重庆市2025_2026学年高一数学上学期期中测试试题含解析

这是一份重庆市2025_2026学年高一数学上学期期中测试试题含解析，共19页。试卷主要包含了考试时间，试题总分 150 分， 设 ，则， 已 知 若 ， 且 ， 则， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

考试说明：
1.考试时间：120 分钟；
2.试题总分 150 分.
一、单选题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 已知命题 ，使 ，则命题 的否定为（ ）
A. ，都有 B. ，都有
C. ，使 D. ，使
【答案】B
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题判断即可.
【详解】命题 ，使 ，则命题 的否定为： ，都有 .
故选：B.
2. 已知集合 ，且 ，则 （ ）
A. B. 或 C. 3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系及元素的互异性求解即可.
【详解】由题意， 是集合 的元素，则 或 ，解得 或 .
根据集合元素的互异性检验：当 时， 且 ，集合 中出现重复元素，故舍
去；
当 时， ， ，集合 ，符合题意
综上， .
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故选： .
3. 若函数 是定义在 上的偶函数，则 （ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的知识来求得正确答案.
【详解】依题意，函数 是定义在 上的偶函数，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，故 .
故选：D
4. 设 ，则“ ”是“关于 x 的方程 有实数根”的（ ）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合充分性和必要性的定义进行求解判断即可.
【详解】因为关于 x 的方程 有实数根，
所以该方程的判别式 ，
显然由 能推出 ，但是由 不一定能推出 ，
所以“ ”是“关于 x 方程 有实数根”的充分条件，
故选：A
5. 设 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
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【解析】
【分析】根据指数式的形式，构造幂函数、指数函数，利用幂函数和指数函数的单调性，运用中间值比较
法进行判断即可.
【详解】因为幂函数 是正实数集上的增函数，
所以有 ，即 ，
又因为指数函数 是实数集上的增函数，
所以有 ，即 ，于 有 ，
故选：C
6. 已知函数 是定义域在 R 上的偶函数，且在区间 上单调递减， ，则不等式
的解为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得 在 上的单调性，再分类讨论 与 两种情况，结合 的单
调性即可求得答案.
【详解】因为函数 是定义域在 R 上的偶函数，且在区间 上单调递减，
所以 在 上单调递增，
又 ，则 ，
当 时，不等式 等价于 ，解得 ；
当 时，不等式 等价于 ，解得 ．
综上所述，不等式 的解集为 ．
故选：D．
7. 已知 ，若 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ）
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A. B.
C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式可得 ，由条件可知 即求.
【详解】∵ ，
∴ ，
当且仅当 即 取等号，
由 恒成立，
∴ ，
∴ .
故选：B.
8. 已 知 若 ， 且 ， 则
的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【 分 析 】 画 出 函 数 图 象 ， 结 合 对 称 性 ， 数 形 结 合 得 到 ， ，
，求出 ，得到答案.
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【详解】画出 的图象，如下，
设 ，则 ，
令 ，解得 或 0，
因为 的对称轴为 ，由对称性可得 ，
且 ，
其中 ，
因为 ，所以 ，
故 ，
又 ，故 ，
.
故选：A
二、多选题：（本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分，每题部分选对按比例得分，全对
得 6 分，错选得 0 分.）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ， ，则
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C. 设 ，
D. 若 ，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断 A，B，根据指数幂的运算性质判断 C，D.
【详解】对于 A，若 ，当 时， ，所以 A 错误；
对于 B，若 ，则 ，因为 ，所以 .所以 B 正确；
对于 C，当 时， ，所以 C 错误；
对于 D，若 ，则 ，所以 D 正确.
故选：BD.
10. 已知关于 不等式 的解集是 ，则（ ）
A.
B.
C.
D. 不等式 的解集是 或
【答案】ABD
【解析】
【分析】由一元二次不等式的解和韦达定理逐项判断即可.
【详解】由题意可知，1，3 是方程 的两个根，且 ， ，
A：由以上可知 ，故 A 正确；
B：当 时，代入方程可得 ，故 B 正确；
C：因为 ，不等式 的解集是 ，故将 代入不等式左边为
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，故 C 错误；
D：原不等式可变为 ，且 ，约分可得 ，解集为 或
，故 D 正确；
故选：ABD
11. 一般地，若函数 的定义域为 ，值域为 ，则称 为 的“k 倍美好区间”.特别
地，若函数的定义域为 ，值域也为 ，则称 为 的“完美区间”.下列结论正确的是（
）
A. 若 为 的“完美区间”，则
B. 函数 存在“完美区间”
C. 二次函数 存在“2 倍美好区间”
D. 函数 存在“完美区间”，则实数 m 的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】分析每个函数的定义域及其在相应区间的单调性，按“k 倍美好区间”，“完美区间”的定义，列
出相应方程，再根据方程解的情况，判断正误.
【详解】对于 A，因为函数 的对称轴为 ，故函数 在 上单增，
所以其值域为 ，又因为 为 的完美区间，
所以 ，解得 或 ，因为 ，所以 ，A 错误；
对于 B，函数 在 和 都单调递减，假设函数 存在完美区间 ，则
，即 a，b 互为倒数且 ，故函数 存在完美区间，B 正确；
对于 C，若 存在“2 倍美好区间”，则设定义域为 ，值域为
当 时，易得 在区间上单调递减，
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，两式相减，得 ，代入方程组解得 ， ，C 正确.
对于 D， 的定义域为 ，假设函数 存在“完美区间” ，
若 ，由函数 在 内单调递减，则 ，解得 ；
若 ，由函数 在 内单调递增，则 ，即 在 有两解 a，b，得
，故实数 m 的取值范围为 ，D 正确.
故选：BCD.
【点睛】抓住“k 倍美好区间”，“完美区间”的定义，在已知单调性的前提下，即可通过分析函数在区间
端点处 a，b 的取值，列出方程组.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 设函数 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】
直接根据分段函数解析式代入求值即可；
【详解】因为 ，所以 ，所以
故答案为：
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13. 若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是________.
【答案】
【解析】
【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法求出 的定义域，和 的解集，即可求解.
【详解】由题意得函数 的定义域是 ，
令 ，所以 ，即 ，解得 ，
由 ，解得 或 ，
所以函数 的定义域为 .
故答案为： .
14. 已知函数 ， ，其中 若对任意的 ，存在 ，
使得 成立，则实数 k 的值等于______.
【答案】
【解析】
【分析】不妨构造 ，可得 ，则原题可等价转化为 的值域是
的值域的子集，解不等式即可求解.
【详解】由 ，令 ，则
而 ，
所以对任意的 ，存在 ，使得 成立.
因为 ，所以 在 上的值域为 ，
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函数 在 上的值域为 ，
依题意有 ，
故 ，可得 ，得
故答案为：
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 的定义域为 A，集合 ，
．
（1）求 ；
（2）若 是 的充分条件，求实数 a 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据解析式有意义求集合 A，解一元二次不等式得集合 B，然后根据集合运算可得；
（2）根据集合包含关系列不等式组求解即可.
【小问 1 详解】
由 得： ，即 ，
∴ ，
解 得： ，即 ，
∴ ．
【小问 2 详解】
由题意知 ，
由（1）知： ，显然
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所以有 ，解得： ；
所以实数 a 的取值范围为 ．
16. 已知幂函数 为偶函数.
（1）求 的解析式；
（2）若 在 上不是单调函数，求实数 a 的取值范围；
（3）设函数 ，求 的定义域和单调递增区间.
【答案】（1） ；
（2）
（3）定义域为 ，单调递增区间为 .
【解析】
【分析】(1)由幂函数的定义及性质可得；
(2)由(1)得到 是一个二次函数，在 上不是单调函数，所以对称轴在 之间，且不等于边界值；
【小问 1 详解】
由题意得 ，所以 或 ，
当 时，此时 ，显然为奇函数，故舍去；
当 时，此时 ，显然为偶函数，满足题意.
则 .
【小问 2 详解】
由(1)可得 ，
在 上不是单调函数，所以对称轴 ，即 ，所以 ，
实数 a 的取值范围为 .
【小问 3 详解】
，则 ，解得 或 ，
则其定义域为 ，
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设 ，则内函数 在 上单调递增，
又因为外函数 在 上单调递增，
故 的单调递增区间为 .
17. 以人工智能，航空航天，生物技术，光电芯片，信息技术，新材料，新能源，智能制造等为代表的高精
尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入，持续积累才能形成的原创技术，具有极
高技术门槛和技术壁垒，最近十年，我国一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业
自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从 年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需
投入固定成本 万元，每生产 百台高级设备需要另投成本 万元，且
．每百台高级设备售价为 万元，假设每年生产的高级
设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为 台．
（1）求企业获得年利润 P（万元）关于年产量 （百台）的函数关系式；
（2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润．
【答案】（1）
（2）当年产量为 百台时，企业所获利润最大，最大利润为 万元
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合已知函数模型得出分段函数关系式；
（2）利用二次函数的性质和基本不等式，分析分段函数在每段的最大值，再比较函数在每段的最大值的大
小关系得出函数最大值，从而求解．
小问 1 详解】
固定成本 万元，每百台高级设备售价为 万元，每生产 百台高级设备需要另投成本 万元，
，
当 时， ，
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当 时， ，
．
【小问 2 详解】
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当且仅当 时取等号，即 时取等号，
， ，
当年产量为 百台时，企业所获利润最大，最大利润为 万元．
18. 已知函数 的定义域为 ，对任意的 a， ，都有 .当 时，
.
（1）求 的值，并证明：当 时， ；
（2）判断 的单调性，并证明你的结论；
（3）对于任意的 ，不等式 恒成立，试求常数 的取值范围.
【答案】（1） ；证明见解析
（2） 在 上单调递减；证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）令 ，求出 ，当 时， ，根据 得到
即可证明；
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（2）由 得 ，再根据函数单调性的定义进行判断；
（3）根据函数 的定义域和单调性求解.
【小问 1 详解】
令 ，则 ，所以 ，
当 时， ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
故当 时，
【小问 2 详解】
在 上单调递减；
证明：由 得 ，
任取 ，且 ，则 ，
，
由（1）可知，当 时， ，所以 ，
即 ，所以 在 上单调递减；
【小问 3 详解】
令 ，则 在 上单调递增，且 ，
，
所以原不等式可转化为 ，即 ，
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由（2）可知 在 上单调递减，
所以 ，
解 得 或 ，
又 ，所以 ，
由 ，得 ，
因为 在 上均是减函数，
所以 在 上是减函数，
所以 ，所以 .
19. “函数 的图像关于点 对称”的充要条件是“对于函数 定义域内的任意 x，都有
”.若函数 的图像关于点 对称，且当 时，
.
（1）求 的值；
（2）设函数
（ⅰ）证明：函数 的图像关于点 对称；
（ⅱ）若对任意 ，总存在 ，使得 成立，求实数 a 的取值范围.
【答案】（1）4； （2）（ⅰ）证明过程见解析；（ⅱ） .
【解析】
【分析】（1）由对称性得到 ，故 ；
（2）（ⅰ）计算得到 ，得到 的图像关于点 对称；
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（ⅱ）分离常数得到 在 上单调递增，求出 的值域为 ，设 在 上
的值域为 ，由题意得 ，分 ， 和 三种情况，结合对称性，得到 的
单调性，得到值域 ，结合 得到不等式组，求出 的取值范围.
【小问 1 详解】
函数 的图像关于点 对称，
故 ，
令 得 ；
【小问 2 详解】
（ⅰ）证明： ，
故 ，
故函数 的图像关于点 对称；
（ⅱ） ，
故 在 上单调递增，其中 ，
，
故 的值域为 ，
设 在 上的值域为 ，由题意得 ，
图象开口向上，对称轴为 ，且 ，
当 时，
若 ，即 ，函数 在 上单调递增，
由对称性可知， 在 上单调递增，故 在 上单调递增，
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因为 ，所以 ，
所以 ，由 得 ，解得 ，
当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
由对称性可知， 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
结合对称性可知， 或 ，
因为 ，所以 ，
，
又 ，
所以 ，
所以当 时，满足 ；
当 ，即 时， 在 上单调递减，
由对称性可知， 在 上单调递减，故 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，
所以 ，由 得 ，解得 ，
综上， 的取值范围为 .
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【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，
一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的
研究确定含参式子满足的条件；
二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；
三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
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