重庆市沙坪坝区2025_2026学年高一数学下学期期中试题含解析

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为虚数单位的幂的周期为，满足：
所以：，因此，
代入原式计算可得；.
2. 在中，，，，则的面积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理余弦定理和三角形面积公式求解即可
【详解】由可得，
又，解得，，
又由可得，
所以的面积为，
故选：D
3. 如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意设，由向量的线性运算可得，再根据，列等式计算即可求出.
【详解】由题意，是上一点，设，
则，
又，所以，
所以，
所以，解得.
故选：C
【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量基本定理及其意义，考查数形结合的思想，属于中档题.
4. 已知是两个不共线的向量，若，，，则中共线的三点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为，
所以三点共线；
由，所以与不平行，所以三点不共线；
因为，所以与不平行，所以三点不共线；
，
因，所以与不平行，所以三点不共线.
5. 中，、、的对边分别为、、，若且，则的形状是（ ）
A. 顶角为的等腰三角形B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形D. 直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】由推导得的平分线垂直于边，进而得，再由给定面积导出得解.
【详解】如图所示，在边、上分别取点、，使、，
以、为邻边作平行四边形，则，显然，
因此平行四边形为菱形，平分，而，
所以，即，于是得是等腰三角形，即，
令直线交于点，则是边的中点，，
而，因此，从而得，
综上，是等腰直角三角形.
故选：C
6. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的函数的图象关于轴对称，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数图象的平移变换，可得到平移后的函数解析式，结合其图象性质，列出所满足的相应等式，即可求得答案.
【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度后，
得到的函数图象对应的解析式为，
由于的图象关于轴对称，即为偶函数，
故，即，
由于，故，
故选：D
7. 在等腰梯形中，，，，为的中点，为线段上的点，则的最小值是（ ）
A. 0B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，设，用数量积的坐标表示求得数量积，然后由二次函数知识得最小值．
【详解】由题意等腰梯形的高为，
如图，以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，，，设，则，，
，
所以时，取得最小值．
故选：B．
8. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即：.即有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题错误的是（ ）
A. 周长为B. 三个内角满足2C=A+B
C. 外接圆的直径为D. 内切圆的半径为
【答案】D
【解析】
【分析】由题意设，结合已知面积公式求a、b、c，即知周长，再根据正余弦定理求△的、外接圆半径、内切圆的半径.
【详解】对于A，由题意，设，
∴，则，
∴，故，则周长为，A正确.
对于B，，，则，故，B正确.
对于C，∴，若外接圆半径为，则，C正确.
对于D，若内切圆半径为，则，即，D错误.
故选：D
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 若复数，则下列选项正确的有（ ）
A. B. 的共轭复数为
C. 为实数D. 在复平面内对应的点位于第二象限
【答案】AC
【解析】
【详解】因为，所以，故A正确；
复数的共轭复数为，故B错误；
为实数，故C正确；
在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D错误.
10. 已知向量，，，下列说法错误的是（ ）
A. 若，则或B. 若，，则
C. 若D. 若且，则
【答案】ABD
【解析】
【详解】若，则，所以或或，故A错误；
当时，可为任意非零向量，也可为任意非零向量，此时与不一定平行，故B错误；
由，可得，
若或，则可得；
当且，可得，
所以或，故，故C正确；
若，可得，所以，
又，所以或，所以或，故D错误.
11. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的外接圆的面积为
B. 若，且有两解，则b的取值范围为
C. 若，且为锐角三角形，则c的取值范围为
D. 若，且，O为的内心，则的面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】先由正弦定理得到，选项A，求出，进而由正弦定理得到的外接圆的半径和表面积；B选项，又余弦定理得到，将其看做关于的二次方程，结合方程有两正解，得到不等式，求出b的取值范围；C选项，由正弦定理结合得到，再根据为锐角三角形得到，从而得到c的取值范围；D选项，由正弦定理得到，，结合三角恒等变换得到，从而得到，，，由求出，由直角三角形性质得到内切圆半径，进而求出的面积.
【详解】因为，所以由正弦定理，得，
即 ，
因为，所以，且，所以.
选项A：若，则，所以的外接圆的直径 ，
所以，
所以的外接圆的面积为，选项A正确；
选项B：由余弦定理得，
将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有两个正解，
故 ，解得b，所以选项B错误；
选项C：由正弦定理，得 ，即，
因为，所以，
因为为锐角三角形，所以 ，即，所以，
所以，故选项C正确；
选项D：因为，由正弦定理得，
因为，所以，
所以由正弦定理，得，即，
所以，
即，所以，
所以，
又因为，所以，故，，解得 ，
因为，所以，
即是直角三角形，所以内切圆的半径为，
所以的面积为，选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在三角形中，若，则向量在向量上的投影向量为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得为线段的中点，，则为等腰三角形，然后根据投影向量的定义求解即可.
【详解】因为，所以为线段的中点，
因为，所以，所以,
所以，
所以为等腰三角形，
所以向量在向量上的投影向量为
,
故答案为：.
13. 托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名的，该定理指出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．如图，已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，，是两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用托勒密定理和正三角形性质，结合圆内接四边形的面积公式求解.
【详解】设的边长为，因为为正三角形，所以.
因为，所以由托勒密定理，得，即，即．
因为四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，所以，又因为，所以.
在中，由余弦定理可得，又，，则，即，又，所以.
因此．
故答案为：.
14. 已知的外接圆半径为2，三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的最大值为________.
【答案】
【解析】
【分析】设的外接圆半径，根据题意并结合正弦定理得，再根据得，，最后根据三角恒等变换求最值即可得答案.
【详解】解：设的外接圆半径，则，
由正弦定理知，
所以，即,
因为，即，所以，即，
所以，，
所以，
，其中
因为，所以，
所以，当时，有最大值.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知A，B，C分别为三边a，b，c所对的角，向量，，且．
（1）求角C的大小；
（2）若，且，求边c的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用数量积的坐标运算及三角公式化简整理可得角C的大小；
（2）将中的角化边，再将用三角形的边角表示出来，然后利用余弦定理求出边c的长.
【小问1详解】
由已知得．
因为，所以，
所以．
又，所以，
，则
所以．又，
所以；
【小问2详解】
由已知及正弦定理得．
因为，所以，所以．
由余弦定理得，
所以，所以，
所以．
16. 已知平面向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
（3）若与的夹角是钝角，求的取值范围.
【答案】（1）或3：
（2）1或
（3）
【解析】
【分析】（1）利用即可；
（2）利用得出值，再利用求模公式；
（3）利用且不共线即可.
【小问1详解】
若，则.
整理得，解得或.
故的值为或3.
【小问2详解】
若，则有，即，解得或
当时，，则，得；
当时，，则，得.
综上，的值为1或.
【小问3详解】
因与的夹角是钝角，则，即，得，
又当与共线时，有，得，不合题意，则
综上，的取值范围为.
17. 如图，在等腰三角形中，是线段上的动点（异于端点），.
（1）若是边的中点，求的值；
（2）当时，请确定点的位置.
【答案】（1）
（2）是线段靠近处的四等分点
【解析】
【分析】（1）用、作为基底分别表示、，结合数量积运算即可.
（2）设，则，结合数量积运算即可.
【小问1详解】
由题意知，
由于是边的中点，因此，
因此.
【小问2详解】
不妨设，因此，
又，
所以
解得，即，
故是线段靠近处的四等分点.
18. 已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角的平分线，CB与AD相交于点O，，，.
（1）求的值；
（2）求的长；
（3）若，求的面积.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）因为，利用二倍角公式直接求解即可；
（2）在中，由余弦定理先求出，再求出，再把分成两个三角形，即和，利用三角形的面积公式列出等式，即可求出；
（3）方法一，在中，利用正弦定理先求出，的正弦及余弦值，利用差角的正弦公式求出，在中，由余弦定理求出，再利用求面积即可；方法二，在等腰中，由去求，得到与的比例关系，从而得到与及与的比例关系，即可求出的面积.
【小问1详解】
因为，对角线为钝角的平分线，
所以，
解得或（舍），
所以；
【小问2详解】
由题意，在中，由余弦定理可得
，
即，
整理可得，解得或（舍去），
因为，所以，
又因为，
所以，
所以，
解得；
【小问3详解】
方法一：在中，由正弦定理可得，
即，所以，
因为为钝角，所以，
因为，所以，
所以，所以，
在中，由余弦定理可得
，
解得，
因为
，
所以；
方法二：在中，由，
可得，所以，
所以，所以，
又由于，从而，即，
所以，
，
所以.
19. 设O为坐标原点，定义非零向量的”相伴函数”为称为函数的“相伴向量”.
（1）设函数，求函数的相伴向量；
（2）记的“相伴函数”为，若方程在区间上有且仅有四个不同的实数解，求实数k的取值范围；
（3）已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值，当点M运动时，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由两角和差公式化简的解析式，进而根据定义找到的相应系数即可；
（2）根据题意可得，分离参数后，构造函数，作出分段函数的图象，数形结合法可知，函数的图象与直线有四个交点时实数k的取值范围；
（3）根据辅助角公式可得的解析式，根据最大值可得的表达式，根据倍角公式可用表示，令，根据已知不等式可得到m的范围，换元法可求得的取值范围．
【小问1详解】
因为，
所以函数的相伴向量
【小问2详解】
的“相伴函数”为，
方程，即，，
该方程有四个实数解，
所以，有四个实数解，
令，，
①当时，；
②当时，，
即
作出的图象，如图：
由图知，当函数的图象与直线有四个交点时，实数k的取值范围为.
【小问3详解】
向量的“相伴函数”，
其中，，，
当，即时，取得最大值，
所以，
所以.
由知，且，.
令，则，即，解得，
所以()，
因为在上单调递增，所以，
所以