初中数学浙教版（2024）八年级下册（2024）5.1 矩形导学案

这是一份初中数学浙教版（2024）八年级下册（2024）5.1 矩形导学案，文件包含专题51矩形的性质举一反三讲义数学新教材浙教版八年级下册试题版docx、专题51矩形的性质举一反三讲义数学新教材浙教版八年级下册解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共59页， 欢迎下载使用。

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\l "_Tc6985" 【题型1 添加条件使四边形为矩形】 PAGEREF _Tc6985 \h 1
\l "_Tc19391" 【题型2 证明四边形为矩形】 PAGEREF _Tc19391 \h 2
\l "_Tc27774" 【题型3 利用矩形的性质与判定求线段长】 PAGEREF _Tc27774 \h 4
\l "_Tc14343" 【题型4 利用矩形的性质与判定求角度】 PAGEREF _Tc14343 \h 5
\l "_Tc16267" 【题型5 利用矩形的性质与判定求面积】 PAGEREF _Tc16267 \h 6
\l "_Tc20567" 【题型6 利用矩形的性质与判定求坐标】 PAGEREF _Tc20567 \h 7
\l "_Tc14045" 【题型7 函数图象与矩形的综合】 PAGEREF _Tc14045 \h 9
\l "_Tc19385" 【题型8 动点形成矩形】 PAGEREF _Tc19385 \h 10
\l "_Tc14920" 【题型9 矩形的存在性问题】 PAGEREF _Tc14920 \h 11
知识点 矩形的判定
【题型1 添加条件使四边形为矩形】
【例1】（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，若所围成的四边形EFGH是矩形时，原四边形ABCD必须满足的条件是（ ）
A．AD⊥CDB．AD=CDC．AC⊥BDD．AC=BD
【变式1-1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，下列条件中，能够判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AB=BCB．AB=ACC．AC⊥BDD．AC=BD
【变式1-2】如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD．添加一个适当的条件：当 时，四边形ACBD为矩形．
【变式1-3】如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM=CM．请从以下三个选项中：①∠1=∠2，②AM=DM，③∠3=∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使▱ABCD为矩形．你添加的条件是 ．（填序号）

【题型2 证明四边形为矩形】
【例2】（2025·北京海淀·二模）如图，在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D，点E在BC上，过点A作BC的平行线交ED的延长线于点F，连接AE，CF．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若点E在线段AB的垂直平分线上，且AF2+BE2=AC2，求证：四边形AECF是矩形．
【变式2-1】（2025·河南郑州·二模）如图，∠MBN=90°，BD为角内部一条线段．
(1)如图2，小鑫同学已过点D作DC∥BM．
小鑫的作法利用尺规作图完成，请你根据题意提供的两种作法，并补充完整理论依据．
作法一：利用尺规作图，作∠BDC=∠MBD，理论依据：__________________；
作法二：利用尺规作图，过点D作_________，理论依据：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
(2)在小鑫的作法基础上，利用尺规作图，在BM上找一点A，使得四边形ABCD为矩形，（保留作图痕迹，不写做法）提供两种作法．
【变式2-2】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAC，交CD于点E，CF平分∠ACB，交AB于点F．
(1)求证：△ADE≌△CBF．
(2)若AD=AC，求证：四边形AFCE是矩形．
【变式2-3】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC中点．
(1)求证：∠ADE=∠CBF；
(2)若OC=BD，试判断四边形DEBF的形状，并证明你的结论．
【题型3 利用矩形的性质与判定求线段长】
【例3】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．点D是AB边上的动点，过点D作边AC，垂足分别为E，F．连接EF，则EF的最小值为（ ）
A．3B．2.4C．4D．2.5
【变式3-1】（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图，等腰三角形ABC中， AB=AC，BD⊥AD于点D，CE⊥AD于点E，AE=BD，若AB=13，BD=5，则BC= ．
【变式3-2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，四边形ADCB中，∠ADC=∠ACB=∠ABC=45°，CD=6，AD=10，则B，D两点之间的距离为 ．
【变式3-3】（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,EH=1,EF=3，则矩形ABCD的周长为（ ）
A．2+3B．4+3C．4+23D．8
【题型4 利用矩形的性质与判定求角度】
【例4】如图，在▱ABCD中，E为边BC上一点，以AE为边作矩形AEFG．若∠BAE=40°，∠CEF=10°，则∠D的大小为 度．

【变式4-1】如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=55°，则∠OBA的度数为（ ）

A．35°B．40°C．45°D．50°
【变式4-2】如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝ 度．
【变式4-3】如图，ON为∠AOB中的一条射线，点P在边OA上，PH⊥OB于H，交ON于点Q，PM∥OB交ON于点M，MD⊥OB于点D，QR∥OB交MD于点R，连接PR交QM于点S．
(1)求证：四边形PQRM为矩形；
(2)若OP=12PR，试探究∠AOB与∠BON的数量关系，并说明理由．
【题型5 利用矩形的性质与判定求面积】
【例5】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，正方形ABCD的边长为6，点E从点A出发沿着线段AD向点D运动（不与点A，D重合），同时点F从点D出发沿着线段DC向点C运动（不与点D，C重合），点E与点F的运动速度相同．BE与AF相交于点G．
(1)求证：AF⊥BE；
(2)若点G到直线CD的距离为2，则四边形GEDF的面积是______．（直接写出结果，不写解答过程）；
(3)当E运动到AD中点时，求证：CG=AB．
【变式5-1】（24-25八年级下·重庆江津·期中）如图，点P是矩形ABCD的对角线BD上的一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E、F，连接PA，PC．若BE=3，PF=7，则图中△PCF的面积为 ，阴影部分的面积为 ．
【变式5-2】（24-25八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，△ACD和△BDC是两个全等的共斜边的直角三角形，∠CAD=∠CBD=90°，M是CD的中点，连接AM，BM．
（1）线段AM和BM的数量关系为 ；
（2）分别过点A，B作AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F，连接AB，若CD=213，AB=4，则四边形AEFB的面积是 ．
【变式5-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：点B、F、E、D在同一直线上，AE=CF，AB∥CD，∠AEB=∠CFD．

(1)如图1，求证：BF=DE；
(2)如图2，连接AD、BC、AF、CE和AC，AC交BD于点G，若AC=BD，BF=GF，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是△CGE面积3倍的所有三角形．
【题型6 利用矩形的性质与判定求坐标】
【例6】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，已知▱OABC的顶点A、C分别在直线：x=1和x=4上，O是坐标原点，当对角线OB的长最小时，点B的坐标为 ．
【变式6-1】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，OA=7,OC=12，点D，E分别是线段BC,AB上一点，连接DO,EO．若∠DOE=45°，CD=3，则点E的坐标为
【变式6-2】已知：如图，直角三角形ABC在平面直角坐标系中，点B是直角顶点，顶点A、C分别在y轴和x轴上，直角边AB、BC分别平行于x轴和y轴，并且OA、OC的长满足：OC=3OA，且A点坐标0,1．把△ABC沿AC对折，点B落在点B1处，那么点B1的坐标是 ．
【变式6-3】如图，长方形OABC在平面直角坐标体系中，点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，OA=4，OC=2．若AB、BC上分别有点E、D，满足CD=1，∠DOE=45°，点则点E的坐标为

【题型7 函数图象与矩形的综合】
【例7】（24-25八年级下·重庆·期中）如图①，四边形ABCD中，BC∥AD，∠A=90°，点P从A点出发，沿折线AB→BC→CD运动，到点D时停止，已知△PAD的面积s与点P运动的路程x的函数图象如图②所示，则点P从开始到停止运动的总路程为（ ）
A．10B．212C．12D．11
【变式7-1】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AC=AD．动点P从点B出发沿折线B−A−D−C方向以1单位／秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，①AB=3；②CD=6，③BC=5．则正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．①③D．②③
【变式7-2】如图1，五边形ABCDE中，∠A=90°，AB∥DE，AE∥BC，点F，G分别是BC，AE的中点，动点P以每秒3cm的速度在五边形ABCDE的边上运动，运动路径为F→C→D→E→G，相应的△ABP的面积y（cm2）关于运动时间t（s）的函数图象如图2所示．若AB=15cm，则图2中a的值为 ．
【变式7-3】如图，在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，点P为线段AB上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作PM⊥AC于点M、作PN⊥BC于点N，连接MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（ ）

A．5，5B．6,245C．325,245D．325,5
【题型8 动点形成矩形】
【例8】如图．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=10cm．BC=12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以4cm/s的速度在线段BC上来回运动，当点P当到达点D时，P、Q两点停止运动．在此运动过程中，出现PQ∥CD和PQ=CD的次数分别是( )
A．3，6B．3，7C．4，6D．4，7
【变式8-1】如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=12cm，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm的速度从点C出发，在B、C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q也停止)，这段时间内，当运动时间为 时，P、Q、C、D四点组成矩形．
【变式8-2】如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=8cm，BC=6cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（ ）
A．当t=3s时，四边形ABMP为矩形
B．当t=4s时，四边形CDPM为平行四边形
C．当CD=PM时，t=3s或4s
D．当CD=PM时，t=3s或5s
【变式8-3】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点E以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，点F同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，若AC=8,BD=5，则经过 秒时，四边形BEDF是矩形．
【题型9 矩形的存在性问题】
【例9】如图，在平面直角坐标系中，直线y=−2x+b与x轴，y轴分别交于A、B两点．直线y=13x+53交线段AB于点C1,m，且S△AOB=2S△BOC．

(1)求b的值：
(2)若点D是y轴上一点，点E为平面上一点，是否存在以点A，B，D，E为顶点的四边形是矩形?若存在，请求出点E的坐标，若不存在请说明理由．
【变式9-1】如图，一次函数y=kx+bk≠0的图象与x轴交于点A−33,0，与y轴交于点B，且与正比例函数y=233x的图象交于点Cm,6．

(1)求m的值和一次函数y=kx+bk≠0的解析式；
(2)点P为坐标平面内的点，在x轴上是否存在点M，使得四边形ABMP是矩形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式9-2】综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线l1:y=2x−1与x轴，y轴分别交于点A，B，直线l2:y=kx+b与x轴，y轴分别交于点P，C(0,1)，两条直线交于点D，且点D的横坐标为45；连接AC．
(1)求直线l2的函数解析式；
(2)求△ACD的面积；
(3)若点E在直线l1上，F为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点B，C，E，F为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式9-3】如图，A,B是直线y=x+4与坐标轴的交点，直线y=−2x+b过点B，与x轴交于点C．

(1)求A,B,C三点的坐标；
(2)点D是折线A−B−C上一动点．
①当点D是AB的中点时，在x轴上找一点E，使ED+EB的和最小，求E点的坐标．
②若M是平面内任意一点，是否存在点D，使四边形ADCM为矩形，若存在，直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由．