2026年八年级下册北师版数学电子教案 第一章 三角形的证明及其应用

这是一份2026年八年级下册北师版数学电子教案 第一章 三角形的证明及其应用，共67页。
 ○ 名校课堂 · 新教案 · 数学 · 八年级下 ·1(BS) ◎0◎ 本章教材分析 本章将在“平行线的证明”的基础上，进一步证明：三角形内角和定理、“AAS” 定理、三角形内角和定理 的推论、多边形内角和与外角和定理，以及等腰三角形、直角三角形、线段的垂直平分线、角平分线的性质与 判定定理，还将研究直角三角形全等的特殊判定方法“HL”, 同时介绍了 一种新的证明方法 — — 反证法 .在 这一过程中，将深化学生对几何证明的认识，让学生经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要 性，逐步养成重论据、合乎逻辑的思考和表达习惯，发展几何直观、推理能力.1 三角形内角和定理第 1 课 时 三角形内角和及“AAS”定理的证明 备课素材 新课导入设计【质疑导入】出示下面的投影片：图1图2图3工人师傅将凹型零件(图1)加工成斜面 EC 与槽底 CD 成55°的燕尾槽底角(图2)的程序是：将垂直的 铣刀倾斜偏转35°角(图3),就能得到55°的燕尾槽底角.为什么铣刀偏转35°角，就能得到55°的燕尾槽底角呢? 教学设计 教学活动 课题第1课时 三角形内角和及“AAS”定理的证明授课人素养目标1.掌握“三角形内角和定理”的证明及简单的应用.2.尝试用相关的基本事实和学习过的定理证明“AAS”.3.通过对三角形内角和定理的证明的探索，培养创造性，弘扬个性发展，体验解决问题的成就感，感悟逻辑推理 的数学价值.教学重点理解三角形内角和定理及其简单的应用.教学难点三角形内角和定理的证明中辅助线的添加.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图活动一：创 设情境、导 入新课【课堂引入】师：引导学生重温三角形三个内角的和等于180°的探索过程. 生：用撕纸验证三角形内角和是180°.让学生小组讨论：如何证明三角形内角和为180°?通过问题引入，激发学生的学习兴趣，同时使学生认识到，测量的方法只能进行有限次验证，并不能对所有的三角形进行验证，所以必须寻找一种能说明所有三角形的内角和 都等于180°的方法，为后 面的证明做准备. 名校课堂 · 同步练习全国领导者 ◎0 续表教学步骤师生活动设计意图活动二：实践探究、交 流新知【探究新知】证明三角形内角和为180°,讨论得出以下方法：1.培养学生的多元化思 维，让学生体验充满探索 性的数学活动.2.通过对三角形内角和定 理的证明，培养学生的逻 辑推理能力.3.让学生用已学过的三角 形内角和及“ASA”定理去 证明“AAS”,加强学生对 知识的运用能力.已知：如图，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°.证明：作BC的延长线CD,过点C作射线 CE//BA,则∠ACE=∠A(两直线平行，内错角 相等),∠ECD=∠B(两直线平行，同位角相 等) .∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(平角的定义),∴∠ACB+∠A+∠B=180°(等量代换),即∠A+∠B+∠C=180°. 师：出示教材第3页“思考 · 交流”.生：讨论得出证明过程.师：还有其他方法吗?讨论得出，还有如图所示的方法，证明过程略.师：出示教材第4页“尝试 ·思考”,引导学生利用有关的基本事实和已经 学习过的定理证明“AAS”.已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.求证：△ABC≌△DEF.证明：∵∠A+∠B+∠C=180°,∠D+∠E+∠F=180°(三角形内角和等于180°),∴∠C=180°—(∠A+∠B),∠F=180°—(∠D+∠E).又∵∠A=∠D,∠B=∠E(已知),∴∠C=∠F.又∵BC=EF(已知),∴△ABC≌△DEF(ASA).活动三：开放训练、体 现应用【典型例题】例(教材第3页例1)如图，在△ABC中，∠B=38°,∠C=62°,AD是1.通过典型例题的学习， 进一步巩固新知，培养学 生的思维习惯.△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理). ∵∠B=38°,∠C=62°,∴∠BAC=180°—38°—62°=80°.∵AD平分∠BAC,在△ADB中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形内角和定理).∵∠B=38°,∠BAD=40°,∴∠ADB=180°—38°—40°=102°.师生活动：学生独立思考并分小组讨论，教师注意引导学生在遇到角问题 时在图中进行角度标记，方便求解. ○名校课堂 · 新教案 · 数学 · 八年级下 ·1(BS)◎00 续表教学步骤师生活动设计意图活动三：开放训练、体 现应用【变式训练】1.如图，某位同学将一副三角板随意摆放在桌上，则图中∠1+∠2= (C)2.让学生经历运用知识解 决问题的过程，给学生充 足的空间，激发其学习的 积极性，建立学好数学的 自信心 .3.变式训练结合前面所学 利用三角形内角和解决 问 题 .A.70°B.80°C.90°D.100°2.如图，BP,CP分别平分∠ABC,∠ACB,请你探索∠A和∠P的数量关系.解：∵BP平分∠ABC(已知),同理可得∵∠P+∠PBC+∠PCB=180°,∴∠P=180°-∠PBC-∠PCB(等式的性质)等量代换)师生活动：学生独立思考并作答，教师进行提问并及时对回答正确的同学 予以肯定.活动四：课 堂检测【课堂检测】1.如图，AD,AE分别是△ABC的高和角平分线.若∠B=30°,∠C=50°,则∠DAE的度数为 (A)A.10° B.15° C.20° D.25°第1题图 第2题图2.如图，x的值为60.3.在△ABC中，已知∠B=∠A+10°,∠C=∠B+25°,求∠A的度数.解：∵∠B=∠A+10°,∠C=∠B+25°,∴∠C=∠A+10°+25°=∠A+35°.由三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C=180°, ∴∠A+∠A+10°+∠A+35°=180°,解得∠A=45° . ◎ ○ 名校课堂 · 同步练习全国领导者 ◇ 续表详见电子资源教学步骤师生活动设计意图活动四：课 堂检测4.如图，∠A=∠BCD,CA=CD,点E在BC上，且DE//AB.求证：AB=EC.针对本课时的主要问题， 分层次进行检测，让学生 达到学有所成、了解课堂 学习效果的目的.证明：∵DE//AB,∴∠DEC=∠ABC.在△ABC和△CED中，∴△ABC≌△ CED(AAS). ∴AB=EC.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.课堂小结1.课堂小结：(1)你在本节课中有哪些收获?哪些进步?(2)学习本节课后，还存在哪些困惑?2.布置作业：教材第4页随堂练习第1,2题.小结环节的设置能够让学 生养成自主归纳课堂重点 的习惯，提高学生的学习 能力 .板书设计第1课时 三角形内角和及“AAS”定理的证明 1.三角形内角和定理的证明.2.三角形内角和定理的应用.3. “AAS”定理的证明.提纲挈领，重点突出.教学反思通过回顾三角形内角和等于180°的探索过程，创设问题情境，把问题作为 教学的切入点，引发学生思考，激发学生的学习兴趣，既明确了本节课的主要内 容，又使得学生认识到证明的必要性.为了展示重点，突破难点，让学生自己去 发现、去联想，充分发挥学生的主观能动性.通过学生自己动手得到两个定理的 证明，可以使他们比较好地掌握知识，提升学习的兴趣.在这个教学过程中，利 用多种教学方法，引导学生自然而然地融入学习氛围，把学生从被动学习变成 主动学习.反思，更进一步提升.◎ 名校课堂 · 新教案 · 数学 · 八年级下 ·1(BS)《第 2 课 时 三角形内角和定理的推论 备课素材 》新课导入设计【质疑导入】如图所示的是用A,B 两块较长钢板搭建的人字架，资料表明，当∠1=70°,∠3=110°时，人字架最稳 定.由于客观原因，∠3不可能度量，那么∠2为多少度时，人字架最稳定? 教学设计 教学活动 课题第2课时 三角形内角和定理的推论授课人素养目标1.掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明.2.体会几何中不等关系的简单证明过程，并从内和外、相等和不相等的不同角度对三角形进行更全面的思考. 培养学生勇于探索数学问题的兴趣和信心.教学重点掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明.教学难点灵活地运用推论进行简单的证明.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.三角形内角和定理是什么?2.邻补角的定义是什么?通过回顾旧知为学习新知 做好准备.活动一：创设情境、导 入新课【课堂引入】如图，把△ABC的一边BC延长至点D,则∠ACD是三角形的内角吗?这 个角与△ABC的三个内角有什么关系?通过提问，激发学生的学 习兴趣，引出本节课课题.活动二：实践探究、交 流新知【探究新知】1.三角形的外角的定义如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线 组成的角，称为△ABC的外角.把三角形各边向两端延长，就可以画出一个三角形所有的外角.可以得到： 一个三角形有6个外角，其中有三个与另外三个相等，所以研究时，只讨论不同 顶点处的三个外角的性质. 名校课堂 · 同步练习全国领导者◎0 续表教学步骤师生活动设计意图活动二：实践探究、交 流新知2.三角形内角和定理的推论如图所示，∠1是△ABC的一个外角，∠1与图中的其他角有什么关系呢?能证明你的结论吗?∵∠1+∠4=180°,∠2+∠3+∠4=180°,∴∠1=180°-∠4,∠2+∠3=180°-∠4.∴∠1=∠2+∠3,又由正数之和大于任何一个加数，可得：∠1>∠2,∠1>∠3.归纳：推论 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.推论 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.在这里，我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理，像这样，由一 个基本事实或定理直接推出的定理，叫作这个基本事实或定理的推论.1.培养学生从特殊到一般 转化的思想.2.通过思考、交流、论证， 最后归纳出三角形外角的 性质，培养学生的自主探 究能力及语言表达能力.活动三：开放训练、体 现应用C【典型例题】例1(教材第5页例2)已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C,AD平分外 角∠EAC.求证：AD//BC.分析：只要具备什么条件，就能说明AD//BC?证明：∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和),∠B=∠C,∵AD平分∠EAC,∴∠DAC=∠C.∴AD//BC.例2 (教材第6页例3)已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB,PC.求证：∠BPC>∠A.分析：你学过哪些关于角的不等关系的定理?这里能直接使用吗?你遇到 的困难是什么?你能通过添加辅助线，构造出直接使用相关定理的图形吗?证明：延长BP,交AC于点D.∵∠BPC是△PDC的一个外角(外角的定义),∴∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角大于任何一 个与它不相邻的内角).∵∠PDC是△ABD的一个外角(外角的定义),∴∠PDC>∠A(三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角)。∴∠BPC>ZA.师生活动：学生分小组讨论，派学生代表进行回答，在学生讨论过程中教师 巡堂并给予学习有困难的学生指导和帮助，最后由教师完成讲解并给出详细解 答过程.加强学生对三角形外角性 质的综合运用能力. ○ 名校课堂 ·新教案 ·数学 ·八年级下 ·1(BS)◎◎◎ 续表教学步骤师生活动设计意图活动三：开放训练、体 现应用【变式训练】如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E .(1)若∠B=36°,∠E=24°,求∠BAC的度数；(2)求证：∠BAC=∠B+2∠E.解：(1)∵∠B=36°,∠E=24°,∴∠ECD=∠B+∠E=60°.∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠ECD=60°.∴∠BAC=∠ACE+∠E=84°.(2)证明： ∵CE平分∠ACD,∴∠ECD=∠ACE.∵∠BAC=∠E+∠ACE,∴∠BAC=∠E+∠ECD.∵∠ECD=∠B+∠E,∴∠BAC=∠E+∠B+∠E.∴∠BAC=2∠E+∠B.师生活动：学生分小组交流并解答，教师提问并对采用不同的方法进行解 答的同学给予及时肯定.活动四：课 堂检测【课堂检测】1.如图，在△ABC中，点D在CB的延长线上，∠A=70°,∠ABD=120°,则∠C 等于 (B)A.40° B.50°C.60° D.70°2.若三角形的一个外角等于和它相邻的内角，则这个三角形是 (B)A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.都有可能通过设置当堂检测，让学 生进一步巩固新知，及时 检测学生的学习效果，做 到“堂堂清”. ◎ ○ 名校课堂 · 同步练习全国领导者◎◎◎ 续表经典导学设计 详见电子资源教学步骤师生活动设计意图活动四：课 堂检测3.如图，∠1,∠2,∠3的大小关系为 ( D)第3题图 第4题图4.如图，在△ABC中，∠A=63°,直线MN//BC,且分别与AB,AC相交于点D,E.若∠AEN=133°,则∠B的度数为70°.师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.课堂小结1.课堂小结：(1)你在本节课中有哪些收获?哪些进步?(2)学习本节课后，还存在哪些困惑?2.布置作业：教材第6页随堂练习第1,2题.小结环节的设置能够让学 生养成自主归纳课堂重点 的习惯，提高学生的学习 能力 .板书设计第2课时 三角形内角和定理的推论1.三角形的外角与内角之间的关系.2.探索三角形的外角之间的关系.提纲挈领，重点突出.教学反思从生活实例中发现三角形的外角，让学生感受到数学与我们生活的紧密联 系，充分调动学生的好奇心与探索欲.引导学生发现三角形外角和内角的关系， 让学生能较好地接受、理解相关的概念和性质，并体会数学证明的严谨性.学生 课堂上对知识的直观认识较好，反馈积极，并在教师的引导下思考推理证明的方法，教师真正在课堂上起到了思维的引导作用，而学生的积极思考使得知识 的重难点得到有效突破.反思，更进一步提升.名校课堂 · 新教案 · 数学 · 八年级下 ·1(BS)◎0◎第 3 课 时 多边形的内角和备 课 素 材新课导入设计【复习导入】问题1:如图①,三角形三个内角的和等于多少度?问题2:如图②③,正方形、长方形的内角和等于多少度?问题3:如图④,对于一般的四边形，它的内角和是否也等于360°?你是怎么得到的?①②③ ④思路1:用量角器测量.思路2:把四个角剪下来，可以拼成一个周角.思路3:如图，连接一条对角线，把四边形分割成两个三角形，两个三角形的内角和就是360°.【情境导入】下图中广场中心的边缘是一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗?与同伴交流.数学文化拓展阅读诸葛八卦村“诸葛八卦村”位于浙江金华兰溪城西18千米，古称“高隆”,村中有3000余人是诸葛亮嫡传后裔，为全 国最大的诸葛亮后裔集中聚居地.村落格局按九宫八卦图而建，整体布局以村中钟池为中心，全村房屋呈放射状排列，向外延伸八条弄 堂，将全村分为八块.村内弄堂似通非通，似连非连，曲折巧妙.全村呈八卦形，房屋、街巷的分布走向恰好与 史料中记载的诸葛亮九宫八卦阵格局暗合.诸葛村已被批准为国家级重点文物保护单位.村里有建于明代、现仍保存完好的大公堂、丞相祠堂等景 点，民居均为建于明清的古建筑，雕梁画栋，古朴典雅，构成了一处颇具规模的建筑群.诸葛八卦阵式的排列 变幻莫测，奥妙无穷，大有可观赏之处.你能算出八卦图的内角和吗?◎ ○ 名校课堂 · 同步练习全国领导者《教学设计教学活动 课题第3课时 多边形的内角和授课人素养目标1.掌握多边形内角和定理，进一步了解转化的数学思想.2.经历探索多边形的内角和公式的过程，会应用公式解决问题.3.学生通过类比、转化、推理等探究活动，体验成功的快乐，感受研究数学的乐趣.教学重点多边形内角和公式的探索和应用.教学难点将多边形转化为三角形，并找出它们的关系，转化的数学思想方法的渗透.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.三角形的内角和是多少度?与形状、大小有关吗?2.你是怎样得到的?回顾所学知识，并与将要 学习的新知识联系起来.活动一：创设情境、导 入新课【课堂引入】下图中广场中心的边缘是一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和 吗?与同伴交流.激发学生的学习兴趣，为 接下来的探究做铺垫，让 学生在不知不觉中感受学 习数学的乐趣.活动二：实践探究、交 流新知【探究新知】1.五边形的内角和问题：八年级学生小刚和小红利用图中的图形求出了五边形的五个内角的 和，他们是怎么做的?还可以怎么做?图 1 图2先观察图形，引导学生思考回答，让学生充分地展开讨论，理解解题思路，探索求五边形的内角和的不同方法，对于学生举出的不同方法，教师要在肯定 的基础上予以点评. ○ 名校课堂 ·新教案 ·数学 ·八年级下 ·1(BS)《 ◎◎ 续表教学步骤师生活动设计意图活动二：实践探究、交 流新知2.探究多边形的内角和多边形 边数图形从一个顶点 引出的对角线条数分割成的 三角形 个数多边形的 内角和三角形(n=3)四边形(n=4)五边形(n=5)六边形(n=6)……………n边形总结：从n边形的一个顶点可以引出(n-3)条对角线，把n边形分成(n— 2)个三角形，从而得出：n边形的内角和是(n—2) · 180°.活动三：开放训练、体 现应用【典型例题】例 剪掉一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个角?这个多边形的内 角和是多少度?解：如图，剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加1,也可能减少1,或者 不变 .通过习题拓宽视野，提升 能力，且让学生进一步理 解多边形问题的解决常运 用转化的数学思想.图 1 图2图3如图1,当截线为经过长方形对角2个顶点的直线时，剩余图形是三角形，内角和为180°;如图2,当截线为经过长方形一个顶点和一条边的直线时，剩余图形是四边形，内角和为360°;如图3,当截线为经过长方形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形，内角和为540° . ◎ ○ 名校课堂 · 同步练习全国领导者 续表经典导学设计 详见电子资源教学步骤师生活动设计意图活动三：开放训练、体 现应用【变式训练】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°,那么原多 边形的边数为 ( D)A.5 B.5或6C.5或7 D . 5或6或7师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.活动四：课 堂检测【课堂检测】1.十边形的内角和为 ( B) A.360° B.1440° C.1800° D.2160°2.若一个多边形的内角和是1080°,则这个多边形的边数为 ( C) A.6 B.7 C.8 D.103.已知在四边形ABCD中，∠A,∠B,∠C,∠D的度数比为1:3:3:5,则∠D =150°.4.已知两个多边形的内角和为1080°,且这两个多边形的边数之比为2:3,求 这两个多边形的边数.解：设这两个多边形的边数分别为2x和3x.由题意，得(2x—2) · 180+(3x-2) · 180=1080,解得x=2.故这两个多边形的边数分别是4和6.师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.针对本课时的主要内容， 进行强化检测，达到检验 课堂学习效果的目的.课堂小结1.课堂小结：(1)你在本节课中有哪些收获?(2)你学习本节课后，还存在哪些困惑?2.布置作业：教材第8页随堂练习.注重课堂小结，激发学生 参与课堂总结的主动性， 为每一个学生的发展与表 现创造机会.板书设计第3课时 多边形的内角和1.多边形的内角和公式，即：n边形的内角和等于(n—2) · 180°,它揭示了多边 形内角和与边数之间的关系.2.正n边形的每个内角提纲挈领，重点突出.教学反思本课时通过创设生活情境引入新课，能够第一时间吸引学生的注意力，激 发学生的学习兴趣，能比较顺利地展开教学.本节课的重点知识是多边形内角 和定理，难点在于推导多边形的内角和公式，从简单的五边形入手，逐步引导到 n边形，方法灵活多样，拓宽了学生思维.教师提出问题，让学生积极地展开小组 讨论、探究，小组之间展开互相评价，对比方法的异同，学生学习兴趣更加高涨， 同时也提升了学生的语言组织能力及表达能力.反思教学过程和教师表 现，进一步提升操作流程 和自身素质.0○ 名校课堂 · 新教案 ·数学 ·八年级下 ·1(BS)◎00第 4 课 时 多 边 形 的 外 角 和 备课素材 》新课导入设计【类比导入】展示一组图片(可以是本校运动会的图片),教师做简短介绍.运动会上，你们在学校的跑道上尽情挥洒汗水，你们奋力拼搏的精神令人感动!习惯了学校里的环形跑道，绕着这个多边形跑道(如图)跑步，你会有什么样的感觉?今天我们要探究 的内容就和这些“多边形跑道”有关，让我们一起尽情体验吧! 教学设计 教学活动 课题第4课时 多边形的外角和授课人素养目标1.了解多边形的外角定义，并能准确找出多边形的外角.2.掌握多边形的外角和定理，利用内角和与外角和定理解决实际问题.3.经历探索并掌握“多边形的外角和等于360°”的过程，进一步发展合情推理能力.教学重点探索并掌握“多边形的外角和等于360°”.教学难点灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体会转化思想.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.什么是三角形的外角?2.三角形的外角有哪些性质?3.三角形的外角和为多少度?通过创设问题情境，激发 学生探究的积极性.在回 顾旧知的同时，锻炼学生 灵活应变的能力，总结出 结论 .活动一：创设情境、导 入新课【课堂引入】问题：(多媒体演示)清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方 向跑步 .(1)小明每从小路的一条边转到下一条边时，身体转过的角是哪个角? 名校课堂 · 同步练习全国领导者 ◇ 续表教学步骤师生活动设计意图活动一：创设情境、导 入新课(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少?(3)在上图中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的结果吗?你是怎样得 到的?方法一：以小明自身转过的度数计算，转过一周，刚好是360°;方法二：用量角器量出度数后计算；方法三：把各个外角都剪出来，再拼在一起，类似验证三角形内角和的方法；方法四：利用内角与相邻的外角互补的关系推理得出：∵∠1+∠EAB=180°,∠2+∠ABC=180°,∠3+∠BCD=180°,∠4+ ∠CDE=180°,∠5+∠DEA=180°,∴∠1+∠EAB+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+ ∠DEA=900°.∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,即∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA=540°,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=900°-540°=360°.问题引申：1.如果广场的形状是六边形，那么还有类似的结论吗?2.如果广场的形状是八边形呢?利用生活情境，设计问题，激发学生的兴趣和积极 性，同时给学生一定的思 考空间，很好地训练学生 的合作交流的意识和分析 问题、解决问题的能力.活动二：实践探究、交 流新知【探究新知】多边形的外角和定理根据【课堂引入】,解答问题：(1)多边形的外角与外角和的定义是什么?你能够在图上标出外角吗?(2)多边形的外角和是多少度?分析：①多边形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫作 这个多边形的外角.在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫作这 个多边形的外角和.②探究多边形的外角和，提出一般性的问题：一个任意的凸n边形，它的外 角和是多少?方法1:类似探究多边形的内角和的方法，由三角形、四边形、五边形……的 外角和开始探究；鼓励学生用多种方法解决 这个问题，可以参考活动 一中解决特殊问题的方法 去 解 决 这 个 一 般 性 的 问 题 .多边形三角形四边形五边形六边形…图形…外角和…方法2:由n边形的内角和等于(n-2) · 180°出发，探究问题.结论：多边形的外角和等于360°.活动三：开放训练、体 现应用【典型例题】例 一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形?解：设这个多边形的边数为n,则它的内角和等于(n-2) · 180°.由题意，得(n-2) · 180=5×360,解得n=12.所以这个多边形是十二边形.进一步巩固掌握多边形的 外角和定理，学会用它解 决相关问题.续表经典导学设计详见电子资源教学步骤师生活动设计意图活动三：开放训练、体 现应用【变式训练】一个正多边形的每一个内角都比相邻的外角大36°,则这个正多边形的边 数为5.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.活动四：课 堂检测【课堂检测】1.下列多边形中，内角和与外角和相等的是 ( A)A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形2.如图，小陈从点O出发，前进5m后向右转20°,再前进5m后又向右转20° ……这样一直走下去，他第一次回到出发点O时，一共走了 ( C)20A.60 m B.100 m C.90 m D.120 m3.一个正多边形，它的一个外角等于与它相邻的内角的,则这个多边形是正八边形 .4.如图，∠1,∠2,∠3,∠4是五边形ABCDE的4个外角.若∠A=120°,求∠1 +∠2+∠3+∠4的度数.解：∵与∠A相邻的外角的度数是180°—120°=60°,∴ ∠1+∠2+∠3+∠4=360°-60°=300°.师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批 阅、点评、讲解.检测学生当堂学习的效 果，提高学生分析问题和 解决问题的能力，达到了 解课堂学习效果的目的.课堂小结1.课堂小结：回顾本节课的内容，你有哪些收获?还有哪些困惑?2.布置作业：教材第9页随堂练习.注重课堂小结，激发学生 参与课堂总结的主动性， 为每一个学生的发展与表 现创造机会.板书设计第4课时 多边形的外角和.1.多边形的外角.2.多边形的外角和等于360°提纲挈领，重点突出.教学反思本节课通过五边形小路引入，由学生探究五边形外角和，让学生初步理解 多边形外角、外角和，为下面推导多边形外角和做好铺垫.本节课的重点是多边 形外角和定理，难点是灵活应用此定理解决问题.特别是涉及正多边形的问题 时，经常利用外角和定理确定边数.教师引导学生分组探究，让学生充分参与到 活动中，通过探究多边形外角和定理，训练学生的探究能力、合作能力以及语言 组织表达能力，课堂气氛热烈，效果很好.反思教学过程和教师表 现，进一步提升操作流程 和自身素质. ◎ ○名校课堂 · 同步练习全国领导者 2 等腰三角形第 1 课 时 等腰三角形的性质定理 备课素材 》新课导入设计【质疑导入】(1)如图，这是一组含有等腰三角形的生活图片，让学生感知图片主要部分形状的共同点.(2)将一把等腰三角尺和一个铅锤按如图所示方式放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗?要想解决这个问题，我们需要先研究等腰三角形具有哪些性质. 教学设计 教学活动 课题第1课时 等腰三角形的性质定理授课人素养目标1.了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式.2.能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理.3.学会从操作中得出结论，再应用证明论证得出的结论.教学重点经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，证明等腰三角形的性质定理，并能用性质定理解决相关问题.教学难点体会证明的思想，在证明的过程中体会、规范数学证明的要求和步骤.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾师：我们曾经探索过等腰三角形的性质，你还记得这些性质吗?生：等腰三角形的两个底角相等.复习回顾，做好铺垫.活动一：创设情境、导 入新课【课堂引入】如图，把一张长方形纸片沿图中虚线对折，并剪下阴影部分，再把它展开铺平，得到的三角形是什么特殊三角形?它具有哪些性质?这就是本节课我们要 研究的内容.激发学生的学习兴趣，为 接下来的探究做铺垫，让 学生在不知不觉中感受学 习数学的乐趣. ○ 名校课堂 ·新教案 ·数学 ·八年级下 ·1(BS)◎00 续表教学步骤师生活动设计意图活动二：实践探究、交 流新知【探究新知】一、等腰三角形的性质师生活动：教师演示折纸、剪纸的过程，学生观察所得三角形的形状，教师 板书课题.把剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，填入下表：重合的线段 重合的角等腰三角形ABC除两腰相等外，它的角有什么性质?用语言描述等腰三 角形的这条性质并给予证明.学生活动：学生经过观察，独立完成上表，然后小组讨论交流，从表中总结 等腰三角形的性质.教师活动：引导学生归纳.定理：等腰三角形的两个底角相等(简述为“等边对等角”).在等腰三角形ABC中，AD有几种角色?各是什么?用语言描述等腰三角 形的这条性质并给予证明.定理：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简写成 “三线合一”).如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.学生活动：学生在独立思考的基础上进行讨论，寻找解决问题的办法.若要 证明∠B=∠C,根据全等三角形的知识可以知道，只需要证明这两个角所在的三角形全等即可.教师活动：让学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推理的方式进 行证明，证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性.方法1:取BC的中点D,连接AD,构造三角形全等(SSS).证明：如图，取BC的中点D,连接AD.∵AB=AC,BD=CD,AD=AD,∴△ABD≌△ ACD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).方法2:作∠BAC的平分线，交BC边于点D,构造三角形全等(SAS).证明：如图，作∠BAC的平分线，交BC边于点D.∵AB=AC,∠1=∠2,AD=AD,∴△ABD≌△ACD(SAS).∴∠B=ZC(全等三角形的对应角相等).1.通过引导学生观察、思 考、描述、证明，使学生善 于思考、勇于发现、乐于尝 试，培养学生的语言表达 能力、观察能力和归纳能 力，使学生养成自觉探索 几何命题的良好习惯. ◇○名校课堂 · 同步练习全国领导者◎0 续表教学步骤师生活动设计意图活动二：实践探究、交 流新知二、等边三角形的性质等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么性质呢? 如图，在△ABC中，AB=BC=AC.求证：∠A=∠B=∠C=60°.证明：∵AB=AC,∴∠B=∠C(等边对等角).∵AC=BC,∴∠A=∠B(等边对等角)。∴∠A=∠B=∠C(等量代换).在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理),∴∠A=∠B=∠C=60°.归纳总结：定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.2.通过证明等边三角形的 性质，让学生进一步体会证明的必要性，牢记性质， 并能灵活应用.活动三：开放训练、体 现应用【典型例题】例1如图，在△ABC中，AB=AC=BD,DA=DC,求∠B的度数.解：设∠B=x° .∵AB=AC,∴∠C=∠B=x°.∵DA=DC,∴∠C=∠DAC=x°.∴∠ADB=∠C+∠DAC=2x°.∵AB=BD,∴∠ADB=∠BAD=2x°.在△ABD中，∠B=x°,∠ADB=∠BAD=2x°,∴x+2x+2x=180,解得x=36.∴∠B=36°.例2如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，点E在AB上，BE= BD,∠BAC=76°,求∠ADE的度数.解：∵AB=AC,∠BAC=76°,∵BD=BE,∵D是BC的中点，∴AD⊥BC. ∴∠ADB=90°.∴∠ADE=∠ADB-∠BDE=26°.1.帮助学生巩固等腰三角 形及等边三角形的性质.2.培养学生运用方程的思 想解决问题、把几何问题 转化为代数问题的能力. ○名校课堂 · 新教案 · 数学 · 八年级下 ·1(BS)《 续表教学步骤师生活动设计意图活动三：开放训练、体 现应用例3如图，已知△ABC为等边三角形，点D,E分别在边BC,AC上，且 AE=CD,AD与BE相交于点F.(1)求证：△ABE≌△CAD;(2)求∠BFD的度数.解：(1)证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAE=∠ACD=60°,AB=AC.在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD(SAS).(2)∵△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD.∵∠BAF+∠DAC=∠BAC=60°,∠BFD=∠ABE+∠BAF,∴∠BFD=∠BAF+∠CAD=∠BAC=60°.【变式训练】1.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,垂足为D.若BC=4,则BD=2.2.已知一等腰三角形的两边长分别为1cm和3 cm,则此三角形的周长为7cm3.如果一个等腰三角形的一角为80°,那么它的顶角是80°或20 °.4.如图，△ABC是等边三角形，BD是边AC上的高，延长BC至点E,使CE= CD.求证：DB=DE.证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC,∠ABC=∠ACB=60°. ∵BD⊥AC,∵CE=CD,∴∠CDE=∠E.∵∠ACB=∠CDE+∠E,∴∠E=30°.∴∠DBE=∠E. ∴DB=DE.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法. ◎ ○ 名校课堂 · 同步练习全国领导者 < 续表经典导学设计 详见电子资源教学步骤师生活动设计意图活动四：课 堂检测【课堂检测】1.如图，在△ABC中，∠C=35°,AB=AC,则∠B的度数为 (D) A.20° B.25° C.30° D.35°针对本课时的主要问题， 分层次进行检测，达到了 解课堂学习效果的目的.第1题图 第3题图 第4题图2.有两边相等的三角形的两边长为4cm,5 cm,则它的周长为 (D) A.8cm B.14 cm C.13 cm D.14 cm或13 cm3.如图所示，△ABC为等边三角形，AD⊥BC,AE=AD,则∠ADE=75°.4.如图，在△ABC中，AB=AC=2,P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E, PF⊥AC于点F.若S△ABC=1,则PE+PF=1.5.如图，在等边三角形ABC中，D为BC延长线上一点，E为CA延长线上一点，且AE=DC.求证：AD=BE.证明：在等边三角形ABC中，AB=CA,∠BAC=∠ACB= 60°,∴∠EAB=∠DCA=120°.∴△EAB≌△DCA(SAS). ∴AD=BE.师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.课堂小结1.课堂小结：请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获?2.布置作业：教材第15页随堂练习第1,2题.注重课堂小结，激发学生 参与课堂总结的主动性， 为每一个学生的发展与表 现创造机会.板书设计第1课时 等腰三角形的性质定理1.等边对等角.2.等腰三角形“三线合一 ”.提纲挈领，重点突出.教学反思首先利用生活中的图片引入等腰三角形的基本图形，联系生活，创设问题 情境，把问题作为教学的出发点，既明确了本节课的内容、激发了学生的学习兴 趣，又使学生了解到数学来源于生活又应用于生活.为了突出重点，突破难点， 让学生自己去发现、去联想，充分发挥学生的主观能动性，通过学生自己动手得 到两个定理的内容，可以让他们比较好地掌握知识，提升学习数学的兴趣.反思，更进一步提升.第 2 课 时 等腰三角形的判定定理与反证法备 课 素 材新课导入设计【复习导入】1.在前一节课中我们学习了等腰三角形的性质，谁能总结一下等腰三角形的性质是什么呢?2.应用这些性质的前提是什么?3.我们如何判定一个三角形是等腰三角形呢?4.同学们现在有方法吗?【情境导入】如图，某地质专家为估测 一条东西流向的河流的宽度，他选择河流北岸上 一棵树(点A) 为目标，然后在 这棵树的正南方南岸点 B 插 一 小旗作标志，沿南偏东60°方向走 一段距离到C 处时，测得∠ACB=30°, 这 时，地质专家测得BC 的长度是50米，就可知道河流的宽度是50米 .同学们，你们想知道这样估测河流宽度的依据是什么吗?他是怎么知道 BC 的长度就等于河流的宽度 呢?那就要好好学习今天老师讲的等腰三角形的判定哟!教 学 设 计教 学 活 动课题第2课时 等腰三角形的判定定理与反证法授课人素养目标1.探索并理解等腰三角形的判定定理，会运用其进行简单的证明.2.了解反证法的基本证明思路，并能简单地运用.3.通过对等腰三角形判定方法的应用，得到一些结论，养成用数学的思维思考问题的习惯.教学重点等腰三角形的判定定理的证明，结合实例体会反证法的含义.教学难点运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾回答下列问题.问题1:请同学们回顾一下，前面我们学习了等腰三角形的哪些性质? (学生口答)(1)等腰三角形两底角相等，也就是“等边对等角”.(2)“三线合一 ”.问题2:等腰三角形两底角相等，这个命题的条件和结论是什么?设计成问题串不但能检测学生对上节课内容的掌握情况，而且也为引出等腰 三角形的判定定理埋下 伏笔 . ○ 名校课堂 · 同步练习全国领导者 ◎0 续表教学步骤师生活动设计意图活动一：创设情境、导 入新课【课堂引入】在一般三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系? 学生猜想它们所对的边相等.即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等. 如何证明?抛出问题展开教学，让学生类比等腰三角形的性质，拓宽思考面，寻求验证 方法 .活动二：实践探究、交 流新知【探究新知】一、等腰三角形的判定教师引导学生根据图形，写出已知、求证，并引导学生作出辅助线.如图，在△ABC中，∠B=∠C,你能证明AB=AC吗?①作高AD可以吗?②作角平分线AD呢?③作中线AD呢?学生口头证明后，选择一种方法写出证明过程.师生共同归纳：通过论证，“在△ABC中，若∠B=∠C,则AB=AC”是真命 题，即归纳等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，即“等角对 等边”.二、反证法小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也 不相等.你认为小明的这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?师生活动：学生先思考，然后小组讨论，发现用正常的证明思路不好解决问 题，教师此时提出反证法并出示小明的解题过程.如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C,此时AB与AC要么相等， 要么不相等.假设AB=AC,那么根据定理“等边对等角”可得∠C=∠B,但这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC.师生活动：师生一同认识反证法的概念，并总结反证法的证明步骤.方法总结：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有 定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.我们把这种方法叫作反证法.“反证法”的一般步骤：(1)假设：假设结论的反面正确；(2)归谬：从假设出发，通过推理得出矛盾；(3)结论：说明假设不成立，从而得到原命题的结论正确.1.引导学生通过观察、思 考、证明来归纳等腰三角 形的判定方法，培养学生 的证明能力，体会解决等 腰三角形问题的常用辅助 线是作对称轴.2.教师强调此判定方法是 在一个三角形中把角的相 等关系转化成边的相等关 系的重要依据.活动三：开放训练、体 现应用【典型例题】例1 (教材第16页例1)已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于 点E.求证：△AED是等腰三角形.证明：在△ABD和△DCA中，∴△ABD≌△ DCA(SSS).∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等).∴EA=ED(等角对等边).∴△AED是等腰三角形.续表教学步骤师生活动设计意图活动三：开放训练、体 现应用例2 (教材第17页例2)用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是 直角 .已知：△ABC.求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角.证明：假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°,∠B=90°.于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°.这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立 所以，一个三角形中不能有两个角是直角.【变式训练】1.如图，在△ABC中，∠BAC=75°,∠ACB=35°,∠ABC的平分线BD交边AC1.给学生独立思考时间， 再让其讨论交流，教师要 适当引导，进一步规范学于点D.求证：△BCD为等腰三角形.证明：∵∠BAC=75°,∠ACB=35°,∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=70°.∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ACB=35°.∴DB=DC.∴△BCD为等腰三角形.生推理过程的书写.2.通过例2,让学生初步感 受反证法的证明思路与书 写的过程，体会反证法的 证明与作用.2.如图，在△ABC中，D,E分别是AC,AB的中点，且BD≠CE.求证：AB≠AC.3.运用本课时所学重点内 容进一步加强学生演绎推 理、证明的能力.证明：假设AB=AC.∵AB=AC,D,E分别是AC,AB的中点，∴∠ABC=∠ACB,BE=CD.在△BCD和△CBE中，∴△BCD≌△CBE(SAS).∴BD=CE,这与BD≠CE相矛盾.∴AB=AC这个假设不成立.∴AB≠AC.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法. ◎ ○ 名校课堂 · 同步练习全国领导者 ◇◎ 续表经典导学设计 详见电子资源教学步骤师生活动设计意图活动四：课 堂检测【课堂检测】1.用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假设 这个三角形中 ( D)A.有一个内角小于45° B.每一个内角都小于45°C.有一个内角大于等于45° D.每一个内角都大于等于45°2.如图，在△ABC中，BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,过点O作BC的平行线与AB,AC分别相交于点M,N . 若AB=6,AC=5,求△AMN的周长 .解：∵MN//BC,∴∠MOB=∠OBC,∠NOC=∠OCB.∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,∴∠OBC=∠MBO,∠ACO=∠OCB.∴∠MOB=∠MBO,∠NOC=∠ACO.∴MB=MO,NC=NO.∵AB=6,AC=5,∴C△AMN=AM+AN+MN=AM+AN+MO+ON=AM+AN+MB+NC=AB+AC=6+5=11.∴△AMN的周长为11.师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.让学生加深对所学知识的理解运用.在问题的选择上以基础为主，以达到让学生灵活运用所学知识解决问题，巩固新知的目的.课堂小结1.课堂小结：(1)本节课学到了什么知识?(2)还存在什么困惑?2.布置作业：教材第17～18页随堂练习第1,2题.注重课堂小结，激发学生 参与课堂总结的主动性， 为每一个学生的发展与表 现创造机会.板书设计第2课时 等腰三角形的判定定理与反证法1.等角对等边.2.反证法.提纲挈领，重点突出.教学反思本节课利用前一课时所证明的等腰三角形的性质定理，进一步研究等腰三 角形的判定定理，在从“等边对等角”过渡到研究“等角对等边”的过程中，发展 了学生的逆向思维能力，并且学生在证明这一命题时也采用了类比的研究方 法；在反证法的学习过程中，学生先结合课本感受反证法，体会反证法在证明中 的作用.本节课的设计力求实现学生的主体地位，使数学教学成为一种过程教学，让学生在活动中获得知识、形成技能和能力；在教法上采用启发探索的教学 模式，整堂课以问题为思维主线，让学生自己去观察、思考、发现、表达，培养学 生获取信息、提出问题、分析问题、解决问题、自我反思的能力.反思，更进一步提升. ◎◎○ 名校课堂 · 新教案 · 数学 · 八年级下 ·1(BS) 第3课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质定理 备课素材 》新课导入设计【质疑导入】在一次探究活动中，老师给同学们出了一道题目：“如果等腰三角形有一个角是60°,那么这个三角形的 三边有什么关系?”小明假设底角为60°,得出了三个角都是60°;小亮假设顶角为60°,也得出了三个角都是60°,根据“等角 对等边”,最后得出结论：三边都相等.老师告诉他们“这种三条边都相等的三角形叫作等边三角形”.小明、小亮也发表了自己的看法，小明认 为“三条边都相等的三角形是等边三角形，而不是等腰三角形”;小亮认为“等边三角形也是等腰三角形，只 是比一般的等腰三角形特殊而已”.小明、小亮谁的看法有道理呢?【情境导入】活动内容：欣赏几组图片(多媒体展示):注意行人 注意儿童 注意信号灯 注意危险同学们，这几幅图是我们生活中常见的交通安全警示标志.(1)图中的三角形有什么特点?(2)等边三角形与等腰三角形有什么关系?(3)等边三角形有哪些特点?(4)一个三角形满足什么条件时是等边三角形? 教学设计 课题第3课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质定理授课人素养目标1.理解并掌握等边三角形的判定定理，并会运用定理进行判定.2.掌握含30°角的直角三角形的性质，并会运用该性质进行相关的计算和证明.3.通过利用实物渗透得出结论，要注意观察周围事物，并领会特殊与一般的关系.教学重点等边三角形判定定理的发现与证明及含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.教学难点含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.授课类型新授课课时教学活动 教学步骤师生活动设计意图回顾前面我们学习了等腰三角形的性质及其判定，请回答下面的问题：1.叙述等腰三角形的性质，它是怎么得到的?2.叙述等腰三角形的判定，它是怎么得到的?让学生回忆并回答，为学 习本节课做铺垫.活动一：创设情境、导 入新课【课堂引入】问题1:具备什么条件的三角形是等边三角形?问题2:具备什么条件的等腰三角形是等边三角形呢?开门见山，利用问题引入 新课 .活动二：实践探究、交 流新知【探究新知】一、等边三角形的判定方法定理1:三个角都相等的三角形是等边三角形.已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C.求证：△ABC是等边三角形.证明：∵∠B=∠C,∴AB=AC.∵∠A=∠C,∴AB=BC.∴AB=BC=AC.∴△ABC是等边三角形.定理2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.方法一：已知：如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=60°.求证：△ABC是等边三角形.证明：∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠A=60°,∴∠A=∠B=∠C. ∴△ABC是等边三角形.方法二：已知：如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=60°.求证：△ABC是等边三角形.证明：∵AB=AC,∠B=60°,∴∠C=∠B=60°∴∠A=180°—60°×2=60°.∴∠A=∠B=∠C.∴△ABC是等边三角形.总结：等边三角形的判定定理：定理1:三个角都相等的三角形是等边三角形.定理2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.1.等边三角形的判定定理是本节课的重点.通过对不同的三角形加“边”或“角”两方面不同的条件，使学生体会、融合等边三角形的性质和判定的有关知识.条件加在不同的位置也要分情况讨论，这样在探究过程中充分体现了分类的作用，对学生提高 对数学思想方法的认识起 到了渗透作用. ○ 名校课堂 ·新教案 ·数学 ·八年级下 ·1(BS) ◎◎ 续表教学步骤师生活动设计意图活动二：实践探究、交 流新知(学生完成表格，课件展示答案)名称性质判定等边 三角形等边三角形三 条边都相等三条边都相等的三角形是等 边三角形三个角都相等的三角形是等 边三角形等边三角形三 个角都是60°有一个角等于60°的等腰三角 形是等边三角形二、含30°角的直角三角形的性质1.将两个完全相同的含30°角的三角尺按如图所示的方式摆放在一起，观 察并回答下面的问题：(1)判断△ABD的形状，依据是什么?(2)线段BC与CD的大小有什么关系?为什么?(3)线段BC与AB的大小有什么关系?为什么?你能归纳含30°角的直角三角形的性质吗?师生活动：学生观察、思考、猜测、归纳结论.教师给出含30°角的直角三角形性质的准确描述，并板书性质.归纳：含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那 么它所对的直角边等于斜边的一半.2.问题：我们仅凭实际操作得出的结论还需证明吗?“在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜 边的一半”,其条件和结论分别是什么?如何用数学符号来表达?如何证明?师生活动：学生分析条件和结论，并将其转化成数学符号；教师纠正和补充学生的发言，引导学生从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至点D,使CD=BC,连接AD.学生 分组讨论证明过程，板书演示.教师指导、纠错.已知：如图，在△ABC中，∠C=90°,∠BAC=30°.求证：证明：延长BC至点D,使CD=BC,连接AD.在△ABC中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,∴∠B=60°.∵∠ACB=90°,∴∠ACD=90°.又∵AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SAS).∴AB=AD(全等三角形的对应边相等).∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形).2. “在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边 的一半”是本课的难点，在 难点的突破上主要采取两 种方法：(1)通过三角尺操 作的实践活动；(2)对问题进行分步引导的方法.这 样在难点的突破上更具有 直观性和可操作性.3.总结：该性质适用范围是什么?(直角三角形)运用该性质可求什么?(计算和证明线段的倍分关系，揭示了含30°角的直角三角形中边的数量关 系的特殊性) ◎ ○名校课堂 · 同步练习全国领导者 ◇ 续表教学步骤师生活动设计意图活动三：开放训练、体 现应用【典型例题】例1如图，已知D是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点，∠EBC1.初步运用等边三角形的性质和判定，让学生经历 运用知识解决问题的过 程，给学生获得成功体验 的空间，激发学生学习的 积极性.=∠DAC,CE//AB.求证：△CDE是等边三角形.证明：∵∠ABE+∠EBC=60°,∠DAC+∠ADC=60°,∠EBC=∠DAC,∴∠ABE=∠ADC.∵CE//AB,∴∠BEC=∠ABE.∴∠BEC=∠ADC.又∵BC=AC,∠EBC=∠DAC,D∴△BCE≌△ACD(AAS).∴CE=CD,∠BCE=∠ACD,即∠ECD=∠ACB=60°.∴△CDE是等边三角形.例2(教材第19页例3)求证：如果等腰三角形的底角等于15°,那么腰上 的高是腰长的一半.已知：如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=15°,CD是腰AB上的高.2.让学生体会特殊形状的三角形通过角的关系可以 转化为边的关系，同样通 过边的关系也可以转化为 角的关系.求证：证明：在△ABC中， ∵AB=AC,∠B=15°,∴∠B=∠ACB=15°(等边对等角).∴∠DAC=∠B+∠ACB=30°.∵CD是腰AB上的高，∴∠ADC=90°.3.考查学生对含30°角的直角三角形的性质的 掌握。【变式训练】1.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,DA⊥BA于点A,AD=6,求BC的长 .解：∵∠BAC=120°,AB=AC,∴∠B=∠C=30°.∵DA⊥BA,AD=6,∴BD=2AD=12,∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°.∴∠CAD=∠C=30°. ∴AD=CD=6.∴BC=BD+CD=12+6=18.2.如图，在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,问△APQ是什么形状的三角形?试证明你的结论.解：△APQ为等边三角形.证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC.在△BP和△co中.∴△ABP≌△ACQ(SAS).∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°,∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°.∴△APQ是等边三角形.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法. ○ 名校课堂 ·新教案 ·数学 ·八年级下 ·1(BS) ◎◎◎ 续表详见电子资源教学步骤师生活动设计意图活动四：课 堂检测【课堂检测】1.如图，一棵与地面垂直的大树在一次强台风中离地面5米处折断倒下，倒下 部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为 ( B)A.10米 B.15米 C.25米 D.30米2.如图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=120°,CE⊥AB于点D,且DE=DC.求证：△CEB为等边三角形.证明：∵CE⊥AB于点D,且DE=DC,∴BC=BE.∵AC=BC,∠ACB=120°,CE⊥AB, ∴∠ECB=60°.∴△CEB为等边三角形.师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.通过设置课堂检测，及时 获知学生对所学知识的掌 握情况，明确哪些学生需 要在课后加强辅导，达到 班级整体提高的目的.课堂小结1.课堂小结：(1)本节课学到了什么知识?(2)还存在什么困惑?2.布置作业：教材第20页随堂练习第1,2题.培养总结与反思的习惯， 运用所学知识解决问题.板书设计第3课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质定理1.等边三角形的判定定理.2.在直角三角形中，30°角的所对的直角边等于斜边的一半.提纲挈领，重点突出.教学反思本节课通过一组图片，引入等边三角形，让学生体会等边三角形的特点，为 下一步探究等边三角形的证明方法做好铺垫.本节课的难点在于对含30°角定理的理解及应用，属于新的知识点.无论定理的推导还是相关应用，要让学生充 分参与，深刻体会定理内容，掌握应用技巧.解题过程中，培养学生获取信息、分 析信息、提炼信息的能力.在教学中，始终坚持以学生为主体、教师为主导，充分 调动了学生的兴趣和积极性，使他们最大限度地参与到课堂的活动中，注重学 生的体验与感悟，关注学生间的评价.反思，更进一步提升.◎◇○名校课堂 · 同步练习全国领导者◎ 03 直角三角形第 1 课 时 直 角 三 角 形 的 性 质 与 判 定 定 理备 课 素 材新课导入设计【复习导入】1.什么是勾股定理?定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.2. 在△ABC 中，∠C=90°,∠A,∠B,∠C 的对边长分别为a,b,c.(1)若a=8,c=17, 则 b=15;(2)若a=8,∠A=30°, 则 b=8√3;(3)若a=8,∠A=45°, 则 c=8√2. 3.如果三角形的三边长a,b,c 满足 a²+b²=c², 那么这个三角形是直角三角形.数学文化拓展阅读证明勾股定理的方法【证法1】(邹元治证明)以 a,b 为直角边，c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 -ab. 把这四个直 角三角形拼成如图所示的形状，使 A,E,B 三点在一条直线上，B,F,C 三点在一条直线上，C,G,D 三点在一 条直线上.∵Rt△HAE≌Rt△EBF,∴∠AHE=∠BEF.∵∠AEH+∠AHE=90°, ∴∠AEH+∠BEF=90°.∴∠HEF=180°—90°=90° .∴四边形 EFGH 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c² . ∵Rt△GDH≌Rt△HAE, ∴∠HGD=∠EHA.∵∠HGD+∠GHD=90°, ∴∠EHA+∠GHD=90°.又∵∠GHE=90°, ∴∠DHA=90°+90°=180° .∴四边形ABCD 是一个边长为(a+b) 的正方形，它的面积等于(a+b)² .* . ∴a²+b²=c².【证法2】(欧几里得证明)作三个边长分别为a,b,c 的正方形，把它们拼成如图所示的形状，使 H,C,B 三点在一条直线上，连接BF,CD. 过 点C 作 CL⊥DE, 交 AB 于 点M, 交 DE 于 点L.∵AF=AC,AB=AD,∠FAB=∠CAD, ∴△FAB≌△CAD(SAS).∵△FAB 的面积等 ,△CAD 的面积等于长方形ADLM 的面积的一半， ∴长方形ADLM 的面积为a² .同理可证，长方形MLEB 的面积为b² .∵正方形ADEB 的面积为长方形ADLM 的面积加上长方形MLEB 的面积， ∴c²=a²+b², 即 a²+b²=c². ○ 名校课堂 ·新教案 ·数学 ·八年级下 ·1(BS)◎00 教学设计 教学活动 课题第1课时 直角三角形的性质与判定定理授课人素养目标1.掌握“直角三角形的两个锐角互余”和“有两个角互余的三角形是直角三角形”这两个定理，并学会运用.2.会证明勾股定理及其逆定理.3.了解逆命题和逆定理的概念，会写出一个命题的逆命题并判断其真假.4.通过勾股定理及其逆定理的证明，体会同一个定理可以从不同角度，用不同方法加以证明，激发探索热情，并 在小组合作中体会交流与合作的重要性.教学重点1.勾股定理逆定理的证明方法.2.了解逆命题、互逆命题的概念，知道原命题成立，其逆命题不一定成立.教学难点勾股定理及其逆定理的证明.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾问题1:我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定方法?问题2:勾股定理的内容是什么?师生活动：让学生回顾前面所学习的直角三角形的性质和判定方法，主要 是从角和边的角度回答，并让学生回答所学习的勾股定理和其逆定理的内容复习回顾直角三角形的性 质和判定，以及勾股定理 的内容，为本课直角三角 形的性质和判定定理的证 明做准备.活动一：创设情境、导 入新课【课堂引入】下图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它的设计灵感来自 哪类三角形的知识?本节课就让我们继续学习与直角三角形有关的知识.以学生熟知的问题为引子，创设问题情境，吸引学 生的注意，激发学生的学 习兴趣 .活动二：实践探究、交 流新知【探究新知】一、直角三角形的两个锐角关系定理及逆定理1.直角三角形的两个锐角有怎样的关系?为什么?2.如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗?为什么? 定理：直角三角形的两个锐角互余.几何语言：如图，∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°.定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.几何语言：如图，∵∠A+∠B=90°,∴∠C=90°,即△ABC是直角三角形.二、勾股定理及其逆定理1.直角三角形的三条边有什么样的数量关系?你能证明吗?2.在一个三角形中，当两条边的平方和等于第三条边的平方时，它是直角 三角形吗?1.让学生通过分析、归纳，总结出直角三角形的两锐 角定理和其逆定理内容， 并能够对定理和逆定理进 行证明. ◎ ○ 名校课堂 · 同步练习全国领导者 ◇◎ 续表教学步骤师生活动设计意图活动二：实践探究、交 流新知勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.利用拼图游戏验证勾股定理，并思考：能用下图证明勾股定理吗?已知在△ABC中，∠ACB=90°,∠BAC,∠ABC,∠ACB的对边长分别为 a,b,c.求证： a²+b²=c² .解：整个图形可以看作是边长为c的正方形，它的面积为c².也可以看作由四个全等的直角三角形和一个边长为b—a的正方形组成，其面积为 所以可以得到等式：化简，得a²+b²=c ² .勾股定理逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么 这个三角形是直角三角形.已知：如图，在△ABC中， AB²+AC²=BC² .求证：△ABC是直角三角形.分析：要从边的关系推出∠A=90°是不容易的，如果能借助△ABC与一个 直角三角形全等，从而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证.证明：如图，作Rt△A'B'C′,使∠A'=90°,A′B′=AB,A'C′=AC,则A'B'²+A′C'²=B'C'2(勾股定理).∵AB²+AC²=BC²,A′B′=AB,A’C′=AC, ∴BC²=B'C′². ∴BC=B'C'.∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).∴∠A=∠A′=90°(全等三角形的对应角相等).∴△ABC是直角三角形.三、互逆命题和互逆定理观察下列三组命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?2.让学生根据以前所学的勾股定理和其逆定理的知识直接回答出定理的内容，对于学生，证明有一定的难度，尤其是逆定理的证明，在证明时教师要加 以指导 . ◎○◎ 名校课堂 ·新教案 ·数学 ·八年级下 ·1(BS) ◎◎ 续表教学步骤师生活动设计意图活动二：实践探究、交 流新知你能给它们下一个确切的定义吗?想一想：你能写出命题“如果同位角相等，那么两直线平行”的逆命题吗?它们都是真命题吗?如果一个命题是真命题，那么它的逆命题一定是真命 题吗?互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题 的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题；如果把其中一个命题称为原命 题，那么另一个命题就称为它的逆命题.互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定 理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.3.通过师生的共同探究， 使学生掌握互逆命题和互 逆定理的定义，这样既培 养学生独立思考与小组合 作讨论的能力，又使其感 受到数学逻辑关系存在的 必然性.活动三：开放训练、体 现应用【典型例题】例1(教材第27页随堂练习T3)说出下列命题的逆命题，并判断每对命 题的真假.(1)四边形是多边形；解：原命题是真命题.逆命题：多边形是四边形，是假命题.(2)两直线平行，同旁内角互补；解：原命题是真命题.逆命题：同旁内角互补，两直线平行，是真命题.(3)如果ab=0,那么a=0,b=0.解：原命题是假命题.逆命题：如果a=0,b=0,那么ab=0,是真命题.例 2如图，在△ABC中， AB=AC, BC=10,点D是线段AB上 一 点，让学生加深对所学知识的 理解运用，在问题的选择 上以基础为主，以达到让 学生灵活运用所学知识解 决问题，巩固新知的目的.BD=6,连接CD,且CD=8 .(1)求证：CD⊥AB;(2)求AC的长.解：(1)证明：在△BDC中，BC=10,BD=6,CD=8,∵BD²+CD² =6²+8²=10²=BC²,∴△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°.∴CD⊥AB.(2)∵CD⊥AB,∴△ADC是直角三角形.∴AD²+CD²=AC²,即AD²+8²=(AD+6)²,【变式训练】1.下列叙述正确的个数是 ( B)①每个命题都有逆命题；②真命题的逆命题是真命题；③假命题的逆命题是真命题；④每个定理都有逆定理；⑤每个定理一定有逆命题；⑥命题“若a=b,则a³=b³”的逆命题是假命题.A.1 B.2 C.3 D.42.在△ABC中，∠A=90°,∠B-∠C=14°,则∠B=52°,∠C=38°. ◎ ○名校课堂 · 同步练习全国领导者 ◇◎ 续表经 典 导 学 设 计详见电子资源教学步骤师生活动设计意图活动三：开放训练、体 现应用3.如图，在四边形ABCD中， AD//BC,AB=10,BC=6,AC=AD=8.(1)求∠ACB的度数；(2)求CD的长.解：(1)在△ABC中，AB=10,BC=6,AC=8, ∴AC²+BC²=AB².∴△ABC是直角三角形.∴∠ACB=90°.(2)∵AD//BC,∴∠CAD=∠ACB=90°.∴在Rt△ACD中， CD= √AC²+AD²= √ 8²+8²=8 √ 2.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.活动四：课 堂检测【课堂检测】1.现有下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若a²=b²,则a=b;③锐角与钝角 互为补角；④相等的角是对顶角.它们的逆命题是真命题的个数是 (B)A.4 B.3 C.2 D.12.如图，AB,CD相交于点O,AC⊥CD于点C.若∠BOD=38°,则∠A=52°.3.如图，AD=13,BD=12,∠C=90°,AC=3,BC=4,求阴影部分的面积.检验学生对本节课知识的 掌握程度、理解程度和运 用程度.让学生运用所归 纳的直角三角形的性质与 判定的知识解决问题，提 高学生解决问题的能力.解：在Rt△ABC中， AB= √AC²+BC²=5. ∵AD=13,BD=12,∴AB²+BD²=AD².∴△ABD为直角三角形，且∠ABD=90°.阴影部分的面积为师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.课堂小结1.课堂小结：(1)本节课学到了什么知识?(2)还存在什么困惑?2.布置作业：教材第26～27页随堂练习第1,2题.注重课堂小结，激发学生 参与课堂总结的主动性， 为每一个学生的发展与表 现创造机会.板书设计第1课时 直角三角形的性质与判定定理 1.直角三角形.2.勾股定理及逆定理.3.互逆命题、互逆定理.提纲挈领，重点突出.教学反思本课时设计让学生从原有知识出发，通过引导学生观察、思考、计算，直观 展示勾股定理的产生及证明，以提问的形式引发学生思考.教学中，加强学生间 的互动学习，培养学生的自学能力，注重培养学生的合作探究意识，有利于完成教学任务，提升教学效果.反思教学过程和教师表 现，进一步优化操作流程 和提升自身素质.◎名校课堂 · 新教案 · 数学 · 八年级下 · 1(BS)◎第 2 课 时 直角三角形全等的判定备 课 素 材》新课导入设计 【归纳导入】1.判定两个三角形全等的方法有 2. 如 图 ，AB⊥BE 于 点B,DE⊥BE 于 点E.(1)若∠A=∠D,AB=DE, 则 △ABC 与△DEF (2)若∠A=∠D,BC=EF, 则 △ABC 与 △DEF (3)若AB=DE,BC=EF, 则 △ABC 与△DEF (4)若AB=DE,BC=EF,AC=DF, 则 △ABC 与△DEF ,根据 .3.我们知道，满足“SSA”条件的两个三角形不一定全等，那么满足“SSA”条件的两个直角三角形(这个 相等的角是直角)是否全等呢?如图，AB⊥BE 于 点 B,DE⊥BE 于 点 E. 若 AB=DE,AC=DF, 则 Rt△ABC 与 Rt△DEF 是否全等?现在我们就来研究这个问题 .教 学 设 计教 学 活 动课题第2课时 直角三角形全等的判定授课人素养目标1.掌握“斜边、直角边(HL)”的判定方法.2.能初步应用“斜边、直角边”条件判定两个直角三角形全等.3.能用尺规解决“已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形”的问题.4.经历“HL”定理的证明及使用，体会数学的严谨，激发学生的探索热情.教学重点掌握判定直角三角形全等的条件；并能运用直角三角形全等解决一些简单的实际问题.教学难点证明“斜边、直角边(HL)”定理的探究和分析.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾问题1:判定两个三角形全等的方法有哪几种?问题2:如图，已知∠CAB=∠DBA,要使△ACB≌△BDA,还需要添加什 么条件?请说明理由.问题3:如图，若添加条件AD=BC,能否证明△ACB和△BDA全等?本活动具有开放性，需要学生灵活运用所学的知 识，通过互相交流，获得各 种不同的答案.活动一：创设情境、导 入新课【课堂引入】判断：如图，满足下列条件的Rt△ABC与Rt△DEF(其中∠C=∠F=90°) 是否全等?若全等，在( )里填写理由；若不全等，在( )里打“×”①AC=DF,∠A=∠D;( )②AC=DF,BC=EF;( )③AB=DE,∠B=∠E;( )④∠A=∠D,∠B=∠E;( )⑤AC=DF,AB=DE. ( )问题：满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形是否全等呢?从学生已有的知识出发， 激发学生强烈的好奇心和 求知欲. ◎ ○名校课堂 · 同步练习全国领导者 续表教学步骤师生活动设计意图活动二：实践探究、交 流新知【探究新知】任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°,再画一个Rt△A'B'C′,使∠C′=90°, B'C′=BC,A'B′=AB.把画好的Rt△A'B'C'剪下来，放到Rt△ABC上，它们全等吗?师生活动：先让学生画图分析，寻找规律，教师适时引导.作法：(1)作射线C′M;(2)过点C′作射线C′M的垂线CN;(3)在射线C′M上截取B'C′=BC;(4)以点B'为圆心，AB的长为半径画弧，交射线C′N于点A′;(5)连接A'B'.则△A'B′C′即为所求作的三角形(如图).教师引导学生共同总结：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全 等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).证明命题：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.1.分析该命题的条件和结论：这个命题的条件是两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，结论是这两个直角三角形全等.2.先画出图形，再依据图形用符号语言写出“已知”“求证”.已知：如图，在△ABC和△A'B′C′中，∠C=∠C′=90°,AC=A'C′,AB= A'B'.求证：△ABC≌△A'B'C'.1.掌握三角形的画法，从 实践中体会三角形全等的 条件 .2.操作探究活动的设计不仅让学生直观地感受了“斜边、直角边”可以确定一个直角三角形的大小和形状，而且也让学生较好地感悟到“斜边、直角边” 可以判定两个直角三角形全等 .证明：在△ABC中，∵∠C=90°, ∴BC²=AB² -AC²(勾股定理).同理，B'C′²=A'B'² -A’C′² .∵AB=A'B',AC=A'C′,∴BC=B'C'.∴△ABC≌△A'B'C′(SSS).3.培养学生的识图能力，并规范证明过程的书写 格式 .定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(HL).符号表示：在Rt△ABC和Rt△A'B'C′中，∠C=∠C′=90°, ∵AC=A'C′,AB=A'B'(已知),∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL). 名校课堂 ·新教案 ·数学 ·八年级下 ·1(BS)◎ ◎◎ 续表教学步骤师生活动设计意图活动三：开放训练、体 现应用【典型例题】例1(教材第30页例)如图，有两个长度相同的梯子，左边梯子竖直方向 的高度AC与右边梯子水平方向的长度DF相等，两个梯子的倾斜角∠CBA和1.培养学生逻辑思维能力，学会用“HL”条件判定 三角形全等.2.规范使用“HL”判定方 法证明三角形全等的书写 格式.在证明两个直角三 角形全等时，要防止学生 使用“SSA”来证明.∠EFD的大小有什么关系?解：根据题意，可知∠BAC=∠EDF= 90°,BC=EF,AC=DF,∴Rt△BAC≌Rt△EDF(HL).∴∠CBA=∠DEF(全等三角形的对 应角相等).∵∠DEF+∠EFD=90°,∴∠CBA+∠ EFD=90°.例2如图，∠BAC=90°,AD是∠BAC内部一条射线.若AB=AC,BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F,求证：AF=BE.证明：∵∠BAC=90°,∴∠BAE+∠FAC=90°.∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴∠BEA=∠AFC=90°.∴∠BAE+∠EBA=90°. ∴∠EBA=∠FAC.ocF MBne中∴△ACF≌△BAE(AAS). ∴AF=BE.【变式训练】--1.如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且DE=DF,CE=BF.求证：∠B=∠C.证明：∵DE⊥AC, DF⊥AB, ∴∠BFD=∠CED=90°.∴△BDF≌△CDE(SAS). ∴∠B=∠C.2.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°,BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,CF=AE,BC=DA.求证：Rt△ABE≌Rt△CDF.证明：在Rt△ADC和Rt△CBA中，D∴Rt△ADC≌Rt△CBA(HL).∴DC=BA.又∵BE⊥AC,DF⊥AC, ∴∠AEB=∠CFD=90°.在Rt△ABE和Rt△CDF中，∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL).师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法. ◎ ○ 名校课堂 · 同步练习全国领导者 ◇ 续表经典导学设计 详见电子资源教学步骤师生活动设计意图活动四：课 堂检测【课堂检测】1.下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是 ( B)A.两条直角边对应相等的两个直角三角形B.两个锐角对应相等的两个直角三角形C.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形D.有一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形2.如图， PB⊥AB于点B,PC⊥AC于点C,且PB=PC,D是AP上一 点.求证： ∠BDP=∠CDP.证明：∵PB⊥AB于点B,PC⊥AC于点C,∴∠ABP=∠ACP=90°.∵PB=PC,AP=AP,∴Rt△ABP≌Rt△ACP(HL).∴∠APB=∠APC.在△PBD和△PCD中，∴△PBD≌△ PCD(SAS).∴∠BDP=∠CDP.师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.学以致用，通过课堂检测 及时获知学生对所学知识 的掌握情况，并最大限度 地调动全体学生学习数学 的积极性，使每个学生都 能有所收获、有所提高.课堂小结1.课堂小结：(1)本节课学到了什么知识?(2)还存在什么困惑?2.布置作业：教材第30页随堂练习第1,2题.小结环节的设置能够让学 生养成自主归纳课堂重点 的习惯，提高学生的学习 能力 .板书设计第2课时 直角三角形全等的判定1.用“HL”判定两个直角三角形全等.2.用其他方法证明两个直角三角形全等.提纲挈领，重点突出.教学反思本节课教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定的基础上，进一步研究 直角三角形全等的判定方法，让学生充分认识到特殊与一般的关系，加深他们 对公理的多层次的理解.在教学过程中，让学生充分体验到试验、观察、比较、猜 想、归纳、验证的数学方法，一步步培养他们的逻辑推理能力.反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程 和自身素质.◇○ 名校课堂 · 新教案 ·数学 ·八年级下 ·1(BS) ◎4 线段的垂直平分线第1课时 线段垂直平分线的性质与判定 备课素材 》新课导入设计【质疑导入】问题1:什么是线段的垂直平分线?问题2:如图，在光明路的同侧有两个村庄A,B, 教育部门计划在光明路边上修建一所小学方便两个村 庄的儿童上学，为了使学校到两个村庄一样远，学校的地址应选在何处?小明想到的解决方案是：连接A, B, 然后作线段AB 的垂直平分线与道路交于点P, 点 P 即为所求的地址，你能解释一下他这样做的理由吗?教学设计 教学活动 课题第1课时 线段垂直平分线的性质与判定授课人素养目标1.会证明线段的垂直平分线的性质定理及判定定理.2.能运用线段的垂直平分线的性质定理及判定定理进行相关的证明与计算.3.在独立思考、分析、推测的基础上，积极参与讨论，敢于发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解.教学重点运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆定理.教学难点垂直平分线的性质定理及判定定理在实际问题中的准确运用.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.线段是轴对称图形吗?它的对称轴是什么?2.什么是线段的垂直平分线?3.线段垂直平分线的性质是什么?4.如何用尺规作线段的垂直平分线?复习回顾，做好铺垫.活动一：创设情境、导 入新课【课堂引入】我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，那 么线段的垂直平分线有什么性质呢?如何证明呢?如何判断一条直线是不是线段的垂直平分线呢?这节课我们就来研究它.通过问题激发学生的学习 兴趣和进一步探究新知的 欲望 . 名校课堂 · 同步练习全国领导者 续表教学步骤师生活动设计意图活动二：实践探究、交 流新知【探究新知】如图1,直线l垂直平分线段AB,P₁,P₂,P₃,…是l上的点，分别量一量点 P₁,P₂,P³, …到点A与点B的距离，你有什么发现?1.学生分组讨论，探讨证 明的思路.然后让两名学 生在黑板上写出证明过程，其他学生自己思考解 决，体现学生自主解决问 题的能力，最后学生纠错， 教师引导，直至规范.2.引导学生分析证明方法，学生动手证明，写出证 明过程，突出上节课所学 直角三角形全等的特殊判 定方法的应用.教师讲解题意并在黑板上绘出图形：图1图2上述问题用数学语言可以这样表示：如图2,设直线MN是线段AB的垂直 平分线，C是垂足，P是直线MN上任意一点，连接PA,PB,我们要证明的是PA=PB.教师分析证明思路：图中有两个直角三角形△APC和△BPC,只要证明这 两个三角形全等，便可证得PA=PB.师生活动：教师要求学生自己写已知、求证，自己证明.学生证明完后教师 板书证明过程供学生对照.已知：如图，直线MN⊥AB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上的任意一 点 .求证：PA=PB.证明：∵MN⊥AB,∴∠PCA=∠PCB=90°.又∵AC=BC,PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS).∴PA=PB.归纳：线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 距离相等.你能写出上面这个命题的逆命题吗?它是真命题吗?逆命题：如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线 段的垂直平分线上.写出逆命题后，就想到判断它的真假.如果真，则需证明它；如果假，则需用 反例说明.请同学们自行完成.已知：如图，线段AB,点P是平面内一点，且PA=PB.求证：点P在AB的垂直平分线上.证法一：过点P作已知线段AB的垂线PC,垂足为C .∵PA=PB,PC⊥AB,∴AC=BC.∴点P在AB的垂直平分线上.证法二：取AB的中点C,连接PC.则AC=BC.又∵AP=BP,∴PC⊥AB.∴点P在AB的垂直平分线上.归纳：线段的垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上. ○ 名校课堂 ·新教案 ·数学 ·八年级下 ·1(BS) ◎◎◎ 续表教学步骤师生活动设计意图活动三：开放训练、体 现应用【典型例题】例1 (教材第33页例1)已知：如图，在△ABC中，AB=AC,O是△ABC1.巩固对线段的垂直平分 线的性质与判定的理解， 进一步体会转化思想与整 体思想对解题的指导意义 .2.进一步巩固所学的知 识，夯实基础，同时培养学 生发现问题、解决问题的 能力 .内一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.证明：∵AB=AC,∴点A在线段BC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上).同理，点O在线段BC的垂直平分线上.∴直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直 线) .例2如图，在Rt△ABC中，DE为AB的垂直平分线.(1)如果AC=6cm,BC=8cm,试求△ACD的周长；(2)如果∠CAD:∠BAD=1:2,求∠B的度数.解：(1)∵DE为AB的垂直平分线，∴DA=DB.∴△ACD的周长为AC+CD+DA=AC+CD+DB =AC+BC=8+6=14(cm).(2)设∠CAD=x°,则∠BAD=2x°.∵DA=DB,∴∠BAD=∠B=2x°.∵∠C=90°,∴x+2x+2az=90,解得x=18.∴∠B=2x°=36°.【变式训练】1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE(1)若∠A=35°,则∠CBE=20°;(2)若AE=3,EC=1,则△ABC的面积为4 √2.2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°,D是BC的延长线上一点，E是AB上的一点，且在BD的垂直平分线EG上，DE交AC于点F.求证：点E在AF的垂 直平分线上.证明：∵EG垂直平分BD,∴∠EGB=90°,BE=DE. ∴∠BEG=∠DEG.∵∠ACB=90° ,∴EG//AC.∴∠BEG=∠BAC,∠DEG=∠AFE.∴∠EAF=∠AFE. ∴AE=EF.∴点E在AF的垂直平分线上.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法. ◎ ○ 名校课堂 · 同步练习全国领导者 ◇◎ 续表经典导学设计 详见电子资源教学步骤师生活动设计意图活动四：课 堂检测【课堂检测】1.如图，直线l与线段AB交于点O,点P在直线l上，且PA=PB,则下列结论 正确的有 (A)①AO=BO;②PO⊥AB;③∠APO=∠BPO;④点P在线段AB的垂直平分 线上 .A.1个 B.2个 C.3个 D.4个针对本课时的主要问题， 分层次进行检测，达到学 有所成、了解课堂学习效 果的目的.第1题图 第2题图2.如图，在△ABC中，AF平分∠BAC,AC的垂直平分线DE交BC于点E,交 AC于点D,∠B=70°,∠FAE=19°,则∠C=24°.3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E.(1)若∠BAC=50°,求∠EDA的度数；(2)求证：直线AD是线段CE的垂直平分线.解：(1)∵∠BAC=50°,AD平分∠BAC,∵DE⊥AB,∴∠AED=90°.∴∠EDA=90°-25°=65°.(2)证明：∵DE⊥AB,∴∠AED=90°=∠ACB. 又∵AD平分∠BAC,∴∠DAE=∠DAC.又∵AD=AD,∴△AED≌△ACD(AAS).∴AE=AC,DE=DC.∴点A,D在线段CE的垂直平分线上， 即直线AD是线段CE的垂直平分线.师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.课堂小结1.课堂小结：(1)本节课学到了什么知识?(2)还存在什么困惑?2.布置作业：教材第34页随堂练习第1,2题.梳理知识点，培养归纳总 结的习惯.巩固所学知识， 训练解题能力.板书设计第1课时 线段垂直平分线的性质与判定1.线段垂直平分线的性质定理2.线段垂直平分线的判定定理提纲挈领，重点突出.教学反思本课时从所学习过的线段垂直平分线的性质定理出发，探究线段垂直平分 线的判定定理，作为探究活动的自然延续和必要发展，教师需善于引导学生从 问题出发，根据观察、实验的结果，先得出猜想，再进行证明，要求学生掌握证明 的基本要求和方法，注意数学思想方法的强化和渗透.反思，更进一步提升. ◎0○名校课堂 · 新教案 · 数学 · 八年级下 ·1(BS) 第 2 课 时 与 线 段 垂 直 平 分 线 有 关 的 尺 规 作 图备 课 素 材新课导入设计【情境导入】为筹办一个大型运动会，某市政府打算修建一个大型体育中心，在选址过程中，有人建议该体育中心所 在位置应与该市的三个城镇中心(图中以 P,Q,R 表示)的距离相等.图1图2(1)根据上述建议，试在图1中画出体育中心G 的位置；(2)如果这三个城镇的位置如图2所示，∠RPQ 是一个钝角，那么根据上述建议，体育中心G 应在什么位置?(3)你对上述建议有何评论?你对选址有什么建议?【质疑导入】 问题提出：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作图完成后你发现了什么?(教师可用多媒体演示作图过程) 问题探究：①三角形三边的垂直平分线交于一点；②这一点到三角形三个顶点的距离相等.问题解决：如图，剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，上述结论是否成立?N问题思考：以上结论都是通过眼睛观察得到的，那么该结论一定成立吗?我们还需运用已学过的公理和定理进行 推理证明，这样，此发现才更有意义.○ 名校课堂 · 同步练习全国领导者 ◎0 教学设计 教学活动 课题第2课时 与线段垂直平分线有关的尺规作图授课人素养目标1.会用尺规作已知线段的垂直平分线，培养使用直尺和圆规作图的技能.2.会证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，并解决相关的问题.教学重点掌握三角形三条边的垂直平分线的性质，能利用尺规作出符合条件的三角形.教学难点三角形三条边的垂直平分线性质的证明及应用.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.线段垂直平分线的性质定理是什么?如何用几何语言表示?2.线段垂直平分线的判定定理是什么?如何用几何语言表示?复习回顾相关知识，为学 习新知做好铺垫.活动一：创设情境、导 入新课【课堂引入】前面我们用尺规作出了满足一定条件的直角三角形，那么,你能用尺规作 出满足一定条件的等腰三角形吗?提出问题，设疑导入活动二：实践探究、交 流新知【探究新知】1.已知等腰三角形的底边和该边上的高，用尺规作等腰三角形.(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能 作几个?所作出的三角形都全等吗?(2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作 几个?所作出的三角形都全等吗?(3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗? 如果能，能作几个?学生小组讨论，并尝试作出草图，验证自己的结论.(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能作出无数1.让学生掌握如何在已知 底边和高的情况下作一个 等腰三角形，同时进一步 使学生掌握线段垂直平分 线的作法.多个，如图所示.从上图我们会发现，先作已知线段BC=a;然后再作边BC上的高h,但垂 足不确定，我们可将垂足取在线段BC所在直线上的任意一点D,过此点作BC 边的垂线，最后以D为端点在垂线上截取AD(或A₁D),使AD=A₁D=h,连接AB,AC(或A₁B,A₁C),所得△ABC(或△A₁BC)都满足条件，所以这样的三角 形有无数多个.这些三角形不都全等. ○ 名校课堂 ·新教案 ·数学 ·八年级下 ·1(BS)《 ◎ 续表教学步骤师生活动设计意图活动二：实践探究、交 流新知(2)已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形， 这样的等腰三角形也有无数多个.根据线段垂直平分线的性质定理可知，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的 距离相等，因此只要作已知等腰三角形底边的垂直平分线， 取它上面的任意一点(与底边的交点除外),和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形，如图所示.注意：不是底边的垂直平分线上的任意一点都满足条件，底 边的中点在底边上，此时不能构成三角形.(3)如果等腰三角形的底边和底边上的高都一定，这样的等A< 腰三角形只有两个，它们是全等的，且分别位于已知底边的两侧， 如图所示.2.三角形三条边的垂直平分线的性质求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的 距离相等.已知：如图，在△ABC中，边AB,BC的垂直平分线交于点P,连接AP,BP,CP.求证：边AC的垂直平分线经过点P,且PA=PB=PC.证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等).同理，PB=PC. ∴PA=PB=PC.∴点P在线段AC的垂直平分线上(到一条线段两个端 点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上),即边AC的垂直平分线经过点P.2.让学生利用证明的方法 掌握三角形三边垂直平分 线的性质，并掌握其证明 的方法和步骤.通过巩固 练习让学生能够进一步掌 握线段垂直平分线的性质 的应用 .活动三：开放训练、体 现应用【典型例题】例1尺规作图：如图，已知线段a,求作△ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=2a.a解：如图.①作射线BE,在射线BE上截取BC=a.②作BC的垂直平分线EF,交BC于点D.③在射线DE上截取AD=2a,连接AB,AC,则△ABC 即为所求.续表教学步骤师生活动设计意图活动三：开放训练、体 现应用例2如图，在△ABC中， AB的垂直平分线l₁交AB于点M,交BC于点D,AC的垂直平分线l₂交AC于点N,交BC于点E,l₁与l₂相交于点O,△ADE 的周长为10.(1)求BC的长；(2)试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由.解：(1)∵I₁垂直平分AB,∴DB=DA.同理EA=EC.∴BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=10.(2)点O在边BC的垂直平分线上。理由：连接AO,BO,CO.∵I₁,l₂分别是线段AB,AC的垂直平分线，∴AO=BO,CO=AO. ∴BO=CO.∴点O在边BC的垂直平分线上.【变式训练】如图，在△ABC中，∠BAC=80°,若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.(1)求∠PAQ的度数；(2)若△APQ的周长为12,BC的长为8,求PQ的长.解：(1)设∠PAQ=x°,∠CAP=y°,∠BAQ=z°,∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC,∴AP=PB,AQ=CQ.∴∠B=∠BAP=(x+z)°,∠C=∠CAQ=(x+y)°.∵∠BAC=80° ,∴∠B+∠C=100°,即x+y+z=80,x+z+x+y=100 .∴x=20. ∴∠PAQ=20°.(2)∵△APQ的周长为12,∴AQ+PQ+AP=12.∵AQ=CQ,AP=PB,∴CQ+PQ+PB=12.∴CQ+BQ+2PQ=12,即BC+2PQ=12.∵BC=8,∴PQ=2.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.通过例题的解决，加深学 生对本课知识的掌握，使 学生进一步熟练掌握利用尺规作一条已知线段的垂 直平分线.活动四：课 堂检测【课堂检测】1.某地兴建的幸福家园的三个出口A,B,C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划建设前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主， 要求充电桩到三个出口的距离都相等，则充电桩应该安装在△ABC(A)A.三条边的垂直平分线的交点 B.三个角的平分线的交点C.三角形三条高的交点 D.三角形三条中线的交点第1题图 第 2 题 图2.如图，线段AB,BC的垂直平分线l₁,l₂相交于点O.若∠AOC=78°,则∠1的 度数为39°. ○ 名校课堂 · 新教案 ·数学 ·八年级下 ·1(BS) ◎◎◎ 续表经典导学设计 详见电子资源教学步骤师生活动设计意图活动四：课 堂检测3.如图，在△ABC中，∠BAC是钝角.通过设置课堂检测，进一 步巩固新知，及时检测学 习效果，做到“堂堂清”.(1)画出边BC上的中线AD;(2)画出边BC上的高AH.解：(1)(2)如图所示.师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.课堂小结1.课堂小结：(1)本节课你学到了什么知识?(2)还存在什么困惑?2.布置作业：(1)教材第37页随堂练习.锻炼学生的语言表达能力 和归纳总结能力，巩固所 学知识.板书设计第2课时 与线段垂直平分线有关的尺规作图1.用尺规作等腰三角形2.三角形三条边的垂直平分线提纲挈领，重点突出.教学反思本节课的重点为利用尺规作等腰三角形、探究三角形三条垂直平分线的性 质，使学生进一步熟悉掌握利用尺规作线段的垂直平分线，提升学生的动手能 力和归纳能力.三角形三条边的垂直平分线的性质的证明是本节课的重点也是 难点，对此需要多花一些时间让学生理解，使学生能够完善、规范证明过程步 骤.教学中充分让学生动起来，利用小组合作学习，共同完成探究过程.反思教学过程和教师表 现，进一步提升操作流程 和自身素质.◎ ○ 名校课堂 · 同步练习全国领导者 ◇○5 角平分线第 1 课 时 角平分线的性质与判定 备课素材 新课导入设计【质疑导入】如图所示的是小明制作的风筝，他根据AB=AD,BC=DC, 不用度量就知道 AC 是∠DAB 的平分线，你知道其中的道理吗?【情境导入】某考古队为了进行研究，寻找一座古城遗址，根据史料记载，该古城在森林附近，到两条河岸的距离相 等，到古塔的距离是3000 m, 如图所示(比例尺为1:200000).根据这些资料，考古队很快找到了这座古城 的遗址.你能在图中合理地标出古城遗址的位置吗? 教学设计 课题第1课时 角平分线的性质与判定授课人素养目标1.探索并理解角平分线的性质和判定.2.会灵活运用角平分线的性质和判定解决有关问题.3.通过角平分线相关定理的证明和应用，将计算和证明融合在一起，进一步理解并掌握知识，提高分析能力和 判断能力.教学重点利用角平分线的性质定理及其逆定理解决一些简单问题.教学难点掌握角平分线的性质定理及其逆定理并能进行证明.授课类型新授课课时 ◎ 名校课堂 ·新教案 ·数学 ·八年级下 ·1(BS) ◎ ◎ 教学活动 教学步骤师生活动设计意图回顾1.角平分线的性质是什么?2.如何利用尺规作一个角的平分线?复习旧知识，为学习新课 做准备.活动一：创设情境、导 入新课【课堂引入】一种蜘蛛网的某条主网线是与它相邻的两条主网线构成的角的平分线(如 图),如果蜘蛛在∠AOB的平分线OC上一点P处，为尽快爬到OA或OB上控制猎物，你认为它应该选择什么路线?两条路线的长度有怎样的关系?先观察图形，结合实践经验，师生交流，根据“点到 直线的距离，垂线段最短” 可以发现蜘蛛会沿着所在的点与角的边垂直的路线 爬行，即蜘蛛所走的路线 是从点P到点A或从点P到点B.活动二：实践探究、交 流新知【探究新知】角平分线的性质1.将准备好的∠AOB按如图所示的方式折叠，折出如图所示的折痕PD, PE,量一量PD,PE的长度，你有什么发现?猜想：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.师生活动：学生动手操作，分组讨论，尝试得出结论.教师适时引导，给予肯 定评价.2.证明角平分线的性质.我们要证明一个命题时，按照以下步骤进行，即：(1)明确命题中的已知和求证；(2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；(3)经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.已知：∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.证明：∵PD⊥OA, PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PE EO中，∴△PDO≌△PEO(AAS). ∴PD=PE.3.几何语言∵点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE.角平分线的判定定理我们经常用逆向思维得到一个原命题的逆命题.在前面学习线段的垂直平 分线时，已经历过构造其逆命题的过程，请解答下面的问题：问题1:写出“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”这一命题的逆 命题 .问题2:判断问题1中得到的逆命题是不是真命题.以前得到的角平分线的性 质定理是通过折纸的方法，比较模糊.现在通过写 成已知、求证的形式，可以 使学生分清定理的题设和 结论；通过独立思考、规范 的证明可以加深对定理生 成过程的理解与掌握。 ◎ ○ 名校课堂 · 同步练习全国领导者 ◇ 续表教学步骤师生活动设计意图活动二：实践探究、交 流新知角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个 角的平分线上.问题1:证明“在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分 线上”.问题2:角平分线的判定定理用符号语言怎样表示?问题3:角平分线的判定定理的特征是什么?已知：如图，P是∠MON内一点，PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,且PA=PB.求证：点P在∠MON的平分线上.证明：在Rt△PAO和Rt△PBO中，∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL).∴ ∠1=∠2.∴OP平分∠MON,即点P在∠MON的平分线上.几何语言：∵PA⊥OM,PB⊥ON,PA=PB,∴∠1=∠2(OP平分∠MON).活动三：开放训练、体 现应用【典型例题】例1 (教材第41页例1)如图，在△ABC中，∠BAC=60°,点D在边BC 上，AD=10,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF,求DE的长.通过训练，加深对角平分 线性质和判定的运用和 理解 .解：∵DE⊥AB,DF⊥AC,DE=DF,在Rt△ADE中，∠BAD=30°, ○名校课堂 · 新教案 · 数学 · 八年级下 ·1(BS)《 ◎◎ 续表教学步骤师生活动设计意图活动三：开放训练、体 现应用例2如图，点B,C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别为E,F,且AB=AC,DE=DF.求证：BD=CD.证明：连接AD.∵DE⊥AB,DF⊥AC,DE=DF, ∴∠BAD=∠CAD.在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD(SAS). ∴BD=CD.【变式训练】1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D.若AB=10,S△ABD=15,求CD的长.解：过点D作DE⊥AB于点E.∵∠C=90°,AD平分∠BAC,∴DE=CD.解得DE=3.∴CD=3.2.如图所示，已知E,F为AB,AC上的点，且BF⊥AC,CE⊥AB,BD=CD.求 证：点D在∠BAC的平分线上.证明：∵BF⊥AC,CE⊥AB, ∴∠BED=∠CFD=90°.又∵∠BDE=∠CDF,BD=CD,∴△BDE≌△CDF(AAS).∴DE=DF.∴点D在∠BAC的平分线上.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.活动四：课 堂检测【课堂检测】1.如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥DA,垂足为D.若PD=5,Q为OB上一 动点，则PQ的最小值为5. ◎ ○ 名校课堂 · 同步练习全国领导者 ◇◎ 续表经典导学设计 详见电子资源教学步骤师生活动设计意图活动四：课 堂检测2.如图，∠B=∠C=90°,M是BC的中点，DM平分∠ADC.(1)求证：AM平分∠DAB;(2)若AD=5,BC=4,求四边形ABCD的面积 .解：(1)证明：过点M作ME⊥AD于点E.∵DM平分∠ADC,∠C=90°,ME⊥AD,∴MC=ME . ∵M为BC的中点，∴BM=MC=ME .∵∠B=90°,ME⊥AD,∴AM平分∠DAB.(2)∵BC=4,∴Rt△AEM≌Rt△ABM(HL).同理Rt△DCM≌Rt△DEM(HL).促进学生加深对所学知识 的理解运用，在问题的选 择上以基础为主，让学生 灵活运用所学知识解决问 题，巩固新知.师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.课堂小结1.课堂小结：(1)本节课学到了什么知识?(2)还存在什么困惑?2.布置作业：教材第41页随堂练习.注重课堂小结，激发学生 参与课堂总结的主动性， 为每一个学生的发展与表 现创造机会.板书设计第1课时 角平分线的性质与判定1.角平分线的性质定理2.角平分线的判定定理提纲挈领，重点突出.教学反思教学时，主要运用启发式教学，采用“试验——猜想——验证”的课堂教学方法，适时启发引导，让学生展开讨论，充分发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学习积极性，培养学生良好的思维方式与习惯.学生往往不能正确 区分出角平分线的性质定理和判定定理，因此要通过分析定理的题设和结论帮 助学生正确认识.学生习惯用找全等三角形的方法去解决问题，而不注重利用刚学过的定理来解决问题，这实际上是对定理的重复证明，这一点在教学时要 提醒学生注意.反思，更进一步提升.第 2 课 时 三角形三个内角的平分线 备课素材 新课导入设计【类比导入】1.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 .2.在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.3.三角形三边的垂直平分线相交于三点，并且这一点到三个顶点的 距离相等.你知道三角形三条角平分线的特点吗? 教学设计 教学活动 课题第2课时 三角形三个内角的平分线授课人素养目标1.会证明三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.2.会利用角平分线的性质定理及判定定理进行相关的证明与计算.教学重点三角形三条内角平分线的性质.教学难点综合运用角平分线的判定定理和性质定理解决几何中的问题.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.角平分线的性质是什么?如何用几何语言表示?2.角平分线的性质定理的逆定理是什么?如何用几何语言表示?复习回顾相关知识，为学 习新知做好铺垫.活动一：创设情境、导 入新课【课堂引入】上节课我们学习了角平分线的性质和判定，下面请同学们画出三角形三个 内角的平分线，并猜想它们的特点.你发现了什么?能证明自己发现的结论一定正确吗?通过对问题的思考，一方 面锻炼学生动手操作的好 习惯，另一方面让学生感 悟结论的真实性，从而引 出新课 .活动二：实践探究、交 流新知【探究新知】发现：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离 相等 .验证猜想：如何利用我们学过的基本事实和已证的定理来证明这个结论呢?你可以类比三角形三条边的垂直平分线交于一点的方法来证明它吗?请同学们类比三角形三条边的垂直平分线交于一点的证法写出已知、求证，并尝试完成证明 过程.试一试. ◎ ○ 名校课堂 · 同步练习全国领导者 ◇ 续表教学步骤师生活动设计意图活动二：实践探究、交 流新知已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P,过点 P分别作AB,BC,AC的垂线，垂足分别为D,E,F.求证：∠A的平分线经过点P,且PD=PE=PF.证明：∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，且 PD⊥AB,PE⊥BC,垂足分别为D,E,∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离 相等).同理，PE=PF.∴PD=PE=PF.∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在 这个角的平分线上),即∠A的平分线经过点P.故三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等在证明结论时，引导学生 类比三角形三边垂直平分 线的位置关系的证明思路 和方法进行思考，加深学 生对定理的理解与应用.活动三：开放训练、体 现应用【典型例题】例(教材第42页例2)如图，在△ABC中，AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,垂足为E.(1)已知CD=4 cm,求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD.解：(1)∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC,DE⊥AB,∴DE=CD=4cm.∵AC=BC,∴∠B=∠BAC.∴∠BDE=90°—45°=45°.∴BE=DE=4 cm.在等腰直角三角形BDE中，由勾股定理，得BD= √DE²+BE²= √ 2DE²=4 √ 2 cm,∴AC=BC=CD+BD=(4+4 √2cm.(2)证明：由(1)的求解过程易知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC=AE.∵BE=DE=CD,∴AB=AE+BE=AC+CD.【变式训练】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P,且PE⊥AB, PF⊥AC,垂足分别为E,F.(1)求证：PE=PF;(2)若∠BAC=60°,连接AP,则∠EAP=30°.证明：过点P作PD⊥BC于点D.∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P,且PE⊥AB,PF⊥AC,∴PD=PE,PD=PF.∴PE=PF.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.学以致用，从做题中进一 步加强对知识的理解和 运用 . ◎○◎名校课堂 · 新教案 · 数学 · 八年级下 · 1(BS) ◎◎ 续表经典导学设计详见电子资源教学步骤师生活动设计意图活动四：课 堂检测【课堂检测】1.如图所示，△ABC是一块草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉 亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 (C)A.△ABC的三条中线的交点B.△ABC三边的垂直平分线的交点 C.△ABC三条角平分线的交点D.△ABC三条高所在直线的交点2.如图所示，已知△ABC的周长是20,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,通过设置课堂检测，及时 获知学生对所学知识的掌 握情况，明确哪些学生需 要在课后加强辅导，达到 全面提高的目的.OD⊥BC于点D,且OD=1,求△ABC的面积.解：连接OA,过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F. ∵BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,∴OE=OF=OD=1.∵△ABC的周长是20,∴AB+BC+AC=20.师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.课堂小结1.课堂小结：(1)本节课学到了什么知识?(2)还存在什么困惑?2.布置作业：教材第43页随堂练习.注重课堂小结，激发学生 参与课堂总结的主动性， 为每一个学生的发展与表 现创造机会.板书设计第2课时 三角形三个内角的平分线1.三角形三个内角的平分线2.角平分线的性质与判定综合提纲挈领，重点突出.教学反思这节课主要是用类比教学的方法，将旧知与新知以有效的语言表达出来， 并用合适的方式写在一起，为师生的交流创造良好的氛围.通过问题的解决，让 学生从不同的角度分析、解决问题，让学生学会引申、变更问题，以培养学生发 现问题、提出问题的创造性能力.重视情境创设，让学生经历求知过程，引导学 生积极参与课堂，积极投入到解题思路的探索过程中，从而发展学生的独立思 考的能力.反思教学过程和教师表 现，进一步提升操作流程 和自身素质.◎◇○ 名校课堂 · 同步练习全国领导者 ◎ 0☆ 问题解决策略：反思 备课素材 》新课导入设计【复习导入】原命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.条件：有一点在线段的垂直平分线上结论：这一点到线段两端点的距离相等逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.条件：有一点到线段两个端点距离相等结论：这一点在线段的垂直平分线上你发现了什么?我们发现将上述命题的条件和结论交换后，命题依旧成立.你能再写出几个交换条件和结论后依旧成立的命题吗? 教学设计 教学活动 课题☆问题解决策略：反思授课人素养目标1.掌握等腰三角形的性质，能运用全等三角形判定证明“两腰中线相等”.2.学会“理解问题一拟订计划—实施计划一反思”的几何证明思路，体会“转化”思想.3.通过探究与交流，提升逻辑推理与合作表达能力.教学重点运用全等三角形证明“等腰三角形两腰中线相等”的方法.教学难点从结论倒推全等条件的逻辑分析，及对几何问题的拓展反思.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图活动一：创设情境、导 入新课【课堂引入】1.回顾等腰三角形性质：当AB=AC时，∠B=∠C(等边对等角).2.提出问题：若BD,CE是AC,AB的中线，BD和CE是否相等?引导学生 猜想 .通过复习旧知、设问引入， 激发学生兴趣，为新课做 铺垫活动二：实践探究、交 流新知【探究新知】问题：证明：等腰三角形两腰上的中线相等.已知：如图，在ABC中，AB=AC,BD和CE分别是边AC,AB上的中线.求证：BD=CE. ○ 名校课堂 ·新教案 ·数学 ·八年级下 ·1(BS)◎0◎ 续表教学步骤师生活动设计意图活动二：实践探究、交 流新知(1)证明两条线段相等有哪些常用的方法?(2)以BD为边的三角形有哪些?以CE为边的三角形呢?其中哪些三角 形有可能全等?(3)找出两个有可能全等的三角形，要证明这两个三角形全等，已知哪些边 或角相等?还需要证明哪些边或角相等?(4)整理你的思路，并与同伴进行交流.师生活动：提出问题，引导学生思考，从结论出发，一步步引导学生解决问 题，提供了解决问题的一般思路和方法.展示出两位同学的不同证明方法，提出问题，进行小组讨论.(1)通过△ABD≌△ACE,证明BD=CE.(2)通过△CBD≌△BCE,证明BD=CE.反思：(1)比较两种证明方法，你更喜欢哪种方法?说说你的理由.(2)根据题目的条件，你还能得到哪些结论?与同伴进行交流.(3)适当改变题目的条件，如将题中的角平分线换成高线，你还能得到哪些 结论?(4)本题证明了等腰三角形两腰上的中线相等，反过来，是否成立? 教师小结：①数学思想：从结论出发倒推条件的“逆向思维”;②方法总结：证线段相等→找含目标线段的全等三角形→分析全等条件.1.通过探究“等腰三角形 两腰中线相等”,帮助学生 巩固等腰三角形的性质、 三角形全等的判定等核心 知识，同时明确“证明线段 相等”的常用方法.引导学 生从“找含目标线段的三 角形”“分析全等条件”等 步骤，建立几何证明的逻 辑思维，掌握从结论倒推 条件的解题思路.2.通过两种证明方法的对 比，锻炼学生的发散思维 和方法优化能力.3.通过“逆向思考”等思 想，引导学生从“正向证 明”到“逆向推理”,深化对 知识的理解，提升思辨能力 .活动三：开放训练、体 现应用【典型例题】例 如图1,在△ABC中， D在BC的延长线上，∠ABC的平分线BP与 ∠ACD的平分线CP交于点P,BP与AC交于点E,设∠A=a .图 1 图2特例探究：(1)若AB=AC,当α=40°时，∠P=20°;当α=100°时，∠P=50°;∠P与a之间关系式为 ◎ ○ 名校课堂 · 同步练习全国领导者 续表教学步骤师生活动设计意图活动三：开放训练、体 现应用一般化探究：(2)如图2,若AB≠AC,(1)中的最后一个结论是否还成立?若不成立，请 举反例说明；若成立，请说明理由.1.学以致用，从做题中进 一步加强对知识的理解和 运用能力.2.巩固加深学生对本节课 所学方法的掌握程度，加 强学生演绎推理证明的 能力 .解：成立.理由如下：由条件可知，∠ABC),【变式训练】如图，△ABC是等边三角形.(1)若AD=BE=CF,求证：△DEF是等边三角形.(2)(1)的逆命题成立吗?若成立，请证明；若不成立，请用反例说明.解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°,AC=AB=BC.∵AD=BE=CF,∴AC — CF=BC 一BE=AB -AD .∴EC=AF=BD.∴△ADF≌△BED≌△CFE(SAS).∴DF=DE=EF.∴△DEF是等边三角形.(2)(1)的逆命题成立.证明：∵△DEF是等边三角形，∴∠EDF=∠EFD=∠DEF=60°,DF=EF=DE.∵∠A=∠B=∠C=60°,∴∠ADF+∠AFD=120°,∠ADF+∠BDE=120°,∠BDE+∠DEB=120°,∠AFD+∠EFC=120°.∴∠ADF=∠DEB=∠EFC.∴△ADF≌△BED≌△CFE(AAS).∴AD=BE=CF.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.活动四：课 堂检测【课堂检测】1.如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，且点A,B,D在同一条直 线上，下列结论：①AE=CD;②BF=BG;③∠AHC=60°;④△BFG是等边三 角形；⑤FG//AD,其中正确的有 (A)A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 ○ 名校课堂 ·新教案 ·数学 ·八年级下 ·1(BS)《 续表经典导学设计详见电子资源教学步骤师生活动设计意图活动四：课 堂检测2.三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵.三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”.其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数 字之和均相等的，我们称为“和幻方”;其每一横行、每一竖列、每条斜对角线 上的三个数字之积均相等的，我们称为“积幻方”.4 a 2 2 3 8 x5 nb 6 m 2 5图 1 图2 图3( 1 ) 若 图 1 是 一 个 “ 和 幻 方 ” , 则 a =9,b= 1 ;(2)若图2是一个“积幻方”,求m”的值；(3)如图3,参考(1)(2)提出一个新问题，并求解.解：(2)第一横行的积为∴2×2n= - 8,解得n= - 2 .∴—3×(-2)m=—8,解得(3)答案不唯一，例如：图3是一个“和幻方”,求x的值.如表，设最中间的数为y,则3+8+x=5+y+x,解得y=6,通过课堂检测，及时获知学生对所学方法策略的掌握情况，并最大限度地调动学生学习数学的积极性，使每个学生能有所收益、有所提高.358ycxt设右下角的数为t,则3+6+t=3+8+x,∴t=x+2.设第三行第二列的数为c,则5+c+x+2=3+8+x,解得c=4.∴第二列3个数的和为8+6+4=18.则 3 + 8 + x = 1 8 ,解得x=7.师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.课堂小结1.课堂小结：本节课学到了什么?还存在哪些困惑?2.布置作业：教材第52页复习题第19题.注重课堂小结，激发学生 参与课堂总结的主动性， 为每一个学生的发展与表 现创造机会.板书设计☆问题解决策略：反思 等腰三角形两腰上的中线相等提纲挈领，重点突出.教学反思本节课要让学生体会“问题解决策略”四步骤(理解问题→拟定计划→实施 计划→ 回顾反思),教学中，始终以学生为主体，教师为主导，充分调动学生的兴 趣和积极性，使他们最大限度地参与到课堂的活动中，注重学生的体会与感悟反思，更进一步提升.