重庆市沙坪坝区2025_2026学年高一数学下学期5月期中试题含解析

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3.回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其它答案标号.回答非选择题时， 将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效.
4.考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题:本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 一个矩形的长、宽分别为2、3，其斜二测画法下的面积为（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先计算原矩形的面积，再结合斜二测画法的面积比例关系求出直观图的面积．
【详解】原图形面积为，
根据斜二测画法的规则：平行于轴的线段长度保持不变，平行于轴的线段长度变为原来的，且坐标系夹角变为，
因此直观图为平行四边形，其面积满足，
所以．
2. 已知空间中两条不同的直线，两个不同的平面，以下可以得到的是（ ）
A.
B.
C. 直线上有两个不同的点到的距离相等
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据线面平行的定义、判定定理及面面平行的性质，逐一判断选项即可.
【详解】对于选项A，当，，则可能在平面内，所以得不到，故选项A不正确.
对于选项B，，如果直线是平面和的交线，则直线在平面内，无法一定有，故B错误.
对于选项C，当直线与平面相交时，当直线上的两点分别在平面的两侧时也可以有这两点到平面的距离相等，故C错误.
对于选项D，当时，即平面和没有公共点，而，即直线与平面没有公共点，即，故D正确.
3. 两个非零向量满足，且，则在方向上投影向量的模为（ ）
A. 1B. 2C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量数量积的定义及投影向量的计算公式即可求解．
【详解】，
则在方向上投影向量的模，
又，所以在方向上投影向量的模为．
4. 已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为四点共面，
所以，解得.
5. 一个圆锥的母线长为且轴截面为正三角形，一个平行于底面的平面将圆锥分为体积相等的两个部分，其中圆台的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为圆锥的母线长为且轴截面为正三角形，
所以圆锥的高为.
平行于底面的平面将圆锥分为体积相等的两个部分，设截得的小圆锥的高为，
则，所以.
所以圆台的高为：.
6. 已知复数满足，则“为实数”是“为纯虚数”的（ ）
A. 充要B. 充分不必要C. 必要不充分D. 既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的加法及模长运算结合充分条件及必要条件定义判断即可.
【详解】设复数，且满足，
则，化简即得，
又“为实数”等价于，“为纯虚数”等价于不为0，
若“为实数”可得，不能推出，
若“为纯虚数”则，且不为0，即得，
则“为实数”是“为纯虚数”的必要不充分条件.
7. 已知锐角三角形中角的对边分别为，且，不等式对于任意满足条件的此三角形恒成立，则实数的最大值为（ ）
A. 不存在B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可转化为，根据正弦定理结合三角恒等变换整理得，再利用函数的单调性及的范围求得的范围即可求得实数的最大值.
【详解】，
在中，由正弦定理得
由题意，得
由，解得.
∵在上都是单调递减函数，
∴在上单调递减
故，即实数的最大值为.
8. 已知棱长为正方体的上底面内有两个动点满足:，与平面所成角的正切分别为与，则动点轨迹围成图形的面积是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用线面角定义，将空间线面角的正切值转化为平面内的距离关系，进一步分别得出动点和动点的轨迹，再计算两圆在正方形内部的相交区域面积：在两个圆内分别通过扇形面积减去三角形面积，相加，得出所求面积.
【详解】如图1所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则、，设，,
，，
在平面上的射影为，则与平面所成角为，
因为与平面所成角的正切值为，
所以，，
得，，即.
因此，在平面内，动点的轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆，在正方形内的部分，如图2所示.
在平面上的射影为，则与平面所成角为，
因为与平面所成角的正切值为，
所以，，
得，，即.
因此，在平面内，动点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，在正方形内的部分，如图2所示.
由，，得，
因此，在平面直角坐标系中，点、点均满足动点和的轨迹方程，
所以，点、点是两个圆的交点.
在直角三角形中，，，则，.
在直角三角形中，，，则，.
所以，.
，，
，.
所以，动点、的轨迹围成的图形面积为：
.
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 两个直三棱柱的高均为2，底面边长都是1，1，，将它们拼成一个新的棱柱，则这个新棱柱的表面积可以是（ ）
A. 12B. C. 10D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据几何体的特征能拼成的三棱柱的情况有三种情况，分别求出其表面积即可求解.
【详解】记两直三棱柱为直三棱柱和直三棱柱，如图所示：

当拼成三棱柱时有三种情况，
第一种情况：
表面积为；
第二种情况：
表面积为；
第三种情况：
表面积为.
故B，C，D正确，A错误.
10. 在三角形中，角的对边分别为，满足则以下叙述正确的是（ ）
A. 三角形一定不是锐角三角形
B. 一定为负值
C. 若角是锐角且，则
D. 若三角形是直角三角形且，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用余弦定理得出，中有一个是直角或钝角，可判断A，然后再结合余弦定理判断BC，由是直角求得，进而判断D.
【详解】对A，由余弦定理得，
又，
所以，即，
所以中有一个是直角或钝角，三角形不是锐角三角形，A正确；
对B，由选项A分析知中有一个是直角或钝角，一定是锐角，
所以，B正确；
对C，若角是锐角，则，由选项A知，即，
又，所以，，
所以，C正确；
对D，由选项A知中有一个是直角或钝角，
现在是直角三角形，
若，又，则，不是，D错误.
11. 如图，空间中两个矩形和相互垂直，满足，，分别是线段上的动点，以下正确的是（ ）
A. 若为的中点，则与所成角的正弦值为
B. 若，则平面
C. 若，时，则为梯形
D. 若，则三棱锥体积的最大值为
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，根据异面直线的定义得到即为与所成的角，结合几何关系求解即可；对于B，根据线面平行的判定定理、面面平行的判定定理及面面平行的性质定理证明即可；对于C，根据余弦定理求出或，结合选项判断即可；对于D，根据等体积法及二次函数性质求解即可.
【详解】对于A，取中点，连接，.
矩形中，，，
因为为中点，所以，，所以.
由题意知，平面平面，
因为平面平面平面，所以平面.
又平面，所以.\
因为为中点，所以，且，所以.
所以即为与所成的角.
在中，，
故与所成角的正弦值为，A错误.
对于B，如图，过点作，交于，连接.
因为，平面，平面，所以平面，且.
又，所以，所以.
矩形中，，所以.
又平面，平面，所以平面.
又，所以平面平面.
又平面，所以平面，B正确.
对于C，矩形中，，，所以，.
矩形中，，所以为正方形，所以，.
中，由余弦定理得，，
即，整理得，
解得或.
当时，，则.
由选项B知，平面平面.
又平面平面，平面平面，所以.
因为，，所以，，则.
同理可得，由选项A知，，所以，
所以为梯形.同理可判断，当时，不为梯形.
故若，时，不一定为梯形，故C错误.
对于D，过点作，交于，过点作，交于.
由选项A知，平面，则即为点到平面的距离.
设，则.
在中，，，所以.
则，
所以当时，取得最大值，为，故D正确.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数满足，则______.
【答案】
【解析】
【分析】设复数，，根据复数的乘法运算以及模长公式可得，列式求解即可.
【详解】设复数，，则，
可得，
则，解得，
所以.
13. 三棱台上下底面为正三角形，，侧面是底角为的等腰梯形，棱台的高为，则与平面所成角的正弦值为______.
【答案】
【解析】
【分析】由线面角的定义作出平面角，根据等体积法求出到平面的距离，再由正弦的定义求出正弦值.
【详解】过点作平面的垂线，垂足为，连接，
则与平面所成角为，
因为，侧面是底角为的等腰梯形，
所以等腰梯形的高，
因为，
因为，设点B到面的距离为，
根据，即，解得，
所以与平面所成角的正弦值为.
14. 已知直角三角形的斜边，点是边上的两个三等分点，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，设点的坐标，进一步表示出点、的坐标，计算和，利用数量积公式，将问题转化为求三角函数在给定区间上的值域.
【详解】如图所示，

以直角三角形的边所在直线为轴，中点为坐标原点，
建立平面直角坐标系，得、、、，
则动点是在以原点为圆心，半径为的圆上（不含点、）.
设.
，.
，
，
，
.
.
因为，所以，
得，，
所以，的取值范围为.
【点睛】方法归纳：1.数形结合思想：在遇到直角三角形斜边相关问题时，优先考虑“直径所对圆周角为直角”，将点的轨迹转化为圆，便于建系，利用坐标简化运算.
2.向量法求角：涉及三角形内角的余弦值，优先考虑用向量的数量积公式，避免复杂的几何辅助线.
易错归纳：1.忽略点的限制条件：点与、不能重合，不然就无法构成三角形，因此设参数方程时，变量的范围是开区间，容易误写成闭区间.
2.值域方向错误：在求的范围时，未注意分母的单调性，导致最终结果写错.
四、解答题:本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在三角形中，角所对的边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，三角形的面积为，求三角形的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理边角转化可求得的值，进而求得的大小；
（2）利用余弦定理和三角形的面积公式求解可得的值，进而求得三角形周长.
【小问1详解】
因为，由余弦定理可得，
整理可得，则，
且，所以.
【小问2详解】
因为，，且，即，则
又因为的面积为，即，则，
可得，即，
所以周长.
16. 如图，在直三棱柱中，，.
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）只需利用线面垂直的判定定理证明出平面即可得证；
（2）首先作于，过作于，证明即为二面角的平面角，即可得解.
【小问1详解】
连接，
在直三棱柱中，平面，
平面，，
，，，
，平面，平面，
平面，平面，，
，四边形是正方形，，
，平面，平面，
平面，平面，；
【小问2详解】
过点作于，过作于，连，
在直三棱柱中，平面，平面，，
，平面，平面，
平面，平面，平面，
，，
又，，平面，平面，
平面，平面，，
是二面角的平面角，
，，，
，，
为直角，，，
二面角的正弦值为.
17. 某市计划在中央公园的一块三角形空地上建休闲花园，将三角形分割成三部分，如图，在区域分别种植薰衣草、马鞭草花田，将区域设计为下沉式水景庭院，并在水景庭院周围（即的三边）设置木质护栏.在Rt中，，，点，在斜边上，且.

（1）当时，求木质护栏的长度；
（2）设，请用表示水景庭院的面积，并求的最小值.
【答案】（1）米
（2）平方米
【解析】
【分析】（1）运用题目条件求出AM，AN，MN的长度即可；
（2）运用正弦定理求出AN，AM的长度，再运用面积公式求出的表达式，再表达式中求出最小值.
【小问1详解】
由题意可得，，且N点为BC的中点，
因为，所以为等边三角形，
故，
则，
故，
因此，
故木质护栏的长度为米.
【小问2详解】
由题意可知，
由正弦定理得，，
同理在解得，
，
化简，
，
，得出，
故当时，平方米
18. 任意一个复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，为复数的辐角.若复数的三角形式分别为，，则乘积为:，即两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.其几何意义为:将复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋角（当时，就把绕原点按顺时针方向旋转角），再将其模变为原来的倍，得到向量表示的复数就是积.
（1）已知复数，请将改写为三角形式，将改写为代数形式；
（2）对于复平面内任意两个复数，证明；
（3）已知的三个内角为，且满足，已知该三角形的顶点在复平面内对应的复数分别为，其外心为原点，外接圆半径为.若动点在该外接圆上，对应复数为，求的取值范围.（结果用表示）
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据复数三角形式和代数形式的定义求解；
（2）根据复数的模、共轭复数及复数的乘法运算即可证明；
（3）求得，取，动点P对应，令，整理得到，令，利用导数求函数的值域即可.
【小问1详解】
解：复数 的模为，
辐角满足，故，
复数的三角形式为；
复数的代数形式为.
【小问2详解】
证明：对于任意复数有
.
而
故
【小问3详解】
解：由已知，的三个内角为，且满足，则，
外心为原点，外接圆的半径为R，
取（辐角为0，对应点为），（辐角为，对应点为），
（辐角为，对应点为），则.
动点P对应（辐角为），令，
所以，
则
，
，即
所以，
令，则表达式可化为，
则，
令得，解得（负根舍去）.
此时，
又 ，
因此所求取值范围为.
19. 已知四棱锥的底面为菱形，且，且.平面与射线分别交于点，且满足
（1）当时，平面与棱交于点.证明：为中点；
（2）当时，求平面截四棱锥所得截面的面积；
（3）记为中点，若直线上始终存在动点满足平面.当 变化时，求动点的轨迹长度.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
（3）
【解析】
【分析】(1)通过线面平行性质定理得到线线平行，利用相似三角形性质得到为中点；
(2)截面五边形总面积等于三角形与四边形的面积和，
(3)求得满足条件的是上部分点，由此确定动点的轨迹长度.
【小问1详解】
当 时，由 ，可得 是 中点， 是 中点， 是 中点，
在 中，因为 是 中点， 是 中点，
所以由三角形中位线定理得：，又 平面 ， 平面 ，
由线面平行判定定理，得 平面 ；
底面 平面 （，，均在底面 内），且 平面 ，结合 平面 ，由线面平行的性质定理，得；
在底面菱形 中，， 是 中点，即 ，
在 中，，，由相似三角形性质：，
代入 ，得 ，即 ，因此， 为 的中点.
【小问2详解】
以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，
，，，
为菱形，，得，，
当，，，，
，
设平面的法向量为，则，，
取，
在取一点，则截面为五边形，
设，得，，
则也是平面的一个法向量，则，
所以，所以，，
所以，
所以，
所以，
，得
， ，
所以四边形QPKR 是平行四边形，
，
，
，
，，
，
所以截面五边形总面积：；
【小问3详解】
因为 为 中点，得 ，
由 ，
得，，，
，
设平面 的法向量为，则
可取法向量
由(2)设，得，
，
由 面 ，得 ，即 ，
，
化简：，
得
得，
，得
当，当，
当，所以，
所以，
，