数学八年级下册第四章 平行四边形4.2 平行四边形综合训练题

这是一份数学八年级下册第四章 平行四边形4.2 平行四边形综合训练题，文件包含浙教版八年级下册数学举一反三系列专题42平行四边形的性质八大题型教师版docx、浙教版八年级下册数学举一反三系列专题42平行四边形的性质八大题型学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共69页， 欢迎下载使用。


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\l "_Tc11543" 【题型1 利用平行四边形的性质求长度】 PAGEREF _Tc11543 \h 1
\l "_Tc14044" 【题型2 利用平行四边形的性质求角度】 PAGEREF _Tc14044 \h 6
\l "_Tc5630" 【题型3 利用平行四边形的性质求面积】 PAGEREF _Tc5630 \h 10
\l "_Tc21939" 【题型4 平行四边形的性质在折叠中的运用】 PAGEREF _Tc21939 \h 14
\l "_Tc18421" 【题型5 平行四边形的性质在坐标系中的运用】 PAGEREF _Tc18421 \h 19
\l "_Tc17150" 【题型6 利用平行四边形的性质进行证明】 PAGEREF _Tc17150 \h 23
\l "_Tc27306" 【题型7 利用平行四边形的性质求最值】 PAGEREF _Tc27306 \h 29
\l "_Tc16066" 【题型8 平行四边形的性质与动点的综合】 PAGEREF _Tc16066 \h 34
【知识点 平行四边形的性质】
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
【题型1 利用平行四边形的性质求长度】
【例1】（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，在中，，，点E、F分别在上，将四边形沿折叠得四边形，恰好垂直于，若，则的值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】延长交于点H，根据折叠的性质、平行四边形的性质得到，，在中，得到，，由折叠的性质得到是等腰直角三角形，据此即可求解．
【详解】解：延长交于点H，
∵恰好垂直于，且四边形是平行四边形，
∴也垂直于，
由折叠的性质得，，，，
∴，
∴，，
在中，，，
∴，，
∴，
由折叠的性质得，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，证明是等腰直角三角形是解题的关键．
【变式1-1】（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，的对角线相交于O，过点O与分别相交于E，F，若，那么四边形的周长为（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】A
【分析】根据平行四边形的对边相等得：，再根据平行四边形的性质和对顶角相等可以证明： ，根据全等三角形的性质，得：，，故四边形的周长为．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
，
，，
四边形的周长为，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，根据全等三角形的性质将所求的线段转化为已知的线段是解题的关键．
【变式1-2】（2022春·山东临沂·八年级统考期末）如图，中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点；③画射线，交于点，交对角线于点．若，则的长度为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝10，再利用勾股定理计算出AC＝8，利用基本作图得到BQ平分∠ABC，则根据角平分线的性质得到点O到BA的距离等于点O到BC的距离，接着利用三角形的面积公式得到S△ABO：S△BCO＝AB：BC＝OA：OC，所以OAAC．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD＝10，
∵BA⊥CA，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，AC8，
由作法得BQ平分∠ABC，
∴点O到BA的距离等于点O到BC的距离，
∴S△ABO：S△BCO＝AB：BC＝6：10＝3：5，
∵S△ABO：S△BCO＝OA：OC，
∴OA：OC＝3：5，
∴OA：AC＝3：8，
∴OAAC8＝3．
故选：A．
【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，平行四边形的性质，勾股定理，掌握角平分线的性质是解题的关键．
【变式1-3】（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市公益中学校考期中）如图，在中，，点E在上，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由平行四边形的性质可求，由直角三角形的性质可求，，即可求解．
【详解】解：如图，过点B作于H，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，∴，
∴，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【题型2 利用平行四边形的性质求角度】
【例2】（2022春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考阶段练习）在▱ABCD中，AC、BD交于点O．过点O作OE⊥BD交BC于点E，连接DE．若∠CDE＝∠CBD＝15°．求∠ABC的度数．
【答案】
【分析】由线段垂直平分线的性质得出BE＝ED，得出 ，求出，则可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵OE⊥BD，
∴BE=ED，
∴，
∵，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及平行四边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
【变式2-1】（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考期中）若平行四边形 的两个内角，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质可得到与是邻角并且互补，再结合列方程，即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
解得，
故选B．
【点睛】本题考查平行四边形性质，熟知平行四边形邻角互补是解答的关键．
【变式2-2】（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，以平行四边形的边为斜边向内作等腰直角，使，，且点在平行四边形内部，连接、，则的度数是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先证明，得出，，设，，求出，，由平行四边形的对角相等得出方程，求出，即可得出结果．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质(对边平行且相等，对角相等)，等腰三角形的性质(两底角相等) ，解题的关键是找到和之间的关系．
【变式2-3】（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图，平行四边形中，于点，为线段上一点且满足，，连并延长交于点，则的度数为 _____．
【答案】45°
【分析】连接，根据平行四边形的性质证明，可得，，然后证明是等腰直角三角形，进而可以解决问题．
【详解】解：如图，连接，
在平行四边形中，，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．
【题型3 利用平行四边形的性质求面积】
【例3】（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，在平行四边形中，于E，于F，，平行四边形的周长为60，则平行四边形的面积是（ ）
A．36B．48C．63D．75
【答案】C
【分析】由平行四边形的对边相等可得一组对边的和为30，设为未知数，利用两种方法得到的平行四边形的面积相等，可得长，乘以3即为平行四边形的面积．
【详解】解：平行四边形的周长为60，
，
设为x，
，
，解得：，
的面积为，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对边相等，面积等于底高．
【变式3-1】（2022春·吉林长春·八年级校考期中）如图，，点、、在直线上，四边形为平行四边形，若的面积为5，则平行四边形的面积是______．
【答案】
【分析】根据平行线间的距离相等以及平行四边形的对边相等即可得出答案．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积等于，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及平行四边形的性质，根据同底等高的两个三角形面积相等以及等底等高的两个三角形面积相等是解本题的关键．
【变式3-2】（2022春·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且m，n满足，将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段DC，其中点D与点A对应，点C与点B对应，连接AD，BC，CD，得到平行四边形ABCD，连接BD．
(1)补全图形，并写出平行四边形ABCD各顶点坐标；
(2)平行四边形ABCD的面积是多少？
(3)在x轴上是否存在点M，使△MBD的面积等于平行四边形ABCD的面积？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)图见解析，，，，
(2)12
(3)存在，或
【分析】（1）先根据绝对值和偶次方的非负性可得的值，再根据平移的性质、线段的画法补全图形，然后根据点坐标的平移变换规律即可得点的坐标；
（2）先求出，，再利用平行四边形的面积公式即可得；
（3）设点的坐标为，则，再根据三角形的面积公式建立方程，解方程可得的值，由此即可得．
（1）
解：，
，，
解得，，
，，
补全图形如下：
由平移的性质得：，，即，．
（2）
解：，，，
，，
则平行四边形的面积是．
（3）
解：如图，设点的坐标为，
则，
的面积等于平行四边形的面积，
，即，
解得或，
所以存在这样的点，此时点的坐标为或．
【点睛】本题考查了平移作图、点坐标的平移变换、平行四边形的面积、坐标与图形，熟练掌握平移作图是解题关键．
【变式3-3】（2022春·吉林长春·八年级长春市第四十五中学校考期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，点A在格点上．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点在格点上．
(1)在图①中以点A为顶点，画一个面积为6的平行四边形．
(2)在图②中以点A为对角线交点，画一个面积为6的平行四边形．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
【分析】（1）根据要求，画出平行四边形即可；
（2）根据要求，画出平行四边形即可．
【详解】（1）解：如图，平行四边形即为所求；
由图可知：平行四边形的面积；
（2）解：如图，平行四边形即为所求；
由图可知：平行四边形的面积．
【点睛】本题考查网格作图，平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质，是解题的的关键．
【题型4 平行四边形的性质在折叠中的运用】
【例4】（2022春·吉林长春·八年级校考期中）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处，若，，则的度数为（ ）．
A．124°B．114°C．104°D．56°
【答案】A
【分析】根据折叠、平行四边形的性质，三角形的内角和定理，即可求出答案．
【详解】解：
由折叠得，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
故选：A．
【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的性质，三角形的内角和定理等知识，由图形直观得出各个角之间的关系是正确解答的关键．
【变式4-1】（2022春·河南南阳·八年级校联考期末）如图，，分别是平行四边形的边，上的点，，，将四边形沿翻折，得到四边形，交于点，则的周长为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质得到 ，由平行线的性质得到 ，根据折叠的性质得到 ，推出 是等边三角形，于是得到结论．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
，
，
∵将四边形沿翻折，得到四边形，
，
，
即，
是等边三角形，
，
的周长，
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质与判定，熟练掌握翻折变换的性质是解决问题的关键．
【变式4-2】（2022秋·浙江宁波·八年级期末）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处．若∠A=45°，AB=6，5BE=AE．则AF长度为_____．
【答案】
【分析】过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，得矩形BHFM，可得△BEN和△ABM是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，
得矩形BHFM，
∴∠MBC=90°，MB=FH，FM=BH，
∵AB=6，5BE=AE，
∴AE=5，BE=，
由折叠的性质可知：GE=AE=5，GF=AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABN=∠A=45°，
∴△BEN和△ABM是等腰直角三角形，
∴EN=BN=BE=1，AM=BM=AB=6，
∴FH=BM=6，
在Rt△GEN中，根据勾股定理，得
，
∴，
解得GN=±7（负值舍去），
∴GN=7，
设MF=BH=x,则GH=GN-BN-BH=7-1-x=6-x，GF=AF=AM+FM=6+x，
在Rt△GFH中，根据勾股定理，得
，
∴，
解得x=，
∴AF=AM+FM=6+=．
∴AF长度为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
【变式4-3】（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）四边形ABCD为平行四边形，己知AB＝，BC＝6，AC＝5，点E是BC边上的动点，现将△ABE沿AE折叠，点B′是点B的对应点，设CE长为x，若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围为____________．
【答案】≤x≤3－2
【分析】如图1，当在AD上，易证由四边形为平行四边形，得到 ；如图2，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，当在DE上，此时∠AEB＝∠AEB＝∠DAE，DA＝DE＝，在Rt△ABG和Rt△ACG中，利用勾股定理求出BG＝2，可得AG＝3＝DH，在Rt△DEH中，由勾股可得：EH＝3，可求得CE的另一个临界值，问题得解．
【详解】解：如图1，
当在AD上，此时，，，
∴ ，
∵ADBC，
∴四边形为平行四边形，
∴ ；
如图2，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，
当在DE上，此时∠AEB＝∠AEB＝∠DAE，
∴DA＝DE＝，
在Rt△ABG和Rt△ACG中，
∴
∴BG＝2，
∴AG＝3＝DH，
在Rt△DEH中，由勾股可得：EH＝3，
∴CE＝3－2；
综上：x的取值范围为：≤x≤3－2．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折变换，勾股定理，找到临界状态求出x的长是解题的关键．
【题型5 平行四边形的性质在坐标系中的运用】
【例5】（2022春·浙江温州·八年级校联考阶段练习）在直角坐标系中，A，B，C，D的坐标依次为，，，．若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则的值不可能是（ ）
A．-7B．-1C．1D．7
【答案】B
【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的性质容易得出a,b的值．
【详解】解：分三种情况：①BC为对角线时，
∵A，B，C，D
∴ ，
解得;a=3,b=4
∴
②AB为对角线时，
∵A，B，C，D
∴ ，
解得;a=-1,b=2
∴
③AC为对角线时，
∵A，B，C，D
∴ ，
解得;a=-3,b=-4
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
【变式5-1】（2022春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（-3，0）、B（0，-4），点P是y轴上一动点，连接AP并延长至点D，使PD=AP，以AB、AD为邻边作□ABCD，连接OC，当OC长最小时，则点P的坐标是________．
【答案】(0,2)
【分析】设点P（0，y），先求出点C，点D坐标，由点C的坐标知点C在垂直于x轴的直线上，由垂线段最短，可得当点C在x轴上时，OC长度的最小值为6，即可求解．
【详解】解：设点P（0，y），
∵PD=AP，点A（-3，0），
∴点D（3，2y），
∵点A（-3，0）、B（0，-4），四边形ABCD是平行四边形，
∴C（6，2y-4），
∴点C在x=6这条直线上运动，
∴当点C在x轴上时，OC长度的最小值为6，
即2y-4=0，
∴y=2，
∴点P（0，2）．
故答案为（0，2）．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，垂线段最短，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【变式5-2】（2022春·重庆·八年级重庆南开中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，D是平行四边形ABOC内一点，CD与x轴平行，AD与y轴平行，已知，，，，则D点的坐标为_______．
【答案】（-2，8）
【分析】过点B作BE⊥y轴于E点，交AD的延长线于点F，先通过AAS证出△BOE≌△CAD，根据全等三角形的性质得到OE=AD，BE=CD，根据三角形的面积即可得到结论．
【详解】过点B作BE⊥y轴于E点，交AD的延长线于点F，
∵四边形ABOC是平行四边形，
∴AC=OB，AC∥OB，
∴∠OGC=∠BOE，
∵AD∥y轴，
∴∠DAC=∠OGC，
∴∠BOE=∠DAC，
在△BOE和△CAD中，
，
∴△BOE≌△CAD（AAS），
∴OE=AD=2，BE=CD=8，
∵S△ABD=6，
∴AD•BF=6，
∴×2×BF=6，
∴BF=6，
∴EF=BE-BF=2，
∵∠ADB=135°，
∴∠BDF=45°，
∴BF=DF=6，
∵DF+OE=6+2=8
∴D（-2，8），
故答案为：（-2，8）．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形的性质等知识，证得△BOE≌△CAD是解题的关键．
【变式5-3】（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，平行四边形的边在x轴上，点，，若直线恰好平分平行四边形的面积，则点D的坐标是 _____________．
【答案】
【分析】连接，设，的中点为T，求出点T的坐标，利用的待定系数法，可得结论．
【详解】解：连接，设，的中点为T，
，
，
直线平分平行四边形的面积，
直线经过点T，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和求点的坐标，解决本题的关键是连接，找到的中点坐标．
【题型6 利用平行四边形的性质进行证明】
【例6】（2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）如图，在平行四边形中，连接对角线，平分分别交、于点、．

(1)尺规作图：作的角平分线，交于点，交的于点．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）问的条件下，求证：．
证明：四边形是平行四边形
∴， ①
∴，
∵平分，平分，
∴ ② ，，
∵四边形为平行四边形，
∴ ③
∴，
在△ABF和△CDG中，
，
∴．
∴
【答案】(1)作图见详解
(2)，，，
【分析】（1）以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于点，，连接，分别以点，为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接，交于点，交的于点，由此即可求解；
（2）平行四边形中，可知，，平分，平分，，，从而证明，由此即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
∴为的角平分线．
（2）证明：四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
在和△CDG中，
，
∴．
∴．
故答案为：①；②；③；④．
【点睛】本题主要考查尺规作角平分线，三角形全等的判定和性质，掌握角平分线的画法，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【变式6-1】（2022春·广东江门·八年级江门市怡福中学校考阶段练习）如图，在中，点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，．
(1)求证：；
(2)求证：平分；
(3)若，，求的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得，根据对顶角相等，，再根据点E是边的中点，即可求证；
（2）通过证明为等腰三角形，即可求证；
（3）由题意可得，的面积等于的面积，利用含角直角三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）证明：在中，，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
又∵，
∴；
（2）证明：由（1）可得，
∴，即为的中线，，
又∵，
∴为等腰三角形，
∴，
∴，即平分；
（3）解：由（2）可得平分；
又∵
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
由（1）可得，则，
∴．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
【变式6-2】（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在平行四边形中，，是对角线上两个点，且
(1)求证：；
(2)若，，求的度数=______
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由平行四边形的性质可得、即，然后证得即可证得结论；
（2）由可得，进而求得，再根据可得，最后根据三角形内角和定理即可解答．
【详解】（1）证明：∵平行四边形
∴，，
∴
在和中
∴
∴．
（2）解：∵，
∴
∴
∵
∴
∴．
故答案为：100°．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解答本题的关键．
【变式6-3】（2022秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）如图，的对角线和相交于点，过点且与边，分别相交于点和点.
(1)求证：；
(2)若，，，求四边形的周长.
【答案】(1)见解析
(2)四边形的周长为11
【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得，，继而可证得，则可证得结论；
（2）由全等三角形的性质及平行四边形的性质可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵在和中，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，，
∴
．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
【题型7 利用平行四边形的性质求最值】
【例7】（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积．
解：延长线段到E，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形面积．
(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 cm2．
(2)如图2，在中，，且，求线段的最小值．
(3)如图3，在平行四边形中，对角线与相交于O，且；，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出的最小值及此时平行四边形的面积．
【答案】(1)12.5
(2)
(3)不是，，
【分析】（1）根据题意，可以计算出等腰直角三角形的面积，从而可以得到四边形的面积；
（2）由勾股定理可得，由配方法可求解；
（3）由平行四边形的性质可得，，由勾股定理可求，由配方法可求的最小值，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，，，
则的面积，
即四边形的面积为，
故答案为：12.5；
（2）解：，
，
，
，
当时，取最小值，最小值为2；
（3）解：如图，过点B作于H，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
当时，有最小值，即的最小值为，
此时：，，
是等边三角形，
．
综上可知，不是定值，的最小值为，此时平行四边形的面积为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键．
【变式7-1】（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考期中）如图，在中，，，D是BC边上任意一点，连接AD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE长的最小值为___________．
【答案】9.6
【分析】设交于点，过点作于点，勾股定理求得，等面积法求得，根据垂线段最短，当点与点，重合时，最小，进而求得的最小值，即可求解．
【详解】设交于点，过点作于点，如图所示，
在四边形中，，，
∵，
∴，
∵，
∴,
在中，，
∵，
∴，
当点与点，重合时，最小，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键．
【变式7-2】（2022春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，BC=6，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，点F为BC上一点，点G为BE上一点，连接CG，FG，则CGFG的最小值为_________．
【答案】
【分析】在上取一点，使，则，所以，因此当、、在同一直线上，且时，最小，最小值为．
【详解】在上取一点，使，
平分，
，
，
当、、在同一直线上，且时，
最小，最小值为．
，，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用轴对称的性质是解题的关键．
【变式7-3】（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，在中，，，，点E在上，，点P是边上的一动点，连接，则的最小值是________．
【答案】
【分析】过点A作直线的对称点F，连接交于点P，此时有最小值，最小值为的长，过点E作直线的垂线，利用含30度的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】解：过点A作直线的对称点F，连接，连接交于点P，此时有最小值，最小值为的长，
∵点A与点F关于直线对称，
∴，，则，
∴是等边三角形，
∵在中，，
∴，
过点E作直线的垂线，垂足为点G，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
【题型8 平行四边形的性质与动点的综合】
【例8】（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十三中学校考阶段练习）如图，在梯形中，，，，E是的中点． 动点P从点A出发沿向终点D运动，动点P平均每秒运动1 cm；同时动点Q从点C出发沿向终点B运动，动点Q平均每秒运动2 cm，当动点P停止运动时，动点Q也随之停止运动．
(1)当动点P运动t()秒时，则________；(用含t的代数式直接表示)
(2)当动点Q运动t秒时，
① 若，则________；(用含t的代数式直接表示)
② 若，则________；(用含t的代数式直接表示)
(3)当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】(1)；
(2)①；② ；
(3)t为3秒或7秒时．
【分析】（1）根据题意得：，，即可得出答案；
（2）①若，，，即可得出；② 若，，，即可得出；
（3）分别从当Q运动到E和C之间和当Q运动到E和B之间，去分析求解即可求出答案．
【详解】（1）解：根据题意得：，，
∴，
故答案为：；
（2）解：①若，，，
∴，
故答案为：；
② 若，，，
∴，
故答案为：；
（3）解：如图所示：
∵E是的中点，
∴，
① 当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，则：
，
解得：，
② 当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，则：
，
解得：，
∴运动时间为3秒或7秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查梯形的性质以及平行四边形的判定与性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想，分类讨论思想与方程思想的应用．
【变式8-1】（2022春·浙江温州·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是平行四边形，O为坐标原点，点A的坐标是(，0)， 线段BC 交y轴于点D，点D的坐标是(0，8)，线段CD=6．动点P从点O出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，以每秒1个单位的速度向终点B运动，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，运动时间为t秒.
(1)用t的代数式表示：BQ=_______，AP=_______；
(2)若以A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；
(3)当恰好是等腰三角形时，求t的值．
【答案】(1)
(2)6或
(3)或
【分析】（1）由平行四边形的性质结合题意可得出，，，从而可求出．分类讨论：当P在A点右侧时、当P与A点重合时和当P在A点左侧时，分别求出AP的长即可；
（2）分类讨论：①当P在A点右侧时和②当P在A点左侧时，根据平行四边形的性质即可分别得出关于t的等式，解出t即可；
（3）分类讨论：①当BP=PQ时、②当BQ=PQ时，③当BQ=PB时和④当点P在A点左侧时，分别根据等腰三角形的性质，勾股定理，结合题意列出关于t的等式或判断情况是否存在，再解出t即可．
（1）
∵四边形ABCO是平行四边形，A(，0)，
∴．
∵CD=6，
∴，
∴，
∵动点P从点O出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，以每秒1个单位的速度向终点B运动，
∴OP=2t，DQ=t，
∴．
当P在A点右侧时，此时，，
当P与A点重合时，此时，，
当P在A点左侧时，此时，；
∴
故答案为：；
（2）
分类讨论：①当P在A点右侧时，如图，
∵四边形ABQP为平行四边形，
∴BQ=AP， 即，
解得t=6；
②当P在A点左侧时，如图，
∵四边形BQAP为平行四边形，
∴BQ=AP，即，
解得．
综上可知，当以A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为6或；
（3）
当恰好是等腰三角形时，有以下四种情况：
①当BP=PQ时，如图，过点Q作轴于点E，过点P作于点F，
∴，，
∴．
∵BP=PQ，
∴，
∴，
解得；
②当BQ=PQ时，如图，过点Q作轴于点G．
由①可知，
∵，即，
∴，
解得：t=；
③当BQ=PB时，由②同理可得出，
此时方程无解；
④当点P在A点左侧时，不可能是等腰三角形，此情况舍．
综上可知当恰好是等腰三角形，或．
【点睛】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，等腰三角形的定义，勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
【变式8-2】（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）已知在平行四边形ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动．
(1)如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠B的度数．
(2)如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝6cm，求当运动时间为多少秒时，以A，P，C，Q四点组成的四边形是平行四边形．
(3)如图3，在（1）的条件下，连接BP并延长与CD的延长线交于点F，连接AF，若AB＝8，则△APF的面积是 ．（直接写出结果）
【答案】(1)∠B＝60°
(2)当运动的时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以A，P，C，Q四点组成的四边形是平行四边形
(3)16
【分析】（1）根据平行四边形的性质、角平分线的定义和CD=CP，可证明△PDC是等边三角形，从而求出∠B的度数；
（2）由题意可知，点P到达点D需要12秒，此时点Q在BC边上运动两个往返，以A，P，C，Q四点组成的四边形是平行四边形的条件是AP=CQ，根据这一相等关系列方程即可求出运动的时间；
（3）根据等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半可推得△APF与△PDC面积相等，通过求△PDC面积可求得△APF的面积．
（1）
如图1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，
∴∠DPC＝∠BCP，
∵∠BCP＝∠DCP，
∴∠DPC＝∠DCP；
∴CD＝PD，
∵CD＝CP，
∴CD＝PD＝CP，
∴△PDC是等边三角形，
∴∠D＝60°，
∴∠B＝∠D＝60°．
（2）
如图2，
设点P运动的时间为t，由题意得，AP＝0.5t，AD＝6，
由0.5t＝6，得t＝12，可知点P到达点D的时间为12秒；
由2×12÷6＝4，可知点Q从点C开始在BC上运动两个往返；
∵AP∥CQ，
∴以A，P，C，Q四点组成的四边形是平行四边形的条件是AP＝CQ；
当0＜t≤3时，AP＝0.5t，CQ＝2t，可知AP＜CQ，即不存在AP＝CQ的情况；
当3＜t≤6时，由题意得，0.5t＝6×2﹣2t，解得t＝4.8；
当6＜t≤9时，由题意得，0.5t＝2t﹣6×2，解得t＝8；
当9＜t≤12时，由题意得，0.5t＝6×4﹣2t，解得t＝9.6．
综上所述，当运动的时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以A，P，C，Q四点组成的四边形是平行四边形．
（3）
如图3，作CE⊥AD于点E，
∵ADBC，
∴S△PBC＝×AD×CE，S平行四边形ABCD＝AD×CE，
∴S△PBC＝S平行四边形ABCD，
∴S△PAB+S△PDC＝S平行四边形ABCD，
同理，S△FAB＝S平行四边形ABCD，
∴S△PAB+S△APF＝S△PAB+S△PDC，
∴S△APF＝S△PDC，
由（1）得，△PDC是等边三角形，
∴PD＝CD＝AB＝8，
∴DE＝PD＝4，
∵∠DEC＝90°，
∴CE＝＝＝4，
∴S△APF＝×8×4＝16．
故答案为：16
【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、用转化法求三角形的面积、动点问题的求解等知识与方法，其中第（2）题要分类讨论，求出所有符合题意的值，此题难度不大，但涉及的知识点较多，是很好的习题．
【变式8-3】（2022秋·吉林长春·八年级长春市第五十二中学校考期中）在中，，，，动点从点出发，以的速度沿折线运动，连接交于点，设点的运动时间为秒．
(1)当点在边上运动时，直接写出、的长；
(2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的值；
(3)当点在的垂直平分线上时，求出此时的值；
(4)点与点同时出发，且点在边上由点向点运动，点的速度是，当直线平分的面积时，直接写出的值．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)或；
(4)或．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，由可得；
（2）求出，可得是等腰三角形时，，是等腰直角三角形，然后根据列式求出t值即可；
（3）作的垂直平分线交于，交于，交于F，过点B作于H，连接，当点运动到的位置时，先求出和的长，然后可得，即可计算t的值；当点运动到的位置时，在中，利用勾股定理构建方程求出，然后可计算此时t的值；
（4）如图2，连接交于G，过点G，证明，可得当过点G时，直线平分的面积，然后分点P在上和点P在上两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：在中，，
由题意得：，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∵在中，，
∴，
∴当是等腰三角形时，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图1，作的垂直平分线交于，交于，交于F，过点B作于H，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，，，
∴，
∴（平行线间间距相等），
∴，
∴当点运动到的位置时，；
连接，
∵垂直平分，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴当点运动到的位置时，；
综上，当点在的垂直平分线上时，的值为或；
（4）解：如图2，连接交于G，过点G，
∵在中，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴当过点G时，直线平分的面积，
当点P在上时，
∵，，，
∴，
解得：；
当点P在上时，如图3，点P与点G重合，
∵，
∴；
综上，当直线平分的面积时，的值为或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想与方程思想的应用是解题的关键．