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第十二讲 二次函数及其图像与性质（讲义）（含答案析）-备战中考数学一轮复习专题讲义+强化训练（全国通用）
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这是一份第十二讲 二次函数及其图像与性质（讲义）（含答案析）-备战中考数学一轮复习专题讲义+强化训练（全国通用），共24页。试卷主要包含了二次函数解析式的三种形式，二次函数的图象及性质，抛物线的平移，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的综合等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc25763" 一、六大必备知识点 PAGEREF _Tc25763 \h 2
\l "_Tc4772" 考点一 二次函数的定义 PAGEREF _Tc4772 \h 4
\l "_Tc17210" 考点二 二次函数的解析式 PAGEREF _Tc17210 \h 5
\l "_Tc18422" 考点三 二次函数图形变换 PAGEREF _Tc18422 \h 6
\l "_Tc10823" 考点四 二次函数与方程、不等式 PAGEREF _Tc10823 \h 7
\l "_Tc25862" 考点五 二次函数系数间的关系 PAGEREF _Tc25862 \h 11
\l "_Tc16238" 考点六 二次函数的应用 PAGEREF _Tc16238 \h 16
\l "_Tc31938" 考点七 利用二次函数求线段、周长、面积的最大值 PAGEREF _Tc31938 \h 20
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一、六大必备知识点
一、二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
二、二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
三、二次函数的图象及性质
1．二次函数的图象与性质
2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系
四、抛物线的平移
1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）．
2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：
3．注意
二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．
五、二次函数与一元二次方程的关系
1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．
2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．
3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
六、二次函数的综合
1、函数存在性问题:解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．
2、函数动点问题
（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．
（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．
（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．
考点一 二次函数的定义
1．下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝﹣2xB．y＝﹣C．y＝1﹣3x2D．y＝x+3
【解答】解：A、y＝﹣2x，是正比例函数，不合题意；
B、y＝﹣，是反比例函数，不合题意；
C、y＝1﹣3x2，是二次函数，符合题意；
D、y＝x+3，是一次函数，不合题意；
故选：C．
2．下列关于x的函数一定为二次函数的是（ ）
A．y＝2x+1B．y＝ax2+bx+cC．y＝﹣5x2﹣3D．y＝x3+x+1
【解答】解：A．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．是二次函数，故本选项符合题意；
D．是三次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．若函数的图象是抛物线，则m的值为（ ）
A．﹣2B．2C．4D．±2
【解答】解：∵函数y＝（m+2）+2x﹣3的图象是抛物线，
∴m+2≠0且m2﹣2＝2，
∴m＝2．
故选：B．
考点二 二次函数的解析式
1．已知某二次函数的图象的顶点为（﹣2，2），且过点（﹣1，3）．
（1）求此二次函数的关系式．
（2）判断点P（1，9）是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．
【解答】解：（1）由顶点（﹣2，2），可设抛物线为：y＝a（x+2）2+2，
将点（﹣1，3）代入上式可得：（﹣1+2）2a+2＝3，
解得a＝1，
所以二次函数的关系式y＝（x+2）2+2＝x2+4x+6．
（2）点P（1，9）不在这个二次函数的图象上，理由如下：
把x＝1代入y＝x2+4x+6得，y＝1+4+6＝11，
∴点P（1，9）不在这个二次函数的图象上．
2．已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（5，0）两点，顶点为P．求：
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABP的面积．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣5），
所以y＝﹣x2+4x+5；
（2）因为y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
则P点坐标为（2，9），
所以△ABP的面积＝×6×9＝27．
3．根据下列条件求抛物线的解析式：
（1）顶点在y轴上，且经过点（﹣2，﹣3）和（1，6）．
（2）已知二次函数的图象最高点是（﹣1，﹣3）且过点（3，﹣4）．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+c，
把（﹣2，﹣3）和（1，6）代入得 ，
解得 ，
所以抛物线解析式为y＝﹣3x2+9；
（2）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2﹣3，
把（3，﹣4）代入得﹣4＝a（3+1）2﹣3，解得a＝﹣，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2﹣3．
4．已知二次函数y＝x2﹣6x+5．
（1）将y＝x2﹣6x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而减小．
【解答】解：（1）y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4；
（2）二次函数的图象的对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，﹣4）；
（3）∵抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝3，
∴当x≤3时，y随x的增大而减小．
考点三 二次函数图形变换
1．将抛物线y＝2x2﹣12x+19向左平移2个单位长度后的解析式为 y＝2（x﹣1）2+2 ．
【解答】解：∵y＝2x2﹣12x+19＝2（x﹣3）2+1，
∴将抛物线y＝2x2﹣12x+19向左平移2个单位长度后的解析式为：y＝2（x﹣3+2）2+1，即y＝2（x﹣1）2+21
故答案为：y＝2（x﹣1）2+1．
2．将抛物线y＝﹣2x2﹣3向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得到的抛物线为 y＝﹣2（x﹣3）2+1 ．
【解答】解：抛物线y＝﹣2x2﹣3的顶点坐标为（0，﹣3），
∵向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，1），
∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣3）2+1．
故答案是：y＝﹣2（x﹣3）2+1．
3．将抛物线y＝x2+1沿x轴向下翻折，则得到的新抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣1 ．
【解答】解：抛物线y＝x2+1的顶点坐标是（0，1），则沿x轴翻折后顶点坐标是（0，﹣1），所以新抛物线解析式是：y＝﹣x2﹣1．
故答案是：y＝﹣x2﹣1．
4．将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移 1或7 个单位长度后经过点（﹣1，7）．
【解答】解：∵将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移后经过点（﹣1，7），
∴设平移后解析式为：y＝（x﹣3+a）2﹣2（a为平移的单位），
则7＝（﹣1﹣3+a）2﹣2，
解得：a＝1或a＝7，
故将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移1或7个单位后经过点（﹣1，7）．
故答案为：1或7．
5．已知抛物线y＝ax2+bx﹣5的对称轴是x＝2，与x轴的一个交点为（﹣1，0），则该抛物线与x轴的另一个交点坐标是 （5，0） ．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx﹣5的对称轴是x＝2，与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴该抛物线与x轴的另一个交点坐标是（5，0），
故答案为：（5，0）．
考点四 二次函数与方程、不等式
1．已知二次函数y＝x2+2x﹣n，当自变量x的取值在﹣2≤x≤1的范围时，函数的图象与x轴有且只有两个公共点，则n的取值范围是 ﹣1＜n≤0 ．
【解答】解：依照题意画出图象，如图所示.
观察函数图象可知：，
解得：﹣1＜n≤0．
故答案为：﹣1＜n≤0．
2．抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点坐标分别为（﹣4，0）和（2，0），则y＞0时，x的取值范围是 x＜﹣4或x＞2 ．
【解答】解：对于抛物线y＝ax2+bx+c，a＞0，
则抛物线的开口向上，
∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（﹣4，0）和（2，0），
∴当y＞0时，x＜﹣4或x＞2，
故答案为：x＜﹣4或x＞2．
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝0的两根之和是 2 ．
【解答】解：由图象可知y＝ax2+bx+c＝0（a≠0）和x轴交点横坐标分别为﹣1和3，
∴方程ax2+bx+c＝0的两根之和为﹣1+3＝2，
故答案为：2．
4．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A，B两点，点C在对称轴上，且位于x轴的上方，将△ABC沿直线AC翻折得到△AB′C，若点B′恰好落在抛物线的对称轴上，则点C的坐标为 （1，） ．
【解答】解：令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，
如图：
设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），AH＝2，
由翻折得AB′＝AB＝4，∠CAH＝∠CAB′＝∠HAB′，
在Rt△AB′H中，
cs∠B′AH＝＝＝，
∴∠B′AH＝60°，
∴∠CAH＝30°，
在Rt△CAH中，
CH＝tan30°•AH＝×2＝，
∴C（1，），
故答案为：（1，）．
5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1）、B（0，3）两点，则关于x的不等式ax2+b+c＞kx+m的解集是 ﹣3＜x＜0 ．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点，
∴不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是﹣3＜x＜0．
故答案为：﹣3＜x＜0．
6．如图所示，y＝mx+n与y＝ax2+k的图象交于（﹣2，b），（5，c）两点，则不等式ax2+k＜mx+n的解集为 x＜﹣2或x＞5 ．
【解答】解：观察函数图象可知：当x＜﹣2或x＞5时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+k的上方，
∴不等式ax2+k＜mx+n的解集为x＜﹣2或x＞5，
故答案为：x＜﹣2或x＞5．
7．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣1，m），B（2，n）两点，则不等式ax2﹣kx+c＜b的解集是 ﹣1＜x＜2 ．
【解答】解：由图象可得在A，B之间的图象抛物线在直线下方，点A横坐标为﹣1，点B横坐标为2，
∴﹣1＜x＜2时，ax2+c＜kx+b，即ax2﹣kx+c＜b，
故答案为：﹣1＜x＜2．
8．如图，直线y＝kx+b与抛物线y＝﹣x2+2x+3交于A，B两点，其中点A（0，3），点B（3，0），抛物线与x轴的另一交点C（﹣1，0），不等式﹣x2+2x+3＞kx+b的解集为 0＜x＜3 ．
【解答】解：∵点A（0，3），点B（3，0）为抛物线与直线的交点，
由图象可得二次函数图象在AB之间的部分在直线上方，
∴﹣x2+2x+3＞kx+b的解集为0＜x＜3．
故答案为：0＜x＜3．
考点五 二次函数系数间的关系
1．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b＝0；④a+b+c＞0；⑤4a+b+2c＞0．正确的是（ ）
A．①②③④B．①④C．①③④D．①④⑤
【解答】解：由图可知，开口向上，与y轴的交点在y轴负半轴上，对称轴为直线x＝﹣1，函数图象与x轴有两个交点，
∴a＞0，b＞0，c＜0，﹣＝﹣1，b2﹣4ac＞0，
∴abc＜0，故②错误，不符合题意；
b2＞4ac，故①正确，符合题意；
b＝2a，
∴2a+b＝2a+2a＝4a＞0，故③错误，不符合题意；
由图可知，当x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，故④正确，符合题意；
∵b＝2a，
∴4a+b+2c＝2a+2a+b+2c＝2a+b+b+2c＝2（a+b+c）＞0，故⑤正确，符合题意；
∴正确的序号有①④⑤，
故选：D．
2．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③a+b+c＜0；④3a+c＞0．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵二次函数图象开口向上，对称轴为直线x＝1，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，﹣＝1，c＜0，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，结论①正确；
∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，结论②正确；
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，结论③正确；
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
即a+2a+c＝3a+c＞0，所以④正确；
综上所述：正确的结论有①②③④．
故选：D．
3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：
①2a+b＝0；②abc＜0；③9a+3b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若m≠1，则m（am+b）﹣a＜b．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，①正确，符合题意．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵b＝﹣2a，
∴b＞0，
∵抛物线与x轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，②正确，符合题意．
由图象可得x＝﹣1时，y＜0，根据抛物线对称性可得x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，③错误，不符合题意．
∵x＝﹣1，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＜0，④正确，符合题意．
∵x＝1时，y取最大值，
∴am2+bm+c≤a+b+c，
∴m（am+b）﹣a＜b（m≠1），⑤正确，符合题意．
故选：D．
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，现有下列结论：
①abc＞0；
②2a+b＝0；
③4a+2b+c＜0；
④a+b＞n（an+b）（n≠1）；
⑤2c＜3b．
正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．②④⑤
【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②正确；
③当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故③错误；
④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝n时，y＝an2+bn+c，
∴a+b+c＞an2+bn+c，
∴a+b＞an2+bn，即a+b＞n（an+b），故④正确；
⑤当x＝3时函数值小于0，
∴y＝9a+3b+c＜0，
∵该抛物线对称轴是直线x＝﹣＝1，即a＝﹣，
∴9（﹣）+3b+c＜0，
∴2c＜3b，故⑤正确；
故②④⑤正确．
故选：D．
5．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，下列结论：①ac＜0，②4a+2b+c＞0，③2a+b＝0，④（a+c）2＜b2．其中结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∴ac＜0，故①正确；
②由对称性可知当x＝2时与x＝0时y值一样，即y＝4a+2b+c＜0，故②错误；
③对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，2a+b＝0，故③正确；
④当x＝﹣1时，y＞0，即：a﹣b+c＞0．
当x＝1时，y＜0，即：a+b+c＜0
两式相乘得（a+c）2﹣b2＜0，
∴（a+c）2＜b2．故④正确．
故选：C．
考点六 二次函数的应用
1．某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）求w与x之间的函数关系式．
（3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于36元，当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由所给函数图象可知：，
解得，
故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+120；
（2）∵y＝﹣2x+120，
∴w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+120）
＝﹣2x2+160x﹣2400，
即w与x之间的函数关系式为w＝﹣2x2+160x﹣2400；
（3）w＝﹣2x2+160x﹣2400
＝﹣2（x﹣40）2+800，
∵﹣2＜0，20≤x≤36＜40，
∴当x＝36时，w取得最大值，
w最大＝﹣2×（36﹣40）2+800＝768．
答：当每件商品的售价定为36元时，每天销售利润最大，最大利润是768元．
2．为满足市场需求，某超市在新年来临前夕，购进一款商品，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，如果每盒售价每提高1元，则每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）要使每天销售的利润为6000元，且让顾客得到最大的实惠．售价应定为多少元？
（3）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）由题意得销售量y＝700﹣20（x﹣45）＝﹣20x+1600，
∴每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣20x+1600（45≤x＜80）；
（2）由题意得：（x﹣40）（﹣20x+1600）＝6000，
整理得：x2﹣120x+3500＝0，
解得：x1＝50，x2＝70，
∵要让顾客得到最大的实惠，
∴x＝50，
∴售价应定为50元；
（3）P＝（x﹣40）（﹣20x+1600）
＝﹣20x2+2400x﹣64000
＝﹣20（x﹣60）2+8000，
∵a＝﹣20＜0，45≤x＜80，
∴当x＝60时，P有最大值，最大值为8000，
∴每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元．
3．根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）之间的函数y1＝kx的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2＝ax2+bx的图象如图②所示．
（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨．
①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式．并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？
②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？
【解答】解：（1）由题意得：5k＝3，
解得k＝0.6，
∴y1＝0.6x；
由，
解得：，
∴y2＝﹣0.2x2+2.2x；
（2）①W＝0.6（10﹣t）+（﹣0.2t2+2.2t）＝﹣0.2t2+1.6t+6＝﹣0.2（t﹣4）2+9.2，
当t＝4时，W有最大值9.2，
答：甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜进货量为4吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是9200元；
②当W＝8.4＝﹣0.2（t﹣4）2+9.2，
∴t1＝2，t2＝6，
∵a＝﹣2＜0，
∴当2≤t≤6时，W≥8.4，
答：为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元，则乙种蔬菜进货量应在2≤t≤6范围内合适．
4．如图，某公路隧道横截面为抛物线形，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米，现以点O为原点，OM所在的直线为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若要搭建一个由矩形ABCD的三条边AD﹣DC﹣CB组成的“支撑架”，使C、D两点在抛物线上，A、B两点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
【解答】解：（1）∵最大高度为6米，底部宽度OM为12米，
∴抛物线顶点P（6，6），M（12，0），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+6，将M（12，0）代入得：
0＝36a+6，解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣6）2+6，即y＝﹣x2+2x；
（2）设A（m，0），则B（12﹣m，0），C（12﹣m，﹣m2+2m），D（m，﹣m2+2m）．
则“支撑架”总长：AD+DC+CB＝（﹣m2+2m）+（12﹣2m）+（﹣m2+2m）
＝﹣m2+2m+12
＝﹣（m﹣3）2+15，
∵此二次函数的图象开口向下，
∴当m＝3米时，AD+DC+CB有最大值为15米．
考点七 利用二次函数求线段、周长、面积的最大值
1．如图，抛物线y＝+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）线段BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值．
【解答】解：（1）抛物线y＝﹣+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A（﹣1，0），C（0，2）．
∴，
解得：，
故抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）令y＝0，则﹣x2+x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
设P（m，﹣m+2）；则Q（m，﹣m2+m+2），
则PQ＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2） 2+2，
此时PQ的最大值为2．
31．如图所示，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，直线BC下方的抛物线上有一点D，过点D作DE⊥BC于点E，作DF平行x轴交直线BC点F，求△DEF周长的最大值；
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3
（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点C
∴点C坐标为（0，﹣3）
∴直线BC解析式为：y＝x﹣3
∵点B（3，0），点C（0，﹣3）
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°
∵DF∥AB，
∴∠EFD＝45°＝∠OBC，
∵DE⊥BC，
∴∠EFD＝∠EDF＝45°，
∴DE＝EF，
∴DF＝EF，
∴EF＝DE＝DF，
∴△DEF周长＝DE+EF+DF＝（1+）DF，
设点D（a，a2﹣2a﹣3），则F（a2﹣2a，a2﹣2a﹣3）
∴DF＝a﹣a2+2a＝﹣a2+3a＝﹣（a﹣）2+
∴当a＝时，DF有最大值为，
即△DEF周长有最大值为（1+）×＝，
32．已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，当四边形ABPC的面积最大时，求出四边形ABPC的面积最大值及此时点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）、B（3，0），
∴可设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣3）（a≠0），
把C（0，4）代入y＝a（x+2）（x﹣3）（a≠0）中，得
4＝﹣6a，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣，
即y＝﹣+；
（2）设P点的坐标为（t，），过点P作PM⊥x轴，与BC交于点M，如图1，
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），则
，
解得，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣，
∴M（t，），
∴，
∴＝﹣t2+3t，
，
，
∴S四边形ABPC＝S△AOC+S△BOC+S△BPC＝，
∴当t＝时，S四边形ABPC的最大值为，
∴此时P点的坐标为（，）；
解析式
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴
x=–
顶点
（–，）
a的符号
a>0
a<0
图象
开口方向
开口向上
开口向下
最值
当x=–时，y最小值=
当x=–时，y最大值=
最点
抛物线有最低点
抛物线有最高点
增减性
当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大
当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小
字母的符号
图象的特征
a
a>0
开口向上
a<0
开口向下
b
b=0
对称轴为y轴
ab>0（a与b同号）
对称轴在y轴左侧
ab<0（a与b异号）
对称轴在y轴右侧
c
c=0
经过原点
c>0
与y轴正半轴相交
c<0
与y轴负半轴相交
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc25763" 一、六大必备知识点 PAGEREF _Tc25763 \h 2
\l "_Tc4772" 考点一 二次函数的定义 PAGEREF _Tc4772 \h 4
\l "_Tc17210" 考点二 二次函数的解析式 PAGEREF _Tc17210 \h 5
\l "_Tc18422" 考点三 二次函数图形变换 PAGEREF _Tc18422 \h 6
\l "_Tc10823" 考点四 二次函数与方程、不等式 PAGEREF _Tc10823 \h 7
\l "_Tc25862" 考点五 二次函数系数间的关系 PAGEREF _Tc25862 \h 11
\l "_Tc16238" 考点六 二次函数的应用 PAGEREF _Tc16238 \h 16
\l "_Tc31938" 考点七 利用二次函数求线段、周长、面积的最大值 PAGEREF _Tc31938 \h 20
知识导航
一、六大必备知识点
一、二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
二、二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
三、二次函数的图象及性质
1．二次函数的图象与性质
2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系
四、抛物线的平移
1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）．
2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：
3．注意
二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．
五、二次函数与一元二次方程的关系
1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．
2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．
3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
六、二次函数的综合
1、函数存在性问题:解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．
2、函数动点问题
（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．
（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．
（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．
考点一 二次函数的定义
1．下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝﹣2xB．y＝﹣C．y＝1﹣3x2D．y＝x+3
【解答】解：A、y＝﹣2x，是正比例函数，不合题意；
B、y＝﹣，是反比例函数，不合题意；
C、y＝1﹣3x2，是二次函数，符合题意；
D、y＝x+3，是一次函数，不合题意；
故选：C．
2．下列关于x的函数一定为二次函数的是（ ）
A．y＝2x+1B．y＝ax2+bx+cC．y＝﹣5x2﹣3D．y＝x3+x+1
【解答】解：A．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．是二次函数，故本选项符合题意；
D．是三次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．若函数的图象是抛物线，则m的值为（ ）
A．﹣2B．2C．4D．±2
【解答】解：∵函数y＝（m+2）+2x﹣3的图象是抛物线，
∴m+2≠0且m2﹣2＝2，
∴m＝2．
故选：B．
考点二 二次函数的解析式
1．已知某二次函数的图象的顶点为（﹣2，2），且过点（﹣1，3）．
（1）求此二次函数的关系式．
（2）判断点P（1，9）是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．
【解答】解：（1）由顶点（﹣2，2），可设抛物线为：y＝a（x+2）2+2，
将点（﹣1，3）代入上式可得：（﹣1+2）2a+2＝3，
解得a＝1，
所以二次函数的关系式y＝（x+2）2+2＝x2+4x+6．
（2）点P（1，9）不在这个二次函数的图象上，理由如下：
把x＝1代入y＝x2+4x+6得，y＝1+4+6＝11，
∴点P（1，9）不在这个二次函数的图象上．
2．已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（5，0）两点，顶点为P．求：
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABP的面积．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣5），
所以y＝﹣x2+4x+5；
（2）因为y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
则P点坐标为（2，9），
所以△ABP的面积＝×6×9＝27．
3．根据下列条件求抛物线的解析式：
（1）顶点在y轴上，且经过点（﹣2，﹣3）和（1，6）．
（2）已知二次函数的图象最高点是（﹣1，﹣3）且过点（3，﹣4）．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+c，
把（﹣2，﹣3）和（1，6）代入得 ，
解得 ，
所以抛物线解析式为y＝﹣3x2+9；
（2）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2﹣3，
把（3，﹣4）代入得﹣4＝a（3+1）2﹣3，解得a＝﹣，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2﹣3．
4．已知二次函数y＝x2﹣6x+5．
（1）将y＝x2﹣6x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而减小．
【解答】解：（1）y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4；
（2）二次函数的图象的对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，﹣4）；
（3）∵抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝3，
∴当x≤3时，y随x的增大而减小．
考点三 二次函数图形变换
1．将抛物线y＝2x2﹣12x+19向左平移2个单位长度后的解析式为 y＝2（x﹣1）2+2 ．
【解答】解：∵y＝2x2﹣12x+19＝2（x﹣3）2+1，
∴将抛物线y＝2x2﹣12x+19向左平移2个单位长度后的解析式为：y＝2（x﹣3+2）2+1，即y＝2（x﹣1）2+21
故答案为：y＝2（x﹣1）2+1．
2．将抛物线y＝﹣2x2﹣3向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得到的抛物线为 y＝﹣2（x﹣3）2+1 ．
【解答】解：抛物线y＝﹣2x2﹣3的顶点坐标为（0，﹣3），
∵向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，1），
∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣3）2+1．
故答案是：y＝﹣2（x﹣3）2+1．
3．将抛物线y＝x2+1沿x轴向下翻折，则得到的新抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣1 ．
【解答】解：抛物线y＝x2+1的顶点坐标是（0，1），则沿x轴翻折后顶点坐标是（0，﹣1），所以新抛物线解析式是：y＝﹣x2﹣1．
故答案是：y＝﹣x2﹣1．
4．将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移 1或7 个单位长度后经过点（﹣1，7）．
【解答】解：∵将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移后经过点（﹣1，7），
∴设平移后解析式为：y＝（x﹣3+a）2﹣2（a为平移的单位），
则7＝（﹣1﹣3+a）2﹣2，
解得：a＝1或a＝7，
故将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移1或7个单位后经过点（﹣1，7）．
故答案为：1或7．
5．已知抛物线y＝ax2+bx﹣5的对称轴是x＝2，与x轴的一个交点为（﹣1，0），则该抛物线与x轴的另一个交点坐标是 （5，0） ．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx﹣5的对称轴是x＝2，与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴该抛物线与x轴的另一个交点坐标是（5，0），
故答案为：（5，0）．
考点四 二次函数与方程、不等式
1．已知二次函数y＝x2+2x﹣n，当自变量x的取值在﹣2≤x≤1的范围时，函数的图象与x轴有且只有两个公共点，则n的取值范围是 ﹣1＜n≤0 ．
【解答】解：依照题意画出图象，如图所示.
观察函数图象可知：，
解得：﹣1＜n≤0．
故答案为：﹣1＜n≤0．
2．抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点坐标分别为（﹣4，0）和（2，0），则y＞0时，x的取值范围是 x＜﹣4或x＞2 ．
【解答】解：对于抛物线y＝ax2+bx+c，a＞0，
则抛物线的开口向上，
∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（﹣4，0）和（2，0），
∴当y＞0时，x＜﹣4或x＞2，
故答案为：x＜﹣4或x＞2．
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝0的两根之和是 2 ．
【解答】解：由图象可知y＝ax2+bx+c＝0（a≠0）和x轴交点横坐标分别为﹣1和3，
∴方程ax2+bx+c＝0的两根之和为﹣1+3＝2，
故答案为：2．
4．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A，B两点，点C在对称轴上，且位于x轴的上方，将△ABC沿直线AC翻折得到△AB′C，若点B′恰好落在抛物线的对称轴上，则点C的坐标为 （1，） ．
【解答】解：令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，
如图：
设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），AH＝2，
由翻折得AB′＝AB＝4，∠CAH＝∠CAB′＝∠HAB′，
在Rt△AB′H中，
cs∠B′AH＝＝＝，
∴∠B′AH＝60°，
∴∠CAH＝30°，
在Rt△CAH中，
CH＝tan30°•AH＝×2＝，
∴C（1，），
故答案为：（1，）．
5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1）、B（0，3）两点，则关于x的不等式ax2+b+c＞kx+m的解集是 ﹣3＜x＜0 ．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点，
∴不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是﹣3＜x＜0．
故答案为：﹣3＜x＜0．
6．如图所示，y＝mx+n与y＝ax2+k的图象交于（﹣2，b），（5，c）两点，则不等式ax2+k＜mx+n的解集为 x＜﹣2或x＞5 ．
【解答】解：观察函数图象可知：当x＜﹣2或x＞5时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+k的上方，
∴不等式ax2+k＜mx+n的解集为x＜﹣2或x＞5，
故答案为：x＜﹣2或x＞5．
7．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣1，m），B（2，n）两点，则不等式ax2﹣kx+c＜b的解集是 ﹣1＜x＜2 ．
【解答】解：由图象可得在A，B之间的图象抛物线在直线下方，点A横坐标为﹣1，点B横坐标为2，
∴﹣1＜x＜2时，ax2+c＜kx+b，即ax2﹣kx+c＜b，
故答案为：﹣1＜x＜2．
8．如图，直线y＝kx+b与抛物线y＝﹣x2+2x+3交于A，B两点，其中点A（0，3），点B（3，0），抛物线与x轴的另一交点C（﹣1，0），不等式﹣x2+2x+3＞kx+b的解集为 0＜x＜3 ．
【解答】解：∵点A（0，3），点B（3，0）为抛物线与直线的交点，
由图象可得二次函数图象在AB之间的部分在直线上方，
∴﹣x2+2x+3＞kx+b的解集为0＜x＜3．
故答案为：0＜x＜3．
考点五 二次函数系数间的关系
1．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b＝0；④a+b+c＞0；⑤4a+b+2c＞0．正确的是（ ）
A．①②③④B．①④C．①③④D．①④⑤
【解答】解：由图可知，开口向上，与y轴的交点在y轴负半轴上，对称轴为直线x＝﹣1，函数图象与x轴有两个交点，
∴a＞0，b＞0，c＜0，﹣＝﹣1，b2﹣4ac＞0，
∴abc＜0，故②错误，不符合题意；
b2＞4ac，故①正确，符合题意；
b＝2a，
∴2a+b＝2a+2a＝4a＞0，故③错误，不符合题意；
由图可知，当x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，故④正确，符合题意；
∵b＝2a，
∴4a+b+2c＝2a+2a+b+2c＝2a+b+b+2c＝2（a+b+c）＞0，故⑤正确，符合题意；
∴正确的序号有①④⑤，
故选：D．
2．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③a+b+c＜0；④3a+c＞0．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵二次函数图象开口向上，对称轴为直线x＝1，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，﹣＝1，c＜0，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，结论①正确；
∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，结论②正确；
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，结论③正确；
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
即a+2a+c＝3a+c＞0，所以④正确；
综上所述：正确的结论有①②③④．
故选：D．
3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：
①2a+b＝0；②abc＜0；③9a+3b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若m≠1，则m（am+b）﹣a＜b．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，①正确，符合题意．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵b＝﹣2a，
∴b＞0，
∵抛物线与x轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，②正确，符合题意．
由图象可得x＝﹣1时，y＜0，根据抛物线对称性可得x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，③错误，不符合题意．
∵x＝﹣1，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＜0，④正确，符合题意．
∵x＝1时，y取最大值，
∴am2+bm+c≤a+b+c，
∴m（am+b）﹣a＜b（m≠1），⑤正确，符合题意．
故选：D．
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，现有下列结论：
①abc＞0；
②2a+b＝0；
③4a+2b+c＜0；
④a+b＞n（an+b）（n≠1）；
⑤2c＜3b．
正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．②④⑤
【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②正确；
③当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故③错误；
④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝n时，y＝an2+bn+c，
∴a+b+c＞an2+bn+c，
∴a+b＞an2+bn，即a+b＞n（an+b），故④正确；
⑤当x＝3时函数值小于0，
∴y＝9a+3b+c＜0，
∵该抛物线对称轴是直线x＝﹣＝1，即a＝﹣，
∴9（﹣）+3b+c＜0，
∴2c＜3b，故⑤正确；
故②④⑤正确．
故选：D．
5．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，下列结论：①ac＜0，②4a+2b+c＞0，③2a+b＝0，④（a+c）2＜b2．其中结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∴ac＜0，故①正确；
②由对称性可知当x＝2时与x＝0时y值一样，即y＝4a+2b+c＜0，故②错误；
③对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，2a+b＝0，故③正确；
④当x＝﹣1时，y＞0，即：a﹣b+c＞0．
当x＝1时，y＜0，即：a+b+c＜0
两式相乘得（a+c）2﹣b2＜0，
∴（a+c）2＜b2．故④正确．
故选：C．
考点六 二次函数的应用
1．某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）求w与x之间的函数关系式．
（3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于36元，当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由所给函数图象可知：，
解得，
故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+120；
（2）∵y＝﹣2x+120，
∴w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+120）
＝﹣2x2+160x﹣2400，
即w与x之间的函数关系式为w＝﹣2x2+160x﹣2400；
（3）w＝﹣2x2+160x﹣2400
＝﹣2（x﹣40）2+800，
∵﹣2＜0，20≤x≤36＜40，
∴当x＝36时，w取得最大值，
w最大＝﹣2×（36﹣40）2+800＝768．
答：当每件商品的售价定为36元时，每天销售利润最大，最大利润是768元．
2．为满足市场需求，某超市在新年来临前夕，购进一款商品，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，如果每盒售价每提高1元，则每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）要使每天销售的利润为6000元，且让顾客得到最大的实惠．售价应定为多少元？
（3）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）由题意得销售量y＝700﹣20（x﹣45）＝﹣20x+1600，
∴每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣20x+1600（45≤x＜80）；
（2）由题意得：（x﹣40）（﹣20x+1600）＝6000，
整理得：x2﹣120x+3500＝0，
解得：x1＝50，x2＝70，
∵要让顾客得到最大的实惠，
∴x＝50，
∴售价应定为50元；
（3）P＝（x﹣40）（﹣20x+1600）
＝﹣20x2+2400x﹣64000
＝﹣20（x﹣60）2+8000，
∵a＝﹣20＜0，45≤x＜80，
∴当x＝60时，P有最大值，最大值为8000，
∴每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元．
3．根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）之间的函数y1＝kx的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2＝ax2+bx的图象如图②所示．
（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨．
①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式．并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？
②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？
【解答】解：（1）由题意得：5k＝3，
解得k＝0.6，
∴y1＝0.6x；
由，
解得：，
∴y2＝﹣0.2x2+2.2x；
（2）①W＝0.6（10﹣t）+（﹣0.2t2+2.2t）＝﹣0.2t2+1.6t+6＝﹣0.2（t﹣4）2+9.2，
当t＝4时，W有最大值9.2，
答：甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜进货量为4吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是9200元；
②当W＝8.4＝﹣0.2（t﹣4）2+9.2，
∴t1＝2，t2＝6，
∵a＝﹣2＜0，
∴当2≤t≤6时，W≥8.4，
答：为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元，则乙种蔬菜进货量应在2≤t≤6范围内合适．
4．如图，某公路隧道横截面为抛物线形，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米，现以点O为原点，OM所在的直线为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若要搭建一个由矩形ABCD的三条边AD﹣DC﹣CB组成的“支撑架”，使C、D两点在抛物线上，A、B两点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
【解答】解：（1）∵最大高度为6米，底部宽度OM为12米，
∴抛物线顶点P（6，6），M（12，0），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+6，将M（12，0）代入得：
0＝36a+6，解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣6）2+6，即y＝﹣x2+2x；
（2）设A（m，0），则B（12﹣m，0），C（12﹣m，﹣m2+2m），D（m，﹣m2+2m）．
则“支撑架”总长：AD+DC+CB＝（﹣m2+2m）+（12﹣2m）+（﹣m2+2m）
＝﹣m2+2m+12
＝﹣（m﹣3）2+15，
∵此二次函数的图象开口向下，
∴当m＝3米时，AD+DC+CB有最大值为15米．
考点七 利用二次函数求线段、周长、面积的最大值
1．如图，抛物线y＝+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）线段BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值．
【解答】解：（1）抛物线y＝﹣+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A（﹣1，0），C（0，2）．
∴，
解得：，
故抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）令y＝0，则﹣x2+x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
设P（m，﹣m+2）；则Q（m，﹣m2+m+2），
则PQ＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2） 2+2，
此时PQ的最大值为2．
31．如图所示，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，直线BC下方的抛物线上有一点D，过点D作DE⊥BC于点E，作DF平行x轴交直线BC点F，求△DEF周长的最大值；
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3
（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点C
∴点C坐标为（0，﹣3）
∴直线BC解析式为：y＝x﹣3
∵点B（3，0），点C（0，﹣3）
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°
∵DF∥AB，
∴∠EFD＝45°＝∠OBC，
∵DE⊥BC，
∴∠EFD＝∠EDF＝45°，
∴DE＝EF，
∴DF＝EF，
∴EF＝DE＝DF，
∴△DEF周长＝DE+EF+DF＝（1+）DF，
设点D（a，a2﹣2a﹣3），则F（a2﹣2a，a2﹣2a﹣3）
∴DF＝a﹣a2+2a＝﹣a2+3a＝﹣（a﹣）2+
∴当a＝时，DF有最大值为，
即△DEF周长有最大值为（1+）×＝，
32．已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，当四边形ABPC的面积最大时，求出四边形ABPC的面积最大值及此时点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）、B（3，0），
∴可设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣3）（a≠0），
把C（0，4）代入y＝a（x+2）（x﹣3）（a≠0）中，得
4＝﹣6a，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣，
即y＝﹣+；
（2）设P点的坐标为（t，），过点P作PM⊥x轴，与BC交于点M，如图1，
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），则
，
解得，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣，
∴M（t，），
∴，
∴＝﹣t2+3t，
，
，
∴S四边形ABPC＝S△AOC+S△BOC+S△BPC＝，
∴当t＝时，S四边形ABPC的最大值为，
∴此时P点的坐标为（，）；
解析式
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴
x=–
顶点
（–，）
a的符号
a>0
a<0
图象
开口方向
开口向上
开口向下
最值
当x=–时，y最小值=
当x=–时，y最大值=
最点
抛物线有最低点
抛物线有最高点
增减性
当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大
当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小
字母的符号
图象的特征
a
a>0
开口向上
a<0
开口向下
b
b=0
对称轴为y轴
ab>0（a与b同号）
对称轴在y轴左侧
ab<0（a与b异号）
对称轴在y轴右侧
c
c=0
经过原点
c>0
与y轴正半轴相交
c<0
与y轴负半轴相交
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