重庆市沙坪坝区2025_2026学年高一数学下学期3月月考试题含解析

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一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一项符合题目要求.
1. ，是平面内向量的一组基，则下面四组向量中，不能作为一组基的是（ ）
A 和B. 和
C. 和D. 和
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用平面向量的基底的定义逐项判断即得.
【详解】对于A，由向量加法法则知，，及对应的有向线段可围成一个三角形，则和不共线，可作基底，A不是；
对于B，在和中，，则和不共线，可作基底，B不是；
对于C，，和共线，不可作基底，C；
对于D，和是以，为一组邻边的平行四边形的两条对角线向量，不共线，可作基底，D不是.
故选：C
2. 已知，在方向上的投影向量为，则的值为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 6
【答案】B
【解析】
【详解】因为在方向上的投影向量为，所以，所以，
又，所以.
3. 已知向量，，且，则（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以，又因为，，所以，
解得，所以，所以.
4. 在中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由余弦定理直接计算求解即可.
【详解】由题意得，
又，所以.
故选：A
5. 圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）.当正午阳光照射在表上时，影子会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至.如图是根据六安市（北纬32°）的地理位置设计的圭表的示意图，已知六安市冬至正午太阳高度角（即）约为，夏至正午太阳高度角（即）约为，圭面上冬至线和夏至线之间的距离（即的长）为7米，则表高（即的长）约为（ ）（已知，）
A 3.26米B. 4.73米C. 5.37米D. 6.31米
【答案】C
【解析】
【分析】利用表高表示出冬至和夏至时圭面上的影长 CB 和 CD，根据两者之差 BD=7米列出方程，解出 表高。
【详解】设表高，在中，，，
在中，，，
已知冬至线和夏至线之间的距离米，所以，解得，
因此，表高约为米，
故选：C.
6. 在中，角，，的对边分别为，，，满足，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦定理边角互化及两角和差公式可得，从而，再由得到的值，最后由正弦定理及二倍角公式可求得结果.
【详解】，由正弦定理得，
，
，即，
，，，
，，.
故选：A.
7. 中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若且，则的形状是（ ）
A. 顶角为120°的等腰三角形B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】由推导得的平分线垂直于边，进而得，再由给定面积导出得解.
【详解】如图所示，在边、上分别取点、，使、，
以、为邻边作平行四边形，则，显然，
因此平行四边形为菱形，平分，而，
所以，即，于是得是等腰三角形，即，
令直线交于点，则是边的中点，，
而，因此，从而得，
综上，是等腰直角三角形.
8. 在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算法则，及三点共线，推得.利用基本不等式中“1”的妙用，求得的最小值.
【详解】，即，，
，，，，
，三点共线，则.
，
当且仅当，即时，等号成立，因此，的最小值为.
故选：B.
二、多选题：本大题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，，下列说法错误的是（ ）
A. 若，则或B. 若，，则
C. 若D. 若且，则
【答案】ABD
【解析】
【详解】若，则，所以或或，故A错误；
当时，可为任意非零向量，也可为任意非零向量，此时与不一定平行，故B错误；
由，可得，
若或，则可得；
当且，可得，
所以或，故，故C正确；
若，可得，所以，
又，所以或，所以或，故D错误.
10. 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，，且，下列选项正确的是（ ）
A.
B. 若，则有两解
C. 若为锐角三角形，则取值范围是
D. 若D为BC边上的中点，则AD的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【详解】因为，
所以，所以，
又，所以，故A错误；
若，则，三角形有两解，故B正确；
若为锐角三角形，则，且，解得，
所以
，
又，所以，所以，
所以取值范围是，故C正确；
若D为边上的中点，则，
所以，
又，所以，
由基本不等式得，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，所以，
当且仅当时等号成立，故D正确．
11. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ）
A. 若，则M为的重心
B. 若M为内心，则
C. 若M为的垂心，，则
D. 若，，M为的外心，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，取中点，连接，由题意可得，即有，同理可得，，即可判断；对于B，设内切圆的半径为，由三角形的面积公式可得，整理即可判断；对于C，由题意可得，再由三角形的面积公式可得 ，，设，可得，进而可得，，，即可判断；对于D，设的外接圆半径为，根据题意及三角形的面积公式可得，，，即可判断.
【详解】A选项，因为，所以，
取的中点，则，所以，
故三点共线，且，
同理，取中点，中点，可得三点共线，三点共线，
所以M为的重心，A正确；
B选项，若M为内心，可设内切圆半径为，
则，，，
所以，
即，B正确；
C选项，若M为的垂心，，
则，
如图，⊥，⊥，⊥，相交于点，
又，
，即，
，即，
，即，
设，，，则，，，
因为，，
所以，即，
同理可得，即，故，
，则，
故，
，则，
故，
，
故，
同理可得，
故，C正确；
D选项，若，，M为的外心，
则，
设的外接圆半径为，故，
，
故，，，
所以，D错误.
故选：ABC
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设向量、满足，，且、的夹角为60°，若向量与向量的夹角为钝角，则实数t的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【详解】向量、满足，，且、的夹角为60°，
故.
因为向量与向量的夹角为钝角，
所以且向量与向量不共线（反向），
所以且，
解之得：且，
故实数t的取值范围为.
13. 如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为______.
【答案】6
【解析】
【分析】由题建立平面直角坐标系，再由平面向量数量积的坐标运算得到，再求二次函数的最大值即可．
【详解】以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
设，其中，
则，，
，
当时，有最大值6．
故答案为：6.
14. 已知平面向量，，满足：，，，则___________，且的取值范围为___________.
【答案】 ①. 5 ②.
【解析】
【分析】第一空：直接根据模的计算公式即可求解；第二空，由向量之间的“三角不等式”即可求解.
【详解】第一空：因为，，，
所以，
；
第二空：对于两个向量，有，
进一步有，
所以，
注意到，，
从而，等号成立当且仅当反向，
，等号成立当且仅当同向，
所以的取值范围为.
故答案为：5；.
【点睛】关键点点睛：第一空的关键是在于利用整体思想结合，得到，其中，，由此即可顺利得解.
四、解答题：共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量
（1）若求；
（2）若求
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示求出x，然后求出的坐标，由向量模的坐标表示可得；
（2）利用向量平行的坐标表示求出x，再由向量线性坐标运算和数量积的坐标表示可得.
【小问1详解】
因为，所以，
因为所以，解得，
则，所以.
【小问2详解】
若则，
则，
所以
16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角A；
（2）若，的面积为，求的周长．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得.
（2）利用三角形面积公式及（1）中信息求出即可.
【小问1详解】
在中，由及正弦定理，得，
整理得，由余弦定理得，而，
所以.
【小问2详解】
由的面积为，得，解得，
由（1）得，解得，
所以的周长为.
17. 某城市公园计划将园内三角形区域（如图）．建造为多功能区，其中米，米，．
（1）求的长度；
（2）公园拟在边上设置休息点与，不重合．，同时将，，修建为三种不同功能的AI智慧步道，其每米造价分别为0.1万元，0.2万元，0.3万元．记，三段AI智慧步道的造价总和记为（单位：万元）．
①将表示为的函数；
②若不超过48万元，求的最大值．只需写出结论．
【答案】（1）；
（2）①，其中；②.
【解析】
【分析】（1）直接利用余弦定理即可求解；
（2）①利用正弦定理分别求出，，从而得到表达式，再写出的表达式，最后求出范围即可；
②根据解得，再结合即可得到的最大值.
【小问1详解】
在三角形中，
由余弦定理，
代入，得到，
解得．
【小问2详解】
①，则
因为，
所以，
在三角形中，由正弦定理，
所以，，
又，
所以，其中．
②若，即，即，即
因为，因此只需，化简得，
则，当，则，
则，解得，
再考虑到，其中，，
故的最大值为．
18. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围．
（3）若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可求解；
（2）由正弦定理转化为三角函数，利用两角差的正弦公式化简，再由正弦型三角函数求值域即可；
（3）由余弦定理及基本不等式求出范围，再由三角形面积公式得出，再利用基本不等式求解即可.
【小问1详解】
由正弦定理可得：，
因为，
所以，
即，
由可得，即，
由，可得.
【小问2详解】
因为，
所以
，
由三角形为锐角三角形可知，，解得，
所以，，
所以.
【小问3详解】
如图，
由余弦定理，，
即，当且仅当时，等号成立，
又，
化简可得，，
所以，当且仅当时等号成立.
故BD长度的最大值为.
19. 对于给定正整数n，称有序实数组为一个n维向量，记作．特别地，称为零向量，记作．记集合．设，，若对任意，都有，则称等于，记作．对，按如下方式定义n维向量的数乘和加法：，．对一组向量，若存在一组不全为零的实数，使得，则称这组向量线性相关．否则，称这组向量线性无关．
（1）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，无需说明理由；
①，；
②，，；
③，，，；
（2）若，，线性无关，判断、、是线性相关还是线性无关，并说明理由；
（3）已知个向量线性相关，但其中任意个都线性无关，证明：
①若存在等式，则这些系数或者全为零，或者全不为零；
②如果，，其中，则．
【答案】（1）ⅰ）线性相关；（ⅱ）线性无关；（ⅲ）线性相关；
（2）线性无关，理由见解析
（3）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据向量线性相关的定义逐一判断即可；
（2）设，则，然后由条件得到，即可判断；
（3）①如果某个，然后证明，都等于0即可；②由，可得，然后代入，根据题意证明即可.
【小问1详解】
对于（ⅰ），，；
设，可得，
则可得，取，满足，
所以线性相关.
对于（ⅱ），，，；
设，
可得，
则，
所以线性无关.
对于（ⅲ），，，，，
设，
则可得，
解得，不妨取，
所以线性相关.
【小问2详解】
设，
则，
因为向量线性无关，所以解得，
所以向量线性无关.
【小问3详解】
（ⅰ），如果某个，
则.
因为任意个都线性无关，所以都等于0，
所以这些系数要么全为零，要么全不为零.
（ⅱ）因为，所以全不为零，
所以由，可得，
代入，
可得，
所以，
所以，
所以.