重庆市沙坪坝区2025_2026学年高一数学下学期期中测试试题含解析

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1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定的位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题卡区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量的线性运算，可得解
【详解】由题意，．
故选：B
2. 在中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由余弦定理可得：，
代入数据得：，即，解得.
∵ 为三角形内角，即，
∴ .
3. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则，是异面直线
D. 若，是异面直线，，，，，则
【答案】D
【解析】
【详解】对于A，若，，则或，故A错误；
对于B，若，，则或，
又，所以与可能平行也可能相交于，故B错误；
对于C，分别位于两个不同平面内的直线，可能平行、相交或异面，故C错误；
对于D，由，若相交，记，
则由线面平行的性质定理知，；
同理，由，知；
所以，与“，是异面直线”矛盾，
所以若不相交，即，
故D正确.
4. 在复平面内，复数，对应的点关于虚轴对称，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由复数对应的点关于虚轴对称，且，得，
所以.
5. 在一座高的观测台顶测得对面一座水塔塔顶的仰角为，塔底的俯角为，则该水塔的高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出示意图，结合锐角三角函数的定义求解即可.
【详解】如图所示，，，，
易知，所以是等腰直角三角形，所以，
，故，
因此塔高为.
6. 如图，在正方体中，分别为棱，的中点.下列结论正确的是（ ）
A. 平面B. 平面C. 平面D. 平面
【答案】A
【解析】
【分析】根据线面平行、线面垂直的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设，连接，由于是的中点，是的中点，
所以，而，
所以，所以四边形是平行四边形，
所以，由于平面，平面，
所以平面，所以A选项正确.
由A选项的分析可知，而平面，
所以与平面相交，所以C选项错误.
由于与的夹角为，所以与平面不垂直，D选项错误.
设正方体的边长为，则，不满足勾股定理，
所以与不垂直，而平面，所以与平面不垂直，
所以B选项错误.
故选：A
7. 为平面内的定点，单位向量与的夹角为，且，，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知单位向量求，结合已知条件构造关于的方程，采用换元法，对等式进行变形求出的最大值，进而求出的最大值．
【详解】已知单位向量与的夹角为，故，
已知，，
则，
即，
令，则，，
配方得，即，
故，当且仅当时等号成立，且时，，
此时的最大值为．
8. 四棱锥的底面为正方形，且平面，若，为的中点，，平面，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接建立空间直角坐标系，再由共面，进而可得共面，由平面向量基本定理可得.
【详解】因为底面，底面为正方形，设，以为原点，分别为轴，
得各点坐标： ，是中点，得.
由，所以，，.
设，由，所以，，
所以.
因为平面，所以共面，因此共面，且不共线，
由平面向量基本定理，设，则，
所以，解得.
二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在复平面内，复数，为虚数单位，则下列说法中正确的是（ ）
A. B. 若是的共轭复数，则
C. 对应的点位于第一象限D. 和是方程的两个根
【答案】ABD
【解析】
【详解】选项A，，所以A正确；
选项B，由共轭复数的定义知，，所以B正确；
选项C，复数对应复平面的点坐标为，位于第四象限，所以C错误；
选项D，方程的根为，
所以和是方程的两个根，所以D正确.
10. 如图，为四边形的斜二测直观图，其中，，，将四边形以为旋转轴，旋转一周得到几何体，则下列说法中正确的有（ ）

A. B. 几何体是圆台
C. 几何体的体积为D. 几何体的侧面积为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用斜二测直观图的性质还原直观图，结合已知条件计算，判断选项A；根据圆台的性质判断选项B；根据圆台的体积和侧面积公式计算判断选项C、D．
【详解】已知斜二测直观图中，，，，
还原直观图，则有，
则，故A错误；
几何体是下底面半径为，上底面半径为，高为的圆台，故B正确；
由圆台体积公式，故C正确；
母线长，
侧面积，故D错误．
11. 在中，已知，，则下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则的最小值为D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，由条件可得，再由正弦定理及同角三角函数关系式可判断A；由两角差的正切公式可得B；对CD由平面向量的数量积坐标运算可得.
【详解】如图：
以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系：
设，，则 ，，，
.
，
由，所以，
即，解得.
A，由正弦定理，且，得.
因为， 所以，
因此，，得.
由同角三角函数关系得，故A错误；
B，再由，故B正确；
C，由得，则，
对平方得： ，
，
当且仅当时等号成立，因此C正确；
D，若​，则​， 得坐标：，
因此 ，所以，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知复数满足，则的虚部为________．
【答案】
【解析】
【详解】设复数，其中，，所以，解得.
13. 已知某圆锥的底面周长为，体积为，则该圆锥的侧面积为________．
【答案】
【解析】
【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为.
∵ 圆锥底面周长为，
∴ ，解得.
∵ 圆锥体积为，
∴ ，解得.
由圆锥的几何特征可得母线长，
∴ 圆锥的侧面积.
14. 中，角、、的对边分别为、、，已知，，则________；________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由正弦边角关系、三角形内角的性质、和角正弦公式，将已知条件化为，进而得到，最后利用正弦边角关系、三角恒等变换求目标式的值.
【详解】因为，由正弦定理得，
由 ，，
所以 ，
所以，
因为，所以
所以，解得或，
因为，所以，故；
由正弦定理，原式化为
由，得，，
,
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，，．
（1）若，求．
（2）若在方向上的投影向量为，求．
【答案】（1）6 （2）1
【解析】
【分析】本题考查向量垂直的充要条件、投影向量的计算公式，结合向量的坐标运算求解未知参数
【小问1详解】
先计算的坐标： ，
则，
由向量垂直的性质，两向量垂直则数量积为0，
可得 化简得，解得；
【小问2详解】
根据投影向量公式，在方向上的投影向量为，
先计算，，
结合题意得，解得，即
16. 如图，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点．点在线段上．
（1）求异面直线与所成的角的大小．
（2）求三棱锥的体积．
（3）求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，可证或其补角为异面直线所成的角，结合正方形可求该角；
（2）根据体积公式可求三棱锥的体积；
（3）将和矩形展平到同一平面后结合余弦定理可求最小值.
【小问1详解】
连接，由正方体可得，
故四边形为平行四边形，故，
而分别为的中点，故，
故或其补角为异面直线所有成的角，
由正方形可得，故异面直线所成的角为.
【小问2详解】
到平面的距离为，
故.
【小问3详解】
将和矩形展平到同一平面，如图，
则，
而
，
故，故的最小值为.
17. 在中，角、、的对边分别为、、，满足，．
（1）求及边的值．
（2）若的面积为，求．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系得到，利用正弦定理求解即可.
（2）利用三角形面积公式得到，再利用余弦定理得到即可.
【小问1详解】
在中，，
因为，所以由同角三角函数的基本关系得，
由正弦定理得，可得，
又，则，解得.
【小问2详解】
因为的面积为，
由（1）知，，
所以，
解得，已知，
由余弦定理得，解得.
18. 如图，在三棱锥中，，，，点，分别是棱，上的动点（不含端点）．
（1）若平面．
（ⅰ）求的长度．
（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
（2）若为的中点，且平面，求三棱锥的内切球的表面积．
【答案】（1）①；②；
（2）.
【解析】
【分析】（1）①由平面，得到，且，再由，在直角中，即可求解；
②根据面面垂直判定定理证明平面平面，过点作，结合线面角定义可得为直线与平面所成角，解三角形求其正弦值；
（2）根据线面平行性质定理可得，求三棱锥的体积，结合三棱锥内切球性质求内切球半径，再由球的表面积公式求结论.
【小问1详解】
解：①由平面，因为平面，可得，
又因为，且，所以，
因为平面，可得，
又因为且，所以，且.
②因为平面，平面，
所以平面平面，
在平面内过点作，垂足为，
又平面平面，所以平面，
又平面，所以，且为三棱锥底面上的高，
在中，由，可得，
在中，由，可得，
在中，因为，，，
所以边上的高为，所以的面积为，
所以，故，
在中，由余弦定理得，
即，
因为平面，所以为直线与平面所成角，
设与平面所成的角为，则.
【小问2详解】
由平面，平面平面，根据线面平行性质得，
因为是中点，故，
得， 结合，
可得，
所以三棱锥为正四面体，
设点在底面上的投影为，则为的中心，
所以，，
又的面积，
所以三棱锥的体积，
三棱锥的表面积为，
设三棱锥的内切球半径为，
则，所以，
内切球表面积.
19. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
（1）求．
（2）若，且，求．
（3）若为锐角三角形，且边上的高，求面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理结合三角变换公式可求.
（2）根据正弦定理结合（1）结合可判断为等边三角形，再根据数量积可求；
（3）设边上的高为，结合两角差的正切可求的范围，从而可求面积的范围.
【小问1详解】
因为，结合正弦定理可得，
而为三角形内角，故，故，
因为三角形内角，故，故，故.
【小问2详解】
因为，结合正弦定理得，
故，而为三角形内角，故，
故即为等边三角形.
因为，故，
故，故即.
【小问3详解】
设边上的高为，则，
因为锐角三角形，故在上（不含端点），
设，则，其中，
故，
故
设，
因为在上为减函数，在为增函数，
故，故，
故.