数学真题重组（江苏无锡卷）2026年中考模拟考前最后一卷含答案

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第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）（2025•深圳）节约水5吨记作+5吨，则浪费水2吨记作（ ）
A．﹣3吨B．+2吨C．﹣2吨D．+3吨
【分析】用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可得出答案．
【解答】解：节约水5吨记作+5吨，则浪费水2吨记作﹣2吨，
故选：C．
2．（3分）（2025•海南）下列运算结果为m5的是（ ）
A．m2•m3B．（m2）3C．m2+m3D．m9﹣m4
【分析】根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法及合并同类项进行计算即可．
【解答】解：A．原式＝m5，故本选项符合题意；
B．原式＝m6，故本选项不符合题意；
C．原式不能合并同类项，故本选项不符合题意；
D．原式不能合并同类项，故本选项不符合题意．
故选：A．
3．（3分）（2025•福建）若x−1在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．2
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数求出x的取值范围即可求出结果．
【解答】解：由题意，得x﹣1≥0，
∴x≥1，
∴实数x的值可以是2．
故选：D．
4．（3分）（2025•广东）某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（ ）
A．92，94B．95，95C．94，95D．95，96
【分析】将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为88，92，94，95，95，95，96，
所以这组数据的中位数为95，众数为95，
故选：B．
5．（3分）（2025•成都）下列命题中，假命题是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．菱形的对角线互相垂直
C．正方形的对角线相等且互相垂直
D．平行四边形的对角线相等
【分析】由平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质，即可判断．
【解答】解：A、B、C中的命题是真命题，故A、B、C不符合题意；
D、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，故D符合题意．
故选：D．
6．（3分）（2025•遂宁）若关于x的分式方程3−ax2−x=ax−2−1无解，则a的值为（ ）
A．2B．3C．0或2D．﹣1或3
【分析】去分母、去括号、一箱、合并同类项、系数化为1，求出x，根据方程无解，可得x﹣2＝0或a+1＝0，据此求出a．
【解答】解：3−ax2−x=ax−2−1，
3−ax2−x=a−x+2x−2，
3−ax2−x×(2−x)=a−x+2x−2×(2−x)，
3﹣ax＝﹣a+x﹣2，
ax+x＝a+5，
x（a+1）＝a+5，
x=a+5a+1，
因为关于x的分式方程无解，
所以有a+5a+1=2或a+1＝0，
解得：a＝3或a＝﹣1．
故选：D．
7．（3分）（2025•兰州）《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一．“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛价格为y，则可列方程组为（ ）
A．2x+y−10000=12x10000−(x+2y)=12y
B．10000−(2x+y)=12xx+2y−10000=12y
C．x+2y−10000=12x10000−(2x+y)=12y
D．2x+y=12xx+2y=12y
【分析】根据两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，列出二元一次方程组即可．
【解答】解：由题意得：2x+y−10000=12x10000−(x+2y)=12y，
故选：A．
8．（3分）（2025•泸州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径．若AB＝AC，∠ACB＝70°，则∠CBD＝（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠BAC，根据圆周角定理得到∠BDC＝∠BAC＝40°、∠BCD＝90°，再根据直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠ACB＝70°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣70°×2＝40°，
由圆周角定理得：∠BDC＝∠BAC＝40°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠CBD＝90°﹣40°＝50°，
故选：B．
9．（3分）（2025•绵阳）如图，在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，点F是CD的中点，连接EF并延长交AD于点G，连接BF，BG，AB＝4CE＝4，则tan∠FBG＝（ ）
A．55B．12C．255D．2
【分析】由已知可得CE＝1，DF＝CF＝2，由勾股定理可得EF=5．再证明△DGF≌△CEF（ASA），从而得DG＝CE＝1，GF＝EF=5，由勾股定理可得BG＝5，BF=25，由勾股定理逆定理可证得∠BFG＝90°，故而tan∠FBG=GFBF=525=12．
【解答】解：∵AB＝4CE＝4，
∴CE＝1，
∵F为DC中点，
∴DF＝CF＝2，
由勾股定理可得EF=CF2+CE2=5．
在△DGF和△CEF中，
∠D=∠FCE=90°DF=CF∠GFD=∠EFC，
∴△DGF≌△CEF（ASA），
∴DG＝CE＝1，GF＝EF=5，
∴AG＝3，由勾股定理可得BG=AG2+AB2=9+16=5，
同理可得BF=BC2+CF2=16+4=25，
∵BF2+GF2＝20+5＝25＝BG2，
∴∠BFG＝90°，
∴tan∠FBG=GFBF=525=12，
故选：B．
10．（3分）（2025•黑龙江）如图，在正方形ABCD中，点F在BC边上（不与点B、C重合），点E在CB的延长线上，且BE＝BF，连接AC、AE、AF，过点E作EG⊥AF于点G，分别交AB、AC、DC于点M、H、N．则下列结论：①MN＝AF；②∠EAH＝∠EHA；③EN•BF＝EC•HN；④若BF：FC＝3：4，则tan∠FAC=25；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤B．①②④⑤C．①②③④D．①③④⑤
【分析】根据题意容易证明△AEB≌△AFB（SAS），从而可得∠KBC＝∠NEC＝∠BAF＝∠BAE＝α，进而可得∠EAH＝∠AHE，从而可得②正确，过点B作BK∥EN，交CD于点K，构造△ABF≌∠BCK（AAS），结合四边形BMNK是平行四边形可得MN＝BK＝AF，可得①正确，再利用角关系证明△NEC﹣△BAF，△AEC﹣△HNC，可得EN•BF＝CN•AF＝CN•AE＝EC•HN，从而得出结论③正确，过点F作FP⊥AC，设BF＝3x，由BF：FC＝3：4可得FC＝4x，解三角形求出PF=22x，AP=52x从而求出 tan∠FAC=PFAP=25故结论④正确，再判定△CNH不一定是等腰三角形，得出等腰三角形有△ABC、△ADC、△AEF、△AEH，共四个，故结论⑤错误．
【解答】解：如图1，过点B作BK∥EN，交CD于点K，
在正方形ABCD中，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝45°，AB∥CD，
∴△ABC、△ADC是等腰三角形，又BE＝BF，AB＝AB，
∴△AEB≌△AFB（SAS），
∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE，∠BAE＝∠BAF，
∴△AEF是等腰三角形，
∵EG⊥AF，
∴∠NEC+∠AFE＝90°，
又∵∠BAF+∠AFE＝90°，
∴∠NEC＝∠BAF，
∵BK∥EN，
∴∠KBC＝∠NEC，∠BKC＝∠ENC，
∴∠KBC＝∠NEC＝∠BAF＝∠BAE，
设∠KBC＝∠NEC＝∠BAF＝∠BAE＝α，
∵∠EAH＝∠BAE+∠BAC＝α+45°，∠AHE＝∠HEC+∠ACB＝α+45°，
∴∠EAH＝∠AHE，故结论②正确；
∴EA＝EH，即△AEH是等腰三角形，
∵在△ABF和△BCK中，
AB=BC∠KBC=∠BAF∠ABF=∠BCK，
∴△ABF≌∠BCK（AAS），
∴BK＝AF，∠CKB＝∠AFE＝∠AEF＝90°﹣α，
∵BK∥EN，AB∥CD，
∴四边形BMNK是平行四边形，
∴MN＝BK，
∴MN＝AF，故结论①正确，
∵∠NEC＝∠BAF，∠BCD＝∠ABC＝90°，
∴△NEC﹣△BAF，
∴ENAF=CNBF，
∴EN•BF＝CN•AF，
∵∠EAH＝∠AHE＝∠CHN＝45°+α，∠ACE＝∠ACN＝45°，
∴△AEC∽△HNC，
∴AEHN=ECNC，
∴CN•AE＝EC•HN，
∵AE＝AF，
∴CN•AF＝EC•HN，
∴EN•BF＝EC•HN，故结论③正确，
过点F作FP⊥AC，如图2；
设BF＝3x，由BF：FC＝3：4可得FC＝4x，AB＝BC＝7x，
∴AF2＝AB2+BF2＝（7x）2+（3x）2＝58x2，
∵PF=FC⋅sin∠ACB=4x⋅22=22x′
∴AP=AF2−PF2=58x2−8x2=52，
∴tan∠FAC=PFAP=22x52x=25，
故结论④正确，∠CNE＝90°﹣α，∠CHN＝∠AHE＝α+45°，α＜45°，
∴∠CNE不一定等于∠CHN，α＜45°，
∴△CNH不一定是等腰三角形，
故等腰三角形有△ABC、△ADC、△AEF、△AEH，共四个，故结论⑤错误，
综上所述：正确结论有①②③④．
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）（2025•常州）分解因式：x2﹣9y2＝ （x﹣3y）（x+3y） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝（x﹣3y）（x+3y）．
故答案为：（x﹣3y）（x+3y）．
12．（3分）（2025•常州）太阳的半径约为700000千米，数据700000用科学记数法表示为 7×105 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：700000＝7×105．
故答案为：7×105．
13．（3分）（2025•盐城）已知圆锥的侧面积为15π，母线长为5，则圆锥的底面半径是 3 ．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：设底面半径为R，则底面周长＝2πR，圆锥的侧面展开图的面积=12×2πR×5＝15π，
∴R＝3，
故答案为：3．
14．（3分）（2025•苏州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝ ﹣3 ．
【分析】利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝﹣2，结合x1＝1，即可求出x2的值．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣2，
又∵x1＝1，
∴x2＝﹣2﹣x1＝﹣2﹣1＝﹣3．
故答案为：﹣3．
15．（3分）（2025•福建）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即F＝kx，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为mg，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 0.8 千克．
【分析】利用待定系数法求出F与x的函数关系式，将x＝6.8﹣6＝0.8，F＝mg代入求出m的值即可．
【解答】解：将F＝0.5g，x＝6.5﹣6＝0.5代入F＝kx，
得0.5g＝0.5k，
解得k＝g，
∴F与x的函数关系式为F＝gx，
将x＝6.8﹣6＝0.8，F＝mg代入F＝gx，
得mg＝0.8g，
解得m＝0.8，
∴当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 0.8千克．
故答案为：0.8．
16．（3分）（2025•广元）四边形ABCD中，AC与BD交于点O，O是AC的中点，BO＝2DO，已知AB＝4，AD＝2，tan∠ACD=35，则AC的长为 833 ．
【分析】过点B，D分别作AC的垂线段，利用△ODE﹣△OBF得到OF＝2OE，BF＝2DE，再利用AB＝2AD，推出 Rt△AED～Rt△AFB，进而得到 AF＝2AE，设OE＝x，结合O是AC的中点则可推出AE＝3x，CE＝5x，由tan∠ACD=35可表示 DE=3x，在Rt△ADE勾股定理建立方程即可求解x，则AC＝8x可求．
【解答】解：如图，过D作DE⊥AC于E，过B作BF⊥AC于F，
∵∠OED＝∠OFB＝90°，∠DOE＝∠BOC，
∴△ODE∽△OBF，则BODO=OFOE=BFDE=2，
设OE＝x，则OF＝2x，EF＝3x，
∵AB＝4，AD＝2，
∴ABAD=2，
∴ABAD=BFDE=2，
∵∠AED＝∠AFB＝90°，
∴Rt△AED∽Rt△AFB，
∴AFAE=ABAD=2，
∴AF＝2AE，即AE＝EF＝3x，
∴AO＝AE+OE＝4x，
∵O是AC的中点，
∴CO＝AO＝4x，
∴CE＝CO+OE＝5x，
∵tan∠ACD=35，
∴DECE=35，
∴DE=3x，
在Rt△ADE 中，AD＝2，由勾股定理：AE2+DE2＝AD2，
即(3x)2+(3x)2=22，
解得：x=33，
∴AC=2AO=8x=833，
故答案为：833．
17．（3分）（2025•青岛）如图，正八边形ABCDEFGH的顶点A，B，G，H在坐标轴上，顶点C，D，E，F在第一象限．点F在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，若AB=2，则k的值为 2+2 ．
【分析】作FK⊥y轴于K，求得正八边形的内角的度数，即可求得△OAH是等腰直角三角形，△FHG是等腰直角三角形，进而得出OA＝OH＝KG＝KF＝1，得到F（1，2+2），利用待定系数法即可求得k的值．
【解答】解：作FK⊥y轴于K，
正八边形ABCDEFGH中，内角的度数为(8−2)×180°8=135°，
∴∠BAH＝135°，
∴∠OAH＝45°，
∴△OAH是等腰直角三角形，
同理△FHG是等腰直角三角形，
∵AH＝AB＝FG=2，
∴OA＝OH＝KG＝KF＝1，
∴F（1，2+2），
∵点F在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，
∴k＝1×(2+2）＝2+2．
故答案为：2+2．
18．（3分）（2025•海南）如图，点E是▱ABCD内一动点，且∠AEB＝90°，AB＝4，BC＝7．
（1）△AEB面积的最大值为 4 ；
（2）连接CE，分别取CD、CE的中点M、N，连接MN．若∠BAD＝120°，则线段MN长度的最小值为 67−22 ．
【分析】（1）利用点的轨迹的知识确定点E的运动轨迹为以AB为直径的半圆，再利用圆的有关性质解答即可；
（2）连接DE，利用三角形的中位线定理得到MN=12DE，则DE取得最小值时，MN长度最小；设AB的中点为O，连接OD，交半圆于点E，则此时DE最小．
【解答】解：（1）∵点E是▱ABCD内一动点，且∠AEB＝90°，
∴点E的运动轨迹为以AB为直径的半圆，
设AB的中点为O，当OE⊥AB时，△AEB面积取得最大值，如图，
则OA＝OB=12AB＝2，
∴△AEB面积的最大值=12AB⋅OE=12×4×2=4．
故答案为：4；
（2）连接DE，如图，
∵CD、CE的中点为M、N，
∴MN=12DE，
∴DE取得最小值时，MN长度最小．
由（1）知：点E的运动轨迹为以AB为直径的半圆，设AB的中点为O，连接OD，交半圆于点E，如图，
则此时DE最小，OE＝OA＝OB＝2．
过点O作OF⊥AD，交DA的延长线于点F，
∵∠BAD＝120°，
∴∠OAF＝60°，
∴OF＝OA•sin60°=3，AF＝OA•cs60°＝1，
∴DF＝AD+AF＝8，
∴OD=DF2+OF2=82+(3)2=67，
∴DE＝OD﹣OE=67−2，
∴线段MN长度的最小值=12DE=67−22．
故答案为：67−22．
三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）（2025•甘孜州）（1）计算：(π−3)0+|−2|−2sin30°．
（2）解不等式组：x+12＞1①9x≤7x+8②．
【分析】（1）根据实数的运算法则进行计算即可；
（2）根据解一元一次不等式组的步骤进行求解即可．
【解答】解：（1）原式＝1+2−2×12
=2；
（2）解不等式①得，x＞1；
解不等式②得，x≤4，
所以不等式组的解集为1＜x≤4．
20．（8分）（2025•福建）先化简，再求值：(2+1−aa)÷a2+2a+1a，其中a=5−1．
【分析】先把括号内的2写成分母是a的分式，再根据同分母分式相加法则计算括号里面的，再把除式的分子分解因式，除法写成乘法进行约分，最后把a的值代入化简后的式子进行计算即可．
【解答】解：原式=(2aa+1−aa)÷(a+1)2a
=a+1a⋅a(a+1)2
=1a+1，
当a=5−1时，
原式=15−1+1
=15
=55．
21．（8分）（2025•吉林）如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE＝∠CDF．
（1）求证：△ABE≌△DCF．
（2）当AB＝12，DF＝13时，求BE的长．
【分析】（1）根据矩形的性质得AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，然后利用ASA即可证明△ABE≌△DCF；
（2）由（1）△ABE≌△DCF，得AE＝DF＝13，根据勾股定理即可求出BE的长．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，
在△ABE和△DCF中，
∠BAE=∠CDFAB=CD∠B=∠C=90°，
∴△ABE≌△DCF（ASA）；
（2）解：由（1）知：△ABE≌△DCF，
∴AE＝DF＝13，
∵AB＝12，
∴BE=AE2−AB2=5．
22．（8分）（2025•陕西）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次．
（1）将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为 14 ；
（2）将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率．
【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中摸出标有数字1的小球的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中摸出标有数字1的小球的结果有1种，
∴从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为14．
故答案为：14．
（2）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有：（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3），共6种，
∴甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率为612=12．
23．（10分）（2025•青岛）某校举行科技节．科技小组为了解学生使用智能软件的情况开展了统计活动．
【收集数据】
科技小组设计了如下调查问卷，在全校随机抽取部分学生进行调查，收集得到“问题1”和“问题2”的数据．（被调查学生两个问题全部按要求作答并提交）
【整理和表示数据】
第一步：将“问题1”的数据进行整理后，绘制成如下的人数统计表；
第二步：将“问题2”中每周使用智能软件的时间t（分钟）整理分成4组：①0≤t＜30，②30≤t＜60，③60≤t＜90，④90≤t≤120，并绘制成如下的频数分布直方图．
学生使用智能软件主要目的的人数统计表
（1）若将“问题1”的数据绘制成扇形统计图，则目的“B”对应的扇形圆心角的度数为 72 °；
（2）补全频数分布直方图；
【分析数据，解答问题】
（3）已知“60≤t＜90”这组的数据是：60，60，62，62，63，65，65，65，70，70，75，75，75，75，75，80，80，80，80，85．被调查的全部学生每周使用智能软件时间的中位数为 61 分钟；
（4）全校共有1200名学生，请你估计使用智能软件主要用于“学习管理”的人数．
【分析】（1）由目的“B”的人数除以总数求出占比，再乘以360°即可；
（2）用总人数减去其余三组的人数求出使用智能软件的时间在30≤t＜60这一组的人数，即可补全频数分布直方图；
（3）由中位数的定义求解；
（4）用样本估计总体的方法解即可．
【解答】解：（1）由题意得，目的“B”对应的扇形圆心角的度数为：1230+12+15+3×360°=72°，
故答案为：72；
（2）由（1）知总人数为30+12+15+3＝60（人），
∴每周使用智能软件的时间在30≤t＜60这一组的人数为：60﹣12﹣20﹣12＝16，
∴补全频数分布直方图为：
（3）由于每周使用智能软件的时间在0≤t＜30和30≤t＜60人数分别为12，16，而总人数为60人，则中位数为第30，31人使用智能软件的时间的平均数，
由“60≤t＜90”这组的数据可得第30，31人使用智能软件的时间为60，62分钟，
∴中位数为60+622=61．
故答案为：61；
（4）1200×3060=600(人)，
答：估计使用智能软件主要用于“学习管理”的人数为600人．
24．（10分）（2025•福建）如图，矩形ABCD中，AB＜AD．
（1）求作正方形EFGH，使得点E，G分别落在边AD，BC上，点F，H落在BD上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AB＝2，AD＝4，求（1）中所作的正方形的边长．
【分析】（1）作线段BD的垂直平分线，垂足为O，交AD于点E，交BC于点G，以O为圆心，OE为半径作弧交BD于点F，H，连接EF，FG，GH，HE即可；
（2）利用勾股定理求出BD，再根据tan∠ADB=ABAD=OEOD，求出OE可得结论．
【解答】解：（1）正方形EFGH即为所求；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴BD=AB2+AD2=22+42=25，
∴OB＝OD=5，
∵tan∠ADB=ABAD=OEOD，
∴OE=52，
∵四边形EFGH是正方形，
∴OE＝OH=52，EO⊥OH，
∴EH=2OE=102，
∴正方形EFGH的边长为102．
25．（10分）（2025•安徽）如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC＝180°．
（1）求证：OC∥AD；
（2）若AD＝2，BC＝23，求AB的长．
【分析】（1）根据圆周角定理可得∠AOC＝2∠ABC，从而可得∠DAB+∠AOC＝180°，然后利用同旁内角互补，两直线平行即可解答；
（2）连接BD，交OC于点E，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，再利用平行线分线段成比例可得EB＝DE，从而可得OC⊥BD，且OE是△ABD的中位线，然后利用三角形的中位线定理可得OE=12AD=1，最后设半圆的半径为r，则CE＝r﹣1，分别在Rt△OEB和Rt△CEB中，利用勾股定理列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵∠AOC＝2∠ABC，∠DAB+2∠ABC＝180°．
∴∠DAB+∠AOC＝180°，
∴OC∥AD．
（2）解：连接BD，交OC于点E，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥AD，
∴OBOA=EBDE，
∵OA＝OB，
∴EB＝DE，
∴OC⊥BD，且OE是△ABD的中位线，
∴OE=12AD=1，
设半圆的半径为r，则CE＝r﹣1，
在Rt△OEB中，BE2＝OB2﹣OE2＝r2﹣1，
在Rt△CEB中，BE2＝BC2﹣CE2＝12﹣（r﹣1）2，
即r2﹣1＝12﹣（r﹣1）2，
解得r1＝3，r2＝﹣2（舍去），
故AB＝2r＝6．
26．（10分）（2025•烟台）【综合与实践】
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动．
如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离；
（2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin14°≈0.24，cs14°≈0.97，tan14°≈0.25）．
【分析】（1）过点B作 BE⊥AC于点E，设BE＝x，根据题意得出EC＝ED+DC＝x+5，解Rt△BCE，得出EC=43x，建立方程，即可求解；
（2）求得AE的距离，计算AC的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解．
【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AC于点E，
设BE＝x，
依题意，∠EBC＝53°，∠EBD＝45°，CD＝10×12=5，
∴∠C＝90°﹣∠EBC＝37°，ED＝x，
∴EC＝ED+DC＝x+5，
在Rt△BCE中，EC=BEtanC=xtan37°≈x0.75=43x，
∴43x=x+5，
解得：x＝15，
∴渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里；
（2）在Rt△ABE中，∠ABE＝14°，BE＝15，
∴AE＝BE•tan14°≈15×0.25＝3.75，
∴AC＝AE+DE+DC＝15+3.75+5＝23.75，
23.75÷10＝2.375小时＝142.5分钟，
从14：30，经过142.5分钟是16：52：30，在17：30之前到达，
∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A．
27．（12分）（2025•深圳）综合与探究
【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形．
【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在△ABC中，AB＝AC，AC＝AD，∠D＝∠BAC．此时，四边形ABCD是“双等四边形”，△ABC是“伴随三角形”．
【问题解决】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AC，AD＝CD，∠D＝∠BAC．求：①AD与BC的位置关系为： 平行 ；②AC2 ＝ AD•BC．（填“＞”，“＜”或“＝”）
【方法应用】①如图4，在△ABC中，AC＝BC．将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE，点D恰好落在BC边上，求证：四边形ABDE是双等四边形．
②如图5，在等腰三角形ABC中，AC＝BC，csB=35，AB＝5，在平面内找一点D，使四边形ABCD是以△ABC为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出CD的长，若不存在，请说明理由．
【分析】【问题解决】①根据等腰三角形的性质得出∠DAC＝∠ACB，从而可得AD∥BC；
②证明△ABC∽△DAC得出ACCD=BCAC，即AC2＝BC•CD，由CD＝AD可得结论；
【方法应用】①根据双等四边形的定义进行证明；
②分∠ACB＝∠D＝∠ACD，AD＝AC或∠ACB＝∠D＝∠ACD，AD＝AC或∠D＝∠ACB，DA＝DC三种情况讨论求解即可．
【解答】【问题解决】解：①∵AB＝AC，DA＝DC，∠BAC＝∠ADC，
∴∠ACB=180°−∠BAC2，∠DAC=180°−∠ADC2，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC；
②∵∠DAC＝∠ACB，∠BAC＝∠ADC，
∴△ABC∽△DAC，
∴ACCD=BCAC，
∴AC2＝BC•CD，
∵CD＝AD，
∴AC2＝BC•AD；
故答案为：①平行；②＝；
【方法应用】①证明：∵△ADE为△ABC旋转得到，
∴AB＝AD，
令∠B＝α，则∠ADB＝α，∠BAD＝180°﹣2α，
∴∠ADE＝∠B＝a，
由旋转得，DE＝BC，AE＝AC，
又∵AC＝BC，
∴EA＝ED，
∴∠DAE＝∠ADE＝α，
∴∠E＝180°﹣2α，
∴∠E＝∠BAD，
∴四边形ABDE为双等四边形；
②解：作AH⊥BC于点H，
∴csB=35AB＝5，
∴BH＝3，AH＝4，
设CH＝x，则AC＝BC＝x+3，
在Rt△AHC中，CH2+AH2＝AC2，
即x2+42＝（x+3）2，
解得：x=76，
∴CH=76，BC=AC=256，
第一种情况：若∠ACB＝∠D＝∠CAD，CA＝CD时，CD＝AC=256；
第二种情况：若∠ACB＝∠D＝∠ACD，AD＝AC时，
∴AD＝AC=256，
作AM⊥CD于点M，
∴CM＝DM，
∴CMAC=cs∠ACM=cs∠ACB=76256=725，
∴CM=725AC=725×256=76，
∴CD=2CM=73；
第三种情况：若∠D＝∠ACB，DA＝DC时，如图，
∴∠DAC＝∠DCA＝∠CAB＝∠ABC，
∴△CAB∽△DAC，
∴CDBC=ACAB，
∴CD256=2565，
∴CD=12536；
综上所述：满足条件时，CD=256或73或12536．
28．（12分）（2025•甘孜州）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C1：y=a(x−2)2−2过原点，顶点为P，直线l过原点和点P．
（1）求抛物线C1和直线l的解析式；
（2）如图2，将抛物线C1的顶点沿射线OP平移，抛物线也随之移动得到抛物线C2，设顶点为A，其横坐标为t（t＞2），抛物线C2与抛物线C1交于点B．
①当t＝10时，求点B的横坐标；
②若点B的横坐标为n，请猜想并写出n与t的关系（不写推理过程）；
③如图3，若点B在第一象限内，设OB与y轴正半轴的夹角为α，当∠OAB＝α时，求点B的坐标．
【分析】（1）将（0，0）代入求出a值，再根据（0，0）和（2，﹣2）求出直线OP解析式；
（2）①由题可知点A（t，﹣t），再将t＝10代入求解即可；
②参考①思路联立解析式；
③设抛物线C2的解析式为y=12(x−t)2−t，则可得点A的坐标为（t，﹣t），点B的坐标为(t2，t2−8t8)(t＞8)，先求出tan∠DOB=DBOD的表达式，作OC⊥OA交直线AB于点C，求出直线OC和直线AB的解析式并联立，进而求出tan∠OAB=OCOA，结合题意∠DOB＝∠OAB＝α 求出的值即可．
【解答】解：（1）∵抛物线C1：y=a(x−2)2−2过原点（0，0），
∴将（0，0）代入抛物线解析式可得：0＝a（0﹣2）2﹣2，
即4a﹣2＝0，
解得a=12，
∴抛物线C1的解析式为y=12（x﹣2）2﹣2=12x2﹣2x，
由抛物线C1的解析式y=12(x−2)2−2可知顶点P的坐标为（2，﹣2），
设直线l的解析式为y＝kx（k≠0），
将P（2，﹣2）代入y＝kx可得：﹣2＝2k，
解得k＝﹣1，
∴直线l的解析式为y＝﹣x．
（2）①∵抛物线C1的顶点P（2，﹣2）沿射线OP平移得到抛物线C2的顶点A（t，﹣t）（t＞2），
∴抛物线C2的解析式为y=12(x−t)2−t，
当t＝10时，抛物线C2的解析式为y=12(x−10)2−10，
联立抛物线C1与C2的解析式：y=12x2−2xy=12(x−10)2−10，
解得x=5y=52，
∴点B的坐标为(5，52)；
②联立抛物线C1与C2的解析式：y=12x2−2xy=12(x−t)2−t，
解得x=t2，
∵点B的横坐标为n，
所以n=t2，即t＝2n；
③设抛物线C2的解析式为y=12(x−t)2−t，
由②知点A的横坐标是点B的两倍，
∴点A的坐标为 （t，﹣t），点B的横坐标为t2，
将x=t2代入得，y=12(t2−t)2−t=12(−t2)2−t=12⋅t24−t=t28−8t8=t2−8t8，
∴点B的坐标为(t2，t2−8t8)(t＞8)，
∴tan∠DOB=DBOD=t2t2−8t8=4tt2−8t=4t−8；
作OC⊥OA交直线AB于点C，过B作BD⊥y轴于点D，
∵直线OA的解析式为y＝﹣x，
∴直线OC的解析式为y＝x，
设直线AB的解析式为y＝k1x+b，
∴k1t+b=−tk1(t2)x+b=t2−8t8，解得k1=−t4b=t2−4t4，
∴直线AB的解析式为y=−t4x+t2−4t4，
联立直线AB和直线OC的解析式为−t4x+t2−4t4=x，
解得x=t2−4tt+4，
∴点C的坐标为(t2−4tt+4，t2−4tt+4)，
∴OC=(t2−4tt+4)2+(t2−4tt+4)2=2t(t−4)t+4，
OA=(t)2+(−t)2=2t，
∴tan∠OAB=OCOA=2t(t−4)t+42t=t−4t+4，
∵∠DOB＝∠OAB＝α，
∴tan∠DOB＝tan∠OAB，
∴4t−8=t−4t+4，
解得t1=8+43，t2=8−43（舍去），
∴点B的坐标为(4+23，6+43)．
1
2
3
4
1
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）
（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）
（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
调查问卷
问题1：你使用智能软件的主要目的是（ㅤㅤ）．（单选）
A．学习管理
B．健康管理
C．时间管理
D．其他
问题2：你每周使用智能软件的时间是ㅤㅤㅤ分钟．
目的
人数累计
人数
A
正正正正正正
30
B
正正
12
C
正正正
15
D
3
位置信息
码头A在灯塔B北偏西14°方向
14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处
15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处
天气预警
受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范．