数学浙教版（2024）4.5 三角形的中位线导学案

这是一份数学浙教版（2024）4.5 三角形的中位线导学案，文件包含专题44三角形的中位线举一反三讲义数学新教材浙教版八年级下册试题版docx、专题44三角形的中位线举一反三讲义数学新教材浙教版八年级下册解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共53页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc23304" 【题型1 与三角形中位线有关的求解】 PAGEREF _Tc23304 \h 1
\l "_Tc14069" 【题型2 与三角形中位线有关的证明】 PAGEREF _Tc14069 \h 2
\l "_Tc11580" 【题型3 三角形中位线的实际应用】 PAGEREF _Tc11580 \h 4
\l "_Tc26993" 【题型4 中点四边形】 PAGEREF _Tc26993 \h 6
\l "_Tc24619" 【题型5 构造三角形的中位线——连接两点】 PAGEREF _Tc24619 \h 7
\l "_Tc8351" 【题型6 构造三角形的中位线——倍长法】 PAGEREF _Tc8351 \h 8
\l "_Tc15691" 【题型7 已知角平分线与垂直关系构造三角形的中位线】 PAGEREF _Tc15691 \h 10
\l "_Tc10588" 【题型8 已知中点取其他边中点构造三角形的中位线】 PAGEREF _Tc10588 \h 11
知识点 三角形的中位线
1.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．
3.其他性质：（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形．
（3）三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行．
数量关系：可以证明线段的倍分关系．
（4）常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半．
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形．
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形．
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分．
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等．
【题型1 与三角形中位线有关的求解】
【例1】（24-25九年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，等边△ABC的边长为4，点D，E分别为AB，AC边中点，点F为BC边上任意一点（不与B，C重合），沿DE，DF剪开分成①，②，③三块后，将②，③分别绕点D，E旋转180°恰好能与①拼成▱DIHG，则▱DIHG周长的最小值为（ ）
A．8+23B．4+23C．16D．83
【变式1-1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=12cm，点D、E分别是AB、AC的中点，AF⊥BF于点F，则线段EF的长为 cm．
【变式1-2】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，M是AD的中点，OM=0.5，BC=2，则BO的长为（ ）
A．52B．5C．1D．2
【变式1-3】△ABC的三边长分别为7，24，25，顺次连接三边的中点D、E、F．得△DEF的面积是（ ）
A．7B．21C．28D．56
【题型2 与三角形中位线有关的证明】
【例2】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD为边AC的中线，E为BD上一点，连接AE,CE，F为CE的中点，且DE平分∠ADF．
(1)求证：AE=AD；
(2)若DF=2，求BD的长．
【变式2-1】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AH是边BC上的高．
(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；
(2)求证：∠B+∠C+∠DHF=180°．
【变式2-2】（24-25八年级下·山东聊城·期末）在△ABC中，点E，G分别是边AB，BC的中点，AF平分∠BAC，BF⊥AF于点F，延长BF交AC于点D，连接FG．
(1)若AB=6，BC=9，FG=2．求△ABC的周长；
(2)若点D恰好是AC的中点，BM为△ABC外角的平分线，交DE的延长线于点H，求证：AH⊥BM．
【变式2-3】（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，EF⊥AB交AB于点F，OG⊥AB交AB于点G．
(1)求证：四边形OEFG是矩形；
(2)若AB=20，OG=8，求BG的长．
【题型3 三角形中位线的实际应用】
【例3】如图1是雨伞的结构示意图．OP是伞柄，OM，AB，CD是伞骨．已知点A，C分别是OM，AB的中点．CD=7(dm)．点B，D在OP上滑动时，可将雨伞打开或收拢．当OP与水平面垂直时打开雨伞，雨伞能罩住的水平面大小可近似地看成一个圆．如图2，当雨伞完全打开时，∠ABD=90°；再将雨伞收拢到如图3，此时B′D′=1(dm)，且点C′到OP的距离恰好等于图2中BD的长．则伞骨AB的长为 (dm)，设图2中能罩住的水平面面积是S1，图3中能罩住的水平面面积是S2，则S1S2= ．
【变式3-1】（24-25九年级上·山西临汾·期中）2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取OA，OB的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段MN的长，于是贝贝在AO，BO延长线上分别选取P，Q两点，且满足OP=ON，OQ=OM，贝贝测得线段PQ=90米，则A，B两点间的距离是（ ）米．
A．120B．140C．160D．180
【变式3-2】【综合与实践】
(1)把小明的求解过程补充完整；
(2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ；
(3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）．

【变式3-3】如图，某花木场有一块如四边形ABCD形状的空地，其中AD//BC,∠B=∠BCD，其各边中点分别是E、F、G、H，测得对角线AC=10m，现想利用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆的总长度是（ ）
A．40mB．30mC．20mD．10m
【题型4 中点四边形】
【例4】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，矩形ABCD中，AD=8，AB=6，顺次连接各边中点，得到四边形A1B1C1D1，顺次连接A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，……，以此类推，则A11B11= ．
【变式4-1】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在四边形ABCD中，AC,BD为其对角线，连结各边中点得到四边形EFGH，则下列判断正确的是（ ）
A．若AB=CD，则四边形EFGH菱形
B．若AC=BD，则四边形EFGH菱形
C．若AB⊥CD，则四边形EFGH为菱形
D．若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形
【变式4-2】（24-25八年级下·江西上饶·期中）如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，M、N分别是OB、OC的中点，四边形MNDE是什么四边形？OB与OD的长度有什么关系？
【变式4-3】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，顺次连接EM，MF，FN，NE，若四边形ENFM是矩形，则AB与CD满足的条件是 ．
【题型5 构造三角形的中位线——连接两点】
【例5】（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，矩形ABCD对角线AC,BD相交于点O，E为OB上一点，连接CE，F为CE的中点，∠EOF=90°，若OE=3,OF=2，则BE的长为（ ）
A．1B．2C．2D．53
【变式5-1】如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3,BC=4，P是斜边AB上的一个动点，且P在AB上（不包含端点）运动的过程中，始终保持PD∥BC,PE∥CD，G、H分别是DP、PE的中点，连接GH，则GH的最小值是（ ）
A．35B．65C．125D．245
【变式5-2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，E为OD上一点，连接CE，取CE的中点F，若∠EOF=90°，OE=6，OF=4，则DE的长为（ ）
A．2B．83C．103D．4
【变式5-3】（2025·福建南平·三模）如图，P是线段AB所在直线上的一动点，点C、D在AB的两侧，CA⊥AB，DB⊥AB，AB=4，AC=3，DB=2，连接PC、PD，分别取PC、PD的中点M、N，连接MN．随着点P的运动，线段MN的长（ ）
A．随着点P的位置变化而变化B．保持不变，长为52
C．保持不变，长为2D．保持不变，长为412
【题型6 构造三角形的中位线——倍长法】
【例6】（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，点E是直线AB上一点．若AC=8，BD=6，点E是线段AB中点，连接DE，求DE的长．
【变式6-1】如图，在△ABC中，∠ACB=60°，BC=2，D是AB的中点，E是AC上一点，若DE平分△ABC的周长，则DE的长等于 ．
【变式6-2】（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形．
(1)如图1，点B, E, F在一条直线上，点D在边FG上，在GF的延长线上取一点P，且DP=DG，连接AP, PE．
（i）求证：△BCE≅△DCG；
（ii）求证：PE=2PA；
(2)如图2，点G在BC的延长线上，点E在CD边上，M是AF的中点，若正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为6和4，求DM的长．
【变式6-3】（24-25八年级下·江西赣州·期末）【课本再现】连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
已知：如图1，D，E分别是△ABC的AB，AC的中点．求证：DE∥BC且DE=12BC．
（1）小明想到了“延长DE至点F，使EF=DE，连接CF”，如图2．请按照小明的提示完成证明．
【迁移应用】
（2）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD≠BC,E,F分别为AB，CD的中点，试判断线段EF，AD，BC之间有何数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图4，在△ABC中，∠ACB=60°,AC=2,D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是______________．
【题型7 已知角平分线与垂直关系构造三角形的中位线】
【例7】如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．
(1)求证：四边形BDEF是平行四边形；
(2)求证：AB−AC=2BF．
【变式7-1】在△ABC中，点D是AB的中点，CE平分∠ACB，AE⊥CE于点E．

(1)求证：DE∥BC；
(2)若AC=5，BC=7，求DE的长．
【变式7-2】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，过点C作CD⊥BD于点D，E是边AC的中点，连接DE，若DE=2，BC=10，则AB的长为（ ）
A．6B．8C．7D．9
【变式7-3】如图，Rt△ABC中∠ACB=90°，AB=13，BC=5，AD，BE分别平分∠BAC、∠ABC，∠ADC=∠BEC=90°，连接DE，则DE= ．

【题型8 已知中点取其他边中点构造三角形的中位线】
【例8】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=6，平面内有一点D，AD=2，连接CD，分别以点C，D为圆心，大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线EF交CD于点P，连接BP．将线段AD绕点A旋转，则在线段AD旋转的过程中，线段BP的最大值是 ．
【变式8-1】（24-25八年级·山西太原·期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=12cm，点D为CB的中点，将一个直角三角板的直角顶点放在点D处，直角边DE的点E在边AB上，AE=7cm，连接BF，则BF的长为 cm．
【变式8-2】如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=4，将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，连接BC′，E为BC′的中点，连接CE，则CE的最大值为（ ）
A．42B．22+1C．22+2D．25+2
【变式8-3】【三角形中位线定理】
已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB、AC的中点．直接写出DE和BC的关系；
【应用】
如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB,AD的中点，若BC=5，CD=3，EF=2，∠AFE=45°．求∠ADC的度数；
【拓展】
如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD,BC的中点，MN分别交AC、BD于点F、G，EF=EG．
求证：BD=AC．
任务
如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．

测量工具
皮尺

皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）；
测角仪

测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两点，可测得∠POQ的大小．

小明的测量及求解过程
测量过程
（1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得AC=am,BC=bm；
（2）分别在AC，BC上用皮尺测得CM=a2m,CN=b2m，测得MN=cm．

求解过程
由测量可知：
∵AC=am,BC=bm，CM=a2m,CN=b2m，
∴点M是AC的中点， 点N是BC的中点，
∴MN是△ABC的______
∵MN=cm，
∴AB=______m．