重庆市渝北中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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（全卷共5大题14小题，总分150分，考试时长120分钟）
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、考号填写清楚.
2.请将所有答案写在答题卡上，不得在试卷上直接作答.
3.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂.
4.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 学校食堂的一个窗口共卖4种菜品，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
2. 的展开式中的常数项为（ ）
A. 20B. 15C. D.
3. 在5件工艺品中，有2件二等品，3件一等品，现从中抽取3件，设抽得二等品件数为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的极大值为（ ）
A. 2B. C. D.
5. 在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖.则摸球三次仅中奖一次的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 有一款开盲盒游戏，共有6个外观完全相同的盒子，每个盒子中分别装有1个玩具，共有款玩具1个，款玩具2个，款玩具3个，游戏参与者随机打开盒子；一次只能开一个，设事件“在第一次打开的是装有款玩具的盒子”，事件“在第二次打开的是装有款玩具的盒子”.则（ ）
A. B. C. D.
7. “杨辉三角”最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，它揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律.如图，由“杨辉三角”下列叙述正确的是（ ）
A. 第10行中第5个数最大
B. 第2025行中从左往右第1012个数与第1013个数相等
C.
D. 第12行中相邻两个数比值的最大值为12
8. 在渝北中学某次研学活动中，班主任李老师带领甲、乙、丙等5名学生排队出发参观校史馆，李老师只能在排头或排尾：其中甲同学是新生，不能离李老师超过1名学生距离；乙同学和丙同学爱讲话不能相邻，请问这支队伍总共有（ ）种排队方式.
A. 48B. 56C. 64D. 72
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 展开式的二项式系数和为B.
C. 展开式的各项系数和为D.
10. 用1，2，3，4，5五种颜色给图中的，，，四个区域涂色，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同色，则下列说法正确的是（ ）
A. 用1，2，3这三种不同颜色涂色的不同方法数为12
B. 四个区域都涂不同颜色的不同方法数为120
C. 任选若干种颜色涂色的不同方法数为180
D. ，两个区域涂同种颜色的概率是
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. ，是增函数
B. 若有三个不同的零点，，，则不为定值
C. 过点且与曲线相切的直线恰有3条
D. 对，都有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若的展开式中的系数为30，则__________
13. 某科研实验小组要安排6名科研人员到三个不同的实验室开展实验活动，三个实验室中每个实验室至少一人，则不同的安排方法有__________（用数字作答）
14. 数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制，五进制.五进制是“逢五进一”的进制，由数字0，1，2，3，4来表示数值，例如五进制数324转化成十进制数为.若由数字1，2，3，4组成的五位五进制数，要求1，2，3，4每个数字都要出现，例如12334，则不同的五位五进制数共有__________个；若从由数字1，2，3（可重复）组成的三位五进制数中随机取1个，则该数对应的十进制数能被3整除的概率为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）试讨论函数的单调性.
16. 某电子设备制造厂所用的元件是由A、B、C三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有下表所示的数据.设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志.
（1）在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率；
（2）在仓库中随机取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品出自C工厂生产的概率.
17. 已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为256.
（1）求的展开式中的系数和；
（2）求展开式中含项的系数；
（3）求展开式中系数最大和最小的项.
18. 某商家为了推销新生产的玩具，举行抽奖活动.玩具有外观和内饰的颜色区别，现有25个不同的玩具，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
（1）若小华从这些玩具中随机拿一个玩具，记事件为小华取到黄色外观的玩具，事件为小华取到红色内饰的玩具，求，和；
（2）该商家规定在一次抽奖中，每人可以从这些玩具中随机一次性拿两个玩具，现有两种抽奖方案：
方案一：每人参加一次抽奖活动.若拿到的两个玩具外观和内饰都异色，则获得一等奖800元；若拿到的两个玩具外观和内饰均为同色，则获得二等奖500元；若拿到的两个玩具仅外观或内饰同色，则获得三等奖300元.
方案二：每人参加三次抽奖活动.每次抽奖若拿到的两款玩具外观和内饰均为同色，获得奖金500元，否则没有奖金.
设方案一中每人获得奖金金额为X元，方案二中每人获得奖金金额为Y元.请写出X的分布列及求出X，Y的期望，并通过期望比较哪种方案获奖金额更高.
19. 某电商平台为促进消费推出“有奖闯关”活动.活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）.闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品.已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为.某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%.
（1）若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望；
（2）设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望）
（i）求关于的函数表达式；
（ii）求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少？
元件制造厂
次品率
提供元件的份额
A
0.02
0.2
B
0.02
0.5
C
0.03
0.3
内饰外观
红色内饰
蓝色内饰
黄色外观
10
2
绿色外观
10
3