重庆市渝北中学2024-2025学年高一上学期期中质量监测数学试卷（Word版附解析）

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（全卷共四大题19小题，总分150分，考试时长120分钟）
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号、班级等填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
3.答非选择题时.必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合或x≥1，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由交集定义直接计算即可得解.
【详解】因为集合或x≥1，，
所以或.
故选：B.
2. 设集合是偶数集，集合是奇数集.若命题，，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由否定的定义即可得解.
【详解】由否定的定义可知：若命题，，则，.
故选：C.
3. 下列函数定义域和值域都是的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】由即可求解判断A；由函数定义域为R可判断BC；先求出函数定义域为，再求出值域即可判断D.
【详解】对于A，要使函数有意义，则，所以函数定义域为，不符合；
对于BC，函数定义域均为R，不符合；
对于D，要使函数有意义，则x>0，所以函数定义域为，
因为x>0，故，所以2x>0，所以函数值域为，故D正确.
故选：D.
4. 设，则“”是“或”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由充分不必要条件的定义即可得解.
【详解】一方面：或；
另一方面：或，但此时不满足；
所以“”是“或”的充分不必要条件.
故选：B.
5. 函数的图象如图所示（图象与正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（ ）

A. 函数的定义域为
B. 函数的值域为
C. 当时，有三个不同的值与之对应
D. 当，时，
【答案】D
【解析】
【分析】利用图象可判断ABC选项的正误，由图象可得出函数在上的单调性，可判断D选项的正误.
【详解】对于A：由图象可知：函数在没有图象，故定义域不是，故A错误；
对于B：由图象可知函数的值域为，故B错误；
对于C：由图象可知，当时，有2个不同的值与之对应，故C错误；
对于D：由图象可知函数在上单调递减，
所以，当、时，不妨设，则，则，故D正确.
故选：D.
6. 实数，，，，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】对于A，取即可判断；对于B，取即可判断；
对于C，取即可判断；对于D，作差并求得差值a+2a−b+2b>0即可判断D得解.
【详解】对于A，取时，满足，，
但，不满足，故A错误；
对于B，取时，满足，
但，不满足，故B错误；
对于C，取，满足，
但，不满足，故C错误；
对于D，，
因为，所以，所以，
所以a+2a−b+2b=a−b1−2ab>0，即.故D正确.
故选：D.
7. 若函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意列出关于的不等式组即可求解.
【详解】若函数是上的减函数，
则，解得.
故选：A.
8. 已知，，且不等式对任意恒成立，则的最大值为（ ）
A. 3B. 6C. 18D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】先由不等式对任意恒成立求出，接着由和求出，再由得，求出的最大值即可得解.
【详解】因为不等式对任意恒成立，
所以，
因为，
所以，又，，所以，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，故的最大值为18.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 是的必要不充分条件
D. 是的充分不必要条件
【答案】AC
【解析】
【分析】由空集是任何集合的子集即可判断A；由得，从而求出即可判断B；求出的解，再结合必要不充分条件的定义即可判断C；由得或，且由得且结合充分不必要条件的定义即可判断D.
【详解】对于A，空集是任何集合的子集，故A正确；
对于B，因为，所以，所以，
所以，故B错误；
对于C，由得或，故是的必要不充分条件，故C正确；
对于D，由得或，由得且，
所以不是的充分不必要条件.故D错误.
故选：AC.
10. 已知正数，满足，则下列选项正确的是（ ）
A. 的最小值是1B. 的最小值是2
C. 的最小值是9D. 的最大值是
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，由基本不等式得的最大值是1即可判断；对于B，变形结合基本不等式得即可计算得解；对于C，由基本不等式“1”的妙用方法即可求解判断；对于D，将消元变形为一元二次函数即可求解判断.
【详解】，为正数，且满足，
则且，所以，，
对于A，即，当且仅当时等号成立，
所以最大值是1，故A错误；
对于B，，当且仅当时等号成立，
所以的最小值是2，故B正确；
对于C，，当且仅当即时等号成立，
所以的最小值是，故C错误；
对于D，，
所以当时，有最大值，故D正确.
故选：BD.
11. 已知定义在上的函数满足：，，当时，有，则称函数为“理想函数”.根据此定义，下列函数不是“理想函数”的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】按“理想函数”定义依次去计算对，，当下的，并分析其结果即可得得解.
【详解】对于A，因为，所以对，，当时，
有，
故不是“理想函数”.故A正确；
对于B，因为，所以对，，当时，
有
，
所以当且时， ，
故不是“理想函数”.故B正确；
对于C，因为，所以对，，当时，
有，
故“理想函数”.故C不正确；
对于D，因为，所以对，，当时，
有，
所以当且时，，
故不是“理想函数”.故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则__________.
【答案】3
【解析】
【分析】由解析式取x=1即可求.
【详解】因为，
所以取x=1得.
故答案为：3.
13 已知函数，.则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定的函数式，代入计算即得.
【详解】函数，由，得，即，
所以.
故答案为：
14. 对于任意实数，x表示不超过的最大整数.如，.定义在上的函数，若，则中所有元素的和为_____.
【答案】11
【解析】
【分析】就的取值范围分类讨论后可求函数值，从而可求中元素的和.
【详解】注意到
且
所以，
所以，故所求为.
故答案为：11.
【点睛】关键点点睛：关键在于对新定义函数、集合的理解，分类讨论要做到不重不漏，由此即可顺利得解.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设集合、，.
（1）若时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式求出集合A，接着根据补集定义求出，再根据交集定义即可求解；
（2）由得，进而得，解该不等式组即可得解.
【小问1详解】
解得，所以，
若，则，
所以或，
所以或x>8=x|0≤x<1.
【小问2详解】
因为，所以，由（1），
所以，解得.
所以实数的取值范围是.
16. 已知二次函数，满足，且的解集为.
（1）求函数的解析式；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）的取值范围为.
【解析】
【分析】（1）先由求得，接着由不等式的解集特征可得，且和是方程的两根，从而由韦达定理可求解.
（2）先由“当时，恒成立”结合得到在上恒成立，从而，再利用基本不等式求出即可得解.
【小问1详解】
由题意可得，所以，
又因为的解集为，
所以由不等式的解集特征可得，且和是方程的两根，
所以，
所以函数的解析式为.
【小问2详解】
当时，恒成立，
所以由（1）知当时，恒成立，
即在上恒成立，
令，则在上恒成立，
所以，
又因为，当且仅当即时等号成立，
所以，
所以，即的取值范围为.
17. 某单位为响应政府旧城改造号召，决定在单位内投资156000元建一个长方体的功能用房，其高度3米，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用塑钢每平方400元，两侧墙砌砖，每平方米造价450元，地面和顶部每平方米造价均为600元，设正面长为米，每侧砖墙长均为米.
（1）写出与的关系式；
（2）求出功能用房占地面积S的最大允许值是多少？此时正面长应设计为多少米？
【答案】（1）
（2）功能用房占地面积S的最大允许值是平方米，此时正面长应设计为15米.
【解析】
【分析】（1）先由题意列出等量关系，接着化简即可得解.
（2）先由基本不等式得，接着由（1）构建出不等式，解该不等式即可求出范围，进而可求解.
【小问1详解】
由题得，
化简得，
所以.
【小问2详解】
因为，当且仅当时取等号，
所以即，
所以，解得，
所以功能用房占地面积，即功能用房占地面积S的最大允许值是平方米，
此时且，即，故此时正面长应设计为15米.
18. 已知函数.
（1）判断并证明的奇偶性；
（2）判断在上的单调性.并用单调性定义证明；
（3）解关于的不等式.
【答案】（1）函数是定义在R上的奇函数.证明见解析；
（2）函数在上单调递增.证明见解析；
（3）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）根据奇偶性的判断方法和步骤去计算判断即可.
（2）根据函数单调性定义法的证明步骤去计算判定即可.
（3）先由函数的奇偶性和单调性将原不等式fct2−t+f1−ct>0c∈R等价转化为不等式ct2−c+1t+1>0c∈R，再解该不等式即可得解.
【小问1详解】
函数是定义在R上的奇函数.证明如下：
因为函数，
所以函数定义域为R，关于原点对称，
且，
所以函数是定义在R上的奇函数.
【小问2详解】
函数在上单调递增.证明如下：
任取，则
，
因为，所以x1−x2<0,x1+12x22+34x22+2>0，
所以，即，故，
所以函数在上单调递增.
【小问3详解】
由（1）可知函数是定义在R上的奇函数，
所以fct2−t+f1−ct>0c∈R等价于fct2−t>fct−1c∈R，
又由（2）可知函数在上单调递增，
所以即ct2−c+1t+1>0c∈R，
当时，不等式为，解得；
当时，解或，
若，则，所以不等式的解为；
若，则，所以不等式的解为或；
若，则，所以不等式的解为；
若，则，所以不等式的解为或.
综上，当时，原不等式的解集为；
当，原不等式的解集为；
当，原不等式的解集为；
当，原不等式的解集为；
当，原不等式的解集为.
19. 设函数，其中.
（1）若，求函数在区间上的值域；
（2）若时，有解，求实数的取值范围；
（3）若对任意的，，都有，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）先由得，接着根据函数在0,4上的单调性求出函数的最值即可得解.
（2）先由在x∈0,1上有解得，接着根据函数的单调性研究其最值情况得2t+1>3，从而得解.
（3）先由任意的，都有得对任意有，接着分类讨论研究函数在闭区间0,4的最值即可依据计算求解实数的取值范围.
【小问1详解】
若，则，
所以函数在0,1上单调递减，在上单调递增，
又，所以，
所以函数在区间0,4上的值域为.
【小问2详解】
因为x∈0,1时，有解，即在x∈0,1上有解，
所以在x∈0,1上有解，所以，
令，任取，
则
，
因为，所以，所以，
所以gx1−gx2=x1−x21−2x1x2>0，即，
所以函数在0,1上单调递减，所以，
所以2t+1>3，解得.
所以实数的取值范围为.
【小问3详解】
因为对任意的，，都有，
所以对任意，有，
因为，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则当即时，函数在0,4上单调递增，
所以，解得，不符；
当即时，函数在0,4上单调递减，
所以，解得，不符；
当即时，函数在上单调递减，在上单调递增，又，
所以，解得，
又，所以；
当即时，函数在上单调递减，在上单调递增，又，
所以，解得，
又，所以；
综上，实数的取值范围为.
【点睛】关键点睛：“对任意的，都有，求实数的取值范围”问题的关键是将问题等价转化为“对任意有，求实数的取值范围”，再分类讨论研究一元二次函数在闭区间0,4的最值即可依据计算求解实数的取值范围.