数学八年级下册（2024）第5章 特殊平行四边形5.1 矩形学案设计

这是一份数学八年级下册（2024）第5章 特殊平行四边形5.1 矩形学案设计，文件包含专题51矩形的性质举一反三讲义数学新教材浙教版八年级下册试题版docx、专题51矩形的性质举一反三讲义数学新教材浙教版八年级下册解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共59页， 欢迎下载使用。

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\l "_Tc16472" 【题型1 利用矩形的性质求角度】 PAGEREF _Tc16472 \h 2
\l "_Tc32484" 【题型2 利用矩形的性质求线段长】 PAGEREF _Tc32484 \h 3
\l "_Tc32730" 【题型3 利用矩形的性质求面积】 PAGEREF _Tc32730 \h 4
\l "_Tc15445" 【题型4 利用矩形的性质证明】 PAGEREF _Tc15445 \h 5
\l "_Tc10556" 【题型5 矩形的折叠】 PAGEREF _Tc10556 \h 6
\l "_Tc6704" 【题型6 矩形与坐标】 PAGEREF _Tc6704 \h 7
\l "_Tc1101" 【题型7 矩形与等腰】 PAGEREF _Tc1101 \h 8
\l "_Tc9023" 【题型8 矩形与分类讨论】 PAGEREF _Tc9023 \h 9
\l "_Tc12793" 【题型9 矩形中的最值】 PAGEREF _Tc12793 \h 10
\l "_Tc30918" 【题型10 直角三角形斜边上的中线】 PAGEREF _Tc30918 \h 11
知识点1 矩形的定义
1. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形是特殊的平行四边形．
数学语言描述：如图，在▱ABCD中，若AB⊥AD，则▱ABCD是矩形．
知识点2 矩形的性质
知识点3 直角三角形的性质定理
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
2. 数学语言描述：如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，D为AC 的中点,则 BD=12AC．
3. 定理的逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
在△ABC中，若BD=12AC，且D为AC的中点，则△ABC为直角三角形．
【题型1 利用矩形的性质求角度】
【例1】（2025·湖北武汉·模拟预测）某同学在矩形ABCD中研究数学问题，他按如下步骤操作：（1）以点B为圆心、以边BC长为半径画弧交BD于点E；（2）分别以点C，E为圆心、以大于12CE长为半径画弧，两弧交于点F；（3）作射线BF分别交边CD，边AD的延长线于点G，H． 若∠ADB=44°，则∠DGH的大小是（ ）
A．60°B．66°C．68°D．70°
【变式1-1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ADB=40°，则∠E的度数是（ ）
A．45°B．30°C．20°D．15°
【变式1-2】（24-25八年级下·福建南平·期中）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，过点O作BD的垂线交BC于点F， 若∠FOC=34°，则∠FBO的度数为（ ）
A．28°B．30°C．34°D．36°
【变式1-3】（24-25八年级下·上海徐汇·阶段练习）在矩形ABCD中，点O为对角线的交点，∠AOD=120°，AE平分∠BAD交BC于点E，则∠AEO的度数是 ．
【题型2 利用矩形的性质求线段长】
【例2】（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，点F在BC边上，且BF=DE，连接EF交对角线BD于点O，BD=5,CD=3，连接CE，若CE=CF，则EF的长为 ．
【变式2-1】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，点O是对角线AC的中点，将△ABC沿AC翻折，得到△AEC，其中，AD与CE相交于点F，连接OF，则OFDF为（ ）
A．34B．1C．53D．55
【变式2-2】（2025·安徽淮南·三模）如图，在矩形ABCD中，AD=5，DE平分∠ADC交BC于点E，连接AE，EF⊥AE交CD于点F，若DFCF=12，则AB的长度为 ．
【变式2-3】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=30，BC=40，点E在对角线 AC上（不与点A，C重合），连接BE．若∠BEC=2∠BCE，则AE的长为 ．
【题型3 利用矩形的性质求面积】
【例3】（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如图，在矩形ABCD中，AD=5，CD=12，E是CD边上一点，连接AE，沿AE翻折△ADE，得到△AFE，连接CF．当CF长度最小时，△CEF的面积是（ ）

A．54B．403C．32D．20
【变式3-1】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）如图，ABCD，AEFC都是矩形，而且点B在边EF上，其中AB=2，BC=2AB，则矩形AEFC的面积为 ．
【变式3-2】如图，点P是矩形ABCD对角线AC上一点，过点P做EF∥BC，分别交AD，BC于点E，F，连接PB,PD．若AE=2，PF=9，则图中阴影部分的面积为 ．

【变式3-3】矩形ABCD中，E为AD上任一点，连接BE，CE，EG为△EBC中线，F为BE上一点，且BF=2EF，CF，EG交于点P．若矩形ABCD的面积为12，则四边形FBGP的面积为（ ）

A．2.5B．5C．5D．以上答案都不正确
【题型4 利用矩形的性质证明】
【例4】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）在矩形ABCD中，BD为矩形对角线，E在AD边上，连接EC．
(1)如图1，若∠DCE=45°，BC=CE，CD=1，求BD；
(2)如图2，CF⊥EC，CF=CD，连接BF交EC于H，当H为BF的中点时，求证：DE=2HC．
【变式4-1】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，四边形ABCD是矩形，点F在BC边上，AF平分∠BAD且AD=AF，DE⊥AF，垂足为点E，连接DF，EC．
(1)求证：∠AFD=∠CFD；
(2)求证：DF垂直且平分EC．
【变式4-2】（24-25八年级下·山东烟台·期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且BF=DE．
(1)求证：AE=CF；
(2)若AB=AE=1,AD=3，求EF的长
【变式4-3】（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）已知：在矩形ABCD中，把矩形ABCD绕点C旋转，得到矩形FECG，且点E落在AD边上，连接BG交CE于点H．
(1)如图1，连接BE，求证：BE平分∠AEC；
(2)如图2，连接FH，若FH平分∠EFG，判断CH与AE之间的数量关系，并说明理由．
【题型5 矩形的折叠】
【例5】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）小明同学手中有一张矩形纸片ABCD，AD=9cm，CD=6cm，他进行了如下操作：
第一步，如图① ，将矩形纸片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，将纸片展平．
第二步，如图② ，再一次折叠纸片，把△ADN沿AN折叠得到△AD′N，AD′交折痕MN于点E，则线段EN的长为（ ）
A．3cmB．92cmC．5cmD．6cm
【变式5-1】（24-25八年级下·四川内江·阶段练习）如图，在矩形ABCD纸片中，点E是BC边的中点，沿直线AE折叠，点B落在矩形内部的点B′处，连接AB′并延长交CD于点F．已知CF=4，DF=5，则AD的长为 ．
【变式5-2】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=6，点E为BC上一点（点E不与B、C重合），将纸片沿AE翻折得到△AEB′．点F在CD上，沿EF再次折叠纸片，使点C的对应点C′落在AD上，若E、B′、C′三点在同一直线上，则BE的长为 ．
【变式5-3】（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）根据国际标准，A系列纸为矩形，其中AO纸的面积为1m2．将AO纸沿长边对折、裁开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、裁开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、裁开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、裁开，便成A4纸…，将A4纸按如图所示的方式折叠．
观察图1的折叠过程，可知A4纸矩形的长与宽的比值为 ．
【题型6 矩形与坐标】
【例6】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将矩形OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴相交于点E，若B(2,4)，则点E的坐标为（ ）
A．(0,1)B．(0,2)C．0,32D．0,52
【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点坐标均已标出，那么a−b的值为（ ）
A．−3B．−1C．3D．1
【变式6-2】如图，在矩形OABC中，点O与原点重合，点B在y轴上，点A,C的坐标分别为2,1，−2,4，将矩形向右平移2个单位长度得到矩形O′A′B′C′，则点B的对应点B′的坐标为 ．
【变式6-3】如图，四边形ABCO是矩形，其中点A和点C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为12 ， 5，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则D点的坐标为 ．

【题型7 矩形与等腰】
【例7】在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E是边BC上一点，以点E为直角顶点，在AE的右侧作等腰直角△AEF．

(1)如图1，当点F在CD边上时，求BE的长．
(2)如图2，若EF⊥DF，求BE的长．
【变式7-1】如图，将一个等腰直角三角尺GEF放置在一张矩形纸片上，使点G，E，F分别在矩形的边AD，BC，CD上，若∠EFC=70°，则∠AGE的度数为（ ）
A．130°B．120°C．110°D．100°
【变式7-2】如图所示，线段BC为等腰△ABC的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O，若OD=2，则AC= ．
【变式7-3】如图，矩形ABCD中，已知AB=6，BC=8，点E是边AD上一点，以CE为直角边在与点D的同侧作等腰直角△CEG，连接BG，当点E在边AD上运动时，线段BG长度的最小值是( )
A．229B．102C．103D．14
【题型8 矩形与分类讨论】
【例8】（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，在矩形ABCD中，AD=4,AB=10，点E是边AD上一动点，点F是AB上一动点，且AF=2AE，点G是边CD上一动点，连接GE，EF，FG，当△EFG是等腰直角三角形时，AE的长是 ．
【变式8-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在矩形ABCD，AB=5，AD=13，点E为直线BC上一点，若AD=AE，则DE的长为 ．
【变式8-2】（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE折叠使点B落在点F处，连接DF.当D、E、F三点共线时，BE长为 ．
【变式8-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知矩形纸片ABCD，AB=4cm，AD=8cm，将矩形纸片折叠，使B，D两点重合，折痕与矩形的一边交于点P，则A，P两点间的距离为 cm．
【题型9 矩形中的最值】
【例9】（2025·安徽马鞍山·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，M为AD的中点，N为BC上一动点，点B′、D′分别是点B、D关于直线MN的对称点，连接B′、D′交MN于点E，则CE的最小值为（ ）
A．61313B．13−2C．132D．13−3
【变式9-1】（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E为直线BC下方一点，且以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为（ ）
A．8B．9C．10D．15
【变式9-2】（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点P是线段BC上的动点，连结PA，将线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连结CE．点P从点B向点C运动的过程中，线段CE的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．2
【变式9-3】（24-25八年级上·江西宜春·期中）如图，在△ABC中，AB=4，AC=32，D是BC的中点，直线l经过点D且可绕点D转动，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）
A．4B．26C．43D．32
【题型10 直角三角形斜边上的中线】
【例10】（2025·河南信阳·三模）如图，钝角△ABC中，∠CAB>90°，D为边BC的中点，若AB=3，AC=4，则AD的长可能为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式10-1】（24-25八年级下·天津河北·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，AH⊥BC于点H，BM⊥AC于点M，并且点N是AB的中点，△HMN的周长是10+2，则AH的长是（ ）
A．25B．210C．4D．6
【变式10-2】（24-25八年级下·河南许昌·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6，过对角线AC的中点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于E、F，点G为AE的中点，若∠AOG=30°，则OG的长为 ．
【变式10-3】（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限．若保持AC的长不变，当点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是（ ）
A．22B．5+1C．6D．3
图示
性质
数学语言描述
边
对边平行
AB∥CD，AD∥BC
对边相等
AB=CD，AD=BC
角
四个角都是直角
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°
对角线
对角线相等且互相平分
AC=BD，OA=OC=OB=OD
对称性
轴对称图形，对角线的交点是它的对称轴，共有两条
中心对称图形，对称中心是两条对角线7的交点