初中数学浙教版（2024）八年级下册（2024）4.5 三角形的中位线学案设计

这是一份初中数学浙教版（2024）八年级下册（2024）4.5 三角形的中位线学案设计，共11页。学案主要包含了新教材浙教版，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3，变式3-1等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc9344" 【题型1 利用直角三角形斜边的中线求线段长度】 PAGEREF _Tc9344 \h 1
\l "_Tc15697" 【题型2 利用直角三角形斜边的中线求角度】 PAGEREF _Tc15697 \h 3
\l "_Tc16525" 【题型3 利用直角三角形斜边的中线求周长】 PAGEREF _Tc16525 \h 6
\l "_Tc4159" 【题型4 利用直角三角形斜边的中线求面积】 PAGEREF _Tc4159 \h 9
\l "_Tc3496" 【题型5 利用直角三角形斜边的中线证明】 PAGEREF _Tc3496 \h 12
\l "_Tc9702" 【题型6 直角三角形斜边的中线与尺规作图的综合】 PAGEREF _Tc9702 \h 16
\l "_Tc27119" 【题型7 利用直角三角形斜边的中线解决折叠问题】 PAGEREF _Tc27119 \h 19
知识点 直角三角形斜边上的中线
1. 性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
2. 拓展：一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形就是以这条边为斜边的直角三角形．使用该定理可以确定直角三角形．
【题型1 利用直角三角形斜边的中线求线段长度】
【例1】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30°,CD⊥AB于点D，E是AB的中点．若AB=8，则DE的长为（ ）
A．1B．2C．4D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．根据直角三角形的性质可得AE=CE=BE=4，从而得到△ACE是等边三角形，再利用等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，E是AB的中点， AB=8，
∴AE=CE=BE=4，
∴∠B=∠BCE=30°，
∴∠ACE=90°−30°=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∵CD⊥AB，
∴DE=AD=2，
故选：B
【变式1-1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点O是对角线AC的中点，若OB=3，则OD的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
在Rt△ADC和Rt△ABC，由斜边上中线等于斜边的一半得到OD=OB=12AC，即可求解．
【详解】解：∵∠ABC=∠ADC=90°，点O是对角线AC的中点，
∴OD=OB=12AC=3，
故答案为：3．
【变式1-2】（2025·江西新余·三模）如图，△ABC的顶点C与AB的中点D均在数轴上，且C，D两点在数轴上对应的数分别为−3，1，当∠BCA=90°时，AB的长为 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，直角三角形斜边中线等于斜边一半，掌握以上知识是关键．
根据数轴上两点之间的距离得到CD=4，由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解．
【详解】解：由题意可得CD=1−−3=4，
∵∠BCA=90°，点D为AB的中点，
∴AB=2CD=8，
故答案为：8．
【变式1-3】（24-25八年级下·北京·期中）Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，且CD+AB=15，则CD的长为 ．
【答案】5
【分析】根据直角三角形三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AB=2CD，结合CD+AB=15，得到3CD=15，解答即可．
本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：由∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，
得AB=2CD，
又CD+AB=15，
故3CD=15，
解得CD=5，
故答案为：5．
【题型2 利用直角三角形斜边的中线求角度】
【例2】（2025·陕西·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出∠B=70°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD=AD=BD，根据等边对等角得出∠DCA=∠A=20°,∠DCB=∠B=70°，再结合DE⊥AC根据三角形内角和定理求出∠CDE=70°,∠ADE=70°，最后根据余角的性质求解即可．
【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，
∴∠B=180°−∠A−∠ACB=180°−90°−20°=70°，
∵CD为AB边上的中线，
∴CD=AD=BD，
∴∠DCA=∠A=20°,∠DCB=∠B=70°,∠CDB=2∠A=40°，
∵DE⊥AC，
∴∠CDE=180°−90°−∠DCA=70°,∠ADE=180°−90°−∠A=70°，
∴图中与∠A互余的角是∠B,∠DCB,∠CDE,∠ADE，共有4个，
故选：C．
【变式2-1】（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，D为AB边的中点，连接CD，过点B作CD的平行线EF，则∠CBF的度数为（ ）
A．60°B．45°C．30°D．15°
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的性质与判定，平行线的性质，熟练掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．先证明△ADC是等边三角形，得出∠ADC=60°，根据CD∥EF，可得∠ABF=∠ADC=60°，进而根据∠CBF=∠ABF−∠ABC=30°，即可求解．
【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，D为AB边的中点，
∴CD=AD，∠ABC=30°，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ADC=60°，
∵CD∥EF，
∴∠ABF=∠ADC=60°，
∴∠CBF=∠ABF−∠ABC=30°，
故选：C．
【变式2-2】（2025·天津河西·一模）如图，△ABC中，∠ABC=90°，∠C=62°，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于E，F两点，连接EF，EF与AC交于点O，则∠ABO的大小为（ ）
A．28°B．30°C．31°D．36°
【答案】A
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，等边对等角和线段垂直平分线的定义，直角三角形的性质等等，由作图方法可得EF垂直平分AC，则点O是AC的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出OB=OC，则∠OBC=∠C=62°，据此可得答案．
【详解】解；由作图方法可得EF垂直平分AC，
∴点O是AC的中点，
∵∠ABC=90°，
∴OB=OC=12AC，
∴∠OBC=∠C=62°，
∴∠ABO=∠ABC−∠OBC=28°，
故选：A．
【变式2-3】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，一根木杆AB斜靠在竖直的墙AC上，∠BAC=32°，木杆的顶端A沿墙面下滑至A′位置，此时∠A′B′C=32°，CD，CD′分别是斜边AB，A′B′上的中线，则∠DCD′的度数为 ．

【答案】26°/26度
【分析】本题主要查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质．根据直角三角形斜边中线的性质，可得CD′=B′D′,CD=AD，从而得到∠B′CD′=∠A′B′C=32°，∠ACD=∠BAC=32°，即可求解．
【详解】解：∵CD，CD′分别是斜边AB，A′B′上的中线，
∴CD′=B′D′,CD=AD，
∴∠B′CD′=∠A′B′C=32°，∠ACD=∠BAC=32°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCD′=∠ACB−∠B′CD′−∠ACD=26°．
故答案为：26°
【题型3 利用直角三角形斜边的中线求周长】
【例3】（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点，若EF=4，BC=10，求△EFM的周长．
【答案】14
【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM=FM=12BC，然后根据三角形的周长的定义解答．
【详解】解：∵CF⊥AB，BE⊥AC，M为BC的中点，
∴EM=FM=12BC，
∵EF=4，BC=10，
∴EM=FM=5，
∴△EFM的周长=EF+EM+FM=4+5+5=14．
【变式3-1】（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=6，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长是（ ）
A．20B．12C．16D．13
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边的中线性质；根据等腰三角形三线合一求出CD的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DE的长，根据三角形的周长公式计算得到答案．
【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，CD=12BC=3，
∵AD⊥BC，点E为AC的中点，
∴DE=EC=12AC=5，
∴△CDE的周长=CD+DE+EC=13，
故选：D．
【变式3-2】如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E是对角线AC的中点，连接BE、DE．若AC=10，BD=8， 求△BDE的周长．
【答案】18
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得到BE=DE=12AC=5，进而求解△BDE的周长即可．
【详解】∵∠ABC=∠ADC=90°
∴△ABC和△ADC是直角三角形
∵E是对角线AC的中点
∴BE=DE=12AC=5
∵BD=8
∴△BDE的周长=BD+BE+DE=8+5+5=18．
【点睛】此题考查了直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【变式3-3】如图，△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，点E在AC边上，将△DCE沿DE折叠至△DFE，AB与FE，FD分别交于G，H两点．若已知AB的长，则可求出下列哪个图形的周长（ ）

A．△AGEB．△FHGC．四边形DHGED．四边形BDEG
【答案】A
【分析】先作出辅助线，利用等腰直角三角形的性质转化角的数量关系得出GA=GF即可求解．
【详解】如图，连接AD，AF，
∵三角形ABC是等腰直角三角形，且D为斜边的中点，

∴DA=DC=DB，∠DAG=∠DAC=∠B=∠C=45°，
由折叠可得DA=DC=DB=DF，
∴∠DAF=∠DFA，
∵∠DAG=∠DFG=∠C=45°，
∴∠GFA=∠GAF，
∴GA=GF，
∴C△AEG=AG+GE+AE=FG+GE+AE=FE+AE=CE+AE=AC=AB，
故选A．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和折叠，解题关键是掌握等腰三角形的两个底角是45°和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，折叠前后的对应边相等，对应角相等．
【题型4 利用直角三角形斜边的中线求面积】
【例4】在△ABC中，∠A,∠B,∠C的度数之比为1:5:6，AB边上的中线长是2，则△ABC的面积是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】过点B作BE⊥CD，利用三角形内角和以及三个角的比求出各角的度数，再利用直角三角形中线定理求出BD的长，再根据含30°角的直角三角形的性质求出BE，最后利用面积公式求解即可．
【详解】解：如图所示：
过点B作BE⊥CD
∵∠A:∠B:∠C=1:5:6
∴∠A=180°×11+5+6=15°
∴∠B=180°×51+5+6=75°,∠C=180°×61+5+6=90°
∵CD是AB边上的中线，
∴CD=12AB=BD=AD
∴∠BDC=30°
∴BE=12BD
∵CD=2
∴BE=12×2=1
∴S△BCD=12×1×2=1
∴S△ABC=2S△BDC=2×1=2
故选B．
【点睛】本题主要考查三角形内角和，直角三角形中线定理以及含30°角的直角三角形的性质，运用内角和求各角的度数以及中线性质求解面积是解决本题的关键．
【变式4-1】（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在Rt△ABC中，D是斜边BC的中点，以AD为边作正方形ADEF．若BC=10，则正方形ADEF的面积为（ ）
A．5B．100C．25D．15
【答案】C
【分析】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线，根据直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半得出AD=12BC=12×10=5，再根据正方形的面积求解即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，D是斜边BC的中点，BC=10，
∴AD=12BC=12×10=5，
∴S正方形ADEF=5×5=25，
故正方形ADEF的面积为25，
故选：C．
【变式4-2】如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（ ）
A．12B．9C．6D．32
【答案】B
【分析】根据三线合一可得ED⊥BC，根据垂直平分线的性质可得EB=EC，进而根据∠EBC＝45°，可得△BEC为等腰直角三角形，根据斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=12BC=3，然后根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：∵ AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BD,BD=DC，
∴EB=EC，
∵∠EBC＝45°，
∠ECB=∠EBC=45°，
∴ △BEC为等腰直角三角形，
∵BC=6，
∴ DE=12BC=3，
则△EBC的面积是12×3×6=9．
故选B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
【变式4-3】如图，在一个等边三角形纸片中取三边中点，以虚线为折痕折叠纸片，若三角形纸片的面积是8cm2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2cm2B．3cm2C．4cm2D．5cm2
【答案】B
【分析】根据中点和等边三角形的性质得到AF⊥BC，S△ABF=S△ACF=12S△ABC=4cm2，再求出S△BDF=S△ADF=12S△ABF=2cm2，根据直角三角形斜边中线的性质和三线合一求出S△ADO=S△FDO=12S△ADF=1cm2，从而可得结果．
【详解】解：如图，∵F分别为BC中点，△ABC是等边三角形，
∴AF⊥BC，S△ABF=S△ACF=12S△ABC=4cm2，
∵D为AB边中点，
∴S△BDF=S△ADF=12S△ABF=2cm2，AD=BD=DF，
∵E为AC中点，
∴D，E关于AF对称，
∴AF垂直平分DE，
∴AO=FO，
∴S△ADO=S△FDO=12S△ADF=1cm2，
∴S阴影=S△BDF+S△FDO=2cm2+1cm2=3cm2，
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线，三角形面积，解题的关键是掌握基本定理，用边的关系找出面积的关系．
【题型5 利用直角三角形斜边的中线证明】
【例5】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，点E为边AC上一点，连接CD，DE，以DE为边在DE的左侧作等边三角形DEF，连接BF．
(1)求证：△BCD为等边三角形；
(2)求证：∠DBF=∠DCE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键．
（1）先求出∠ABC=60°，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得CD=BD=AD，由此可得出结论；
（2）根据等边三角形性质得BD=CD，DF=DE，∠BDC=∠FDE=60°，由此得∠BDF=∠CDE，进而可依据“SAS”判定△BDF≌△CDE，然后根据全等三角形的性质可得出结论．
【详解】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵点D是AB的中点，
∴CD=BD=AD=12AB，
∴△BCD为等边三角形；
（2）证明：∵△BCD和△DEF均为等边三角形，
∴BD=CD，DF=DE，∠BDC=∠FDE=60°，
∴∠BDF+∠FDC=∠FDC+∠CDE，
∴∠BDF=∠CDE，
在△BDF和△CDE中，BD=CD∠BDF=∠CDEDF=DE,
∴△BDF≌△CDE（SAS），
∴∠DBF=∠DCE．
【变式5-1】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD于点D，E为AC的中点，连接DE．求证：DE∥AB．
【答案】见解析
【分析】本题考查角平分线，直角三角形的性质以及平行线的判定，解题的关键是利用直角三角形斜边中线的性质得到角相等，从而证明两直线平行．
先根据角平分线的性质得到∠BAD=∠CAD，再结合直角三角形斜边中线性质得出线段关系AE=DE=12AC，进而得到角的关系∠CAD=∠ADE=∠BAD，通过内错角相等证明两直线平行．
【详解】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC=90°，
∵E为AC的中点，
∴AE=DE=12AC，
∴∠CAD=∠ADE，
∴∠BAD=∠ADE，
∴DE∥AB．
【变式5-2】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，证明：
(1)MD=MB；
(2)MN⊥BD．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=12C，DM=12AC，进而即可求解；
（2）根据三线合一即可求证；
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，
∴BM=12C，DM=12AC，
∴MD=MB；
（2）证明：由（1）可知MD=MB，
∵N是BD的中点，
∴MN⊥BD．
【变式5-3】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD=∠DBC=90°，AB=DB，EB=CB，M，N分别是AE，CD的中点．
(1)求证：△ABE≌△DBC；
(2)试探索BM和BN的数量关系和位置关系，并证明你的结论．
【答案】(1)详见解析
(2)MB=NB且MB⊥NB，详见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AE=DC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AM=12AE，DN=12CD，得到MB=NB，根据等边对等角和全等三角形的性质进行等量代换即可证明MB⊥NB．
本题考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
【详解】（1）证明：在△ABE和△DBC中，
&&AB=DB∠ABE=∠DBCBE=BC，
∴△ABE≌△DBC(SAS)
（2）MB=NB，MB⊥NB，
理由如下：
由（1）可知△ABE≌△DBC(SAS)
∴AE=DC，∠BAE=∠BDC，
∵M，N分别是AE，CD的中点，
∴AM=12AE，DN=12CD，
∴AM=DN，
在△MAB和△NDB中，
AM=DN∠BAM=∠BDNAB=DB，
∴△MAB≌△NDB(SAS)
∴MB=NB，
∠MBA=∠NBD，
∵∠MBA+∠MBD=90°，
∴∠MBD+∠NBD=90°，
即∠MBN=90°，
∴MB⊥NB．
【题型6 直角三角形斜边的中线与尺规作图的综合】
【例6】（2025·陕西·模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=90°，请用尺规作图法在边AB上求作一点P，连接CP，使CP分△ABC为两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】作图见解析
【分析】本题考查的作线段的垂直平分线，直角三角形的斜边上的中线的性质，等腰三角形的定义，如图，作边AB的垂直平分线MN交AB于P，则P即为所求．
【详解】解：如图，作边AB的垂直平分线MN交AB于P，则P即为所求；
理由：由作图可得：AP=BP，
∵∠ACB=90°，
∴AP=CP=BP，
∴△ACP，△BCP都是等腰三角形．
【变式6-1】如图，点E为Rt△ABC斜边AB的中点，连接CE，以点A为圆心，AC为半径的圆弧交AB于点D，则BD CE．（填“＜”，“＞”或“＝”）
【答案】＞
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：∵点E为Rt△ABC斜边AB的中点，
∴CE=12AB=BE，
∵BD=BE+DE=CE+DE>CE，
故答案为：>．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中点的性质，明确“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键．
【变式6-2】（24-25八年级下·四川达州·期末） 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，分别以点C，B为圆心，以大于12BC为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交AB,CB于点D，E，连接CD,AE相交于点P．若∠B=23°，则∠APC的大小为 ．
【答案】69°/69度
【分析】本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．由作图可知AD=BD，可得∠DCB=∠B=23°，根据直角三角形斜边上中线的性质可得AD=BD=AE，然后由角的和差关系可得答案．
【详解】解：由作图可知MN是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∴∠DCB=∠B=23°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACB=90°−23°=67°，∠ADC=∠DCB+∠B=46°，AE=BE，
∴∠BAE=∠B=23°，
∴∠CAP=90°−∠BAE=90°−23°=67°，
∴∠ACD=∠ACB−∠DCB=67°−23°=44°，
∴∠APC=180°−∠ACP−∠PAC=180°−44°−67°=69°，
故答案为：69°．
【变式6-3】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，AD∥BC，点E在AD上，且满足∠ABE=2∠EBC．
(1)尺规作图：在BC上求作点G，使得∠ABC+∠BAG=90°；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若AG交BF于点H，F是EH的中点，连接AF，求证：AB=AF．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）过点A作AG⊥BC于点G，故∠ABC+∠BAG=90°，则点G即为所求．
（2）由（1）可知∠AGB=90°，由平行线的性质可得∠AEH=∠EBC，∠EAH=∠AGB=90°，结合直角三角形斜边上的中线的性质可得AF=12EH=EF，则∠EAF=∠AEF，可得∠AFB=∠EAF+∠AEF=2∠AEF，进而可得∠AFB=∠ABE，则可得AB=AF．
【详解】（1）解：如图，点G即为所求．
（2）证明：由（1）可知，∠AGB=90°．
∵AD∥BC，
∴∠AEH=∠EBC，∠EAH=∠AGB=90°，
∴△AEH为直角三角形．
∵F是EH的中点，
∴AF=12EH=EF
∴∠EAF=∠AEF，
∴∠AFB=∠EAF+∠AEF=2∠AEF．
∵∠ABE=2∠EBC，∠AEH=∠EBC，
∴∠ABE=2∠AEH，
∴∠AFB=∠ABE，
∴AB=AF．
【点睛】本题考查作图—复杂作图、平行线的性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【题型7 利用直角三角形斜边的中线解决折叠问题】
【例7】如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，M为AB中点．将△ACM沿CM翻折，得到△DCM（如图2），P为CD上一点，再将△DMP沿MP翻折，使得D与B重合（如图3），给 出下列四个命题：①BP∥AC；②△PBC≌△PMC；③∠BPC=∠BMC；④PC⊥BM．其中正确的是（ ）
A．①④B．②④C．①③D．①③④
【答案】C
【分析】根据折叠的性质得到∠D=∠A，∠D=∠PBA，等量代换得到∠A=∠PBA，可得BP∥AC，即可判断①；假设△PBC≌△PMC，根据全等三角形的性质得到BC=MC，由直角三角形的性质得到BM=CM，于是得到△PBC与△PMC不一定全等，即可判断②；根据等腰三角形的性质得到CM=DM，得到∠D=∠PBA，根据三角形的内角和得到∠BPC=∠BMC，即可判断③；假设PC⊥BM，得到∠BCP=∠A，由直角三角形的性质得到AM=CM，得到∠A=∠ACM，推出∠A不一定等于30°，得到PC不一定垂直于BM，即可判断④．
【详解】解：如下图，
将△ACM沿CM翻折，得到△DCM，
∴∠D=∠A，
∵再将△DMP沿MP翻折，使得D与B重合，
∴∠D=∠PBA，
∴∠A=∠PBA，
∴BP∥AC，故①正确；
假设△PBC≌△PMC，则有BC=MC，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，M为AB中点，
∴BM=CM，
∴BC=BM=CM，
∴∠ABC=60°，而∠ABC不一定等于60°，
∴△PBC与△PMC不一定全等；故②错误；
∵CM=AM，
∴CM=DM，
∴∠D=∠DCM，
∵∠D=∠PBA，
∴∠1=∠2，
∴∠BPC=∠BMC，故③正确；
假设PC⊥BM，则∠BCP=∠A，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，M为AB中点，
∴AM=CM，
∴∠A=∠ACM
∵∠ACM=∠DCM
∴∠BCP=∠DCM=∠ACM=30°，
∴∠A=30°，而∠A不一定等于30°，
∴PC不一定垂直于BM，故④错误．
综上所述，①③是真命题．
故选：C．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、全等三角形的判定定理、翻转变换的性质是解题的关键．
【变式7-1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=54°，AD是斜边BC上的中线，将△ABD沿AD翻折，使点B落在点F处，线段AF与BC相交于点E，则∠AED的度数为（ ）
A．120°B．108°C．72°D．36°
【答案】C
【分析】由直角三角形两锐角互余和斜边上中线的性质得∠B=36°，AD=BD=CD,即可得到∠B=∠DAB=36°，由折叠的性质得∠BAD=∠DAE=36°，则∠CAE=18°，由三角形外角的性质即可得到∠AED的度数．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=54°，AD是斜边BC上的中线，
∴∠B=90°−∠C=90°−54°=36°，AD=BD=CD,
∴∠B=∠DAB=36°，
∵将△ABD沿AD翻折，使点B落在点F处，线段AF与BC相交于点E，
∴∠BAD=∠DAE=36°，
∴∠CAE=∠BAC−∠BAD−∠DAE=18°，
∴∠AED=∠CAE+∠C=72°．
故选：C
【点睛】此题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
【变式7-2】如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AB，AC上一点，将ΔBCD，ΔADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，若ΔPCD中有一个角等于48°，则∠A= ．
【答案】42°或24°．
【分析】由折叠的性质得出AD＝PD＝BD，∠CPD＝∠B，∠PDC＝∠BDC，∠PCD＝∠DCB，由直角三角形斜边上的中线性质得出CD＝12AB＝AD＝BD，由等腰三角形的性质得出∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠B，再分三种情况讨论即可．
【详解】解：由折叠可得，AD＝PD＝BD，∠CPD＝∠B，∠PDC＝∠BDC，∠PCD＝∠DCB，
∴D是AB的中点，
∴CD＝12AB＝AD＝BD，
∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠B，
当∠CPD＝48°时，∠B＝48°，
∴∠A＝90°−∠B＝42°；
当∠PCD＝48°时，∠DCB＝∠B＝48°，
∴∠A＝42°；
当∠PDC＝48°时，则∠PDC＝∠BDC＝48°，
∵∠BDC＝∠A＋∠ACD，∠ACD＝∠A，
∴∠A＝12∠BDC＝24°；
故答案为：42°或24°．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握翻折变换的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
【变式7-3】（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，把△BCD沿着BD翻折得到△BC'D，连接AC'，若∠C=α，则∠C'AB为（ ）
A．12αB．90°−αC．180°−2αD．2α−90°
【答案】B
【分析】先根据直角三角形斜边中线的性质得AD=BD=CD，得∠CBD=∠C=α，由翻折的性质可得C'D=CD，推出∠AC'D=∠C'AD，根据∠BDC'=∠BDC，由三角形外角性质得∠AC'D=∠BDC'，得AC'∥BD，得∠C‘AB=∠ABD=90°−α．
【详解】解：∵在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=α，D是AC的中点，
∴AD=BD=CD，
∴∠CBD=∠C=α，
∴∠ABD=∠ABC−∠CBD=90°−α，
由折叠知，C'D=CD，
∴C'D=AD，
∴∠AC'D=∠C'AD，
∵∠AC'D+∠C'AD=∠BDC'+∠BDC，且∠BDC'=∠BDC，
∴∠AC'D=∠BDC'，
∴AC'∥BD，
∴∠C‘AB=∠ABD=90°−α．
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形翻折．熟练掌握翻折的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角性质，平行线的判定和性质，是解题关键．