重庆市2025_2026学年高一数学上学期期中测试试题含解析

这是一份重庆市2025_2026学年高一数学上学期期中测试试题含解析，共16页。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求，选对得 5 分，选错得 0 分．）
1. 下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系及集合之间的关系判断即得.
【详解】对于 A，因 不含任何元素，故 ，即 A 错误；
对于 B，因 是任何集合的子集，故 ，即 B 正确；
对于 C，显然 ，故 C 错误；
对于 D，因 是无理数，故 ,即 D 错误.
故选：B.
2. 命题 ， ，则命题 的否定 为（ ）
A. ： ， B. ： ，
C. ： ， D. ： ，
【答案】C
【解析】
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【分析】根据任意量词命题的否定为存在量词命题，改变量词，否定结论即得.
【详解】命题“ ， ”的否定“ ： ， ”.
故选：C.
3. 下列函数中，既是偶函数，又在 上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性定义判断奇偶性，根据幂函数的单调性逐一判断各函数即可.
【详解】对于 A，函数 的定义域为 ，关于原点对称，但 ，故该函数是奇函
数，不是偶函数，故 A 错误；
对于 B，函数 的定义域为 ，关于原点对称，且 ，故该函数是偶函数，
又因 ，故函数 在 上单调递减，即 B 正确；
对于 C，函数 的定义域为 ，关于原点不对称，故是非奇非偶函数，故 C 错误；
对于 D，函数 的对称轴为直线 ，在 上单调递增，故 D 错误.
故选：B.
4. 已知函数 的部分图象如图所示，则函数 的解析式可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图像的定义域、奇偶性进行判断即可.
【详解】由图像可知函数为奇函数，而选项 B 的函数很显然是偶函数，所以 B 错误；
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而选项 A 中， ，所以 A 错误；
图像显示该函数的定义域为 ，而选项 C 中 ，所以 C 错误；
故选：D.
5. “ ”是“ ” （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】求出后者不等式，再根据充分不必要条件的判断即可得到答案.
【详解】 ，即 ，则 ，解得 或 ，
根据 是 或 的真子集，
则“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
6. 已知函数 的定义域为 ，且 ，当 时， 单调递增，则
， ， 的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据条件判断函数图象关于直线 对称，利用 在 上的单调性判断其在 上
的单调性，再根据函数单调性判断函数值大小即可.
【详解】因函数 的定义域为 ，且 ，
则函数 关于直线 对称，又当 时， 单调递增，
故 时， 单调递减，由对称性可知 ，
因 ，故 ，
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即 .
故选：C.
7. 已知函数 是偶函数，其中 ， ，则 的最大值是（ ）
A. 0 B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】利用偶函数的定义推得 ，代入 消元后，利用二次函数的单调性求其最大值即
可.
【详解】因函数 是偶函数，
则 ，整理得 ，
因 不恒为 0，则 ，即 ，
则 .
故当 时， 的最大值是 .
故选：B.
8. 已知函数 ，若存在两个不相等的实数 ，使得 ，则实数 的
取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数的解析式，根据参数 的取值情况分类考虑，借助于图象逐一取舍，即得其范围.
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【详解】
图 1 图 2
当 时，函数 中，因 ,其图象如图 1 所示，
当 时，必存在两个不相等的实数 ，使得 ，符合题意；
当 时， ，
由图 2 可知，当 时，必存在两个不相等的实数 ，使得 ，符合题意；
图 3 图 4
当 时，因 ，
①当 ，即 时，因 ,其图象如图 3 所示，
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在直线 附近，必存在两个不相等的实数 ，使得 ，符合题意；
②当 ，即 时，若 时，因 ，其图象如图 4 所示，
可知不存在两个不相等的实数 ，使得 ；
若 时，因 ，其图象如图 5 可知，
图 5
在直线 附近，必存在两个不相等 实数 ，使得 ，符合题意.
综上，实数 的取值范围为 .
故选：A.
二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．）
9. 若 ， ， ，则下列不等式推理正确的是（ ）
A. 若 ， ，则
B. 若 ，则
C 若 ，则
D. 若 且 ，则
【答案】BC
【解析】
【分析】对于 A，利用不等式的性质求得 的范围即可判断；对于 B,C，通过作差比较即可判断；对于
D，通过举反例即可排除.
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【详解】对于 A，由 可得 ，因 ，则得 ，故 A 错误；
对于 B, 由 ，因 ，则 ，故 B 正确；
对于 C，由 ，则 ，由 ，可得 ，故
C 正确；
对于 D，当 时，显然满足 且 ，但 ，故 D 错误.
故选：BC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 与 表示同一个函数
B. 已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为
C. 函数 的值域为
D. 若 对任意实数 都有 ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于 A，利用同一函数的定义即可判断；对于 B，利用抽象函数的定义域的求法即可判断；对于 C，
通过换元法即可求得函数的值域判断；对于 D，由条件列出方程组求解即得函数解析式.
【详解】对于 A，因 的定义域为 ，而 的定义域为 ，故 A 错误；
对于 B，因函数 的定义域为 ，由 可得 ，
故函数 的定义域为 ，故 B 正确；
对于 C，设 ，则 ，且 ，则函数 ，
因函数在 上单调递增，故 ，即函数 的值域为 ，故 C 正确；
对于 D，将 ①中的 替换为 ，可得 ②，
由 ，可得 ，即 ，故 D 正确.
故选：BCD
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11. 已知函数 满足：① 的定义域为 ；②对 ，都有 ；③
时， ．则以下说法正确的是（ ）
A. B. 若 ，则
C. 在 上单调递减 D. 若 ，且 ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 ，取 即可求得 判断 A 项；先后赋值
和 即可判断 B 项；先利用条件证明对于 ，恒有 ，再利用函数的单调性定义，可
证得 在 上单调递增排除 C 项；利用条件和单调性，放缩即可证得结论判断 D.
【详解】对于 A，在 中，取 ，则 ，
因为 时， ，则 ，故 ，即 A 正确；
对于 B，在 中，取 ，则 ，
再取 ，则 ，故 B 正确；
对于 C，任取 ，则 ， ，在 中，取 ，可得
，
即 ，即对于 ，恒有 .
任取 ，且 ，则 ， ，
因 ，
则 ，故 在 上单调递增，故 C 错误；
对于 D，由 可得 ，由上知 在 上单调递增，可得
，
则 ，故 ，即 D 正确.
故选：ABD
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三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．）
12. 函数 的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的解析式有意义得到关于 的不等式组，求解即得函数的定义域.
【详解】函数 有意义，则有 ，
解得 且 ，即函数的定义域为 .
故答案为： .
13. 篮球和足球是当前中学生非常喜欢的两大球类项目，据调查，某校高一年级有 88%的学生喜欢足球或篮
球，45%的学生喜欢足球，85%的学生喜欢篮球，则该高一年级既喜欢足球又喜欢篮球的学生数占该年级学
生总数的比例是______
【答案】
【解析】
【分析】设有 的学生既喜欢足球又喜欢篮球，则有 只喜欢足球，有 只喜欢篮球，列
出方程能求出该中学既喜欢足球又喜欢篮球的学生数占该校学生总数的比例．
【详解】设有 的学生既喜欢足球又喜欢篮球，
则有 只喜欢足球，有 只喜欢篮球，
由题意得： ，
解得 ．
故该中学既喜欢足球又喜欢篮球的学生数占该校学生总数的比例是 ．
故答案为： ．
14. 已知 ，则 的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】先对 进行化简，然后利用单调性的定义判断 是增函数，进而可求出其范围.
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【详解】 .设 ，
.
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 .
而 ，所以 .
故答案为： .
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 已知全集 ，集合 ，集合 ．求：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）先分别解绝对值不等式和一元二次不等式求得集合 ，再求交集即可；
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（2）先求出集合 补集，再求其并集即可.
【小问 1 详解】
因 ，
或 ，
则 ；
【小问 2 详解】
由（1）可得 或 ， ，
故 或 .
16. 已知集合 ， ．
（1）若 ， ，用列举法表示由 构成的集合 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由元素与集合的关系列出不等式，求解即得集合 ；
（2）根据集合之间的关系列出不等式组，求解即得 的范围
【小问 1 详解】
因 ，则 ，
解得 ，又 ，故 或 5，
故由 构成的集合 为 .
【小问 2 详解】
，可得 ，即 ，
因 且 是 的真子集，
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① 若 ，则 ，解得
②若 ，则 ，解得 .
综上可得，实数 的取值范围为 .
17. 已知 ， ．
（1）当 时，不等式 对一切实数 都成立，求实数 的取值范围；
（2）当 时，讨论关于 的不等式 的解集．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）分 与 讨论，结合二次函数性质即可求解；
（2）根据二次不等式的解法讨论即可.
【小问 1 详解】
由题意， ，即 恒成立，
若 ，则 不恒成立，
若 ，则 ，
解得 .
【小问 2 详解】
由题意， ，即 ，
当 时，解集为 ，
当 时，解集为 ，
当 时，解集为 ，
当 时，解集为 或 ，
当 时，解集为 或 .
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18. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 .
（1）求 ， 的值；
（2）判断函数 在 上的单调性并证明；
（3）设 ，若对任意的 ，总存在 ，使得 成立，求实
数 的取值范围．
【答案】（1） ，
（2）函数 在 上单调递增,证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用 和 求得 的值，并检验即可；
（2）利用函数的单调性定义即可证明结论；
（3）将问题转化为 ，对 进行分类讨论，结合一次函数的单调性，即可求得 的取值范
围.
【小问 1 详解】
依题意，函数 是定义在 上的奇函数，
则 ，即 ， ，由 ，解得 ，
则 ，经检验该函数为奇函数.
【小问 2 详解】
函数 在 上单调递增，证明如下：
任取 ，且 ，
由 ，
因 ，则 ， ，所以 ，
即 ，故函数 在 上单调递增.
【小问 3 详解】
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由于对任意的 ，总存在 ，使得 成立，
则 .由（2）证明可得函数 在 上的最大值为 .
对于 ， .
当 时， 在 上单调递增，则 ，
则 ，解得 ，故 ；
当 时， ，显然满足 ；
当 时， 在 上单调递减，则 ，
则 ，解得 ，故 .
综上，可得 ，即实数 的取值范围为 .
19. 对于二次函数 ，若实数 满足 ，则 叫做函数 的
零点．
（1）若“二次函数 不存在零点”为假命题，求实数 的最大值；
（2）若二次函数 有两个不同的零点 ， ，且 ， 大于零，求
的最小值；
（3）若函数 的最小值为 0，求满足条件的所有实数 构成的集合
．
【答案】（1）1； （2） ；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，二次函数存在零点，通过判别式即可求解；
（2）通过二次函数根的分布得到 a 的范围，然后利用韦达定理将 化成关于 a 的不等式，
然后利用基本不等式即可求解；
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（3）令 ，分类讨论满足函数的最小值为 0 的条件即可求解.
【小问 1 详解】
依题，二次函数 存在零点，即方程 有解，
所以判别式为 ，解得 ，
故 a 的最大值为 1；
【小问 2 详解】
因为二次函数 有两个不同零点且 ， 大于零，
所以二次方程 有两个不同根且 ， 大于零，
所以由韦达定理得 ， ，
所以 ，解得 ，
所以 = ，
因为 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
故 的最小值是 ；
【小问 3 详解】
令 ，
则 ，
当 时， ，且当 时， ，但需 ，即 ，
所以 ，
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当 ， 即 时， 恒成立，
综上：满足条件的所有实数 a 构成的集合 .
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