重庆市2025_2026学年高一数学下学期期中试卷含解析

这是一份重庆市2025_2026学年高一数学下学期期中试卷含解析，共37页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 已知向量 ，若 ∥ ，则 （ ）
A. 2 B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量平行的坐标表示运算求解.
【详解】因为 ，
若 ∥ ，则 ，即 .
故选：C.
2. 下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【详解】对 A，因为零向量跟任何向量共线，则两者是共线向量，故 A 错误；
对 B，因为 ，则两者不是共线向量，则 B 正确；
对 C，由于 ， ，则 ，是共线向量，故 C 错误；
对 D，由于 ， ，则 ，是共线向量，故 D 错误.
3. 已知复数 ，则 的虚部是（ ）
A. 5 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用共轭复数的意义及复数乘法运算求解即可.
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【详解】复数 ，则 ，
所以所求虚部是 .
故选：B
4. 已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据 得 ，进而得 ，即可得 .
【详解】因为 ，所以 ，
故 .
故选：B
5. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．若 ， ，则 一定是
（ ）
A. 三边不全相等的锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由已知易求得 ，利用余弦定理，结合 ，可得 ，可得结论.
【详解】在 中， ，又 ，故 ．
由余弦定理得 ，结合 ，得 ，
解得 ，所以 一定是等边三角形．
故选：D．
6. 已知圆台上下底面面积分别为 ，母线长为 ，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
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【解析】
【分析】先求出圆台高，再利用体积公式求解.
【详解】由题意上下底面的半径为 1，3，则圆台的高 ，
所以圆台的体积
故选：B
7. 在 中 ， 内 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ， 若 ， 且
，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为 ，两边平方可得 ，
整理可得 ，即 ，即 ，则 ，而 ，
于是 ，所以 ．
8. 如图，在 中，点 是 的中点，过点 的直线分别交直线 ， 于不同的两点 ，若
， ， ，则 的最小值（ ）
A. 2 B. 8 C. 9 D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】由向量加法及数乘的几何意义得 ，再由向量共线的结论有 ，最后
应用“1”的代换及基本不等式求最小值.
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【详解】由题意， ，又 共线，则 ，
且 ，所以 ，
当且仅当 时取等号，即 的最小值为 9.
故选：C
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若 的面积为 ，则用斜二测画法画出它的直观图的面积为
B. 用一个平面去截圆锥，圆锥底面与截面之间的部分是圆台
C. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台
D. 若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 的扇形，则该圆锥的母线与底面半径之比为 ：
【答案】AD
【解析】
【详解】若 的面积为 ，根据 ，可得直观图的面积为 ，可知 A 正确；
当用一个不平行于底面的平面去截圆锥，得到的不是圆台，可知 B 错误；
侧棱的延长线相交于一点才是棱台，可知 C 错误；
若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 的扇形，设圆锥母线为 ，底面半径为 ，
可得 ，解得 ： ： ，可知 D 正确．
10. 已知复数 满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 在复平面内对应的点可能是
B.
C. 的实部与虚部之积小于等于 3
D. 复数 ，则 的最大值为
【答案】ACD
【解析】
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【分析】根据复数的几何意义，可知 在复平面对应的点为以原点为中心，半径为 的圆上，从而判断 AB
；利用基本不等式判断 C；由复数减法的几何意义判断 D.
【详解】 ，则 在复平面对应的点为以原点为中心，半径为 的圆上，
复平面的点 ，其模为 正确；
错误；
令 ，则有 ，所以实部与虚部之积 ，C 正确；
，则 ，D 正确.
故选：ACD.
11. 在 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 ，则下列说法正确的是
（ ）
A. 若 ，则 的外接圆的面积为
B. 若 ，且 有两解，则 b 的取值范围为
C. 若 ，且 为锐角三角形，则 c 的取值范围为
D. 若 ，且 ，O 为 的内心，则 的面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】先由正弦定理得到 ，选项 A，求出 ，进而由正弦定理得到 的外接圆的半径和
表面积；B 选项，又余弦定理得到 ，将其看做关于 的二次方程，结合方程有两正解，
得到不等式，求出 b 的取值范围；C 选项，由正弦定理结合 得到 ，再根据 为锐角
三角形得到 ，从而得到 c 的取值范围；D 选项，由正弦定理得到 ， ，结
合三角恒等变换得到 ，从而得到 ， ， ，由 求出 ，由
直角三角形性质得到内切圆半径，进而求出 的面积.
【详解】因为 ，所以由正弦定理，得 ，
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即 ，
因为 ，所以 ，且 ，所以 .
选项 A：若 ，则 ，所以 的外接圆的直径 ，
所以 ，
所以 的外接圆的面积为 ，选项 A 正确；
选项 B：由余弦定理 得 ，
将此式看作关于 的二次方程 ，由题意得此方程有两个正解，
故 ，解得 b ，所以选项 B 错误；
选项 C：由正弦定理，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
因为 为锐角三角形，所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，故选项 C 正确；
选项 D：因为 ，由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
所以由正弦定理 ，得 ，即 ，
所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
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又因为 ，所以 ，故 ， ，解得 ，
因为 ，所以 ，
即 是直角三角形，所以内切圆的半径为 ，
所以 的面积为 ，选项 D 正确.
故选：ACD.
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，
或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，
通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 复数范围内方程 的根为________．
【答案】
【解析】
【详解】由 ，得 ，所以 .
13. 若向量 ， ，则 在 方向上的投影向量坐标为________.
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量的意义求解即可.
【详解】向量 ， ，则 ，
所以 在 方向上的投影向量为 .
故答案为：
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14. 现有一块如图所示的三棱锥木料，其中 ， ，木工师
傅打算过点 将木料切成两部分，则截面 周长的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】将三棱锥侧面沿着 展开，截面 周长的最小值即求从 A 出发沿着侧面回到 A 的最短距离
.
【详解】将三棱锥侧面沿着 展开，如图：
则 ，
由余弦定理可得： ,则 ，
所以截面 周长的最小值为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知复数 （其中 为虚数单位），若复数 的共轭复数为 ，且 ．
（1）求复数 ；
（2）求复数 ；
（3）若 是关于 的方程 的一个根，求实数 ， 的值，并求出方程 的另
一个复数根．
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【答案】（1）
（2）
（3） ， ，另一根为
【解析】
【分析】（1）化简复数 ，再根据共轭复数的概念求解；
（2）根据复数的除法的运算求解；
（3）将 代入方程 运算求出 ，代回方程求解.
【小问 1 详解】
，
所以复数 的共轭复数为 ．
【小问 2 详解】
因为 ，
所以
所以 .
【小问 3 详解】
若 是关于 的方程 的一个根，则 ，
即 ，
所以
解得： ， ，
则 ，即 ，
所以方程另一根为 ．
16. 如图长方体 ，底面是边长为 3 的正方形，高为 4，E 为 的中点．
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（1）求长方体的表面积和它的外接球的表面积；
（2）求三棱锥 和长方体的体积之比．
【答案】（1）长方体的表面积为 66，它的外接球的表面积为 ；（2）
【解析】
【分析】（1）根据长方体的表面积公式直接求解即可，求出外接球半径，即可求出外接球表面积；
（2）求出长方体体积，根据等体积法求出三棱锥 的体积，即可求出体积之比.
【详解】（1）由题可得该长方体的表面积为 ，
该长方体的外接球的半径为 ，
则外接球的表面积为 ；
（3）长方体的体积为 ，
，
则三棱锥 和长方体的体积之比为 .
17. 记 的内角 的对边分别为 ，满足 .
（1）求角 ；
（2）若 ， ， 是 中线，求 的长.
【答案】（1）
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（2）
【解析】
【分析】（1）根据边角转化，将题干条件均化成角，结合诱导公式，三角恒等变换进行化简求值；
（2）利用 ，平方后求 ，结合余弦定理来处理.
【小问 1 详解】
因为 ，由正弦定理可知： ，
由 ，故 ，
∴
∴ ，
∴ ，又 ，
所以 ；
【小问 2 详解】
根据数量积的定义，由 ，得 ，
又 ，在 中由余弦定理得：
∵ ，∴ ，
所以
18. 已知 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ．
（1）求 B 的大小；
（2）若点 M 在线段 上， ， ，求 的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
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【分析】（1）在 中，利用正弦定理边角互化，化简得到 ，所以 ；
（2）利用面积关系可得 关系，然后利用基本不等式求最值.
【小问 1 详解】
在 中，由 及正弦定理，得 ，
则 ，
整理得 ，
而 ，则 ，两边平方得 ，
又 ，所以 ， ，于是 ，解得 ，所以
．
【小问 2 详解】
由（1）知 ，由 ，则 ，
由 ， ，则 ，
则 ，即 ，
因此 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 ．
19. 如图．在梯形 中， ，E、F 是 的两个三等分点，G、H 是 的两个三等分点，线
段 上一动点 P 满足 分别交 于 M、N 两点，记 ．
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（1）当 时，求 的值；
（2）若 ，求 的值；
（3）若 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分解向量得 ， ，然后由向量的数量积即可求解；
（2）分解向量得 ，由 三点共线可设
，根据 三点共线求得 的值即可进一步求解；
（3）分解向量得 ， ，结合 ，可
得 ，从而所求可转换为关于 的函数.
【小问 1 详解】
由题意 ，
，
所以
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；
【小问 2 详解】
，
若 ，则 ，
，
因为 三点共线，
所以可设 ，
由于 三点共线，所以设 ，
所以 ，解得 ， ，
所以 ；
【小问 3 详解】
，
则
，
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,
因为 三点共线，
所以可设 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
令 ，所以 ，
由对勾函数性质可知， 在 上单调递增，
故所求为 .