2024-2025学年重庆市渝北中学高一（下）期中数学试卷(含答案）

这是一份2024-2025学年重庆市渝北中学高一（下）期中数学试卷(含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a=(1,−1),b=(−2,3),c=(1,1)，则(a+b)⋅c=( )
A. 1B. 0C. −1D. −2
2.已知a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若a⊂α，a//β，则α//βB. 若b⊥α，b⊂β，则α⊥β
C. 若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γD. 若a//b，b//α，则a//α
3.已知向量a,b满足|a|= 3,|b|=1,|2a−b|=3，则a⋅b=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
4.在△ABC中，∠B=π3,AB=2,AC= 19，则BC=( )
A. 4B. 3C. 5D. 3或5
5.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2，CD1和A1D与底面所成的角分别为30°和45°，则异面直线B1C与BD所成角的余弦值为( )
A. 34B. 24C. 34D. 54
6.渝北中学大力传承和弘扬“红岩⋅莲华”精神，在王朴母子雕像前举行纪念活动.某同学为测量王朴母子雕像的高度AB(雕像的底端视为点B，雕像的顶端视为点A)，在地面选取了两点C，D(其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内)，在点C处测得点A的仰角为30°，在点D处测得点A，B的仰角分别为60°，15°，测得CD=18( 3+1)m，则按此法测得的王朴母子雕像AB的高为( )
A. 34mB. 35mC. 36mD. 37m
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边为a,b,c,b2−c2=a2−12ac,AD=23AC，若AB=4，BC=3，则BD长为( )
A. 53B. 73C. 83D. 103
8.已知非零向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，且|AB−AC|=2 2,|AB+AC|=6 2，点D是△ABC的边AB上的动点，则DB⋅DC的最小值为( )
A. −1B. −14C. −15D. −78
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2acsin2B= 3(a2+c2−b2)，则B的大小可能为( )
A. π6B. π3C. π2D. 2π3
10.已知向量a=(3,2),b=(−1,2),c=(4,1)，则下列结论正确的是( )
A. |b|= 5
B. 若(a+kc)//(2b−a)，则实数k的值为−1613
C. 若a与a+λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−13,+∞)
D. a在b上的投影向量的坐标为(−15,25)
11.如图，已知底面为矩形的四棱锥P−ABCD的顶点P的位置不确定，点M在棱CD上，且AM⊥BM，平面PAM⊥平面ABCD，则下列结论正确的是( )
A. PA⊥BM
B. 平面PAM⊥平面PBM
C. 存在某个位置，使平面PAM与平面PBC的交线与底面ABCD平行
D. 若AD=2 3,MD=2，则直线CM与平面PAM所成角为π3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a,b不共线，若a−kb与2a+b共线，则实数k的值为______．
13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=1且ccsB+bcsC−2asinA=0，则△ABC外接圆面积为______．
14.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点M为底面ABCD的中心，点N在侧面BB1C1C的边界及其内部运动，若D1M⊥MN，则线段C1N长度的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图，在平面四边形ABCD中，∠BCD=90°，∠D=45°，AD=2，AC=5．
(1)求cs∠ACD；
(2)若BC=2 2，求AB．
16.(本小题12分)
已知点A(1,1)，B(5,3)，O为坐标原点，M为x轴上一动点．
(1)AM⊥BM，求点M的坐标；
(2)当AM⋅BM取最小值时，求向量AM与BM的夹角的余弦值．
17.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，AA1=2AC，N，M分别为AA1，BC的中点，求证：
(1)AM//平面BNC1；
(2)NC1⊥平面NBC．
18.(本小题12分)
如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AA1的中点．
(1)若点F满足2FD1=D1D，求证：E，B，F，C1四点共面；
(2)求直线AB与平面EBC1所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(sinA−sinB)⋅(sinA+sinB)=sinC(sinA−sinC)．
(1)求角B；
(2)求a2+c2b2的取值范围；
(3)当b=1时，角B的平分线交AC于M，求BM长度的最大值．
参考答案
1.A
2.B
3.C
4.C
5.B
6.C
7.C
8.C
9.BCD
10.ABD
11.ABD
12.−12
13.π
14.4 55
15.(1)在△ACD中，由正弦定理ACsinD=ADsin∠ACD，可得sin∠ACD= 25，
由AC>AD，可得∠D>∠ACD，即∠ACD为锐角，所以cs∠ACD= 1−sin2∠ACD= 235；
(2)在△ABC中，∠ACB=90°−∠ACD，可得cs∠ACB=sin∠ACD= 25，
由余弦定理得AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC∠ACB=25+8−2×5×2 2× 25=25，所以AB=5．
16.(1)根据题意，设点M(x,0)，又A(1,1)，B(5,3)，
则AM=(x−1,−1),BM=(x−5,−3)，
由AM⊥BM，
可得AM⋅BM=(x−1)(x−5)+3=x2−6x+8=0，
解得x=2或x=4，
所以M的坐标为(2,0)或(4,0)；
(2)由(1)可得：AM⋅BM=x2−6x+8=(x−3)2−1，
当x=3时，AM⋅BM取得最小值−1，
此时AM=(2,−1),BM=(−2,−3)，
则|AM|= 5,|BM|= 13，
设AM与BM夹角为θ，
则此时csθ=AM⋅BM|AM|⋅|BM|=−1 5× 13=− 6565，
即向量AM与BM的夹角的余弦值为− 6565．
17.证明：(1)连接B1C交BC1于G，连MG，NG，
在三棱柱ABC−A1B1C1中，矩形CBB1C1中，CB1∩BC1=G，则C1G=BG，
∵M，G分别为BC，BC1的中点，∴MG//CC1且MG=12CC1，
∵N为AA1中点，∴AN//CC1且AN=12CC1，
∴MG//AN且MG=AN，
∴四边形AMGN为平行四边形，∴AM//GN，
∵AM⊄平面BNC1，GN⊂平面BNC1，
∴AM//平面BNC1．
(2)∵AA1⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，
∵AA1//CC1，∴BC⊥CC1，
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，
∵AC∩CC1=C，AC，CC1⊂平面ACC1A1，∴BC⊥平面ACC1A1，
∵NC1⊂平面ACC1A1，∴BC⊥NC1，
∵在矩形ACC1A1中，AA1=2AC，N为AA1的中点，
∴AC=AN=A1N=A1C1，
∵AA1⊥底面ABC，AC⊂平面ABC，∴AA1⊥AC，
∴△C1A1N、△CAN均为等腰直角三角形，
∴∠ANC=A1NC1=45°，∴∠C1NC=90°，
∴NC1⊥CN，
∵NC1⊥BC，NC1⊥CN，CN∩BC=C，CN，BC⊂平面NBC，
∴NC1⊥平面NBC．
18.(1)证明：连接EF，AD1，由2FD1=D1D，知FD1//AA1，且FD1=12AA1，
因为E为AA1的中点，因此AE=12AA1，
因此FD1//EA，且FD1=EA，因此四边形FEAD1为平行四边形，
因此EF//AD1，
因为AB//D1C1，AB=D1C1，因此四边形ABC1D1为平行四边形，
因此AD1//BC1，
因此EF//BC1，故E，F，B，C1四点共面．
(2)证明：延长FE交DA于O，连接BO，则AB与面EBC1所成角就是AB与面EOB所成角．
过A作AG⊥BO交BO与G，连接EG，过A作AH⊥EG与H，连接BH，
因为AA1⊥平面ABCD，BO⊂平面ABCD，因此ABCD，∴EA⊥BO，
因为AG∩EA=A，∴BO⊥，AG，EA⊂平面EAG，因此BO⊥平面EAG，
因为AH⊂平面EAG，因此EAG，∴BO⊥AH，
因为BO∩EG=G，∴AH⊥，BO，EG⊂平面EOB，
因此AH⊥平面EOB
因此∠ABH就是AB与面EOB所成角．
令AD=2，由EA//DD1,EA=13FD，得AO=1，
在Rt△OAB中，AG=AB⋅AOOB=2×1 22+12=2 55，
同理在Rt△AEG中，AH=AE⋅AGEG=1×2 55 12+(2 55)2=23，
在Rt△ABH中，sin∠ABH=AHAB=13，
故直线AB平面EBC1所成角的正弦值为13．
19.解：(1)因为(sinA−sinB)⋅(sinA+sinB)=sinC(sinA−sinC)，
由正弦定理，可得(a−b)(a+b)=c(a−c)，整理得a2+c2−b2=ac，
由余弦定理可得csB=a2+c2−b22ac=12，
又因为B∈(0,π)，所以B=π3．
(2)由(1)可知sinC=sin(2π3−A)=sin(A+π3)，
由正弦定理，可得a2+c2b2=sin2A+sin2Csin2B=43[sin2A+sin2(A+π3)]
=43[1−cs2A2+1−cs(2A+2π3)2]=43×2+ 32sin2A−12cs2A2=43+23sin(2A−π6)，
因为△ABC为锐角三角形，则0