数学（河北卷）2026年中考模拟考前最后一卷含答案

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第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．我国很早就开始使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．若红色算筹“”表示的数是“”，则黑色算筹“”表示的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
解：由题意得，黑色算筹“”表示的数是．
2．如图是由完全相同的小立方块搭成的几何体，将小立方块①从该几何体中移走后，所得几何体与原几何体相比（ ）
A．俯视图改变，左视图改变B．俯视图不变，左视图改变
C．主视图改变，左视图不变D．主视图不变，左视图不变
【答案】C
【详解】解：将小立方块①从该几何体中移走后，
原主视图：，现主视图：，发生变化；
原左视图：，现左视图：，没有变化；
原俯视图：，现俯视图：，发生变化；
故三视图发生变化的是主视图和俯视图，只有左视图不变，
故选：C．
3．DeepSeek-V3是一款采用混合专家（ME）架构的大语言模型，凭借其庞大的参数量，在自然语言处理领域展现出强大的能力．截止2026年3月，它的参数量已经高达6850亿，将6850亿用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：6850亿．
4．如图，已知是的中位线，为上一点，且，若，，则的长为（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】B
【详解】解：∵是的中位线，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为直角三角形，
∵为的中点，
∴．
5．如图，在水平地面上放置一个平面镜，一束光线经过平面镜反射后成水平光线射出，延长线交于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：由题意得，，，
∴，
由入射角等于反射角得，，
∴．
6．若，则等于（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【详解】解：根据幂的运算规则可得，，
把，代入得，原式．
故选：D．
7．在《算法统宗》里记载了一道趣题：
原文：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟疑！
意思是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问甜、苦果各买几个？
下列是四位同学的解答：
①小明：设苦果买x个，甜果买y个，根据题意可列方程组为；
②小刚：设苦果买x个，甜果买y个，根据题意可列方程组为；
③小勇：设苦果买x个，甜果买个，根据题意可列方程为；
④小强：设苦果买x个，甜果买个，根据题意可列方程为．其中，以上解答一定正确的是（ ）
A．①③B．①②③C．②③④D．②④
【答案】A
【详解】解：设苦果买个，甜果买个，根据题意可列方程组为，
或设苦果买个，甜果买个，根据题意可列方程为，
则正确，
故选：A．
8．如图，在等腰中，，，以点为圆心，适当的长为半径画弧，与相切于点，交于点，交于点．若一个小球在等腰内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：在等腰中，，，
，
如图，连接，
以点为圆心，适当的长为半径画弧，与相切于点，
，
是等腰直角三角形，
点是的中点，
，
，，
小球停在图中阴影部分的概率是．
9．题目：当时，定义一种新运算：
例：，．若，则的值为（）
A．B．C．或0D．0
【答案】D
【详解】，且，
分两种情况讨论：
当时，
，，
，
即，
解得，
但，与矛盾，无解．
当时，
，，
，
即，
解得，
且，满足条件．
，
故选：D．
10．如图，在中，，，的三个顶点，，分别在，，边上，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】如图，作于，
∴，
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，．
∵，
不妨设，则，
则，
∴，
∴．
11．如图，在平面直角坐标系中，点，点，是轴上方的两个动点，四边形是菱形，函数的图象与对角线交于点（点，不重合），过点作轴于点，连接，．给出下面四个结论：
①的面积一定为2；
②和的面积一定不相等；
③一定为锐角三角形；
④可能为等腰三角形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】B
【详解】解：设点的坐标为，
、，
点在函数的图象上，
，
，
故①正确；
四边形是菱形，
、，
在和中，
，
，
故②错误；
举反例，当点位于的中点时，
四边形是菱形，
，即，
此时为直角三角形，
故③错误；
当点运动到使得或或的位置时，为等腰三角形，
由于点是动点，
则可能为等腰三角形，
故④正确；
综上所述，正确的有①④．
12．在探索宇宙的征程中，人类在一个边长为10光年的正方形星域中建立了一个观测站．该星域内有一个半径为1光年的恒星系（可视为圆形），它可以在星域内自由移动，并可能与其边界相切．设观测站位于星域的中心点P，观测站到该圆形恒星系边界上任意点的最短距离为d光年．已知d为整数，则d的取值情况有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
【答案】C
【详解】解：如图，
∵ 正方形星域边长为10光年，中心为，由于圆要“在星域内自由移动且不超出边界”，
∴圆O到正方形各边的距离至少为1光年(否则圆会超出正方形)，
∴圆的中心的活动范围是一个边长为光年的小正方形(该小正方形距离原正方形各边均为1光年，中心仍为),
∴到的距离的范围为：最小值，当与重合时，，
最大值：由勾股定理得小正方形的对角线长度为，
∴的最大值为小正方形对角线的一半，即，
∴，
∵圆上一点到外部点的最短距离为，，
∴当时，，当时，，
∴综上，
∵，
∴整数d的可能取值为0，1，2，3，4共5种．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．二次根式中字母a的取值范围是______．
【答案】
【详解】解：根据题意得，，
解得，
∴字母a的取值范围是．
14．如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上，则的值为___________．
【答案】
【详解】解：，，，
．
故答案为：．
15．分解因式：___________
【答案】
【分析】先提公因式，然后利用平方差公式因式分解．
【详解】解：
．
16．如图，已知抛物线，等边的边长为，顶点在抛物线上滑动，且边始终平行于轴，当在滑动过程中，点落在坐标轴上时，点的坐标是______．
【答案】，，
【详解】解：点落在轴上时，如图，作于，
∵是等边三角形，等边的边长为，
∴，，
∴，
当，，
∴点的纵坐标为，
∵边始终平行于轴，
∴，
点落在轴上时，如图，作于，
∵是等边三角形，等边的边长为，
∴，，
∴，
令，则，
∴
解得或，
即，，
∵，且点在点的右侧，
∴或，
故答案为：，，．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（7分）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）解：
；(4分)
（2）解：
．(7分)
18．（8分）【综合与实践】进位制的认识与探究．
生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例如：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例如：二进制数转化成十进制数：.其他进制也有类似的算法⋯⋯
【体验领悟】（1）根据以上信息，将二进制数“1010”转化为十进制数是__________；
【理解运用】（2）计算：，和的结果用十进制数表示；
【拓展延伸】（3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．（结果用十进制数表示）
【答案】（1）10；（2）25；（3）69天
【详解】解：（1），
故答案为：10；(1分)
（2）
；(5分)
（3）由题意知，图示中的五进制数为，
，
即孩子已经出生69天．(8分)
19．（8分）某中学为了培养学生课外阅读的好习惯，举办了“我爱阅读”活动．学校提供四类书籍供学生阅读，A：文学，B：科技，C：数理，D：历史．为了解该校九年级学生在校期间的阅读情况，随机抽取了九年级若干学生进行调查（每名学生仅选择一类书），并进行了统计和整理，绘制如图所示的不完整统计图根据图表信息回答以下问题：
(1)参与调查的学生共有______人，补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，“D：历史类”对应的圆心角的度数是______；
(3)若九年级学生共有1200人，请估计九年级选择科技书的学生人数；
(4)已知选择B类的学生中恰好有2名女生、4名男生，现从中抽取2名学生参加学校科学实验比赛，请用列表法或画树状图的方法，求所选取的两名学生恰好是一男一女的概率．
【答案】(1)60，图见解析
(2)
(3)120人
(4)
【详解】（1）解：人，
∴参与调查的学生共有60人，
∴C：数理的人数为：人，(1分)
补全条形统计图如图；
(2分)
（2）解，
∴“D：历史类”对应的圆心角的度数是(3分)
（3）解：（人），
答：估计九年级选择科技书的人数为120人；(4分)
（4）解：列表如下：
由列表可得，共有30种等可能的结果，其中一男一女的结果有16种．
∴P（一男一女）．(8分)
20．（8分）如图，在中，，，，是边上的两点，并且，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：，，
，
，
，即，
，，
．(4分)
（2）解：，，，
，，
是等边三角形，
，
，
．(8分)
21．（9分）在某次虹吸实验中，水从高位容器通过虹吸管流入低位容器（如图①）．实验开始时，高位容器内水面高度一定，实验开始的短时间内，由于水流速度恒定，高位容器内水面高度随时间均匀下降，高位容器内水面高度与实验时间之间的关系如图②所示．
(1)实验开始时，高位容器内水面高度为________；
(2)求实验开始的短时间内，与之间的函数关系式；
(3)若实验进行到第时，水流速度发生变化，求此时高位容器内的水面高度．
【答案】(1)30
(2)
(3)此时高位容器内的水面高度为
【详解】（1）解：观察图象可知实验开始时，高位容器同水面高度为；(2分)
（2）设与之间的函数关系式为，
将，代入，得，(4分)
解得，
与之间的函数关系式为；(7分)
（3）当时，，
答：此时高位容器内的水面高度为．(9分)
22．（9分）【理解概念】
如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图1，矩形即为的“矩形框”．
(1)三角形面积等于它的“矩形框”面积的___________；
(2)钝角三角形的“矩形框”有___________个；
(3)如图2，已知中，，求的“矩形框”的周长；
【答案】(1)(2)1(3)或
【详解】（1）解：∵矩形为的“矩形框”
∴；
故答案为：(2分)
（2）解：由“矩形框”的含义得：钝角三角形夹钝角的两边不能作为矩形的边，所以钝角三角形的矩形框只有1个，
故答案为：1(4分)
（3）解：当或与“矩形框”一边重合时，周长为；
当与“矩形框”一边重合时，如图，作交AB于D．
∵中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴周长为．
综上，的“矩形框”的周长为或．(9分)
23．（11分）已知抛物线与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点．
(1)求的面积．
(2)如图，点是抛物线第四象限上的一点，直线分别交、于点、，如果，求直线的表达式；
(3)在第（2）小题的基础上，将抛物线向左平移得到抛物线，直线与抛物线交于、两点（点在点的上方）．如果点恰好是线段的中点．求抛物线的表达式．
【答案】(1)12
(2)
(3)
【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，，与轴交于点，
时，或，
时，，
，，，
，，
．(3分)
（2）解：，由图可知， ，
，
．
，
，
．
直线交于点，经过点，设直线解析式为，
，解得，
直线解析式为．(7分)
（3）解：抛物线是由抛物线向左平移得到的，
设平移个单位，则的表达式为．
联立直线与的方程为，
整理得，，
直线与抛物线交于、两点，设，，
是方程的两根，
.
点恰好是线段的中点，，
，
．
的表达式为．(11分)
24．（12分）如图1、图2和图3，，是上的两个定点，是上的动点（不与点重合）．
【基础解题】
(1)如图1，是的直径，，，求劣弧的长度；
(2)如图2，若的半径为1，，求的度数；
【能力探究】
(3)如图3，点在线段的延长线上，且与相切，切点为．
①求证：；
②若的半径为6，，，则的长度为_____；
【类比拓展】
(4)如图4，在中，，，点在的内部（点不与点，重合），连接，，，且．请你利用直尺和圆规在图4中画出所有满足条件的点所形成的轨迹，并直接写出的最小值．
【答案】(1)(2)或(3)①见解析；②(4)
【详解】（1）解：如图，连接，
∵，
，
劣弧的长度为；(2分)
（2）解：如图，连接，，过点作于点，
，
∵，
∴，
在中，
，
，
，
当点在优弧上时，；
当点在劣弧上时，；
∴的度数为或；(5分)
（3）解：①证明：如图，连接并延长交于点，连接，
，
∵是的直径，
∴，
，
与相切，
，
，
，
；(7分)
②如图，连接，过点作于点，过点O作于点，
，，
，
∵的半径为6，
∴，
∴在中，，
由①可得，
，
，
，即，
，，
∵在中，，
∴，
；(9分)
（4）解：如图（点不与点，重合），即为所求；（作图方法不唯一）
如图，在优弧上取点D，连接，，
由作图得，，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点P在以为圆心，为半径的上运动，且点不与点，重合，
如图，延长交于点，连接．
∵四边形是正方形，
∴，，
∴的直径为4，与相切于点．
根据（3）①中的解法可得．
又，
，
，
，
∴当的值最大时，的值最小，
∴当是的直径时，的值最大，即的值最小，
此时，即的最小值为．(12分)
男1
男2
男3
男4
女1
女2
男1
男2男1
男3男1
男4男1
女1男1
女2男1
男2
男1男2
男3男2
男4男2
女1男2
女2男2
男3
男1男3
男2男3
男4男3
女1男3
女2男3
男4
男1男4
男2男4
男3男4
女1男4
女2男4
女1
男1女1
男2女1
男3女1
男4女1
女2女1
女2
男1女2
男2女2
男3女2
男4女2
女1女2