初中数学浙教版（2024）八年级下册（2024）4.4 平行四边形的判定定理课后作业题

这是一份初中数学浙教版（2024）八年级下册（2024）4.4 平行四边形的判定定理课后作业题，文件包含专题01二次根式的混合运算100题举一反三专项训练数学新教材浙教版八年级下册解析版docx、专题01二次根式的混合运算100题举一反三专项训练数学新教材浙教版八年级下册试题版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共65页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc18273" 【题型1 平行四边形与平移问题】 PAGEREF _Tc18273 \h 1
\l "_Tc14807" 【题型2 平行四边形与对称问题】 PAGEREF _Tc14807 \h 5
\l "_Tc23911" 【题型3 平行四边形与旋转问题】 PAGEREF _Tc23911 \h 9
\l "_Tc15567" 【题型4 平行四边形与定值问题】 PAGEREF _Tc15567 \h 13
\l "_Tc20346" 【题型5 平行四边形与最大值问题】 PAGEREF _Tc20346 \h 22
\l "_Tc5956" 【题型6 平行四边形与最小值问题】 PAGEREF _Tc5956 \h 26
\l "_Tc18742" 【题型7 平行四边形与动点问题】 PAGEREF _Tc18742 \h 30
\l "_Tc15710" 【题型8 平行四边形与存在性问题】 PAGEREF _Tc15710 \h 34
【题型1 平行四边形与平移问题】
【例1】如图，将△ABC向右平移4个单位，得到△DEF，连接AD，BE，CF，则图中有 个平行四边形．

【答案】3
【分析】根据平移的性质，三角形的三条边与平移后的三条边分别相等，平行，进而根据平行四边形的判定定理即可求解．
【详解】解：依题意，AC∥DF,AC=DF，则四边形ACFD是平行四边形，
BC∥EF,BC=EF，四边形BCEF是平行四边形，
AB∥DE,AB=DE，四边形ABED是平行四边形，
∴有3个平行四边形
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
【变式1-1】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCO的边OC在x轴上，AB=4，将平行四边形ABCO向上平移m个单位，点C的对应点恰好落在直线y=12x+3上，则平移的距离m= ．
【答案】5
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平移的性质及求一次函数的值，理解题意，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．
根据平行四边形的性质得出OC=AB=4，确定C(4,0)，再由题意确定当x=4时，y=5，即可求解．
【详解】解：∵平行四边形ABCO的边OC在x轴上，AB=4，
∴OC=AB=4，
∴C(4,0)，
∵将平行四边形ABCO向上平移m个单位，点C的对应点恰好落在直线y=12x+3上，
∴当x=4时，y=12×4+3=5，
∴m=5−0=5，
故答案为：5．
【变式1-2】如图，等边三角形ABC的边长AB=9，点D在边BC上，且BD=5．过点D作DE⊥AB，垂足为E，以BE、BD为邻边作平行四边形BEFD．将△EDF沿BC向右平移，使点F的对应点落在边AC上，则△EDF平移的距离为 ．
【答案】1.5
【分析】本题考查了等边三角形的性质以及平移的性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和性质．
已知△ABC是等边三角形，AB=9，求出∠B=∠A=60°,AB=BC=AC=9，再根据DE⊥AB,BD=5，求出BE和AE，再根据四边形BEFD是平行四边形求出EF=BD=5，进而求出FG即可．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，AB=9，
∴∠B=∠A=60°,AB=BC=AC=9，
∵DE⊥AB,BD=5，
∴BE=2.5，
∴AE=6.5，
∵将△EDF沿BC向右平移，
∴E、F、G三点共线，
∴EG=6.5，
∵四边形BEFD是平行四边形，
∴EF=BD=5，
∴FG=EG−EF=6.5−5=1.5，
故答案为：1.5．
【变式1-3】（24-25八年级下·山东·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=14cm，点D在AC上，DC=5cm，将线段DC沿CB方向平移8cm得到线段EF，点E,F分别落在边AB,BC上，那么四边形EFCD的面积为 cm2．
【答案】32
【分析】本题主要考查了平移的性质、等腰三角形的性质（等角对等边、三线合一）、勾股定理、平行四边形的判定及平行四边形面积的计算；掌握通过平移和等腰三角形性质求出梯形的高是解题的关键．根据平移性质得到EF=DC及FC的长度，利用等腰三角形性质推出BE=EF，作高EH后结合勾股定理求出EH，再证明平行四边形，进而计算四边形EFCD的面积．
【详解】解：∵将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，
∴EF=DC=5cm，FC=8cm，
∵AB=AC，BC=14cm，
∴∠B=∠C，BF=6cm，
∴∠B=∠BFE，
∴BE=EF=5cm，
过点E作EH⊥BC，
∵BE=EF，
∴HF=12BF=12×6=3cm，
在△EHF中，
EH=EF2−HF2=4cm，
∵∠B=∠C，∠B=∠BFE，
∴∠C=∠BFE，
∴EF∥DC，
∵EF=DC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
S▱EFCD=EH×FC=4×8=32cm2．
故答案为：32．
【题型2 平行四边形与对称问题】
【例2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知平行四边形OABC的顶点为0.4,1.2，若将平行四边形先沿着y轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着x轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循y轴、x轴、y轴、x轴……的规律进行，则经过第2025次变换后，平行四边形的顶点A的坐标为（ ）
A．(−0.4,−1.2)B．(−0.4,1.2)C．(0.4,−1.2)D．(−1.2,−0.4)
【答案】B
【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题意可得每4次轴对称变换重复一轮，据此即可求解，找到图形的变化规律是解题的关键．
【详解】解：将平行四边形先沿着y轴进行第一次轴对称变换，点A的坐标为−0.4,1.2，
所得图形再沿着x轴进行第二次轴对称变换，点A的坐标为−0.4,−1.2，
第三次轴对称变换，点A的坐标为0.4,−1.2，
第四次轴对称变换，点A的坐标为0.4,1.2，
∴每4次轴对称变换重复一轮，
∵2025÷4=506⋯⋯1，
∴经过第2025次变换后，平行四边形的顶点A的坐标为−0.4,1.2，
故选：B．
【变式2-1】（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，△DBE是以▱ABCD的对角线BD为边的等边三角形，点D与点E关于x轴对称，若D点的坐标是5,23，则C点的坐标为（ ）
A．1,0B．2,0C．3,0D．4,0
【答案】D
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，关于轴对称的点的坐标变化，平行四边形的性质，勾股定理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点． 记DE与x轴相交于F点，D5,23，求解BD=DE=43，求解BF=BD2−DF2=6，可得OB=BF−OF=1，结合平行四边形的性质求解即可．
【详解】解：记DE与x轴相交于F点，D5,23，
∵D与点E关于x轴对称，E5,−23，
∴F5,0，即DF=EF=23，OF=5，DE=43，
∵△BDE是等边三角形，
∴BD=DE=43，
在Rt△BDF中，BF=BD2−DF2=6，
∴OB=BF−OF=1，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC=5，
∴OC=BC−OB=AD−OB=4，
则C4,0．
故选D
【变式2-2】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是7,−33，则D点的坐标是（）
A．7,0 B． 6,0C． 5,0D． 4,0
【答案】C
【分析】本题考查了点关于x轴对称的性质，等边三角形的性质以及平行四边形的性质等知识，通过计算CE的长度，利用等边三角形的性质得到AC的长度，再利用勾股定理求出AH的长度，从而确定A点的坐标，最后根据平行四边形的性质求出D点的坐标，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：如图：
∵点C与点E关于x轴对称，E点的坐标是(7,−33)，
∴C的坐标为7,33
∴CH=33，CE=63，
∵△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，
∴AC=63，
∴AH=AC2−CH2=632−332=9，
∵OH=7，
∴AO=DH=2，
∴OD=5，
∴D点的坐标是5,0，
故选：C．
【变式2-3】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b经过点A−4,0，B0,3．
(1)求直线AB的函数表达式；
(2)点C在直线AB上，点D与点C关于y轴对称，如果以O，A，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．
【答案】(1)y=34x+3
(2)点C的坐标是−2,32或2,92
【分析】（1）由直线y=kx+b经过点A−4,0，B0,3，再利用待定系数法求解解析式即可；
（2）设CD与y轴相交于点H，证明CH=DH，证明AO=CD=4．①当点C在线段AB上时，CH=2．如图，则点C的横坐标是−2，②当点C在线段AB的延长线上时，CH=2．如图，则点C的横坐标是2，再利用函数的性质可得点的坐标．
【详解】（1）解：由题意得，直线y=kx+b经过点A−4,0，B0,3，
代入得−4k+b=0b=3解得k=34b=3．
∴直线AB的表达式是y=34x+3．
（2）∵点C与点D关于y轴对称，设CD与y轴相交于点H，
∴CH=DH，
∵以O、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，
∴AO=CD=4．
①当点C在线段AB上时，CH=2．如图，
则点C的横坐标是−2，点C的坐标是−2,32．
②当点C在线段AB的延长线上时，CH=2．如图，
则点C的横坐标是2，点C的坐标是2,92．
综上所述，如果以O，A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点C的坐标是−2,32 或2,92．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，平行四边形的性质与判定，轴对称的性质，利用数形结合的方法解题是关键．
【题型3 平行四边形与旋转问题】
【例3】如图，一副三角板如图1放置，AB＝CD＝6，顶点E重合，将△DEC绕其顶点E旋转，如图2，在旋转过程中，当∠AED＝75°，连接AD、BC，这时△ADE的面积是 ．
【答案】32+32
【分析】过点E作EF∥AB，由∠AED＝75°得AB∥CD，再由AB＝CD得四边形ABCD为平行四边形，再证明△AEC≌△BEC得AC＝BC，再由AE＝BE可知CE垂直平分AB，延长CE交AB于G，求出BG、CG，然后可用平行四边形的面积减三角形面积可得答案．
【详解】解：如图，过点E作EF∥AB，

∴∠BAE＝∠AEF＝45°，
∵∠AED＝75°，
∴∠FED＝∠AED−∠AEF＝30°，
∴∠FED＝∠EDC，
∴EF∥CD，
∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵∠AED＝75°，∠DEC＝60°，
∴∠AEC＝135°，
∵∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝360°−135°−90°＝135°，
∴∠BEC＝∠AEC，
在△AEC与△BEC中，
AE＝BC∠BEC＝∠AECCE＝CE，
∴△AEC≌△BEC（SAS），
∴AC＝BC，
∵AE＝BE，
∴CE垂直平分AB，
延长CE交AB于G，
∴CG⊥AB，
∵AE＝BE，EG⊥AB，
∴AG＝BG＝GE＝62，
∵∠EDC＝30°，
∴CE＝12ED，
∵EC²＋CD²＝ED²，
∴CE＝2，
∴CG＝CE＋GE＝2＋62．
∵CE垂直平分AB，
∴ S四边形ABCD=CG⋅AB＝6×（2＋62）＝3＋23，
∴S△AED=S四边形ABCD-S△ABE-S△CDE-S△BEC
=3＋23−12×3×3−12×2×6−122×62
=32+32．
故答案为：32+32．
【点睛】本题是三角形旋转变换综合题，主要考查了平行线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质以及勾股定理，综合能力较强．
【变式3-1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，▱ABCD绕点A按逆时针方向旋转36°，得到▱AB′C′D′，点B′恰好落在BC边上，B′C′和CD相交于点E，则∠B′EC的度数是 ．
【答案】36°/36度
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由旋转的性质可得AB=AB′，∠BAB′=36°，∠ABC=∠AB′C′，∠B+∠C=180°，由等腰三角形的性质可得∠B=∠AB′B=72°，由三角形的内角和定理可求解．
【详解】解：∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转36°，得到▱AB′C′D′，
∴AB=AB′，∠BAB′=36°，∠ABC=∠AB′C′，∠B+∠C=180°，
∴∠B=∠AB′B=72°，
∴∠C=108°，∠AB′C′=∠B=72°，
∴∠CB′E=180°−72°−72°=36°，
∴∠B′EC=180°−∠C−∠CB′E=180°−108°−36°=36°，
故答案为：36°．
【变式3-2】（2025·吉林四平·三模）如图，将平行四边形ABCD绕点A旋转α°得到平行四边形AB′C′D′，点B'落在边CD上，若∠C=76°，当B、B′、C′三点共线时，α等于 ．
【答案】28
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，图形旋转的性质，等腰三角形的性质等知识，由图形旋转的性质可知∠C′=76°，由平行四边形的性质可知∠AB′B=76°，再用等腰三角形的性质推得∠ABB′=76°，最后根据三角形的内角和定理即可得到答案，灵活运用平行四边形和图形旋转的性质是解答本题的关键．
【详解】解：∵平行四边形ABCD绕点A旋转α°得到平行四边形AB′C′D′，
∴∠C′=∠C=76°，AB′∥C′D′ ， AB′=AB，
∴∠AB′B=∠C′=∠C=76°，
∵AB′=AB，
∴∠AB′B=∠ABB′=76°，
∴∠BAB=180°−∠ABB′−∠AB′B=180°−76°−76°=28°，
∴α等于28，
故答案为：28．
【变式3-3】如图，一副三角板如图1放置，AB=CD=6，顶点E重合，将△DEC绕其顶点E旋转，如图2，在旋转过程中，当∠AED=75°，连接AD，BC，此时四边形ABCD的面积是 ．
【答案】23+3
【分析】延长CE交AB于点F，先根据特殊直角三角形的性质和∠AED=75°，推出AB∥CD，从而可证四边形ABCD为平行四边形，再根据等腰直角三角形的性质求出EF长，则可求出CF长，最后计算平行四边形ABCD的面积即可．
【详解】解：如图2，延长CE交AB于点F，
∵∠AED=75°，
∴∠EAD+∠ADE=180°−∠AED=105°，
又∠BAE+∠CDE=45°+30°=75°，
∴∠BAD+∠CDA=∠BAE+∠CDE+∠EAD+∠ADE=180°，
∴AB∥CD，
∵AB=CD，
∴四边形是ABCD平行四边形，
∵CE⊥CD，
∴CE⊥AB，即EF⊥AB，
∴EF=12AB=62，EC=33CD=2，
∴CF=EC+EF=6+222，
∴S四边形ABCD=AB×CF=6+222×6=23+3．
故答案为：23+3．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定和平行四边形面积的计算，先证出四边形ABCD是平行四边形是解题的关键．
【题型4 平行四边形与定值问题】
【例4】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，过点D、A分别作AC、BC的平行线交于点E，连接AD，设AC=m，AD=n，当AE⋅BD为定值时，无论m、n的值如何变化，下列代数式的值不变的是（ ）
A．mnB．m2−n2C．m2+n2D．m+n
【答案】B
【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行四边形判定和性质，勾股定理，关键是判定四边形AEDC是平行四边形，推出AE=CD，由勾股定理得到m2−n2=AE⋅BD．
过A作AH⊥BC于H，由等腰三角形的性质推出BH=CH，判定四边形AEDC是平行四边形，推出AE=CD，由勾股定理得到m2−n2=AE⋅BD=定值．
【详解】解：过A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC，
∴BH=CH，
∵AE∥BC，DE∥AC，
∴四边形AEDC是平行四边形，
∴AE=CD，
设AC=m，AD=n，
∵AC2=m2=AH2+CH2，AD2=n2=AH2+DH2，
∴m2−n2=CH2−DH2=CH+DHCH−DH=CD⋅BH−DH=AE⋅BD=定值，
故选：B
【变式4-1】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图1，点Aa,0、Bb,0，其中a、b满足a+1+b−3=0，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D，连接AC、BD．
(1)请直接写出a=______、b=______、c的坐标是______；
(2)连接AD交OC于一点E，求CE；
(3)如图2，点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上运动，同时点N从B点出发，以每秒2个单位的速度向左运动．设运动时间为t秒0AC，
∴AC