图形C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的对应边相等4． 如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥AC交AB于点E，若∠BED＝64°，则∠ADE的度数是(　　)A．23° B．26° C．30° D．32° (第4题) (第5题) (第6题)5．如图，射线OC平分∠AOB，点D，Q分别在射线OC，OB上，若OQ＝4，△ODQ的面积为10，过点D作DP⊥OA于点P，则DP的长为(　　)A．10 B．5 C．4 D．36．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC，BA于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于eq \f(1,2)DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，作射线BP交AC于点F。已知CF＝3，AF＝5，则BF的长为(　　)A．3eq \r(5) B．2eq \r(5) C．4 D．4eq \r(2)7. 小华新买了一条跳绳，如图①，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲90°，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度。将图①抽象成图②，若两手握住的绳柄两端的距离约为1 m，小臂到地面的距离约为1.2 m，则适合小华的绳长为(　　)A．2.2 m B．2.4 m C．2.5 m D．2.6 m8. 尺规作图源于古希腊的数学课题，蕴含着丰富的几何原理。如图，在△ABC中，∠ACB＝80°，按如下步骤尺规作图：①以点B为圆心，BC的长为半径作弧交边AB于点D；②以点A为圆心，AD的长为半径作弧交AC于点E；③连接CD与DE。则∠CDE的度数是(　　)A．50° B．55° C．70° D．80°二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)9．用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角小于或等于45°”，应先假设_________________________________________________________。10．如图，在等边三角形ABO中，点A在第二象限，点B的坐标为(－1，0)，若正比例函数y＝kx的图象经过点A，则k的值为________。　　 (第11题) (第12题) (第13题) (第14题)11．如图，在△ABC中，AB>AC，D是BC延长线上一点，过点D的直线分别交AB，AC于点E，F，若∠B＝x°，∠ACB＝y°，∠1＝∠2，则∠D＝________°(用含x，y的代数式表示)。12．如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC＝∠EDC＝68°，∠AEB＝94°，则∠EBD的度数为________。13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是边BC上一点，DE是线段AC的垂直平分线，交AC于点E，AE＝AB，则∠C的度数为________。14．如图，等腰三角形ABC的底边BC＝12，面积为48，点F在边BC上，且BF＝3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为________。三、解答题(共6小题，共58分)15．(8分)如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF。(1)求证：△ACE≌△BDF；(2)若AB＝8，AC＝2，求CD的长。16．(8分)如图，在四边形ABCD中，已知BC＝CD＝4，CD⊥BC，垂足为C，AD＝eq \r(17)，AB＝7，求∠ADC的度数。17.(7分)如图，在△ABC中，∠B＝30°，请用尺规作图法，求作一个等边三角形CDE，使得D，E两点在边AB上。(保留作图痕迹，不写作法)18．(10分)如图，早上8：00，一艘轮船以15 n mile/h的速度由南向北航行，在点A处测得小岛P在北偏西15°方向上，到上午10：00，轮船在点B处测得小岛P在北偏西30°方向上，若轮船不改变方向，则轮船继续向前航行至何处时距离小岛P最近？最近距离是多少海里？19．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝50°，点D在线段BC上运动(不含端点)，连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于点E。(1)当线段DC的长为何值时，△ABD≌△DCE；(2)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由。20．(15分)【问题提出】学习了三角形的角平分线的定义之后，我们把三角形的三条内角平分线的交点叫作三角形的内心。(1)如图①，已知△ABC的周长和面积都为30，点O是△ABC的内心，求点O到边AB的距离；【问题探究】(2)如图②，在四边形ABCD中，AB＝4，∠DAB＝∠ABC＝90°，以AB为边作等边三角形ABE，使得点E在边CD上，且∠BEC＝30°，点F是等边三角形ABE的内心，求点F到边CD的距离；【问题解决】(3)如图③所示的四边形ABCD为某公园的平面图，市政府计划在公园内部修建一个三角形广场即△ABE，点E到AB的距离为60 m，在三角形广场ABE的边上装满彩灯，并在△ABE的内心F处修建喷泉供人们观赏，现需从喷泉F处到边CD上修建一条最短的地下水渠以便抽水。已知AB＝2BC＝80 m，AD＝100 m，∠DAB＝∠ABC＝90°，据了解，彩灯每米30元，修建水渠每米60元，当彩灯费用最少时，求装满彩灯和修建水渠的总花费。(结果保留根号)答案一、1.D　2.B　3.D　4.D　5.B　6.A7．D　8.A二、9.直角三角形中两个锐角都大于45°10．－eq \r(3)　11.eq \f(y－x,2)　12.138°　13.30°　14.eq \r(73)＋3三、15.(1)证明：在△ACE和△BDF中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ACE＝∠BDF，,∠A＝∠B，,AE＝BF，)) ∴△ACE≌△BDF(AAS)。(2)解：∵△ACE≌△BDF，AC＝2，∴BD＝AC＝2。又∵AB＝8，∴CD＝AB－AC－BD＝4。16．解：连接BD，如图所示。∵BC＝CD＝4，CD⊥BC，∴∠BDC＝45°，BD2＝BC2＋CD2＝32。∵AD＝eq \r(17)，AB＝7，∴AD2＝17，AB2＝49。∵AD2＋BD2＝17＋32＝49＝AB2，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠BDC＋∠ADB＝45°＋90°＝135°。17．解：如图所示，△CDE即为所求。18．解：如图，过点P作PD⊥AC于点D，依题意得AB＝15×2＝30(n mile)，∠PAB＝15°，∠PBC＝30°，∴∠APB＝∠PBC－∠PAB＝30°－15°＝15°，∴∠APB＝∠PAB，∴PB＝AB＝30 n mile。在Rt△PBD中，∠PBD＝30°，∴PD＝eq \f(1,2)PB＝15 n mile，∴BD＝eq \r(PB2－PD2)＝eq \r(302－152)＝15 eq \r(3)(n mile)。即若轮船不改变方向，则轮船继续向前航行至距离B处15 eq \r(3) n mile时，距离小岛P最近，最近距离是15 n mile。 19．解：(1)当DC＝2时，△ABD≌△DCE。理由如下：∵AB＝AC＝2，DC＝2，∠B＝50°，∴AB＝DC，∠C＝∠B＝50°。∵∠ADE＝50°，∴∠BDA＋∠CDE＝130°。∵∠C＝50°，∴∠CED＋∠CDE＝130°，∴∠BDA＝∠CED，∴△ABD≌△DCE(AAS)。(2)△ADE的形状可以是等腰三角形，∠BDA的度数为115°或100°，分情况如下：①当AD＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝eq \f(180°－50°,2)＝65°，∴∠BDA＝∠DAC＋∠C＝65°＋50°＝115°；②当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝50°，此时，点E与点C重合，点D与点B重合，不合题意，∴AD≠AE；③当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝50°，∴∠BDA＝∠DAE＋∠C＝50°＋50°＝100°。∴当∠BDA的度数为115°或100°时，△ADE的形状可以是等腰三角形。20．解：(1)分别过点O作OD⊥AC，OF⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为D，F，E，连接OA、OB、OC，如图①。∵点O是△ABC的内心，∴OD＝OF＝OE，S△AOC＝eq \f(1,2)AC·OD，S△BOC＝eq \f(1,2)×BC·OF，S△AOB＝eq \f(1,2)AB·OE。∵△ABC的周长为30，∴AC＋BC＋AB＝30。又∵△ABC的面积为30，∴S△AOC＋S△BOC＋S△AOB＝eq \f(1,2)AC·OD＋eq \f(1,2)BC·OF＋eq \f(1,2)AB·OE＝eq \f(1,2)(AC＋BC＋AB)·OE＝eq \f(1,2)×30×OE＝30，解得OE＝2，即点O到边AB的距离为2。(2)如图②，过点F作FN⊥DC于点N，连接EF并延长交AB于点M，连接AF，∵△ABE是等边三角形，∴∠AEB＝∠EAB＝60°，AE＝AB＝4。∵点F是等边三角形ABE的内心，∴EM平分∠AEB，AF平分∠EAB，∴EM⊥AB，AM＝MB＝eq \f(1,2)AB＝2，∠FAM＝eq \f(1,2)∠EAB＝30°，∠FEB＝eq \f(1,2)∠AEB＝30°，∴EM＝eq \r(AE2－AM2)＝2eq \r(3)。∵∠AMF＝90°，∠FAM＝30°，∴AF＝2FM，∴MF2＋AM2＝AF2，即MF2＋22＝(2MF)2，解得MF＝eq \f(2\r(3),3)(负值舍去)，∴EF＝EM－MF＝2eq \r(3)－eq \f(2\r(3),3)＝eq \f(4\r(3),3)。∵∠FEB＝30°，∠BEC＝30°，∴∠FEC＝∠FEB＋∠BEC＝60°。∵FN⊥CD，∴∠ENF＝90°，∴∠NFE＝30°，∴EN＝eq \f(1,2)EF＝eq \f(2\r(3),3)，∴FN＝eq \r(EF2－EN2)＝2，即点F到边CD的距离为2。(3)如图③，在边AD上取一点P，使AP＝60 m，过P点作直线GH∥AB，则直线PH与AB间的距离为60 m，∴点E在直线GH上。∵GH∥AB，DA⊥AB，∴DA⊥GH。延长PD至A′，使PA′＝PA＝60 m，则点A′与点A关于直线GH对称。连接A′B交直线GH于点E，则EA＋EB＝EA′＋EB＝A′B，则C△EAB＝A′B＋AB，∵两点之间线段最短，∴此时△EAB的周长最小。由勾股定理得A′B＝eq \r(AA′2＋AB2)＝eq \r(1202＋802)＝40eq \r(13)(m)，∴C△EAB＝(40eq \r(13)＋80)m。过点E作EM⊥AB于点M，则∠EMB＝90°，EM＝60 m，∵GH∥AB，∴∠A′EP＝∠EBM。又∵∠A′PE＝∠EMB＝90°，A′P＝EM＝60 m，∴△A′PE≌△EMB(AAS)，∴A′E＝EB＝eq \f(1,2)A′B＝20eq \r(13) m，∴AE＝EB＝20eq \r(13) m，∴EM平分∠AEB，且AM＝MB＝eq \f(1,2)AB＝40 m，∴点F在EM上。由(1)知S△EAB＝eq \f(1,2)C△EAB·FM＝eq \f(1,2)AB·EM，∴C△EAB·FM＝AB·EM，∴(40eq \r(13)＋80)·FM＝80×60，解得FM＝eq \f(40\r(13)－80,3) m。如图④，作CQ⊥DA于点Q，则易得AQ＝BC＝eq \f(1,2)AB＝40 m，QC＝AB＝80 m，∴DQ＝DA－AQ＝60 m，∴DC＝eq \r(DQ2＋QC2)＝100 m。作FN⊥DC于点N，连接FA、FB、FC、FD，作FI⊥DA于点I，FJ⊥BC于点J，则FI＝40 m，FJ＝40 m，∵S△ADF＋S△ABF＋S△BCF＋S△CDF＝S梯形ABCD，∴eq \f(1,2)AD·FI＋eq \f(1,2)AB·FM＋eq \f(1,2)BC·FJ＋eq \f(1,2)CD·FN＝eq \f(1,2)(AD＋BC)·AB，∴AD·FI＋AB·FM＋BC·FJ＋CD·FN＝(AD＋BC)·AB，∴100×40＋80×eq \f(40\r(13)－80,3)＋40×40＋100FN＝(100＋40)×80，解得FN＝eq \f(232－32\r(13),3) m，∴总费用为(40eq \r(13)＋80)×30＋eq \f(232－32\r(13),3)×60＝(7 040＋560eq \r(13))元。