河南省洛阳市洛宁县九年级上学期11月期中数学试题（解析版）

这是一份河南省洛阳市洛宁县九年级上学期11月期中数学试题（解析版），共24页。
1．本试卷共1张4页，3大题23小题；时间100分钟，满分120分．
2．本试卷设有答题卷，请将答案写涂在答题卷上，写在本试卷上无效．
一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．）
1. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，是解题的关键．
根据二次根式有意义条件：被开方数是非负数，即可得出答案．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：，
故选：A．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据立方根、二次根式的加减乘除运算法则计算．
【详解】A、非同类二次根式，不能合并，故错误；
B、，故原结果错误；
C、，正确；
D、开不出有理数，故原结果错误；
故选C．
【点睛】本题考查二次根式、立方根的运算法则，熟练掌握基本法则是关键．
3. 实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）．
A. B. 0C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据实数a和b在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案．
【详解】解：由数轴可知-2＜a＜-1，1＜b＜2，
∴a+1＜0，b-1＞0，a-b＜0，
∴
=
=
=-2
故选A.
【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断．
4. 若一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由一元二次方程根的判别式△≥0，结合一元二次方程的定义，即可求出k的取值范围．
【详解】解：由题意得：，
，，
∴解得：．
故选：D.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握根的判别式求参数的取值范围.
5. 小匡同学从市场上买一块长80cm、宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可知：裁剪后的底面的长为cm，宽为cm，从而根据底面积可以列出相应的方程即可．
【详解】解：由题意可得，裁剪后的底面的长为cm，宽为cm，
∴，
故选：C．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，根据面积列出方程是解题关键．
6. 如图，已知是的边上一点，根据下列条件，不能判定的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．
【详解】∵是公共角，
∴再加上或都可以证明，故A，B可证明，
C选项中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能证明．
∵，
若再添加，即，可证明，故D可证明．
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
7. 如图，在中，是边上的中线，点G是的重心，过点G作交于点F，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意易得，，然后根据平行线所截线段成比例可进行求解．
【详解】解：∵是边上的中线，
∴，
∵点G是的重心，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
故选A．
【点睛】本题主要考查三角形的重心及平行线所截线段成比例，熟练掌握三角形的重心是解题的关键．
8. 如图，在▱ABCD中，E为CD边上中点，AE交BD于点O，若S△DOE=2，则▱ABCD的面积为（ ）
A. 8B. 12C. 16D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥BC，证明△DOE∽△BOA，根据相似三角形的性质、平行四边形的性质计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，E为CD边上的中点，
∴AB∥BC，DE=DC=AB，
∴△DOE∽△BOA，
∴=，=（）2，即，
∴S△BOA=8，S△AOD=4，
∴S△BAD=12，
∴▱ABCD的面积=24，
故选D．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
9. 如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）

A. B. 7C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论．
【详解】解：是的中位线，
，，
，
，
，
∴．
故选：C．
点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
10. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程；③若是倍根方程，则．其中正确的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．
①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；
②当p，q满足，则，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；
③根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，然后代入验证即可判断．
【详解】解：①解方程
，
∴或，
解得，，，得，，
方程不倍根方程；
故①不正确；
②∵，则：，
，，
，
因此是倍根方程，
故②正确；
③若是倍根方程，，
因此或，
当时，，
当时，，
，
故③正确；
故选：C．
二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）
11. 已知：，则_________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则即可求解．
【详解】∵
∴a=3,b=2
∴6
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
12. 把一元二次方程x2﹣4x+3=0配方成（x+a）2=b的形式，则a+b=_____．
【答案】﹣1
【解析】
【详解】x2-4x=-3，
x2-4x+4=1，
（x-2）2=1，
所以a=-2，b=1，
所以a+b=-2+1=-1．
故答案是：-1．
13. 张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是________．
【答案】
【解析】
【分析】设该超市的月平均增长率为x，根据等量关系：三月份盈利额五月份的盈利额列出方程求解即可．
【详解】解：设每月盈利平均增长率为x，
根据题意得：．
解得：，（不符合题意，舍去），
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量后来的量，其中增长用＋，减少用−，难度一般．
14. 如图所示，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为_____．
【答案】3或##或3
【解析】
【分析】由在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，即可求得AP的长，然后分别从△APQ∽△ACB与△APQ∽△ABC去分析，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【详解】解：∵AC=4，P是AC的中点，
∴AP=AC=2，
①若△APQ∽△ACB，则，
即，
解得：AQ=3；
②若△APQ∽△ABC，则，
即，
解得：AQ=；
∴AQ的长为3或．
故答案为3或．
15. 如图，是直角三角形，，，点A在反比例函数的图象上．若点B在反比例函数 的图象上，则k的值为______
【答案】−8
【解析】
【分析】求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到，然后用待定系数法即可．
【详解】过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．
设点A的坐标是（m，n），则AC＝n，OC＝m，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，
∵∠DBO＋∠BOD＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC，
∵∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴△BDO∽△OCA，
∴，
∵OB＝2OA，
∴BD＝2m，OD＝2n，
因为点A在反比例函数y＝的图象上，则mn＝2，
∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴B点的坐标是（−2n，2m），
∴k＝−2n•2m＝−4mn＝−8．
故答案为：−8．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式．
三、解答题：（本题共8小题，共75分．）
16. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质化简，零次幂，负整数指数幂，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先运算除法以及运用二次根式的性质化简，再运算乘法，即可作答．
（2）分别运算乘方、化简绝对值，零次幂，负整数指数幂，再运算加减，即可作答．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 解方程：
（1）；
（2）；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用公式法进行解一元二次方程，即可作答．
（2）运用因式分解法进行解方程，即可作答．
【小问1详解】
解：
，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：
，
，
即，
或，
∴．
18. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论k为何值，方程有两个实数根；
（2）若的两边的长是方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，求k的值．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）利用配方的方法将进行配方，然后说明；
（2）分两种情况进行讨论，即当时，，求出k的值，和的长度，进行判断是否能构成三角形；当为腰时，将代入方程求出k的值，然后求出另外两边的长度进行判断是否能构成三角形．
本题考查了三角形的三边关系，一元二次方程的根的判别式和等腰三角形的性质．
【小问1详解】
解：∵关于x的一元二次方程
∴
，
∵无论k取何值， ，
∴，
即无论k为何值，方程有两个实数根；
【小问2详解】
解：∵第三边的长为5，且是等腰三角形
∴，则方程有两个相等的实数根，
即，
解得：，
当时，则，
解得，
∴，
∵，
此时不满足三边关系；
若为的一腰，则方程有一根是5，
将代入方程，
整理得，
解得：
当时，
整理为，
解得，
此时满足三边关系．
当时，，
∵，
此时不满足三边关系．
∴综上所述：当是等腰三角形时，k的值为．
19. 某装专卖店在销售中发现，一款盘装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采以适当的降价措施，以扩大销售抵，尽快减少库存，增加利润．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售 件，每件盈利 元；（用x的代数式表示）
（2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元；
（3）平均每天赢利1300元，可能吗？请说明理由．
【答案】（1）；；
（2）20 （3）不可能
【解析】
【分析】（1）若每件童装降价元，则每天可销售件，每件盈利元；
（2）设每件童装降价元，则每件盈利元，每天的销售量为件，利用每天的销售利润每件的利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再结合“为了扩大销售量，尽快减少库存”，即可确定每件童装降低的价格；
（3）设每件童装降价元，则每件盈利(40 元，每天的销售量为件，利用每天的销售利润每件的利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出不可能每天盈利1300元；
【小问1详解】
若每件童装降价元，则每天可销售件，每件盈利元，
故答案为：；；
【小问2详解】
设每件童装降价元，则每件盈利元，每天的销售量为 件，依题意得：，
整理得：，
解得：，
又 ∵为了扩大销售量，尽快减少库存，
∴，
答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元；
【小问3详解】
不可能，理由如下：
设每件童装降价元，则每件盈利元，每天的销售量为件，依题意得：，
整理得：；
∵，
∴方程无实数解，即不可能每天盈利1300元；
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用；列代数式以及根的判别式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出各量；找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”．
20. 阅读材料，回答下列问题：
阿尔·花拉子米（约约850），著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“数之父”．他利用正方形图形巧妙解出了一元二次方程的一个解．
将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长方形，长为x，宽为1，拼合在一起面积就是，即，而由原方程变形得，即边长为的正方形面积为36．所以，则．
（1）上述求解过程中所用的方法与下列哪种方法是一致的_______
A．直接开平方法 B．公式法 C．配方法 D．因式分解法
（2）上述过程所用的数学思想方法是______
A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．转化思想 D．方程思想
（3）运用上述方法构造出符合方程的一个正根的正方形．
【答案】（1）C （2）B
（3）见详解
【解析】
【分析】（1）由阅读材料所用方法可知答案；
（2）结合图形来解题，故答案易得；
（3）构造出边长为的正方形，其面积为9，则为方程的一个正根．
本题考查了一元二次方程的解法，配方法及数形结合来解方程，完全平方公式在几何图形中的应用，读懂题中的方法，是解题的关键．
【小问1详解】
解：依题意，由阅读材料可知所用方法为配方法．
故答案为：C．
【小问2详解】
解：依题意，所用的思想方法为数形结合思想．
故答案为：B．
【小问3详解】
解：依题意，
将边长为x的正方形和边长为2的正方形，外加两个长方形，长为x，宽为2，拼合在一起面积就是，
即，
而由原方程变形得，
即图中边长为的正方形面积为9．
∴，
则．
21. 如图，是矩形的边上的一点，于点，，，．求的长度．

【答案】．
【解析】
【分析】先根据矩形的性质、勾股定理求出，再根据相似三角形的判定与性质可得，由此即可得出答案．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，
∵
∴
∵，
，
∴
在和中，
∴
∴，即
解得
即的长度为．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
22. 如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=5，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；
（2）△ADE∽△ABC，，又易证△EAF∽△CAG，所以，从而可求解．
【详解】（1）证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE=∠AGC=90°，
∵∠EAF=∠GAC，
∴∠AED=∠ACB，
∵∠EAD=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，
∴
由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，
∴∠EAF=∠GAC，
∴△EAF∽△CAG，
∴，
∴=
23. 如图1所示，边长为4的正方形与边长为的正方形的顶点重合，点在对角线上．
【问题发现】如图1所示，与的数量关系为________；
【类比探究】如图2所示，将正方形绕点旋转，旋转角为，请问此时上述结论是否还成立？如成立写出推理过程，如不成立，说明理由；
【拓展延伸】若点为的中点，且在正方形的旋转过程中，有点、、在一条直线上，直接写出此时线段的长度为________
【答案】【问题发现】；【类比探究】上述结论还成立，理由见解析；【拓展延伸】 或．
【解析】
【分析】问题发现：证出AB∥EF，由平行线分线段成比例定理得出，即可得出结论；
类比探究：证明△ACE∽△BCF，得出，即可的结论；
拓展延伸：分两种情况，连接CE交GF于H，由正方形的性质得出AB=BC=4，AC=AB=4，GF=CE=CF，GH=HF=HE=HC，得出CF=BC=2，GF=CE=2，HF=HE=HC=，由勾股定理求出AH==，即可得出答案．
【详解】问题发现：
AE=BF，理由如下：
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，CE=CF，，
∴，
∴，
∴AE=BF；
故答案为：AE=BF；
类比探究：
上述结论还成立，理由如下：连接，如图2所示：
∵，
∴，
在和中，CE=CF，CA=CB，
∴，
∴，
∴，
∴AE=BF；
拓展延伸：
分两种情况：①如图3所示：连接交于，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，AC=AB=4，GF=CE=CF，，
∵点为的中点，
∴，GF=CE=2，GH=HF=HE=HC=，
∴
∴AG=AH+HG=；
②如图4所示：连接交于，
同①得：GH=HF=HE=HC=，
∴，
∴AG=AH-HG=；
故答案为：或．