专题02 函数的图像与性质（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测+答案

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01 析·考情目标
02 筑·专题框架
03 攻·重难考点
TOC \ "1-1" \n \h \z \u TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc221119053" 考点一 函数的图象与性质（基础篇）（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）
\l "_Tc221119054" 考点二 函数的图象与性质（压轴篇）（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）
考点一 函数的图象与性质

题型一 函数自变量取值范围求解
1．（2026·江苏宿迁·一模）在函数中，自变量的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出不等式求解即可．
【详解】解：要使二次根式有意义，被开方数必须大于或等于0，
∵函数有意义，
∴，
解得．
2．（2026·江苏扬州·一模）已知函数，则自变量的取值范围是（ ）
A．且B．且C．D．
【答案】D
【详解】解：，
解得．
3．（2025·江苏·模拟预测）函数中自变量x的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】D
【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：由题意得：，
解得：且，
故选：D．
4．（2025·江苏盐城·一模）在函数中，自变量x的取值范围是______；在函数中，自变量x的取值范围是______．
【答案】
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围的求解，涉及分式有意义的条件，二次根式被开方数非负性质，解一元一次不等式，熟练掌握知识点是解题的关键．
第一个函数中，分母不能为0，因此，即可求出x的范围．
第二个函数中，被开方数不能为负数，因此，可以求出x的范围．
【详解】解：根据题意得：
解得；
解得：，
故答案为：；．
题型二 直接/间接代入求函数值/自变量
5．（2026·江苏宿迁·三模）将抛物线绕原点旋转所得到的抛物线的解析式为__________．
【答案】
【分析】先将原抛物线配方化为顶点式，确定原抛物线的顶点坐标，根据关于原点对称的点的坐标特征得到旋转后抛物线的顶点坐标，结合旋转后二次项系数变为原系数的相反数，利用顶点式写出旋转后抛物线的解析式，整理为一般式即可．
【详解】解：对原抛物线配方得，
可得原抛物线的顶点坐标为，
抛物线绕原点旋转后，顶点关于原点中心对称，开口方向相反，二次项系数变为原系数的相反数，
根据关于原点对称的点的坐标特征，可得旋转后抛物线的顶点坐标为，二次项系数为，
因此旋转后抛物线的顶点式为，
整理为一般式．
6．（2025·江西南昌·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．
(1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式；
(2)点在线段上，连接，若，求点的坐标．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合运用、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例求出点的坐标．
根据点在反比例函数图象上，可得方程，解方程即可求的值，根据的值求出点、的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
过点作轴平行线，过点作轴平行线，两线交于点，可证，根据相似三角形对应边成比例可得：点的横坐标为，把点的横坐标代入一次函数的解析式中求出点的纵坐标即可．
【详解】（1）解：点，在反比例函数图象上，
，
解得：， （舍去）
，
，
反比例函数的解析式是；
将点，的坐标代入一次函数，
可得：，
解得：，
一次函数的解析是；
（2）解：过点作轴平行线，过点作轴平行线，两线交于点，
过点作，垂足为，
，
．
，，
，，
，
，
，即，
解得：，
点的横坐标为，
将代入中，
可得：，
点的坐标为．
7．（2025·四川达州·中考真题）如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于点，．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若点是轴正半轴上的一点．且．求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合题型，也考查了锐角三角函数的应用．
（1）用待定系数法先求反比例函数解析式，再求一次函数解析式即可；
（2）过作轴于，过作轴于，设，先求得得到，即，得出等量关系解出即可．
【详解】（1）解：将代入得
将代入得
将和代入得
解得
故反比例函数和一次函数的解析式分别为和；
（2）如图，过作轴于，过作轴于，
即
设，则，
解得（舍去）或
经检验，是原分式方程的解，
．
8．（2025·江苏南通·一模）如果一个函数同时满足条件：①图象经过点；②图象经过第四象限；③当时，y随x的增大而减小，那么这个函数解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质判断即可；
【详解】解：①图象经过点；②图象经过第四象限；可排除B；
③当时，y随x的增大而减小，可直接排除A；
对于，其对称轴为：，
∴在，y随x的增大而增大，故排除C；
对于，其对称轴为：，
∴当时，y随x的增大而减小，故D都符合；
故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质，掌握相关函数的性质是解本题的关键．
题型三 比较函数值的大小
9．（2026·江苏南京·模拟预测）已知二次函数的图象为C．
(1)图象C必过两定点，其坐标分别是______和______；
(2)记一次函数的图象为D，证明：图象C与D有两个公共点；
(3)在（2）的条件下，当时，比较与的大小，直接写出结果．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)当或时，；当时，；当或时，
【分析】本题考查了二次函数的其他应用，一次函数与二次函数的综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，整理，令，解得，，再算出对应的函数值，即可作答．
（2）理解题意，建立，结，得出图象C与D有两个公共点；
（3）运用数形结合思想进行分析，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，，
令，则，
解得，；
把代入得，
把代入得，
即图象C必过两定点，其坐标分别是和；
（2）解：∵记一次函数的图象为D，且二次函数的图象为C，
∴，
整理得
∴，
∴图象C与D有两个公共点；
（3）解：由（2）得
则，
∴，
∵，
如图所示：
∴当或时，；
当时，；
当或时，
10．（2025·江苏盐城·一模）代数式，代数式．
(1)当时，若，则 x 的取值范围是 ；
(2)若，判断代数式A 与 B 的大小，并说明理由；
(3)将“A 与 B 的差”记为 C，即 ．当 时，要使 C 的值满足， 直接写出 m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是求出两个式子的差．
（1）将代入A、B的式子中，求出，利用，得出不等式3，求出x的取值范围；
（2）因为，所以，因为，所以，所以，得出；
（3）求出，分成、、三种情况讨论，确保，，求出m的取值范围即可．
【详解】（1）解：因为，
当时，，
因为，
所以，
解得．
（2）解：因为，
所以
，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
即．
（3）解：因为，
所以，
因为，
①当时，C随着x的增大而增大，
则当时，C的最大值是，当时，C的最小值是，
可得：，
解得：，
②当时，，满足，
所以满足题意．
③当时，C随着x的增大而减小，
则当时，C的最大值是，当时，C的最小值是，
可得，
解得：，
综上所述，．
11．（2025·江苏泰州·一模）已知二次函数（为常数，且）．
(1)当时，求的值；
(2)若二次函数的图像经过点，，比较和的大小，并说明理由；
(3)若二次函数满足当时，，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)；见解析
(3)
【分析】（1）把代入函数解析式求出y的值即可；
（2）先求出抛物线的对称轴为直线，得出当时，y随x的增大而增大，根据，即可得出答案；
（3）根据抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，得出y的最小值为，根据二次函数满足当时，，得出，把代入，求出或，得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：把代入得：；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴；
（3）解：∵抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
∴y的最小值为，
∵二次函数满足当时，，
∴，
把代入得：
，
∴，
即，
∵，
∴，
解得：或，
∵当时，，
∴，
综上分析可知：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数值或自变量的值，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
12．（2025·江苏无锡·模拟预测）已知二次函数图像的对称轴是经过点且平行于轴的直线，与轴分别交于A、两点（A点在点的左侧），A点为．与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式：
(2)点和是二次函数图像上的两个点，比较和的大小；
(3)在抛物线对称轴上找一点，使得，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)当时，；
当时，
(3)或
【分析】对于（1），根据对称轴经过点，可得，再将点代入关系式得，再解方程组即可；
对于（2），分四种情况：，，，讨论，可得答案；
对于（3），先求出点B，C的坐标，再根据勾股定理及其逆定理得 是直角三角形，可得，进而得出点P的坐标；再构造平行四边形，可知点P在以为直径的圆与对称轴的交点处，然后设点，分别求出直线，直线的关系式，同理可得直线，直线的关系式，接下来联立得，求出点的坐标，再根据勾股定理求出，然后求出的中点为，最后根据可得答案．
【详解】（1）解：根据题意，得，
解得，
所以二次函数关系式为；
（2）解：∵抛物线的开口向上，对称轴是，
当时，点在对称轴左侧，函数值y随着x的增大而减小，
∴；
当时，点在对称轴两侧，且点M离最低点远，；
当时，点在对称轴两侧，且点M离最低点近，；
当时，点在对称轴右侧，函数值y随着x的增大而增大，
∴．
综上所述，当时，；当时，；
（3）解：抛物线的顶点坐标为，
当时，；
当时，或，
∴点，
∴.
∵，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴点P与点M重合，即点；
过点B作，过点C作，与交于点N，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴点P在以为直径的圆与对称轴的交点处，
则，即．
设点，
将点代入直线的关系式，得
，
解得，
∴直线的关系式为，
将点代入直线的关系式为，
解得，
∴直线的关系式为，直线的关系式为，
同理：直线的关系式为，直线的关系式为，
当时，解得，
∴点，
∴．
设的中点为，
∴，
∴，
解得，
∴点．
综上所述，点P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何图形的综合问题，求二次函数关系式，求一次函数关系式，勾股定理，平行四边形的性质和判定，圆周角定理，求正切等，作出圆并确定点Ｐ的位置是解题的关键．
题型四 一次函数的性质
13．（2025·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值始终有，则m的取值范围是 _________．
【答案】/
【分析】本题主要考查了一次函数的性质以及不等式恒成立问题，熟练掌握一次函数表达式的变形和不等式恒成立的条件是解题的关键．先将两个一次函数整理成一般式，根据无论取何值都有，得出关于的不等式恒成立的条件，进而求解的取值范围．
【详解】解：，．
，
，
整理得．
因为无论取何值，该不等式始终成立，所以一次项系数，即，
此时不等式变为，
，
，
．
故答案为：．
14．（2025·江苏苏州·二模）对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为__________．
【答案】或
【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质.对于一次函数（ ）和二次函数（ ） ，我们要比较在取值从到时，它们各自最大值与最小值的差值情况．一次函数时，增大增大；二次函数 图象是开口向上的抛物线，对称轴是 ．我们通过分别计算两个函数在为和时的函数值，找出最大最小并求差，再令两个差相等来计算的值．本题考查一次函数和二次函数在特定取值范围内的函数值变化情况．解题关键在于准确求出两个函数在为和时的函数值，确定各自的最大最小值并求差，再根据差值相等列方程求解 ，同时要根据二次函数对称轴与、的位置关系进行分类讨论，避免漏解．
【详解】解：当时，函数值 ；当时，函数值 ．
∵，
∴，那么最大值与最小值的差为： ．
二次函数（）图象开口向上，对称轴为 ．
情况一：当，即 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ．
∵ ，
∴此时，最大值与最小值的差为： ．
令 ，
∴ ，
∵ ，
∴解得 ．
情况二：当 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ．
∵ ，此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ，等式两边同时减得到 ，
∵ ，解得 ．
情况三：当，即 时,
当时，．
当时，函数值 ；
当时，函数值 ．
当时，即，
∴，
∴
此时
∴，
解得（舍去）或（舍去），
当时，即，
∴，
∴
此时
∴（舍去）或（舍去）
综上所述， 或
故答案为：或
15．（2025·四川成都·二模）已知一次函数：，二次函数：，当时，恒成立，则的取值范围是______．
【答案】且
【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，先联立方程组求得两个函数的交点横坐标为，，然后分和两种情况，利用一次函数和二次函数的性质求解即可．
【详解】解：由得：
整理，得，
解得，，
由题意，，
当时，一次函数y随x的增大而增大，二次函数图象开口向上，
若时，恒成立，
则，
解得，即；
当时，一次函数y随x的增大而减小，二次函数图象开口向下，
若时，恒成立，
则，
解得，即，
综上，满足条件的a的取值范围为且，
故答案为：且．
16．（24-25九年级下·江苏常州·月考）已知是直线上的两点，若，则k的取值范围是______．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的增减性．熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．
当时，，可知随着的增大而增大，即，计算求解即可．
【详解】解：∵当时，，
∴随着的增大而增大，
，
解得，，
故答案为：．
题型五 反比例函数的图象与性质
17．（2025·江苏淮安·一模）猜想函数的性质，下面说法不正确的是（ ）
A．该函数的函数值不可能为1B．该函数图象不经过第三象限
C．该函数的图象关于点对称D．函数值y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】本题主要考查了函数的图象、反比例函数的图象和性质等内容，由函数解析式可得，所以该函数可以看作向上平移1个单位得到的，进而判断求解即可．
【详解】解：，
该函数可以看作向上平移1个单位得到的，
函数图象如图，
由图象可知其关于对称，故C选项正确；
函数与直线无交点，因此该函数的函数值不可能为1，故A选项正确；
该函数图象不经过第三象限，故B选项正确；
当或时，y随x增大而增大，所以D选项错在没有强调自变量x的范围；
故选D．
18．（2025·江苏连云港·二模）“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（ ）
A．时，y的值随x的增大而减小B．时，y的值随x的增大而增大
C．图象不经过第二象限D．图象不经过第四象限
【答案】A
【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质．
画出图象，根据题意得到，那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，即可判断A、B，再结合反比例函数性质得到经过的象限即可判断C、D．
【详解】解：如图，
，，
即，
那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，故A选项正确，符合题意；B选项错误，不符合题意；
由图可知图象经过第二、三、四象限，
故C选项错误，不符合题意；D选项错误，不符合题意；
故选：A．
19．（2025·江苏南京·二模）已知反比例函数（为常数，），当时，的最大值与最小值的差为2，则______．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性是解题关键．分两种情况讨论，利用反比例函数的增减性分别列方程求解即可．
【详解】解：①若，则反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，
当时，的最大值与最小值的差为2，
，
解得：；
②若，则反比例函数在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，
当时，的最大值与最小值的差为2，
，
解得：；
综上可知，，
故答案为：．
20．（2025·陕西西安·模拟预测）已知点，，都在反比例函数（为常数）的图象上，且，则，，的大小关系为_____（请用“”连接）．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质进行判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】∵，
∴反比例函数图象的两个分支在第二四象限，且在每个象限内随的增大而增大，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
则，，的大小关系为，
故答案为：．
题型六 反比例函数k值的几何意义应用
21．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点均在反比例函数的图象上，线段经过坐标原点O，轴于点C，则的面积为_______．
【答案】8
【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，三角形的面积的计算．根据题意可得，再由反比例函数比例系数k的几何意义，可得，即可求解．
【详解】解：∵A、B两点均在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴．
故答案为：8
22．（2025·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B满足，与交于点F．若反比例图象经过点C，且的面积为1．则k的值为（ ）
A．52B．60C．75D．90
【答案】B
【分析】连接，过点作交于点，交于点，由折叠和平行四边形的性质，得到，，证明，得到，，从而得出的面积为25，再根据和同底，得到的面积为30，再结合反比例函数的几何意义求解即可．
【详解】解：如图，连接，过点作交于点，交于点，
，
由折叠的性质可知，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，，
的面积为1，
的面积为25，
和同底，
，
的面积为30，
反比例图象经过点C，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标与图形，折叠的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，反比例函数的几何意义等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键．
23．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，轴，垂足为，，分别交双曲线于点，，若，的面积为，则的值为_______．
【答案】4
【分析】本题考查了反比例系数的几何意义，反比例函数的图象与性质；过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．设，根据题意则，根据系数的几何意义，，面积为，即可得到，即可得到，解得．
【详解】解：设，
轴，垂足为，，
，
点，在双曲线上，
，
，
的面积为，面积为，
，
解得，
故答案为：．
24．（2025·江苏南通·二模）如图，A，B两点分别在函数和的图象上，过点B作y轴的垂线，垂足为点C，作点A关于原点O的对称点D，连接，，，若，且，则k的值等于________．
【答案】
【分析】先证出，再推出，进而求出，再证明，求出，即可求解．
【详解】解：如图，延长交y轴于点F，过点D作轴交于点E，连接，
∵，
∴，
根据对称得，，，
∴，
∵轴，
∴轴，
∴,
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
设，
则，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，平行线的性质，直角三角形的性质，对称的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定以及反比例函数的性质是解题的关键．
题型七 二次函数a、b、c及判别式符号判断
25．（2025·江苏连云港·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．函数有最大值B．
C．当时，随的增大而增大D．当时，
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向下，与轴的两个交点为，
故函数有最大值，故A选项正确，不符合题意；
二次函数的对称轴为直线，
∴当时，；故B选项正确，不符合题意；
当时，随的增大而减小；故C选项错误，符合题意；
由图象可知：当时，，故D选项正确，不符合题意；
故选C．
26．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ）
A．
B．当时，的值随值的增大而减小
C．点的坐标为
D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，掌握“抛物线的对称性、开口方向与的关系、函数值的变化规律”是解题的关键．
【详解】A．二次函数图像开口向上，故，A错误；
B．对称轴为，图像开口向上，当​时，随增大而增大，B错误；
C．抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，设，则，解得，故，C正确；
D．对应时的函数值，由图像可知在对称轴左侧，此时，故，D错误．
故选：C．
27．（2025·江苏无锡·模拟预测）已知抛物线（a，b，c是常数）开口向上，过两点，且．下列四个结论中正确的结论有（ ）
①；②若时，则；
③若点在拋物线上，，且，则；
④时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
A．①③B．②③C．②④D．③④
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握二次函数图象的对称性，增减性，二次函数与轴的交点，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
根据二次函数图象开口向上，即，对称轴直线为，且可判定①；根据二次函数对称轴直线的计算方法，图象过点的知识结合可判定②；根据题意可得点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，图象开口向下，由离对称轴越远值越小可判定③；根据二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系可判定④；由此即可求解．
【详解】解：抛物线（，，是常数）开口向上，
∴，
∵二次函数图象过两点，
∴对称轴直线为，
∵，
∴，
∴，故①错误；
若，则，
∴，
把代入抛物线解析式得，，
∴，
∴，故②正确；
∵对称轴直线为，且，
∴，
已知点，在抛物线上，，且，
∴，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴，故③错误；
已知抛物线过两点，
∴设抛物线解析式为：，
令，整理得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根，故④正确．
综上所述，正确的有②④，
故选：C．
28．（2025·江苏淮安·二模）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点 ．以下说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则；⑤（其中），其中说法正确的是______．
【答案】①②③④⑤
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于抛物线与x轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．
利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，利用抛物线与y轴的交点在x轴上方得到，则可对①进行判断；利用抛物线经过点得到，则可对③进行判断；同时得到，加上，则可对②进行判断；通过比较点到直线的距离与点到直线的距离的大小可对④进行判断；利用时，函数值最大以及可对⑤进行判断．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与y轴的交点在x轴上方，
，
，所以①正确；
抛物线经过点，
，所以③正确；
，
，所以②正确；
点到直线的距离比点到直线的距离大，
；所以④正确；
抛物线的对称轴为直线
当时，函数值最大，
，
，
即，所以⑤正确．
故答案为：①②③④⑤．
题型八 二次函数的单调性
29．（2025·江苏连云港·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点
(1)若该二次函数图象的顶点坐标为，求抛物线的解析式；
(2)设该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为若，，求面积的最大值，并说明此时b的值；
(3)已知，点，，若该二次函数图象与线段只有一个交点，直接写出b的取值范围．
【答案】(1)
(2)S取得最大值，
(3)或或
【分析】（1）依据题意，由抛物线的顶点坐标，可设二次函数为，再利用待定系数法解答，即可得解；
（2）依据题意可得，从而抛物线为，可求出另一交点B的坐标为，与y轴交点C的坐标，进而的面积，结合在内，进而可以判断得解；
（3）依据题意可得抛物线为，再求出线段所在直线的解析式，又联立两函数解析式，可得，故，从而当判别式时， 可得，此时二次函数与线段只有一个交点，再由当方程在内仅有一根，可得，进而可以判断得解．
【详解】（1）解：∵该二次函数图象的顶点坐标为
∴设二次函数为，
又∵抛物线过点，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为，即；
（2）解：由题意，，且抛物线过点，
，
，
∴抛物线为，
∴对称轴是直线，与y轴交点C的坐标为，
∴另一交点B的横坐标，即坐标为，
的面积，
在内，当时，S取得最大值；
（3）解：由题意，，且抛物线过点，
，
∴抛物线为，
∵点，，
线段所在直线为，
联立方程，
，
∴当判别式时，，
解得，
此时二次函数与线段只有一个交点，
当时，，
当时，，
又∵当方程在内仅有一根，
，
或，
综上，b的取值范围为或或．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
30．（2025·江苏南通·模拟预测）已知二次函数．
(1)若它的图象经过点，求，满足的关系式；
(2)在（1）的条件下，当自变量的值满足时，随的增大而增大，求的取值范围；
(3)若它的图象经过点，，，且，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要能熟练掌握并灵活运用是关键．
将点的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
当自变量的值满足时，随的增大而增大，则抛物线的对称轴在的右侧，即且，即可求解；
①当在对称轴直线的左侧，又由题意，也在左侧，，则，即可求解；在对称轴直线的两侧，同理可解．
【详解】（1）将点的坐标代入抛物线表达式得：，
即；
（2）当自变量的值满足时，随的增大而增大，
则抛物线的对称轴是直线或在直线的右侧，
且且，
解得：；
（3）由题意，二次函数过点，，
对称轴是直线．
当时，，
二次函数图象过．
抛物线开口向下，
在对称轴直线右侧随的增大而减小，在对称轴的左侧是随的增大而增大．
图象过，
，而，
在对称轴直线的左侧或两侧．
当在对称轴直线的左侧，
又由题意，也在左侧，，
，
．
在对称轴直线的两侧，
在左侧，在右侧．
，
，
．
综上，或．
31．（2025·江苏南京·三模）已知二次函数．
(1)求证：该函数的图象与轴有公共点．
(2)该函数的图象经过的定点的坐标是___________．
(3)已知点，，若该函数的图象与线段没有公共点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)或
【分析】本题考查了一次函数的解析式，一元二次方程的应用，判别式的应用，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合，整理，即可作答．
（2）结合，且函数的图象经过的定点，故整理，令，解得，再把代入进行计算，即可作答．
（3）先求出线段的解析式为，依题意，得，再分别把，代入，
得，，则或，再解得的取值范围，即可作答．
【详解】（1）解：∵，
∴
即该函数的图象与轴有公共点；
（2）解：
∵该函数的图象经过的定点
即
∴
∴把代入，
得
∴该函数的图象经过的定点为．
（3）解：设线段的解析式为，
把点，分别代入
得
解得
∴线段的解析式为，
∵该函数的图象与线段没有公共点，
∴
整理得
把代入，
得，
把代入，
得，
则或
解得，即；或解得，即
综上：或
32．（2025·江苏南京·模拟预测）已知，是抛物线上的两个不同点．
(1)若P，Q两点都在直线上，且和是于的一元二次方程的两根，求k的值以及线段的长；
(2)若抛物线关于轴对称，直线过坐标原点，求的值；
(3)若点P，Q在抛物线对称轴的左侧，，为整数，且，证明：正值．
【答案】(1)，
(2)4
(3)见详解
【分析】（1）由一元二次方程的根与系数的关系可得出，，，由有抛物线和直线可得出，由根与系数的关系可得出， ，再根据完全平方公式可得出，进而可求出k的值以及线段的长．
（2）首先求出，然后分两种情况：当直线落在轴上时，可得，
当直线不在轴上，然后联立求出，设，求出，，然后代入求解即可；
（3）首先得到，根据求出，然后结合即可证明．
【详解】（1）解：∵和是于的一元二次方程的两根，
∴，，，
把代入可得：，
整理可得出：，
此时：， ，
∴，
∴，，
∴．
（2）解：∵抛物线关于轴对称，
∴
∴抛物线
若直线落在轴上，
∴当时，即
解得
∴
∴；
若直线不在轴上，
设直线的解析式为，联立方程，
得，
解得．
不妨设，
∴，，
∴
（3）证明：
∵，且，为整数，
∴，即
∴，
又，
∴为正值．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系等知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
题型九 二次函数图象的平移
33．（2025·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，将抛物线向上（下）或向左（右）平移个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则的最小值为（ ）
A．1B．1C．D．4
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先求出抛物线与轴、轴的交点坐标，进而可得平移方向及平移距离，据此即可求解，求出抛物线与坐标轴的交点坐标是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线，
当时，，
∴抛物线与轴的交点坐标为；
当时，，
解得，，
∴抛物线与轴的交点坐标为和，
∴将抛物线向下平移4个单位长度，或者向左平移个单位长度，或者向右平移个单位长度，可以使平移后的抛物线恰好经过原点，
∴的最小值为，
故选：C．
34．（2025·河北石家庄·二模）如图，抛物线图象与轴相交于、两点，与轴交于点．现将抛物线图象向上平移7个单位长度，再向左平移个单位长度，所得新抛物线的顶点在内（不含边界），则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】C
【分析】根据题意得出平移后的解析式为，得出顶点坐标为，然后分当顶点在上时，当顶点在上时，求出的值，从而求出范围；
本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，二次函数图象的几何变换，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由，
∴顶点坐标为，
∴向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度的抛物线解析式为，
∴新线顶点为，
∵与轴相交于点和点，与轴交于点，
∴当时，，
解得：，，
∴，，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，直线的解析式为，
∴，，
解得：，，
∴直线的解析式为，直线的解析式为，
当顶点在上时，，
解得：，
当顶点在上时，，
解得：，
∴新拋物线的顶点在内（不含边界），的取值范围为；
故选C.
35．（2025·江苏南京·模拟预测）在平面直角系中．将抛物线向右平移2个单位得到抛物线，点在抛物线上．点在抛物线上．当，时，总有，，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；先求得点的坐标，进而求得的解析式，根据题意，分别求得和在上的函数值，即的值，根据题意列出不等式组，解不等式组，即可求解．
【详解】解：∵抛物线 的解析式为 ．将 向右平移 2 个单位得到 ．
∴平移后， 的解析式为：，
∵，点 在 上，点 在 上，且 ．
∴点 的横坐标为 ．代入的解析式，
得
则代入到的解析式，得
∵点在抛物线上．
∴．
条件时， 的最大值小于
∵，
∴抛物线开口向上，最大值在端点处取得
当时，
，
当时，
，
∴，
且．
解不等式：，
，
，
，
∵，
∴ ．
解得 ．
解不等式：，
即，
∵，
∴，
解得：，
综上所述，的取值范围为 ．
故答案为：
36．（2025·江苏无锡·二模）已知平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是线段上一点，若，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移，点D平移至点E处，过点E作，垂足为点F，若 ，求平移后抛物线的表达式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线，结合得出，，再利用待定系数法求解即可；
（2）过点作于点，过点作轴的垂线交轴于点，交过点和轴的平行线于点，则为等腰直角三角形，得出，设点的坐标为，证明，得出，，即且，求出，，即可得出，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立，求解即可；
（3）求出，设抛物线向左平移了个单位，则点，新抛物线的解析式为，过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点，由（2）可得，，求出直线的解析式为，设点的坐标为，证明，得出，解直角三角形可得，从而可得，
求出，，，，代入式子计算得出，即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线 与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），且，
∴，，
将代入抛物线解析式可得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过点作于点，过点作轴的垂线交轴于点，交过点和轴的平行线于点，
，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设点的坐标为，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
即且，
解得：，，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，即，
设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得，
∴；
（3）解：∵，抛物线的顶点为D，
∴，
设抛物线向左平移了个单位，则点，新抛物线的解析式为，
如图，过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点，
，
由（2）可得，，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点的坐标为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
解得：，
∴新抛物线的解析式为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数的解析式、解直角三角形的应用、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、求一次函数的解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
题型十 二次函数与方程
37．（2025·安徽合肥·模拟预测）在平面直角坐标系中，若两点的纵坐标互为相反数，横坐标不相等，则称这两点互为憾对称，其中一点叫做另一点的憾点，如点互为憾对称，已知点A的坐标为，抛物线上恰有两个点与点A互为憾对称，且这两个点之间的距离不超过6，则下列关于a的取值范围描述正确的是（ ）
A．B．或
C．且D．且或
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，根据题意可得点A的憾点的纵坐标为，则抛物线与直线有两个不相等的交点，且交点的横坐标不能为2，当时，则，根据，可得或，根据根与系数的关系可得，由这两个点之间的距离不超过6得到，解不等式即可得到答案．
【详解】解：∵点A的坐标为，
∴点A的憾点的纵坐标为，
∵抛物线上恰有两个点与点A互为憾对称，
∴抛物线与直线有两个不相等的交点，且交点的横坐标不能为2，
当时，则，，
∴，或，
∴，
∵抛物线上恰有两个点与点A互为憾对称，且这两个点之间的距离不超过6，
∴，
∴，
当时，则，解得，
∴；
当时，则，解得，
∴；
当方程有一个根为2时，则，解得，
∴，
综上所述，且或，
故选：D．
38．（2025·江苏镇江·一模）在直角坐标系中，若三点中恰有两点在抛物线（且a，b均为常数）的图象上，以下列结论：
①抛物线的对称轴是直线 ； ②抛物线与x轴的交点坐标是和；
③ 当时，关于x的一元二次方程有两个实数根；
④若和都是抛物线上的点且，则．
上述结论中正确的结论___________ （填写序号）
【答案】①④
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式、二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，可以数形结合根据题意画出相关的草图，充分掌握求二次函数的对称轴及交点坐标的方法．
利用待定系数法可得抛物线经过点A和点C，其解析式为，故①正确；令，可得抛物线与x轴的交点坐标是和，故②错误；利用一元二次方程根的判别式，可得，故③错误；根据抛物线与x轴的交点坐标是和，且抛物线开口向上，可得，故④正确．
【详解】解：∵三点中恰有两点在抛物线的图像上，
∴分三种情况讨论：
当抛物线图象经过点A和点B时，将分别代入，
得，
解得，不符合题意；
当抛物线图象经过点B和点C时，将分别代入，
得 ，此时方程组无解；
当抛物线图象经过点A和点C时，将分别代入，
得 ，解得
∴点A和点C在抛物线的图象上．
∴
∴抛物线的对称轴是直线，①正确．
当时，
∴
∴抛物线与x轴的交点坐标是和，②错误．
当即，有两个实数根时，，
∴，
∴，③错误．
∵抛物线与x轴交于点和，且其图象开口向上，若和都是抛物线上的点，且，得．
∴④正确．
∴①④正确．
故答案为：①④
39．（2025·江苏常州·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点，，顶点为C．
(1)若，
①求a，的值；
②D为线段上一点，过点D作的平行线交抛物线于点E，若点E在x轴上方，且，求E的坐标．
(2)若，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)①，；②
(2)
【分析】（1）①若，即，将点代入二次函数并求解，即可确定，此时二次函数解析式为，令，求解即可确定的值；
②首先确定该函数图像的对称轴为，顶点坐标为，设对称轴于轴交于点，过点作轴于点，证明，利用相似三角形的性质确定的值，然后分情况讨论即可；
（2）设对称轴于轴交于点，分别计算当时和当时的值，结合图像即可获得答案．
【详解】（1）解：①若，即，
将点代入二次函数，
可得，解得，
该二次函数为，
令，可得，
解得或，
∴，即；
②如下图，
∵二次函数为，
∴该函数图像的对称轴为，顶点坐标为，
设对称轴于轴交于点，过点作轴于点，则，
∵，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴解得或，
当时，即，则，
∴，
∵，
∴点D在线段上，符合题意，此时；
当时，即，则，
∴，
∵，
∴点D不在线段上，不符合题意．
综上所述，E的坐标为；
（2）对于二次函数，
其对称轴为，
如下图，设对称轴于轴交于点，
当时，即，
∴，
∴，即，
将点代入函数，
可得，解得，
当时，即，
∴，
∴，即，
将点代入函数，
可得，解得，
结合图像，可知当时，a的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像与性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．
40．（2025·江苏南京·二模）已知二次函数（是常数）．
(1)求证：不论为何值，函数图像与轴总有公共点；
(2)求证：不论为何值，函数图像的顶点都在函数的图像上；
(3)是该二次函数图像上的点，当时，，则的取值范围是_____．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）将抛物线解析式化成一般式，再计算，即可能得出结论；
（2）将抛物线解析式化成顶点式，得出抛物线的顶点坐标为，再把代入，即可得出结论；
（3）将抛物线解析式化成顶点式，得出抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，再根据抛物线的增减性质，由，则点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离，列出不等式求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴不论为何值，函数图像与轴总有公共点．
（2）证明：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
把代入，
∴不论为何值，函数图像的顶点都在函数的图像上．
（3）解：∵，
∴抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，
∴，
当时，，
∴
当时，则
∴，
∴
当时，则
∴
综上，当时，，则的取值范围是或．
【点睛】本题考查抛物线与x轴交点问题，利用函数的对称性函数值大小，抛物线一般式化成顶点式，抛物线上点的坐标特征，抛物线的图象性质．熟练掌握抛物线与x轴交点和抛物线的图象性质是解题的关键．
题型十一 二次函数与不等式
41．（2025·江苏泰州·二模）直线与二次函数的图像的交点坐标分别为、，且．同时直线与一次函数图像的交点坐标为．以下说法正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程的解，掌握函数的交点和方程解的关系是解题的关键．
选项A∶ 二次函数最小值为−1，但需注意题目中存在两个交点，故，而非；选项B∶ 利用根的和，结合的表达式直接求解；选项C、D∶ 需分的正负讨论，判断的范围是否唯一成立．
【详解】解：选项A：二次函数的最小值为，当时，方程有唯一解，此时直线与抛物线相切，只有一个交点，题目中明确存在两个交点，故判别式必须大于0，即：，故选项A错误；
选项B：直线与抛物线交点的横坐标满足方程，根据韦达定理：，
若，则，
将代入一次函数方程，
，故选项B正确；
选项C：条件即，
由一次函数方程，解得：，
当时，，即与符号相反：
若，则，
若，则，
因此，的取值范围不唯一，选项C错误；
选项D：条件即，
同理，由，得，即与符号相同：
若，则，
若，则，
因此，的取值范围不唯一，选项D错误；
故选：B．
42．（2025·江苏·一模）如图，我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线对称：②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有四个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的是___________（填出所有正确结论的序号）．
【答案】①
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式得关系，方程与函数的关系等知识，采用数形结合的思想是解此题的关键．通过分析函数的图象特征，对各个结论进行分析即可．
【详解】解：由图象可知，图象关于直线对称，故①正确，符合题意；
由“元宝型函数”函数的图象可知，当且时，图象位于x轴上方，
关于的不等式的解是且；故②正错误，不符合题意；
当时，，
由图象可得：当时，关于的方程有四个实数解；故③错误，不符合题意；
由图象可知，函数的值随值的变化情况取决于函数在时的增减性，并不一定是当时，值随值的增大而减小．故④错误，不符合题意．
综上所述，正确的是①．
故答案为：①．
43．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，二次函数与一次函数的图象交于点和原点O，则关于x的不等式的解集是______．
【答案】/
【分析】本题考查了根据二次函数与一次函数的交点确定不等式的解集，由图象并结合交点坐标即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵二次函数与一次函数的图象交于点和原点O，
∴由图象可得：关于x的不等式的解集是，
故答案为：．
44．（2025·江苏泰州·三模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线：上，
(1)当，时，
①求的值；
②将抛物线平移后得抛物线：，设抛物线与抛物线的交点为P，过点P的直线与抛物线的另一个交点为M，与抛物线的另一个交点为N，问的长是否为定值？若的长为定值，请求出这个值；若的长不为定值，请说明理由．
(2)当时，若对于，都有，求的取值范围．
【答案】(1)①；②的长为定值
(2)
【分析】（1）①由题意得，点，在抛物线：上，则，即可求出的值；②设，，，由①得，抛物线：，联立整理得到，则有，同理可得，推出，再利用勾股定理求出的长即可解答；
（2）由可得，则问题转化为对于，都有，设，则函数图象开口向上，对称轴为，根据二次函数的性质可知当时，随着的增大而减小，要满足题意只需当时，据此列出关于的不等式，即可求解．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，，
∵点，在抛物线：上，
∴，
解得；
②设，，，
由①得，抛物线：，
联立，
整理得：，
∴，
联立，
整理得：，
∴，
∴，
∵，，
∴
，
∴，
∴的长为定值；
（2）解：∵点，在抛物线：上，且，
∴，
∴，
∵对于，都有，
∴对于，都有，
设，则函数图象开口向上，对称轴为，
∵，
∴当时，随着的增大而减小，
∴当时，，
∴，
解得，
∴的取值范围为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数与不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生．
题型十二 函数的平移、翻折、对称问题
45．（2025·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，设二次函数，
(1)若函数图象的顶点为且过点，求该函数表达式．
(2)在（1）的条件下，将函数图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，点是否在新的函数图象上？若在，请求出t的值；若不在，请说明理由．
(3)设函数的对称轴为直线，点在函数图象上，将函数向右平移两个单位后得到一个新的函数，点在新的函数图象上． 当时，若对于，都有，直接写出m的取值范围： ．
【答案】(1)
(2)不在；理由见解析
(3)或
【分析】（1）由题意得，把点代入可求得，即可求得答案；
（2）由平移得，把点代入，整理得，利用根的判别式可得，即可得出答案；
（3）运用函数图象平移及二次函数的性质列不等式组求解即可．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，抛物线的平移变换，一元二次方程根的判别式，不等式组等，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
【详解】（1）解：∵函数图象的顶点为，
∴设，
把点代入，得，
解得：，
∴，
即．
（2）解：将函数的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新函数的表达式为：，
把点代入，得：，
整理得：，
∵，
∴原方程没有实数解，
∴点不在新的函数图象上．
（3）解：∵原函数的对称轴为直线，
∴将函数向右平移两个单位后，新函数的对称轴变为，
又∵点在原函数的图象上，点在新的函数图象上，且当时，对于，都有，
∴，
即，
解得：，
或，
即，
解得，
故答案为：或．
46．（2025·江苏淮安·一模）“求索”兴趣小组对函数图象的翻折变换进行了讨论，请你完成下列相关问题．
(1)思源同学提出从最简单的一次函数图象开始：如图1，的图象与x轴、y轴交于点、，把直线AB沿y轴翻折交x轴于点C，可得，所以点C坐标为______，由此可求得直线BC的表达式．
承宇同学提出新的思路：从点的变换考虑，任取直线上一点，沿y轴翻折得点，则，，即，代入得翻折后所得直线的表达式为______．
(2)请你选用（1）中两位同学其中一种方法求二次函数的图象沿直线翻折后所得图象的表达式．
(3)下列说法中正确的有______填序号
①将一次函数的图象沿直线翻折得到直线的表达式为；②将反比例函数的图象沿直线翻折所得图象的表达式为；③将二次函数的图象沿y轴翻折得到图象的表达式为；④将函数的图象沿直线翻折得到图象的表达式为
(4)将抛物线沿直线翻折得到图象G，直线与图象G有两个公共点，，且，求b的取值范围．
【答案】(1)
(2)二次函数的图象沿直线翻折后所得图象的表达式为
(3)①③④
(4)b的取值范围为
【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及一次函数，反比例函数，对称变换等知识，解题的关键是掌握关于某直线对称的两点的坐标关系．
（1）由，即得，由，可得；
（2）任取二次函数的图象上一点，沿直线翻折得点，故，即可得；
（3）设一次函数的图象上一点为，点沿直线翻折得到点，可得，从而，知，判断①正确；同理判断②错误，③正确，④正确；
（4）任取二次函数的图象上一点，沿直线翻折得点，即可得图象G的表达式为，联立，可得，由直线与图象G有两个公共点，有，故，解得，又，可得，即，得，解得；即知b的取值范围为
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：，；
（2）解：任取二次函数的图象上一点，沿直线翻折得点，
，
，
；
二次函数的图象沿直线翻折后所得图象的表达式为；
（3）解：①设一次函数的图象上一点为，
点沿直线翻折得到点，
，
，
，故①正确；
②设反比例函数的图象上一点为，
点沿直线翻折得到点，
，
，
，故②错误；
③设二次函数的图象上一点为，
点沿y轴翻折得到点，
，
，
∴，故③正确；
④设函数的图象上一点为，
点沿直线翻折得到点，
∴，，
，故④正确；
正确的有①③④，
故答案为：①③④；
（4）解：任取二次函数的图象上一点，沿直线翻折得点，
，
将代入得，
图象G的表达式为，
联立，
∴，
整理得
直线与图象G有两个公共点，
，
∴\，
解得，
，
，
，
，
，
，
，
解得；
的取值范围为
47．（2025·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象分别交x轴于A、B两点且（点A在点B左侧），与y轴交于点C，直线l经过点且平行于x轴，P 为直线l上的动点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)过点P作平行于y轴的直线交抛物线于点D，点E与点D关于抛物线的对称轴对称，连接 ，
①若时，求点E的横坐标；
②是否存在某一位置的点 P，使得最大？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①E点横坐标为或 或-或；②P1， P2
【分析】本题考查二次函数的解析式与图象，一元二次根与系数的关系，解直角三角形，最大值的判定．
（1）令，可得，根据根与系数的关系列出二元次一方程，结合所列出的二元次一方程，组成方程组，即可求出，代入抛物线解析式，即可解答；
（2）①设点D的坐标为，分别表示出，再根据，即可列出一元二次方程，即可解答；
②根据，化简出，当最小时，取得最大值，此时最大，即可解答．
【详解】（1）解：令，则，
设方程的解为，且，有
，
∵
∴，
解得，
∴
将代入，得
，解得
∴抛物线的表达式为．
（2）①设点D的坐标为，
则，，
∵抛物线的表达式为
∴，
由点E与点D关于抛物线的对称轴对称，得
，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
即
∴或
解得或或 ．
②在中，，
∴
当最小时，取得最大值，此时最大．
∵，
∴
即，
∴的最小值为2．
即
当，时
，
解得．
当，时
，
解得．
∴点P的坐标为， ．
48．（2025·江苏淮安·一模）已知抛物线（a为常数，且）．
(1)求证：该抛物线的图像与x轴有公共点；
(2)若时，此抛物线与x轴交于A，B两点，且．
①求该抛物线的函数表达式；
②将该抛物线在间的部分记为图象M，并将图象M在直线上方的部分沿着直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象N，记N这个函数的最大值为m，最小值为n，若，求t的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，轴对称性质，二次函数的最值问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据，得证该抛物线的图像与x轴有公共点，即可作答．
（2）①根据抛物线与x轴交于A，B两点，且，得，解得，，得，即可作答．
②先得该函数的顶点坐标D为，则D关于对称的点，算出，再进行分类讨论，作图，运用数形结合思想且根据二次函数的图象性质，进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）证明：∵
∴
∴该抛物线的图像与x轴有公共点，
（2）①∵抛物线与x轴交于A，B两点，且，
∴，
则，
∴，
解得，，
∴，得（舍）；或，得
∴；
②抛物线
则该函数的顶点坐标D为
则D关于对称的点，
当时，；
当时，，
即，
Ⅰ、当在E上方时，，
解得
此时最大值，最小值为，
则，
解得，
∴ ；
Ⅱ、当在E下方时，，
解得，
此时最大值，最小值为，
则，
解得，
∴；
综上：满足题意的t的取值范围为．
知识1 一次函数的图象与性质
1.一次函数的概念
正比例函数的定义：一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
一次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做一次函数.
一次函数的一般形式：.
特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数.
2.待定系数法
待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法.
3.正比例函数的图像与性质
正比例函数的图像：正比例函数的图像是经过原点（0，0）的一条直线.
正比例函数的性质：
4.一次函数的图像与性质
一次函数的图像：一次函数的图像是一条直线，通常也称直线.
一次函数的性质：
5.常见的变换方式：
平移口诀：左加有减（只改变x），上加下减（只改变y）.
对称口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变.
6.一次函数与一元一次方程
从“数”上看：方程的解⇔函数中，y=0时对应的x的值
从“形”上看：方程的解⇔函数的图像与x轴交点的横坐标.
7.一次函数与二元一次方程组
从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；
从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标.
8.一次函数与一元一次不等式
从“数”的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从“形”的角度看：就是确定直线在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件.
利用解一元一次不等式可确定相应的函数值对应的自变量的取值范围，具体的对应关系如下：
1）不等式的解集直线在x轴上方的部分所对应的x的取值范围；
2）不等式的解集直线在x轴下方的部分所对应的x的取值范围；
3）不等式的解集直线在直线上方的部分所对应的x的取值范围；
4）不等式的解集直线在直线下方的部分所对应的x的取值范围.
知识2 反比例函数的图象与性质
1. 反比例函数的有关概念
定义：一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数. 其中x是自变量，y是x的函数.
2. 反比例函数的性质
【易错易混】
1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。
3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．
3. 反比例函数中k的几何意义（2种基础模型）
【模型结论1】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为12k.
4.一次函数与反比例函数的交点问题
从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定．
①k值同号，两个函数必有两个交点；
②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；
5. 用反比例函数解决问题的两种思路：
1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式；
2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题.
6. 列反比例函数解决问题的步骤：
1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系；
2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式；
3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值；
4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围；
5）解：用函数解析式去解决实际问题．
知识3 二次函数的图象与性质
知识4 二次函数的图象特征与各项系数之间的关系
知识5 函数的平移
1. 一次函数的平移变换
【总结】一次函数图象平移后，k值不变因此可求出原函数图象上任意一点平移后得到的点的坐标，再利用待定系数法即可求出平移后的解析式.
2. 二次函数图象的平移
平移口诀：左加右减（只改变x），上加下减（只改变y）.
1．（2025·江苏徐州·模拟预测）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合是解答本题的关键．依据题意，由函数图象直接写出不等式解集即可．
【详解】解：由函数图象可知，一次函数与轴的交点坐标为，
不等式的解集是．
故选：A．
2．（2025·江苏苏州·二模）已知点，都在反比例函数的图象上．若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查反比例函数的增减性，对应反比例函数，时，在同一个象限内，y随x的增大而增大是解题的关键．
由反比例函数的性质可知，在同一个象限内，y随x的增大而增大，即可得答案．
【详解】解：∵反比例函数中，
∴在同一个象限内，y随x的增大而增大，
∵点，都在反比例函数的图象上，且，
∴点，在第四象限，
∴．
故选：A．
3．（2025·江苏无锡·三模）如图，抛物线与轴交于点，，顶点为，点为对称轴上一动点，的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，解直角三角形，连接，，过点作，连接，过点作于点，设对称轴与轴交于点，得，进而可得当重合时，此时取得最小值，根据等面积法求得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，，过点作，连接，过点作于点，设对称轴与轴交于点，
∵抛物线与轴交于点，，顶点为，
∴，
当时
解得：
∴，
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
当重合时，此时取得最小值，
∵
∴，即的最小值，
故选：A．
4．（2025·江苏徐州·一模）把二次函数的图象先向右平移个单位再向上平移个单位，如果平移后所得抛物线上的点到轴的距离为的点有且只有个，则应满足的条件为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，解题的关键是掌握相关知识．平移后的抛物线解析式为，根据题意可得，即可求解．
【详解】解：平移后的抛物线解析式为，即，
平移后所得抛物线上的点到轴的距离为的点有且只有个，
，
解得：，
故选：C．
5．（2020·浙江台州·一模）已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据对称轴计算公式求出，再根据题意可得二次函数与直线在的范围内有交点，据此求出时，二次函数的函数值的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，
∴二次函数与直线在的范围内有交点，
∵二次函数的对称轴为直线且开口向下，
∴离对称轴越远函数值越小，
当时，，
当时，，
当时，，
∴当时，，
∴当时，二次函数与直线在的范围内有交点，
故选：D．
6．（2025·辽宁沈阳·二模）关于的二次函数（是常数）的图象与轴只有一个公共点，则的值为________．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象与轴的交点问题，一元二次方程次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据题意令，则，得到，求出，即可得到答案．
【详解】解：关于的二次函数（是常数）的图象与轴只有一个公共点，
令，则，
，
，
，
故答案为：．
7．（2025·江苏盐城·一模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，交反比例函数的图象于点，为轴上一点，连接，，则的面积为________．
【答案】3
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，掌握求解的方法是关键；
设，则，然后根据的面积，代入数据即可求解．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴设，
∵轴，垂足为，交反比例函数的图象于点，
∴，
∴的面积；
故答案为：3．
8．（2025·江苏苏州·一模）定义：如果一个函数的图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该点称为这个函数图像的“倍值点”，例如，一次函数图像的“倍值点”为．若关于x的二次函数的图像上有唯一的“倍值点”，则_________．
【答案】
【分析】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系．根据题意得出关于的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论．
【详解】解：由题意可知，，
整理得，，有两个相等的根，
，且，
整理得，且，
解得：，
故答案为：．
9．（2025·江苏淮安·一模）如图，我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线对称：②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有四个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的是______（填出所有正确结论的序号）．
【答案】①④
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式得关系，方程与函数的关系等知识，根据二次根式的特征，二次函数与不等式得关系即可解答，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：根据函数的特征可知图象关于直线对称，故①正确，符合题意；
由“元宝型函数”函数的图象可知，当且时，图象位于x轴上方，
关于的不等式的解是且；故②正错误，不符合题意；
当时，，
由图象可得：当时，关于的方程有四个实数解；故③错误，不符合题意；
由函数图象可知，当时，函数的值随值的增大而减小．故④正确，符合题意．
综上所述，正确的是①④．
故答案为：①④．
10．（2025·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为______．
【答案】
【分析】设正方形的边长为a，，根据折叠的性质得出，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，即可求解．
【详解】解∶设正方形的边长为a，
∴，
∵折叠，
∴，
∵点A的坐标为，点F的坐标为，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴
∴点B的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键．
11．（2025·黑龙江大庆·一模）已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点，点是线段上（不与点重合）的一点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图1，过点作轴的垂线l，l与的图像交于点，当线段时，求点的坐标；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知交点坐标满足两个函数关系式是关键．
（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可．
【详解】（1）解：将代入得，
，
将代入得，解得，
反比例函数表达式为，
（2）解：如图，设，则，

把代入可得，
解得（舍），
;
12．（2025·江苏连云港·二模）如图，已知点在直线上，双曲线经过点A．
(1)求双曲线的函数表达式；
(2)点分别在直线和双曲线上，当时，直接写出b的取值范围；
(3)点B在线段上（不与A点重合），将点A绕着点B顺时针旋转得到点C，当点C恰好落在双曲线上时，求点C的坐标．
【答案】(1)
(2)或；
(3)
【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数图象确定函数值的取值范围，全等三角形的判定和性质，交点坐标满足两个函数关系式是关键．
（1）把代入可得，即；把代入求得k的值即可解答；
（2）先求出两函数图象交点的纵坐标，然后根据函数图象即可解答；
（3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，，可得，则设点，，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出值，继而得到点坐标．
【详解】（1）解：把代入，得，解得，
把代入得，
双曲线的函数表达式为；
（2）直线与双曲线交于点，
∴ 另一个交点为，
∵ 点分别在直线和双曲线上，
观察图象，
当时，或；
（3）解：如图 ，过点作轴，过点作于点，过点作于点，
，
∵ 点绕点顺时针旋转，
，
，
，
，
设点，
∴ 点，
∵ 点在反比例函数图象上，
，
解得（舍去），
，
∴ 点．
13．（2025·江苏宿迁·三模）已知：二次函数的图象与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点，且．
(1)求二次函数表达式；
(2)若抛物线上有两点、，当时，求的取值范围；
(3)设是二次函数位于第一象限图象上一点，作于点，轴于点．当最大时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的综合、等腰三角形的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
（1）先求出，再根据待定系数法求解即可；
（2）根据题意得到，，然后结合列不等式求解即可；
（3）先求得，再求出直线解析式为，设，则，进而得到所以、；如图：过G作于I，再根据等腰三角形的性质、矩形的判定与性质可得，进而得到，最后根据二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵函数图象与轴交于两点（A在左侧），
∴，
将、代入可得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵抛物线上有两点、，
∴，
∵
∴
解得：；
（3）解：令，
解得：或，
∴．
设直线解析式为，把，代入得：
，解得：，
∴直线解析式为，
∵，，
∴，
∴，
如图：过P作轴于D，交于E．
∵，
∴，
∴，
设，则．
所以，则，
如图：过G作于I，
∵，
∴，，
∴，四边形是矩形，
∴，
令，
∴抛物线的对称轴为：，
∵抛物线开口方向向下，，
∴当时，取最大值，
∴点P的横坐标为，代入得，．
14．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）在图中，A，B两点在反比例函数的图象上，过点O，是等边三角形，请仅用无刻度的直尺完成以下作图保留作图痕迹
(1)图1中，作，垂足为点E；
(2)图2中，点D为的中点，在x轴上作出点F，使四边形为矩形；
(3)图3中，在第二象限内作出点G，使四边形为菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题是反比例函数的综合题，考查作垂线及作特殊四边形，解题的关键是理解题意，利用反比例函数的对称性解决问题，属于中考常考题型．
（1）连接交于H，连接并延长交于E，点E即为所求；
（2）连接并延长交反比例函数的图象于G，连接并延长交反比例函数的图象于M，连接交x轴于F，则点F即为所求；
（3）与一样方法得到点G，则和的延长线相交于点G，则四边形为菱形．
【详解】（1）解：如图：连接交于H，连接并延长交于E，点E即为所求；
（2）如图：连接并延长交反比例函数的图象于G，连接并延长交反比例函数的图象于M，连接交x轴于F，则点F即为所求；
（3）如图：与一样方法得到点G，则和的延长线相交于点G，则四边形为菱形．
15．（2025·江苏淮安·二模）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式：
(2)如图1，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交线段于点M，点D是直线上方抛物线上一点．当时，求点N的坐标．
(3)如图2，点Q是抛物线上在第一象限的一个动点，连接，交线段于点E，交y轴于点F，令，求S的最大值．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）直线，设点，则点，点，表示出，，再由相似三角形的性求解即可；
（3）设点，求出，从而得出，再由计算即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：在中，当时，，即，
设直线的解析式可得，
将代入解析式可得，
解得：，
∴直线
设点，则点，点，
，，
∵，
∴，
，
，
，即，
解得：，（舍去），，（舍去），
，
（3）解：设点，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴，
当时，，
，
，
∴当时，．
考点二 函数的图象与性质（压轴篇）
题型一 动点问题的函数图象问题
1．（2025·江苏南通·二模）如图①，在扇形中，，动点P从点O出发，沿匀速运动，的长度y与点P运动的路程x之间的函数关系如图②所示，则图中a的值为（ ）
A．12B．C．18D．
【答案】D
【分析】本题考查弧长公式，根据图象先得到半径长，然后代入弧长公式计算弧长，即可得到a的值解题．
【详解】解：由图象可得，
∴，
∴，
故选：D．
2．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图1，在正方形中，，分别为边，上的动点，且．设，两点之间的距离为，的面积为，与的函数关系图象如图所示．已知点的横坐标为，则点的纵坐标为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合图可知正方形边长为，然后根据识别半角模型，利用旋转，构造全等证明，，可得，当时，则，设，在中，勾股定理求得，进而得出，即可求解．
【详解】解：由图可知，当时，，
此时点与重合，点与重合，
，
解得，
如图，在延长线上取一点，使，
，，，
，
，，
，
，
，即，
，
，
，
当时，则，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
，即，
点的纵坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、动点问题的函数图象等内容，数形结合是解题的关键．
3．（2025·江苏泰州·一模）如图1，在中，，为中点，点从点出发以每秒1个单位的速度向点运动（到达点后停止），设点运动的时间为，的长为，图2是点运动时随变化的关系图像．为曲线部分的最低点，则的值为______．
【答案】
【分析】作点关于的对称点，连接，由轴对称的性质可知，， ，，，根据，所以当三点共线时，的值最小，为的长，由图可知， ，过点作于点，根据勾股定理求出，得到，，根据解直角三角形得到，进而得到，即可求解．
【详解】解：作点关于的对称点，连接，
由轴对称的性质可知，， ，，
，
，
∴当三点共线时，的值最小，为的长，如图所示：
由题图2可知，此时，
过点作于点，
∵为中点，
，
在中，
，
，
（负值已舍去），
，，
，，
，
，
，
，
，
，
∴的值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，轴对称，勾股定理，从函数图象中获取信息等知识，掌握相关知识是解题的关键．
4．（2025·山东济南·一模）如图1，四边形为菱形，动点，同时从点出发，点以每秒1个单位长度沿线段向终点运动；点沿线段向终点运动，当点运动至终点时，另一点也恰好到达终点．设运动时间为秒， 的面积为个平方单位，图2为关于的函数关系图象．下面四个结论中：①菱形的边长为6；②点的运动速度为每秒3个单位长度；③当时，；④曲线段的函数解析式为，结论正确的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②④D．②④
【答案】A
【分析】根据当点运动至终点时，另一点也恰好到达终点可知点Q的速度是点P速度的3倍，进而可判断②正确；由图象可知，2秒后点Q到达点B，进而求出菱形的边长，可判断①正确；当点Q到达点C时，的面积最大，求出此时的面积可判断③正确；当点Q运动到的中点时，作交的延长线于E，此时，，．证明，求出，的面积为，设曲线段的函数解析式为，把代入求出函数解析式可判断④正确．
【详解】解：∵动点，同时从点出发，同时到达点D，
∴点Q的速度是点P速度的3倍，
∵点以每秒1个单位长度的速度运动，
∴点的运动速度为每秒3个单位长度，故②正确；
由图象可知，2秒后点Q到达点B，
∴，即菱形的边长为6，故①正确；
作于点H，由图象可知，点Q到达点B时，即时，的面积为5，此时，
∴，
∴，
∴，
当点Q到达点C时，的面积最大，此时，，的面积为，即当时，，故③正确；
当点Q运动到点D时，，
当点Q运动到的中点时，作交的延长线于E，此时，，．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为，
设曲线段的函数解析式为，
把代入，得
，
解得，
∴，故④正确．
故选A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，从函数图象获取信息，相似三角形的判定与性质，二次函数的应用，数形结合是解答本题的关键．
题型二 线段最值问题
5．（2025·江苏无锡·二模）已知：二次函数的图像与轴交于两点（A在左侧），与轴交于点，且．
(1)求二次函数表达式；
(2)若抛物线上有两点、，当时，求的取值范围；
(3)设是二次函数位于第一象限图像上一点，作于点轴于点．当最大时，求点的横坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的综合、等腰三角形的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
（1）先求出，再根据待定系数法求解即可；
（2）先说明抛物线的对称轴为、抛物线的开口方向向下，再根据离对称轴越远的点的函数值越小列不等式求解即可；
（3）先求得，再求出直线解析式为，设，则，进而得到所以、；如图：过G作于I，再根据等腰三角形的性质、矩形的判定与性质可得，进而得到，最后根据二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵函数图象与轴交于A、B两点（A在左侧），
∴，
将、代入可得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为：，
∵，
∴抛物线的开口方向向下，
点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，
∵，
∴，
∴，解得：．
（3）解：令，即，
∴，解得：或，
∴．
设直线解析式为，把，代入得：
，解得：，
∴直线解析式为，
∵，，
∴，
∴，
如图：过P作轴于D，交于E．
∵，
∴，
∴，
设，则．
所以，则，
如图：过G作于I，
∵，
∴，，
∴，四边形是矩形，
∴，
令，
∴抛物线的对称轴为：，
∵抛物线开口方向向下，，
∴当时，取最大值，
∴点P的横坐标为．
6．（2025·江苏苏州·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点在抛物线第一象限图像上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的横坐标；
(3)一次函数的图像交二次函数于M，N两点，当抛物线的顶点到一次函数的图像的距离最大时，在这条直线上是否存在一点，满足，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)不存在，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键：
（1）根据题意得到，，由三角形面积得到，，再利用待定系数法即可求解；
（2）连接交于点，利用待定系数法求出直线的解析式为，利用平行四边形的性质得到，，设，利用中点坐标公式可得，代入点到，求出的值得到点的坐标，设，利用勾股定理列出方程，求出的值即可得出答案；
（3）易得直线恒过点，设点，进而得到得到直线的时候，距离最大，设直线与对称轴交于点，过点作垂直于对称轴，易得为等腰直角三角形，进而求出点坐标，求出直线解析式，假设存在点使，根据勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）【小问1详解】
解：抛物线：（），
当时，，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
代入得，，
解得：，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：如图，连接交于点，
设直线的解析式为，
代入得，，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
设，
∵，
∴，
∵点在直线上，
∴，
解得：，，
当时，，
设，则，
解得：，，
∵点在点的左侧，
∴；
∴
当时，，
设，则，
解得：，，
∵点在点的左侧，
∴；
∴
∴综上所述，点的横坐标为或．
（3）不存在，理由如下：
∵，
∴当时，，
∴直线恒过点，设该点为，
∵，
∴，对称轴为直线，
∴当直线时，抛物线的顶点到一次函数的图像的距离最大；
设直线与对称轴的交点为，过点作对称轴，
∴，
∴，，
∵直线
∴为等腰直角三角形，
∴为的中点，
∴，
把代入，得：，解得：；
∴，
假设存在点使，则：，
∵，
∴，
整理，得：，
∴，
∴此方程无解，假设不成立，即不存在．
7．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴分别相交于、两点（在的左侧），与轴相交于点，．
(1)请求出的值；
(2)已知点是函数图像上一动点（不与、重合），过点的直线平行于轴，与的外接圆交于另一点，连接，．请问是否存在点，使得最小？若存在，请求出点坐标并求出的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，，
【分析】（1）把代入函数表达式求出坐标，再根据得到等腰直角三角形求出点坐标，再代入函数解析式即可求解；
（2）设，设的外接圆心为，由垂径定理得，连接，由得到，结合二次函数解析式化简得到，可求，即，则在过且平行于轴的直线上运动．过点作直线的对称点，则，由，当点三点共线时，最小值为，再由两点间距离公式求出的长即可求出求出的最小值；再求出直线的解析式，进而可求出点坐标．
【详解】（1）解：把代入函数表达式得：
解得：，，
，．
，
，
∵
．
把，代入函数表达式得，
解得；
（2）解：如图，设，
∵由题意得的外接圆心在的垂直平分线上，
而，
∴抛物线对称轴为直线，
∴设的外接圆心为，
过点作于点，则，
∴
，
连接，
，
．①
，
．即．②
把②式代入①式，得：．
整理得：，
，
，
，即．
坐标为，
在过且平行于轴的直线上运动．
过点作直线的对称点，则，
∴，
∴当点三点共线时，最小值为，
的最小值为．
设直线的解析式为，把，代入，得
，
解得，
∴，
当时，，
解得，
∵，
∴，
把代入，得
，
∴
【点睛】本题考查了二次函数与圆的综合问题，涉及抛物线与坐标轴的交点问题，外接圆，垂径定理，两点之间距离公式，动点的轨迹问题，难度大，解题的关键在于确定点轨迹．
8．（2025·江苏镇江·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M．使周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在该抛物线上是否存在点P，使得的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点M的坐标为
(3)或或或
【分析】（1）先根据题意求出点A，C的坐标，再运用待定系数法利用交点式求出抛物线函数关系式；
（2）由于的长度保持不变，所以当最小时，周长最小，应用轴对称性质可知，连接交对称轴于点M，由三角形三边的关系可知此时周长最小，运用待定系数法求出直线的函数关系式，把代入，即可求得点M的坐标；
（3）设点P的坐标为，由，可得：，再分两种情况：当点P在x轴上方时或当点P在x轴下方时，分别计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
设抛物线的函数表达式为（）．
将代入，得：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：存在．理由如下：
由（1）可知：点B和点C的坐标分别为和，
∴的长度保持不变，
∴当最小时，周长最小，
∵抛物线的对称轴为，且点A，B关于对称轴对称，
故连接AC交对称轴于点M，
由三角形三边的关系可知此时周长最小，
设直线的函数关系式为（），
把代入直线的函数关系式，得：，
解得：，
∴，
把代入，得：，
∴所求点M的坐标为；
（3）解：存在，设点P的坐标为，
∵，
∴，
①当点P在x轴上方时，
则，
解得：，
∴或；
②当点P在x轴下方时，
则，
解得：，
∴或；
综上所述，满足条件的点P的坐标为：或或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析，二次函数的图象和性质，轴对称性质，二次函数与面积综合，分类讨论，是解题的关键．
题型三 周长最值问题
9．如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，在抛物线的对称轴上求作一点M，使的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值；
(3)如图2，点P是x轴上动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点F、G．设点P的横坐标为m，是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)的周长的最小值，点M的坐标为
(3)存在，或或
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）连接交于点M，此时最小，进而求解；
（3）分、两种情况，然后分别求解即可．
【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：如图，连接交于点M，此时最小，
又因为是定值，所以此时的周长最小．
令时，则有，即，
∴，
，同理，
∴此时的周长；
是抛物线的对称轴，抛物线与x轴交点和，
，对称轴为，
由，得，
，
又∵点M在第四象限，且在抛物线的对称轴上，
；
（3）解：存在这样的点P，使是以为腰的等腰三角形．
设直线的解析式为，把点B、C坐标代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点P的横坐标为m，
∴点，点，
则，，，
当时，则，解得（舍去）或4；
当时，则，解得（舍去）或；
综上，或或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、点的对称性、等腰三角形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
10．（2025·辽宁沈阳·一模）定义：函数图象上到一个定点的距离相等的不同的点称为此函数图象上的这个定点的“共圆点”，即函数图象上的某个定点的“共圆点”都在以这个定点为圆心的同一个圆上．
(1)如图1．在平面直角坐标系中，函数与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，请判断点是否为直线上的点的“共圆点”？并说明理由：
(2)如图2，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，请直接写出点的坐标；
(3)抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点为点，点在抛物线的对称轴上，且在点的上方，点在对称轴右侧的抛物线上，轴，点与点是抛物线上的点的“共圆点”，
①求点的坐标；
②将抛物线平移，使其顶点落在原点，这时点落在点的位置，点在轴上，当的周长最小时，求点的坐标．
【答案】(1)点是直线上的点的“共圆点”，理由见解析
(2)或或
(3)①；②
【分析】（1）先求解，，再计算，，即可判断；
（2）先求解反比例函数为：，如图，结合，点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，根据反比例函数的轴对称与中心对称的性质可得答案；
（3）①如图，求解，设，则，由点与点是抛物线上的点的“共圆点”，可得，再建立方程求解即可；
②求解平移后的抛物线为：，平移后的对应点，如图，关于轴的对称点，连接，可得，当三点共线时，，此时周长最短；再进一步求解即可．
【详解】（1）解：如图，
当时，，当时，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴点为直线上的点的“共圆点”；
（2）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数为：，
如图，，
∵点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，
∴根据反比例函数的轴对称与中心对称的性质可得：
或或，
综上：的坐标为：或或
（3）解：①如图，
∵抛物线为，
∴对称轴为直线，此时，
∴，
设，则，
∵点与点是抛物线上的点的“共圆点”，
∴，
∴，
解得：，（舍去），，
∴；
②∵，将抛物线平移，使其顶点落在原点，
∴平移后的抛物线为：，
∴平移后的对应点，
如图，∵关于轴的对称点，连接，
∴，
当三点共线时，，
此时周长最短；
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为，
当时，，
∴．
【点睛】本题考查的是新定义的含义，利用待定系数法求解反比例函数的解析式，一次函数，反比例函数，二次函数的图象与性质，平移的性质，勾股定理的应用，圆的定义，理解题意是解本题的关键．
11．（2025·江苏镇江·一模）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B点坐标为，D为的中点，线段在边上移动，且，当四边形的周长最小时，则点M的坐标为_____________．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形，平行四边形的判定和性质，一次函数的性质等知识，作点D关于y轴的对称点E，过点E作，截取，连接、．得四边形是平行四边形，求出，，得出，要使四边形的周长最小，只要使的值最小，当A、N、F三点共线时的值最小．运用待定系数法求出直线的解析式即可解决问题．
【详解】解：作点D关于y轴的对称点E，过点E作，截取，连接、．
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵D是的中点，，
∴，
，
，
要使四边形的周长最小，只要使的值最小，
∴当A、N、F三点共线时的值最小．
设直线的解析式为：，
∵，，
∴，
解得，
，
当时，，
∴ ，
∴．
故答案为：．
12．（2025·江苏南通·二模）平面直角坐标系中，点，，，，当四边形的周长最小时，m的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的性质，求函数解析式，两点间坐标；先求出直线和的解析式得到，再根据两点间坐标公式可得，即可得到是平行四边形，当时，的周长最小，这时是矩形，即，然后根据两点间距离公式求出m值即可．
【详解】解：设直线的解析式为，代入得：
，解得，
∴直线的解析式为，
同理直线的解析式为，
∴，
又∵，，
∴，
∴是平行四边形，
∴当时，的周长最小，这时是矩形，即，
∴
解得：，
故选：B．
题型四 特殊三角形存在性问题
13．（2025·江苏连云港·一模）如图，二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C，点D是二次函数图像的顶点，连接、．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求的正切值；
(3)若点P在二次函数图像上，且横坐标为，过点P的直线平行于y轴，与、、x轴分别交于点E、F、G，试证明线段、、总能组成等腰三角形；
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）设交点式，再代入C点坐标即可求解；
（2）先由得，利用两点间的距离公式得，，，利用勾股定理逆运用得，进而可得答案；
（3）先求出直线的表达式为，直线的表达式为，设，则，，再分别表示，，，可得，再用三边关系验证通过，即可证明．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点，
∴设二次函数的表达式为，代入，
解得，
故这个二次函数的表达式为；
（2）解：连接
，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴；
（3）证明：设直线的表达式为，将、代入，
得，
解得，
故直线的表达式为，
设直线的表达式为，将、代入，
得，
解得，
故直线的表达式为，
设，则，，
故，，，
∴，
∵，故，
∴，即，
∴线段、、总能组成等腰三角形．
【点睛】本题考查了利用交点式求二次函数的表达式，勾股定理，两点间距离公式，解直角三角形，三角形三边关系．
14．（2026·江苏无锡·一模）如图，在四边形中，，是的中点，，的延长线交于点，在线段上取点、（点在、之间），使得．当点从点匀速运动到点处时，点恰好从点匀速运动到点处．设，，已知，当时，与重合．
(1)求、的长；
(2)若，
①连，当是以为腰的等腰三角形时，求的值；
②将绕点顺时针旋转得线段，当点落在四边形的内部时，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)①或；②；
【分析】（1）求出时，则，求出时，则，再结合已知条件得到，即可求出的长；
（2）①连接，过点作于点，过点作于点，由勾股定理逆定理推出，利用三角形面积求出，根据的余弦值，求出，利用直角三角形的性质，得出，，再结合等腰三角形的定义分两种情况列方程求解即可；
②分两种情况讨论：当点落在边上时，过点作于点，交于点；当点落在边上时，过点作于点，利用全等三角形的性质列方程求解即可．
【详解】（1）解：当时，点与点重合，点与点重合，此时，
，
当时，点与点重合，点与点重合，此时，
，
，
，
；
（2）解：①如图，连接，过点作于点，过点作于点，
由（1）可知，，，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
，
，
，
，，
，
，
在中，，
，
在中，，，
在中，，，
，
在中，，
是以为腰的等腰三角形，
或，
当时，则，
，
解得：；
当时，则，
，
解得：（舍），，
综上可知，当是以为腰的等腰三角形时，的值为或；
②如图，当点落在边上时，过点作于点，交于点，
由①得，，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：；
如图，当点落在边上时，过点作于点，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
解得：，
当点落在四边形的内部时，的取值范围为．
15．如图，是等腰直角三角形，，，，抛物线交x轴于点C，D两点，且经过点B．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点F，使得的面积等于5，若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由；
(3)点在抛物线上，连接，求出在坐标轴的点P，使得是以为顶角以为腰的等腰三角形，请直接写出P点的坐标．
【答案】(1)
(2)或或或
(3)的坐标为：，，，．
【分析】（1）由等腰三角形的性质先求解，再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）设，利用，可得，再建立方程求解即可；
（3）如图，过作轴于，求解，，可得，以为圆心，为半径画圆，与坐标轴交于，，，，则是以为顶角以为腰的等腰三角形，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，，，
∴，，，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：设，
∵，
∴，
∴或，
当时，
整理得：，
解得：，，
∴或，
当时，
整理得：，
解得：，，
∴或，
综上：的坐标为：或或或．
（3）解：如图，过作轴于，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
以为圆心，为半径画圆，与坐标轴交于，，，，
则是以为顶角以为腰的等腰三角形，
∴，，，．
综上：的坐标为：，，，．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的定义，圆的基本性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积，作出合适的辅助线是解本题的关键．
16．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知二次函数（）的图象与x轴交于、B两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数表达式；
(2)若点、（）是该函数图像上两点．
①证明：；
②连接，若为直角三角形，求t的值．
【答案】(1)
(2)①见解析；②或或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①分别求出，再求出，进而求出，根据，利用不等式的性质比较即可；
②分和两种情况结合勾股定理讨论求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，解得，
则二次函数表达式为；
（2）①证明：根据题意，得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即；
②根据题意，得，
∵，
∴，，，
∵为直角三角形，
∴或，
当时，则，
则
或
解得（舍去）或（舍去）或（符合题意）；
当时，
则，则
或
解得或或（舍去）；
综上，若为直角三角形，t的值为或或．
题型五 特殊四边形存在性问题
17．（2026·江苏无锡·一模）已知二次函数的图象经过点，，顶点为点，与轴交于点．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)点和是该二次函数图象上的两点，当时，试比较与的大小，并说明理由；
(3)点是直线上的动点，过点作直线的垂线，记点关于直线的对称点为．当以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)当时，；当时，；当时，
(3)和
【分析】（1）将A、B两点坐标代入二次函数解析式中求解即可；
（2）把点和代入解析式得、表达式，采用作差法计算并化简，结合已知的取值范围，以差式的正负分三种情况讨论即可明确与的大小关系；
（3）先根据二次函数解析式求出顶点、与轴交点的坐标，结合点坐标求出直线的解析式，设出直线上动点的坐标；再利用轴对称的性质，由垂直、与关于对称，得出，结合平移的坐标变化规律、平行线的性质、中点坐标公式，推导出点的坐标；最后根据平行四边形对角线互相平分的核心性质，对四个点构成平行四边形的对角线组合进行分类，利用中点坐标公式建立方程求解，舍去无效解后得到符合条件的点的坐标．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，，
∴，即，
解得，
∴该二次函数的表达式为；
（2）解：∵点和是二次函数图象上的两点，
∴，，
∴，
结合，分三种情况讨论：
①当，即时，；
②当，即时，；
③当，即时，；
（3）解：∵抛物线与轴交于点，顶点为点，
∴，，
设直线的解析式为，将，代入得
，
解得，
∴直线解析式为，
∵点是直线上的动点，
∴设，
∵、关于直线对称，
∴垂直平分，
又，
∴，
∴到的平移规律，与到的平移规律完全一致，
设到中点的横坐标变化为，则纵坐标变化为，
∴，
如图，中点在对称轴上，且，
∴为直角三角形，
∴，
∵，
，
，
∴，
整理得，
∵点和点重合时无法构成平行四边形，故，
∴两边同时除以，得
，
∴，
设，则
，，
化简得，，
∴，
若以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，分以下三种情况讨论：
①以和为平行四边形的对角线，则的中点的中点，
∴横坐标相等，得，
解得，
纵坐标相等，得，
解得，
∴；
②以和为平行四边形的对角线，则的中点的中点，
∴横坐标相等，得，
解得，
纵坐标相等，得，
解得，
∴此情况不成立；
③以和为平行四边形的对角线，则的中点的中点，
∴横坐标相等，得，
解得，
纵坐标相等，得，
解得，
∴；
综上，点的坐标为和．
【点睛】四点平行四边形存在性问题，初中阶段最稳、零漏解的通法，就是“对角线中点重合三分类”：四个点中，任选两个点为对角线，仅有种不重复的组合，分别用中点坐标公式列方程，横纵坐标解一致则为有效解，自动舍去无效情况，完全避免了按边分类的漏解、错解问题．
18．（2025·山西大同·模拟预测）综合与探究
如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E．若M为第一象限内抛物线上一点，过点M且垂直于x轴的直线交DE于点N，连接，．

(1)求抛物线的函数表达式及D，E两点的坐标．
(2)当时，求点M的横坐标．
(3)G为平面直角坐标系内一点，是否存在点M使四边形是正方形．若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为，，
(2)或
(3)存在，点G的坐标为
【分析】（1）把点，代入函数，得到二元一次方程组，求解a，b的值，即可得到抛物线的函数表达式；把，分别代入，即可得到点E，点D的坐标．
（2）设点M的横坐标为m，则点M的坐标为，点N的坐标为．过点M作轴于点P，过点N作轴于点Q，可证，得到，．①当点M在点C的上方时，四边形为平行四边形，，得到，解方程可得m的值；②当点M在点C的下方时，，得到，解方程可得m的值．综上可求得点M的横坐标．
（3）设与x轴交于点H，则当时，四边形是正方形，此时，，则，进而得到点M的坐标为，根据平移性质可得点G的坐标为．
【详解】（1）把，代入中，得
，解得
∴抛物线的函数表达式为．
把代入中，得，
∴
把代入中，得，
∴
（2）设点M的横坐标为m，
∴点M的坐标为，点N的坐标为．
如图，过点M作轴于点P，过点N作轴于点Q．

∵轴
∴轴
∴
又∵
∴，
∴，．
如图1，当点M在点C的上方时，

∵
∴
∴四边形为平行四边形，
∴
∴，
解得（舍去），．
如图2，当点M在点C的下方时，，

∴，
解得（舍去），．
综上所述，点M的横坐标为或．
（3）存在，点G的坐标为
如图3，设与x轴交于点H

当时，四边形是正方形，
∴当，时，四边形是正方形，
∴，
∴
把代入中，得
∴点M的坐标为
根据平移性质可得点G的坐标为
【点睛】本题考查待定系数法，坐标平面内两点间的距离，三角形全等的判定与性质，平行四边形及正方形的判定与性质，正确作出辅助线，综合运用各个知识是解题的关键．
19．如图，抛物线与x轴交于，D两点，与y轴交于点B，抛物线的对称轴与x轴交于点，点E，P为抛物线的对称轴上的动点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当最小时，求此时点E的坐标；
(3)若点M为对称轴右侧抛物线上一点，且M在x轴上方，N为平面内一动点，是否存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）先求出点，，对称轴为，在根据A、D关于直线对称，连接交对称轴于点E，连接，得出当A、B、E三点共线时，的值最小，根据，得出，即可求出点E的坐标；
（3）设，分三种情况：当AM为正方形的对角线时，；当时，；时，．分别求出点M的坐标即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴与x轴交于点，
∴，
∴，
∴，
将代入，
∴，
解得，
∴；
（2）解：令，则，
解得或，
∴，
令，则，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
连接交对称轴于点E，连接，
∵A、D关于直线对称，
∴，
∴，
当A、B、E三点共线时，的值最小，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形，理由如下：
设，
当AM为正方形的对角线时，如图2，，过M点作交于G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
解得或，
∵M点在x轴上方，
∴，
∴M（2，3）；
当时，，如图3，过A点作轴，过M点作交于点H，
同理可证，
∴，，
∴，
∴，
解得或，
∴或（舍去）；
当时，，如图4，
过点M作轴交对称轴于点T，过点A作交于点S，
同理可得，
∴，，
∴，
∴，
解得或，
∴；
综上所述：M点坐标为或或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，三角形全等的判定及性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．
20．（2025·河南漯河·一模）如图，已知直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点是，且与轴交于两点，与轴交于点是抛物线上一个动点，过点作于点．
求二次函数的解析式；
当点运动到何处时，线段PG的长取最小值?最小值为多少?
若点是抛物线对称轴上任意点，点是抛物线上一动点，是否存在点使得以点为顶点的四边形是菱形?若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请你说明理由．
【答案】（1）； （2）点的坐标为 ，最小值为；（3）点的坐标为或
【分析】(1)根据顶点式直接写出二次函数的解析式，整理可得二次函数的一般式；
(2) 过点作轴交于点，即可通过三角函数关系式把求线段PG的长取最小值转化为求线段PH的最小值即可得到答案；
(3)分CD为菱形的边和对角线两种情况讨论即可；
【详解】解：由题意，可得抛物线为
整理得：
故二次函数的解析式为
把代入得
点的坐标为．
把代入
得
点的坐标为．
如图过点作轴交于点
则有，
（两直线平行，同位角相等）
设点的横坐标为
则，，
，
，
当时，有最小值，最小值为，
此时有最小值，
当时，
此时点的坐标为
符合条件的点的坐标为或，
求解如下：
由题意知，抛物线的对称轴为，
把代入，
得或，
，
．
I．如图当以为菱形的边时，平行且等于
若点在对称轴右侧，
，
，
把代入，得，
点的坐标为．
四边形为菱形，
即符合题意，
同理可知，当的坐标为时，四边形也为菱形．
II．如图当为菱形的对角线时，
根据菱形的对角线互相垂直平分，可得对称轴垂直平分
所以在对称轴上．
又因为点在抛物线上，
所以点为抛物线的顶点，
所以点的坐标为．
综上所述，符合条件的点的坐标为或
【点睛】本题主要考查二次函数与几何的综合运用，菱形的性质与判定定理以及三角函数，综合性较强，要学会分类讨论思想，理解所学知识、掌握相关的概念是解题的关键．
题型六 线段、面积存在性问题
21．（2025·陕西西安·一模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，．

(1)求点的坐标；
(2)在抛物线上是否存在一点，使：若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)或或
【分析】本题考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数的平移问题，求三角形的面积，分类讨论是解题的关键.
（1）在解析式中，由，求得的对应值可得点的坐标；由，求得对应的的值可得点、的坐标；
（2）根据可得到的距离等于到的距离，设过点且与平行的直线为，分类讨论得出直线的解析式，进而联立抛物线解析式，即可求解．
【详解】（1）在中，当时，，
∴点A的坐标为．
当时，，解得：，
∴点C的坐标为，点B的坐标为；
（2）存在点，使，
设直线的解析式为，代入，，
∴
解得：
∴直线的解析式为
∵
∴到的距离等于到的距离，设过点且与平行的直线为，
当时，直线的解析式为，代入
∴
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：或
∴；
∵，
∴
当点在上方时，将向左平移个单位时，则过点
∴直线的解析式为
联立
解得：或
∴或
综上所述，或或
22．（2025·江苏镇江·二模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴交于点，二次函数的图像经过点、点，且与轴交于点．
(1)求一次函数和二次函数的表达式；
(2)如图，点为直线上一点（不与点、重合），若，求点的横坐标；
(3)如图3，点在位于第二象限的抛物线上，过点分别作，是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）一次函数用待定系数法，代入、坐标求、；二次函数设交点式，代入点求．
（2）先算、度数，得，分在第四、第二象限，用三角函数或中心对称列方程求横坐标．
（3）延长交于，设横坐标为，用含式子表示、，合并后用二次函数性质求最值．
【详解】（1）解：把、代入，得
，
解得，
∴．
设，
把代入，得，即，
∴．
∴．
（2）解：由题意得：
在中，，
∴；
在中，，
∴．
∵，
，
当点在第四象限时，
，
设，
∴，即：，
∴，
当点在第二象限时，
∵，，
∴，
∴轴，
∴，即：，
∴，
综上，点的横坐标为或；
（3）解：延长交直线于点，设点的横坐标为，
中，，
，
，
，
的最大值为．
【点睛】本题主要考查一次函数、二次函数表达式求解，三角形角度与坐标关系，以及二次函数最值应用．熟练掌握待定系数法求函数表达式、利用角度关系列方程、用二次函数性质求最值是解题关键．
23．（2025·江苏泰州·一模）在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，其中，点，的横坐标分别为，．
(1)若点，分别在第三、一象限，求的取值范围；
(2)过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，记．
①在（1）的条件下，若，求的最小值；
②若，且，其中，为常数，是否存在的值，使不随的变化而变化？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①7；②不存在，理由见解析
【分析】（1）根据点，分别在第三、一象限结合横坐标得出，解一元一次不等式组即可得解；
（2）①当时，点、的坐标分别为、，在（1）的条件下，，，，表示出，结合得出，从而可得当最大时，的值最小，由此计算即可得解；②由题意求出，从而可得与同号，再分两种情况当，，即：，时，、都在第一象限；当，，即：，时，、分别在第三、一象限；分别讨论即可得解．
【详解】（1）解：∵点，的横坐标分别为，，点，分别在第三、一象限，
∴，
解得：；
（2）解：①当时，点、的坐标分别为、，
在（1）的条件下，，，，
，
，
，
当最大时，的值最小，
，
当时，有最大值为，
的最小值为；
②，
，
又，
，
与同号，
第一种情况：当，，即：，时，、都在第一象限，
此时
，
若要使不随的变化而变化，则要，，与矛盾，所以这种情况不存在；
第二种情况：当，，即：，时，、分别在第三、一象限，
此时
，
若要使不随的变化而变化，则要，与矛盾，所以这种情况也不存在，
综合上所述，不存在的值，使不随的变化而变化．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质、二次函数的性质、解一元一次不等式组等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
24．（2025·江苏南通·模拟预测）已知抛物线与x轴只有一个公共点A，且过点 ．
(1)求点 A 的坐标．
(2)若点 在抛物线上，且，点E 在第二象限，，直线 经过抛物线与y轴的交点C，点F 在线段 上，连接，，求的度数．
(3)将抛物线向左平移一个单位长度，得到一个新的抛物线，则在 y 轴正半轴上是否存在一点Q，使得当经过点Q 的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有 为定值？若存在，请求出点 Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，Q的坐标为，定值为4
【分析】（1）根据题意得到，，联立求出a、b的值即可求解析式；
（2）先求出，再由抛物线与y轴的交点，可得，设，过点D作轴于点N，过点E 作，交 的延长线于点M，可证明，则，即 ，解得，求出，再由，求出，所以轴，则；
（3）平移后的新抛物线对应的函数解析式为，设直线对应的函数解析式为，则，设，，当 时，， ，得到，令，则，根据题意得到方程组，解方程组进而可得结论．
【详解】（1）解：∵ 抛物线经过点，
∴，
∴，
∵ 抛物线 与x轴只有一个公共点，
即 ，
解得或，
∵，
∴，
∴，
∴抛物线对应的函数解析式为 ，
∴点A 的坐标为；
（2）解：∵点在抛物线上，
，
解得或，
∵，
∴，
∴，
∵ 抛物线与 y 轴的交点C 的坐标为，
∴，
∴，
∴ 直线对应的函数解析式为，设点 ，
如图，过点D作轴于点N，过点E 作，交 的延长线于点M，
∴，，
∴，，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又 ∵，
∴，
∴，即 ，
解得 ，
，
，
，
∴，
∴轴，
∴；
（3）解：存在，平移后的新抛物线对应的函数解析式为，
设直线对应的函数解析式为，则，
设，，
当 时，， ，
∴，
，，
，
令 ，则，
，
，
，
解得，
∴在y轴正半轴上存在一点Q，使得 为定值，定值为4，此时点Q的坐标为．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，待定系数法求直线解析的方法是解题的关键．
题型七 角度存在性问题
25．（2025·江苏徐州·三模）如图，已知抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点C，且．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点Q是抛物线上的一动点，连接交于点P，过点P作，交于点E，
①求面积的最大值及此时点P的坐标；
②是否存在Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①面积的最大值为3，此时；②存在，
【分析】本题是一道函数综合题，主要考查了二次函数图象的性质，二元一次方程组的解法，相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数相关知识是解题的关键．
（1）根据A，B，C三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）①本题要通过求的面积与P点横坐标的函数关系式而后根据函数的性质来求的面积的最大值以及对应的P的坐标．的面积无法直接表示出，可用和的面积差来求，设出P点的坐标，即可表示出的长，可通过相似三角形和求出，然后根据二次函数最值即可求出所求的值；
②根据题意易得，然后根据相似比例求出的值，进而求出P的坐标和解析式，再与二次函数解析式联立求出Q的坐标．
【详解】（1）解：，
，
将代入，
解这个方程组，得，
∴此抛物线的解析式：；
（2）①设，则
，
，
，
，
∴当时，面积的最大值为3，此时；
②存在，．理由如下：
，
，
，
，
，
解析式为，
联立
解得（不合题意，舍去），，
．
26．（2025·辽宁鞍山·一模）已知抛物线与轴交于、两点，点在点左边，点的坐标为，且抛物线的对称轴是直线，
(1)求此抛物线的表达式．
(2)在抛物线的对称轴右边的图象上，是否存在点M，使锐角三角形的面积等于3．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在（1）（2）条件下，若P点是抛物线上的一点，且，求的面积．
【答案】(1)；
(2)存在点，使锐角三角形的面积等于3；
(3)8
【分析】（1）根据抛物线对称轴解析式列式求出，再把点的坐标代入求出，即可得解；
（2）根据抛物线解析式求出点的坐标，再求出的长度，然后利用三角形的面积公式求出点到的距离，然后根据是锐角三角形判断点在轴下方，从而确定点的纵坐标，再代入抛物线解析式计算求出横坐标，从而得解；
（3）根据点的坐标可得，然后求出，从而写出直线的解析式，与抛物线解析式联立求出点的坐标，再利用勾股定理求出、的长度，然后根据直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半计算即可得解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线，
解得，
点在抛物线上，
，
解得．
所以此抛物线的表达式为；
（2）解：存在．
理由如下：令，则，
解得，，
点在点左边，
点的坐标为，
，
设点到的距离为，则，
解得，
是锐角三角形，
点应该在轴的下方，
点的纵坐标为，
代入抛物线解析式得，，
即，
解得，，
又点在对称轴右边的图象上，
点的横坐标为2，
点的坐标为，
此时，过点作轴于点，则，，
，，
，是锐角，
是锐角三角形，
故存在点，使锐角三角形的面积等于3；
（3）
解：由（2）得，
，
，
点在直线上，
联立，
解得（舍去），，
点的坐标为，
根据勾股定理，，
，
所以的面积．
【点睛】本题是对二次函数的综合考查，主要利用了二次函数的对称轴，点在抛物线上，三角形的面积，直角三角形的面积以及直线与抛物线的交点的求解，难度不是很大，先求出抛物线的解析式是解题的关键，数据的巧妙设计也是本题的一大特点．
27．（2025·江苏无锡·三模）如图，抛物线与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点是抛物线上一点，点是线段上一点，连接并延长交抛物线于点，若，求点的坐标；
(3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)点坐标为
(3)存在，点坐标为或
【分析】本题主要考查了抛物线和平行线，圆的知识的综合，掌握待定系数法求解析，二次函数与几何图形的综合运用，圆的基础知识，数形结合分析思想是解题的关键．
（1）用待定系数法，把点代入中，求出，即可得到表达式．
（2）过作的垂线，得对应线段成比例，再找出各坐标之间的关系，列方程，求点坐标．
（3）添加过三点的圆，利用度圆周角，得到度圆心角，利用勾股定理，找到各线段的长，求出半径，设的坐标，既在抛物线上又在圆上，列方程，求出的坐标．
【详解】（1）解：把点代入中，
∴，
解得，，
∴．
（2）解：作于，于，
当时，，
∴点坐标为，
设解析式为：，
，
解得，
∴，
∵，
∴，
∵于，于，
∴，
∴，
∴，
设点坐标为，
∴点坐标为，点坐标为，点坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，
∴，
解得，
∴点坐标为．
（3）解：作过三点的圆，连接，作于，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴点坐标为，
∴，
∴，
设点坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，（不合题意舍去），，
∴，
∴，
∴，
∴点坐标为或．
28．（2025·江苏宿迁·二模）如图，已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)若点是抛物线上在直线上方一点，连接，与交于点，直线把分成面积相等的两部分，求点的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，轴对称的性质，三角形的面积，三角函数，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）将点，分别代入抛物线，即可求解；
（2）求出直线的解析式为为，可设点的坐标为，由直线把分成面积相等的两部分可知，求出，继而可求出直线的解析式为，联立，即可解答；
（3）作点关于y轴的对称点E，过点E作于点F，则可求出，，，根据的面积求出，由勾股定理可得，即可求出，设点的坐标为，过点作于点，当点在直线上方时和当点在直线下方时，可得，解出m值即可得解．
【详解】（1）解：将、分别代入，得
，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）设直线的解析式为，将、分别代入，得
，解得，
∴直线的解析式为．
由点在上，可设点的坐标为，
当时，，
解得，
∴，
∴，
由得
∴，
∵直线把分成面积相等的两部分
∴，
即，
解得
∴的坐标为，
设直线的解析式为，将、分别代入，得
，解得，
∴直线的解析式为．
联立得
解得
∵点是抛物线上在直线上方一点，
∴，则．
∴．
（3）作点关于y轴的对称点E，过点E作于点F，则
，，，
，
∴，，
∴，
即
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
即．
抛物线的顶点为，
∴．
设点的坐标为，过点作于点，当点在直线上方时，如图1，
有，
∴，
即，
解得，
∴当时，
当时，（不合题意，舍去）．
∴
当点在直线下方时，如图2，
有，
∴，
即，
解得，
当，且在直线下方时，
，不合题意，舍去．
∴当时，．
∴．
综上所述，点或．
题型八 函数交点问题
29．（24-25九年级下·广东广州·月考）在平面直角坐标系中，已知，设函数的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程、一次函数的图象，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键．先利用一元二次方程根的判别式可得一元二次方程有两个不相等的实数根，从而可得函数的图象与轴有2个交点，即，再分两种情况：①当，且中有一个数等于0时，②当，且均不等于0时，利用一次函数的图象、一元二次方程根的判别式可得的值，由此即可得．
【详解】解：∵，
∴一元二次方程根的判别式为，方程有两个不相等的实数根，
∴函数的图象与轴有2个交点，即．
①当，且中有一个数等于0时，则，，
∴函数的解析式为，其图象与轴有1个交点，即，
∴此时；
②当，且均不等于0时，则，
一元二次方程根的判别式为，方程有两个不相等的实数根，
∴函数的图象与轴有2个交点，即，
∴此时；
综上，或，
故选：C．
30．（2025·河北唐山·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点和，若直线与线段有交点，则的取值范围是__________．
【答案】或
【分析】本题考查了一次函数与线段相交求参数问题，分别把点的坐标分别代入得的值，根据一次函数的性质得到的取值范围，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：当点在上时，
∴，解得，
当在代入上时，，
∵直线与线段有交点，
∴的取值范围或，
故答案为：或．
31．（2025·江苏盐城·一模）点和点在二次函数图象上，
(1)当时，时
①求证：；
②已知点和点，若二次函数
的图象与线段只有一个交点，求的取值范围；
(2)当时，求证：．
【答案】(1)①见解析；②；
(2)见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）①由题意得方程的解为，，由根与系数的关系得，再根据，即可判断；
②利用待定系数法求得直线的解析式为，再利用待定系数法求得抛物线的解析式，联立得，求得两根为（不在内，舍去），，得到，据此求解即可；
（2）由题意得到点和点，代入求得，，再代入到，整理得，据此证明即可．
【详解】（1）①证明：当时，时，点和点，
∴方程的解为，，
由根与系数的关系得，
∵，∴；
②解：设直线的解析式为，
将点和点代入得，
，解得，
∴直线的解析式为，
将点和点代入得，
，解得，
∴，联立得，
整理得，
，
∵，
∴，
∴方程总有两个实数根，
解得，
即（不在内，舍去），，
∴，，
∵，
∴，，
解得；
（2）解：当时，点和点，
将和代入得，
，
解得，，
∴，
∴，
整理得，
∵，，
∴．
32．（2025·江苏南京·一模）在平面直角坐标系，二次函数的图象与轴交于点，将点向右平移个单位长度得到点，点恰好也在该函数的图象上．
(1)写出该函数图象的对称轴；
(2)已知点．
①若函数图象恰好经过点，求的值；
②若函数图象与线段只有一个交点，结合函数图象，直接写出的取值范围．
【答案】(1)对称轴为
(2)①；②或
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质，对称轴的计算，图形交点的计算方法是解题的关键．
（1）根据点的平移即对称轴的计算方法即可求解；
（2）①根据二次函数的对称轴，可得，结合二次函数过点，即可求解；②根据二次函数图象的性质可得顶点坐标为，分类讨论，当时，点在二次函数图象上；当时，点在二次函数图象上；图形结合分析即可求解．
【详解】（1）解：二次函数图象与轴交于点，则，
∵点向右平移个单位长度得到点，点 恰好也在该函数的图象上，
∴，
∴该函数图象的对称轴为，
∴对称轴为；
（2）解：①∵二次函数图象的对称轴为，
∴，
∵二次函数图象过点，
∴，
∴，
∴，
解得，；
②根据题意，，
∴二次函数解析式为，
∴当时，，即顶点坐标为；
当时，，即二次函数与轴的交点为；
当时，，
解得，；
∴当时，如图所示，

∴点在二次函数图象上，
∴，
解得，，
∴当时，二次函数与线段只有一个交点；
当，如图所示，

∴点在二次函数图象上，
∴，
解得，，
∴当时，二次函数与线段只有一个交点；
综上所示，的取值范围为：或．
题型九 函数新定义问题
33．（2025·江苏泰州·二模）综合实践项目主题：从函数角度探究“大型滑滑梯的设计”．
抽象建模
如图1为滑滑梯实物图．首先，把滑滑梯的滑道抽象地看成一条曲线，如图2所示．其次，建立平面直角坐标系：以水平面为x轴，过曲线最高点A垂直于水平面的直线为y轴，探究发现该曲线整体不是单一的二次函数或反比例函数图像的一部分，但可近似看成是某个二次函数图像一部分与某个反比例函数图像一部分的结合．整条曲线共为、、三段，其中，曲线为冲刺部分，曲线为缓冲部分，曲线为降速部分．
数据与定义
已知，，．现给出如下定义：对于二次函数，称作该二次函数图像的“曲度”；对于反比例函数，称作该反比例函数图像的“曲度”．点P到曲线竖直距离是指：点到曲线上横坐标为的点的距离．
问题解决
(1)从二次函数及反比例函数图像特征看，降速部分是________（只需填序号：①二次函数图像的一部分②反比例函数图像的一部分）；
(2)根据曲度的定义，为使滑梯更安全，曲线所在的函数图像“曲度”应该调________（填“大”或“小”）；
(3)兴趣小组发现整条曲线各段所在函数图像的“曲度”是一致的，且缓冲部分曲线是冲刺部分曲线或降速部分曲线所在函数图像的一部分，为进一步验证，可计算曲线上一点到这两段曲线所在函数图像的竖直距离，通过比较距离大小来判断（距离越小，则属于该函数的图像的可能性越大）．现测得缓冲部分一点，通过计算判断曲线更可能是哪段曲线所在函数图像的一部分．
【答案】(1)②
(2)小
(3)曲线更可能是段曲线所在函数图像的一部分
【分析】本题考查二次函数与反比例函数的应用以及待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
（1）根据题意结合反比例函数的性质即可求解；
（2）根据抛物线的性质，曲度的定义，为使滑梯更安全，“曲度”应该调小，
（3）待定系数法求得反比例函数解析式，进而可得，再将，代入，再待定系数法求解析式，分别求得纵坐标，和的纵坐标比较，即可求解．
【详解】（1）解：∵段的函数值越来接近，符合反比例函数的特征，
∴降速部分是反比例函数图像的一部分，
故答案为：②．
（2）曲线所在的函数图像为二次函数，根据曲度的定义，为使滑梯更安全，抛物线开口要增大，即“曲度”应该调小，
故答案为：小．
（3）解：∵在上，
代入得，，
∴
∵“曲度相等”
∴
∵二次函数经过，，
∴
解得：
∴
当代入得，，
∴
当代入得，，
∴
∴
∴段更可能是段曲线所在函数图像的一部分．
34．（2025·江苏宿迁·三模）已知二次函数，我们定义其“开口大小”如下：若存在一点在该抛物线上，满足，其中为抛物线的顶点，则称为该抛物线的开口大小，称点P为抛物线的“标志点”．如：二次函数的顶点坐标为，在函数图像上取点，则有，所以二次函数的开口大小为，“标志点”为，根据上述材料，解决下列问题：
(1)抛物线的开口大小是______；
(2)对于抛物线，是否存在满足定义条件的“标志点”？若存在，求出点的坐标，若不存在，请简要说明理由；
(3)已知某抛物线的“标志点”为，且开口大小为4，求该抛物线的解析式．
【答案】(1)2
(2)存在，标志点
(3)抛物线的解析式为或
【分析】题目主要考查二次函数的性质，新定义的理解，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）根据题意确定顶点坐标，再由标志点的定义得出，即可求解开口大小；
（2）设标志点，则，根据题意得出抛物线的顶点坐标为：，根据定义得出方程求解判断即可；
（3）设抛物线的解析式为，顶点坐标为，根据题意得出，分两种情况分析：当时，当时，结合定义分别求解即可．
【详解】（1）解：解：∵，
∴顶点坐标为，
∵在该抛物线上，满足，
∴，
解得：或（舍去），
当时，，
∴开口大小为：，
故答案为：2；
（2）设标志点，则，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为：，
∵标志点在该抛物线上，满足，
∴，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去）或，
当时，，
∴标志点；
（3）设抛物线的解析式为，顶点坐标为，
∵开口大小为4，“标志点”为，
∴，
∴，
当时，，
∴，
此时，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
将点代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
当时，，
∴，
此时，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
将点代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
综上可得：抛物线的解析式为或．
35．（2025·江苏扬州·二模）已知，二次函数．
(1)如图，该二次函数图象交轴于点、，交轴于点，点是函数图象上一动点．
①求该二次函数表达式；
②当时，求点的坐标；
(2)定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”．在的范围内，若该二次函数的对称轴为直线，且图象上有且只有1个“三倍点”，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①；②或
(2)或
【分析】此题考查了一次函数和二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键．
（1）①由待定系数法即可求出答案；②当时，则直线的表达式为，联立解一元二次方程即可得到答案；
（2）由定义可知，求得，当与只有一个交点时，有两个相等的实数根，则，解得，当时，，则当函数过时满足题意，当时，，当函数过时满足题意，据此即可得到答案．
【详解】（1）解：①由题意可得，
，
解得，
∴该二次函数表达式为；
②当时，，
解得，
∴，
当时，则直线的表达式为，
和抛物线解析式联立得到，或，
解得（舍去）或或，
即点的坐标为或；
（2）由定义可知，
由题意可得， ，解得，
∴抛物线解析式为
当与只有一个交点时，
有两个相等的实数根，
∴，
解得，
当时，
当函数过时满足题意，
∴，解得，
当时，
当函数过时满足题意，
则，解得，
∴或
36．（2025·福建泉州·二模）定义：三角形的三个顶点都在二次函数的图象上，若该三角形的重心恰好在x轴上，则称此三角形为“平稳三角形”．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，A是二次函数图象上的一点，且点A在第三象限．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若为“平稳三角形”，中线AD交x轴于点G，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数与几何综合，待定系数法求函数表达式、重心的概念，正确利用中点公式是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）为“平稳三角形”，则可得到点，求出直线的表达式为，进而求解．
【详解】（1）解：将点，代入，
得，
解得，
所以二次函数的表达式为；
（2）解： 为“平稳三角形”，是的中线，交x轴于G点，
G是的重心，
设交x轴于点H，
是的中线，
点的纵坐标为，
令，则，解得，（舍去），
．
是的中线，
D为的中点，
，
设直线的表达式为，
将与代入，
得，
解得，
所以直线的表达式为，
令，则，解得，
，
．
题型十 函数与几何图形综合
37．（2025·江苏苏州·二模）如图，平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，反比例函数的图像经过的中点，与边相交于点，且反比例函数的图像经过点，连接，则与的面积比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，根据题意表示出，，设，得到，然后根据点D是的中点得到，代入求出，然后表示出，，然后表示出与的面积，进而求解即可．
【详解】解：∵反比例函数的图像经过的中点，
∴设
∵的顶点在轴正半轴上，
∴点A的横坐标为0，
∴点B的横坐标为
∵
∴点E，点C的横坐标为
∵点E在，反比例函数图象上，反比例函数的图像经过点，
∴，
设
∴
∴
∵点D是的中点
∴
∴
∴，
∴，
∴的面积，的面积
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查了反比例函数和几何综合，平行四边形的性质，中点坐标公式等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
38．（2025·江苏南通·一模）如图，矩形的边，分别在轴、轴上，点在第一象限，点的坐标为，反比例函数的图象分别交边、于点、，连接，与关于直线对称．当点正好落在边上时，则的值为__________．
【答案】
【分析】本题主要利用图形的对称，三角形相似及反比例函数的性质来解决问题．把各个边的长表示来，再利用勾股定理即可解决．如图，连接，过点作，垂足为，用含的代数式表示，的坐标，设，求出直线、的斜率，根据两条垂直的直线的斜率相乘，乘积为求出的值，证明，根据对应线段成比例列式求出的值．
【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为，
根据题意可知，，，
直线的斜率，
在上，
故可设坐标为，
直线的斜率，
与关于直线对称，
，
，
即，
解得，
，
，
，
又，
，
，
即，
解得．
39．（2025·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为，，．
(1)如图，当经过点时，求直线的函数表达式；
(2)设，与矩形重叠部分的面积为；
①如图，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示 ；直接写出的取值范围 ；
②请直接写出满足的所有的值 ．
【答案】(1)直线的解析式为
(2)①，；②或5
【分析】（1）根据平移的性质可得是等腰直角三角形，根据矩形的性质可得，从而得到，最后用待定系数法即可求得答案；
（2）①根据，即可求得，再结合题意列不等式组即可求得；
②分五种情况讨论：当时，与矩形重叠部分为三角形；当时，与矩形重叠部分为四边形梯形；当时，重叠部分为梯形；当时，与矩形重叠部分为五边形；当时，重叠部分为矩形，分别画出图形，结合图形建立方程求解即可．
【详解】（1）解：如图①，当经过点时，
矩形的顶点，
，
由平移的性质可得：为等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
设直线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
直线的解析式为：；
（2）解：①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，
矩形中，，
四边形是矩形，
设，则，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为：，；
②分以下五种情况讨论：
当时，与矩形重叠部分为三角形，如图，

重叠部分的面积为：，
，
，
解得：，
，
不符合题意，此时重叠部分面积不可能为；
当时，与矩形重叠部分为四边形梯形，如图，

则，
，
，
解得：，
，
符合题意；
当时，重叠部分为梯形，为定值，不能等于；
当时，与矩形重叠部分为五边形，
由①知：，
，
解得：舍去，；
当时，重叠部分为矩形，如图，
，
，
当时，，不符合题意；
综上所述，满足的所有的值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题是矩形综合题，考查了矩形性质，等腰直角三角形的判定和性质，平移变换的性质，三角形、梯形、矩形面积等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想．
40．（2025·江苏徐州·模拟预测）在中，已知，，，以所在直线为轴，为坐标原点建立直角坐标系，将绕点按逆时针方向旋转得到（图1）

(1)直接写出C、F两点的坐标．
(2)沿轴的负半轴以1米秒的速度平行移动，设移动后秒（图2），与重叠部分的面积为，当点移动到的内部时，求与之间的关系式．
(3)若与同时从点出发，分别沿轴、轴的负半轴以1米秒的速度平行移动，设移动后秒（如图3），与重叠部分的面积为，当点移动到的内部时，求与之间的关系式，并求出重叠部分面积的最大值．
【答案】(1)，
(2)
(3)，重叠部分面积的最大值是
【分析】（1）根据勾股定理和坐标知识可求出，的坐标；
（2）因为，以及重叠部分的面积可用四边形和三角形的面积来表示出来，从而可求出解析式；
（3）分两种情况：当时和当时进行讨论，分别求出表示面积的解析式，然后根据二次函数最值求解即可．
【详解】（1）解：如图，过作轴，过作轴，

∵在中，已知，，，
∴，
，
，
则，，
∴，
∵将绕点按逆时针方向旋转得到，
∴同理可得，，
∴；
（2）解：如图，设与交于点，与轴交于点，

由题意得，，，
，，
，
，
，
，
点移动到的内部，
，
解得：，
与之间的关系式为；
（3）解：2秒后，移动到的内部，
当时，如图，，，

由（1）知，则
轴，
，
，
，
，
当时，有最大值；
当时，如图，延长与交于点，
，即，
，
，
，
当时，有最大值；
综上所述，与之间的关系式为，重叠部分面积的最大值是．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平移的性质，二次函数的性质和最值的求法，平行四边形的性质等知识点，掌握相关知识是解决问题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合能力，适合有能力解决压轴难题的学生
1．（2025·江苏淮安·一模）已知二次函数（为常数，且，下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当时，随的增大而减小；④当时，随的增大而增大．上述结论中正确结论的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．先求得，可判断①错误；②正确；由抛物线对称轴为，可判断③正确；④错误．
【详解】解：∵抛物线对称轴为，，
∴二次函数图象必经过第一、二象限，
又∵，
∵，
∴，
当时，抛物线与x轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限，
当时，抛物线与x轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限，
故①错误；②正确；
∵抛物线对称轴为，，
∴抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，故③正确；
∴当时，y随x的增大而增大，故④错误，
综上，正确的有②③，共2个，
故选：B．
2．（2025·陕西西安·一模）已知二次函数（a为常数，且），当时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．当时，抛物线开口向上，则抛物线在顶点处取得最小值，在时取得最大值，当时，，当时，，则，即可求解．
【详解】由抛物线的表达式知，函数的对称轴为直线，
则比距离对称轴远，
当时，抛物线开口向上，则抛物线在顶点处取得最小值，在时取得最大值，
当时，，
当时，，
则，解得，，
故选：C．
3．（2025·江苏宿迁·一模）如图，点为反比例函数图像上的一点，连接，过点作，交反比例函数图像于点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过A作轴于M，过B作轴于N，设，证明，求出，，则，然后根据待定系数法求解即可．
【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于N，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
4．（2025·浙江宁波·一模）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数 的图象上，延 长交x轴于C点，且，D是第二象限一点，且，若的面积是15， 则k的值为（ ）
A．8B．10C．11.5D．13
【答案】B
【分析】本题考查的是反比例函数的的几何意义，过作轴于，过作轴于，连接，证明，可得，设，而，可得，再进一步求解即可.
【详解】解：过作轴于，过作轴于，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，而，
∴的纵坐标为，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故选：B
5．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象交于点，将直线绕点逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是( )
A．或B．或
C．且D．或
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论．当在原点右侧时，点坐标为，设旋转后的直线的解析式为：，得到，求出；当在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出，即可得到的取值范围．
【详解】解：当在原点右侧时，点坐标为，
直线绕点逆时针旋转，
所得的直线与直线平行，
设这条直线的解析式为：，
这条直线经过第一、二、四象限，
，
在直线上，
，
，
，
，
；
当在原点左侧时，
设这条直线的解析式为：，
同理：，
，
，
，
，
．
的取值范围是或．
故选：B．
6．（2025·江苏苏州·二模）若，，且，的最小值为，最大值为，的值为__．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的最值，解一元一次不等式，解答本题的关键是能够根据自变量的取值范围确定函数的最值．根据，可得，再根据，即可求得的取值范围；根据，可得，根据的取值范围和二次函数的性质即可求得和的值，从而求得的值．
【详解】解： ，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
当时，有最小值，
当时，有最大值，
，，
，
故答案为：．
7．（2025·陕西西安·一模）如图，平面直角坐标系中，连接，过反比例函数图象上的点向轴引垂线，垂足为点，交于点；过点向轴引垂线，垂足为点，交于点，若，则k＝_____．
【答案】3
【分析】如图，过点作轴于点，过点作轴于点，由，可得是等腰直角三角形，即可得出，再结合即可得出，利用矩形性质可得，，即可求得答案．
【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
四边形和四边形是矩形，
，，
．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形等，根据找出是解题的关键．
8．（2025·江苏盐城·三模）如图，点在反比例函数图象上，连接 并延长与反比例函数图象相交于点，连接与反比例函数图象交于点，若，则面积为_____．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，一次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的应用．
设点的坐标是，点的坐标是，作轴，且，作于点，则，则，得到，推出，代入反比例函数可得到，直线的解析式是，进而得到直线与轴点的交点，根据，求出，作轴于点，轴于，得到，，，推出得到，连接，即可求解．
【详解】解：设点的坐标是，点的坐标是，作轴，且，作于点，则，
∴
∴，
又∵，，
∴，，
∴，即，
又∵点在反比例函数 图象上，
∴，
整理可得：，
∴，
∴，
又∵
∴，
设直线的解析式是，
∴，解得：，
∴直线的解析式是，
令，则，
∴直线与轴点的交点，
∴
，
作轴于点，轴于，
∴，，，
∴
∴，
∴，
连接，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
9．（2025·江苏泰州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数上，点是图像上的一个动点，当面积最大时，点绕点顺时针旋转，其对应点的坐标为，则的值为_______．
【答案】
【分析】延长交y轴于点A，过点N作轴于点D，过点作轴于点B，交于点C，可得四边形是矩形，得，求出反比例函数和，求出直线解析式为∴，设过点P平行的直线解析式为，当面积最大时，与函数相切，联立，得， ，得，求出直线解析式为，得，得，得，得，求出，得是等边三角形，得，得，得，得,证明，得，得，得，即得．
【详解】解：延长交y轴于点A，过点N作轴于点D，过点作轴于点B，交于点C，
则，
∴四边形是矩形，
∴，
∵点在反比例函数上，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴，
设过点P平行的直线解析式为，当面积最大时，与函数相切，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴由旋转知，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合．熟练掌握矩形判定和性质，待定求反比例函数和一次函数解析式，一元二次方程根的判别式，直角三角形判定和性质，等边三角形判定和性质，含30度的直角三角形判定和性质，勾股定理，是解题的关键．
10．（2025·江苏南通·二模）如图，在平面直角坐标系中，平面内有一动点，定点，，连结．若点只在第一象限内运动，过点作于，当取得最大值时，点的坐标是_________．
【答案】
【分析】根据题意画出示意图，作轴，交于点，求出直线的解析式、的长，设，结合解直角三角形的相关计算求出，当时，取最大值，即可求出点的坐标．
【详解】解：依题得，点在的函数图象上，
且需满足，，
当时，，
当时，，
即定点，为函数与坐标轴的交点，
作轴，交于点，
设直线的解析式为，
将，代入可得，
解得，
即直线的解析式为，
，，
中，，
，
，
，
，
，
在中，，
当最长时，最长，
，则，
，，
，
，
，
，
，
当时，取最大值，
此时点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、求一次函数的解析式、勾股定理、解直角三角形的相关运算，解题关键是通过作辅助线找出何时取得最大值．
11．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与二次函数的图象交于y轴上的一点B，二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点M为一次函数下方抛物线上的点，的面积最大时，求点M的坐标；
(3)设一次函数的图象与二次函数的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且为直角三角形，求点P的坐标．
【答案】(1)二次函数的表达式为
(2)
(3)点P的坐标为和
【分析】（1）根据交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且．得出可设二次函数，进而求出即可；
（2）作于H，轴交于点G，易证，设，则，可表示出，进而求出的函数解析式，进而即可求解；
（3）根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时进行分类讨论，利用三角形相似对应边成比例求出即可．
【详解】（1）解：∵交x轴于点A，
∴，
∴，
∴，
∵直线与y轴交于点B，
∴B点坐标为，
∵二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且，
∴可设二次函数，
把代入得，，
∴二次函数的表达式：；
（2）解：作于H，轴交于点G，
则，
∴，
∴，
设，则，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
当时，最大，此时，，
∴；
（3）解：（I）当点B为直角顶点时，过B作交x轴于点，则，如图1，
∴，
∴，得，
∴；
（II）当点D为直角顶点时，作，如图2，
将与联立，
得
解得（舍去）或，
将代入得，，
∴D点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，则，
故点坐标为；
（Ⅲ）当P为直角顶点时，过点D作轴于点E，如图3，
设，
则由，得，
∴，
∵方程无解，
∴点不存在，
∴点P的坐标为和．
【点睛】此题主要考查了二次函数综合应用以及求函数与坐标轴交点和相似三角形的判定与性质等知识，关键是根据已知进行分类讨论得出所有结果．
12．（2025·江苏泰州·三模）已知：一次函数与反比例函数的图象交于，点，
(1)求一次函数及反比例函数的表达式；
(2)设一次函数的图象与轴、轴的交点分别为、，反比例函数的图象关于直线的对称的图形，记为图形，图形与轴、轴的交点分别为、，求的长；
(3)点是反比例函数图象上、间的一个动点（不与，重合），过作轴，交图形于，求的最大值．
【答案】(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为．
(2)．
(3)1
【分析】（1）先将点代入反比例函数求出，再代入点求出，最后将、代入一次函数求解表达式．
（2）先求出一次函数与坐标轴交点、，再根据对称性质求出、坐标，进而求的长．
（3）设出点坐标，结合对称性质表示相关点坐标，得出的表达式，再利用二次函数性质求最大值．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数上，
∴，
∴，
∴反比例函数表达式为．
∵点在上，
∴，即．
∵一次函数过、，
∴，解得，
∴一次函数表达式为．
（2）解：对于一次函数，
令，则，
∴；
令，则，解得，
∴．
∴，
如图，过点作交于点，过点作交于点，交于，则四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴与关于直线对称，与关于直线对称，
∵反比例函数的图象关于直线对称得到图形，
∴与关于直线对称，与关于直线对称，
∴，，
对于，当时，，解得，当时，，
∴，，
．
（3）解：设（），令交直线于点，过作轴，交反比例函数于点R，
∵，，轴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴
∴，
∴和关于对称，
∵反比例函数的图象关于直线对称得到图形，
∴点和点关于直线对称，即，
∵设（），
∴，，
，
，
当时有最小值，即取最大值，
此时最大．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，包括函数表达式的求解、图形的对称以及最值问题，熟练掌握函数的性质、对称的性质以及利用二次函数求最值是解题的关键．
13．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当时，抛物线对应的函数值的最小值为，求的值；
(3)当时．
①抛物线与轴的左侧交点为点，点分别为抛物线的顶点，试判断以点为顶点的四边形的形状，并说明理由；
②抛物线与直线相交于点，若轴平分线段，求的值．
【答案】(1)
(2)的值为3
(3)①以点为顶点的四边形为平行四边形，见解析，②
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）由平移规律得抛物线，其对称轴为直线，顶点的纵坐标为，根据抛物线对应的函数值的最小值为，得抛物线的顶点的横坐标不在内，求得，根据在内，随的增大而增大，得当时，，即，从而可求出的值为3；
（3）①根据平行四边形的判定方法判断即可；
②联立方程得，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系得，由轴平分线段得，整理得，再代入可得结论．
【详解】（1）解：将和代入抛物线中，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：由（1）得抛物线，
∴由题意得抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点的纵坐标为．
要使在时，抛物线对应的函数值的最小值为，则抛物线的顶点的横坐标不在内．
∵，∴，
∴抛物线的对称轴在直线的左侧，此时，即，
∵抛物线的开口向上，
∴在内，随的增大而增大，
∴当时，，即，解得（舍去），，
∴的值为3；
（3）解：①以点为顶点的四边形为平行四边形．理由：当时，抛物线的表达式为．
如解图，连接，由抛物线的表达式可得，
由抛物线的表达式可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴以点为顶点的四边形为平行四边形；
②由①可知抛物线，
令，
整理，得，
则关于的一元二次方程的解为，可得，
∵轴平分线段，
∴，
整理，得．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，平行四边形的判定与性质，抛物线的平移，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
14．（2025·江苏泰州·三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标是，一个以为顶点的的角绕点旋转，角的两边与对角线交于点、．
(1)试说明在旋转的过程中，并求出的值；
(2)如图，过点作于点，过点作于点，延长、交于点，则点始终在某一函数图象上运动，试求出此函数关系并说明理由．
【答案】(1)见解析，；
(2)函数关系式为：，理由见解析
【分析】（1）根据两角相等证明，列比例式即可解答；
（2）设，，设，根据两点的距离公式可得，，再根据（1）中的等式：即可解答．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：此函数关系为：，理由如下：
如图，设，，
，，
，
，
四边形是矩形，
设，
正方形的边长为，
，，
，，
和是等腰直角三角形，
，，
，，
由可知：，
，，
，，
，
，
，
此函数关系式为：．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，坐标与图形性质，勾股定理，两点的距离公式，相似三角形的判定与性质，求函数解析式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
15．（2025·山东·二模）二次函数的图象过点，，连接，点是抛物线上一个动点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，若点在轴左侧的抛物线上运动，平移线段，使其一个端点与点重合，另一个端点恰好落在轴上，求点的坐标；
(3)如图2，若点在轴右侧的抛物线上运动，作直线，交轴于点，将直线绕点逆时针旋转得直线，交轴于点，连接，若，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或或
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）分两种情况：若点B恰好落在轴上；若点C恰好落在轴上，利用平移的性质解答即可；
（3）分三种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：若点B恰好落在轴上，
∵，
∴线段向下平移个单位，
∵，
∴点C的纵坐标为，
当时，，
解得：（不符合题意），
此时点C的坐标为；
若点C恰好落在轴上，
∵，
∴线段向下平移4个单位，
∵，
∴点C的纵坐标为，
当时，，
解得：，
此时点C的坐标为；
综上所述，点C的坐标为或；
（3）解：∵，
∴可设，则，
∴点F的坐标为或
设直线的解析式为，
∴，或
解得：或
∴直线的解析式为或，
∴，
由旋转的性质得：，
如图，过点E作，交直线于点P，过点A，P作分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，则，，
∴为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为，
把代入得：
，
解得：或，
∴点E的坐标为，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立得：，解得：或（舍去），
∴此时点C的坐标为；
如图，过点E作，交直线于点P，作轴，过点A，P作分别作x轴的平行线，交于点M，N，则，则，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点P到y轴的距离为，
∴点P的坐标为，
把代入得：
，
解得：或（舍去），
∴点E的坐标为，
同理直线的解析式为，
联立得：，解得：或（舍去），
∴此时点C的坐标为；
如图，过点E作，交直线于点P，作轴，过点A，P作分别作x轴的平行线，交于点M，N，则，则，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点P到y轴的距离为，
∴点P的坐标为，
把代入得：
，
解得：或（舍去），
∴点E的坐标为，
同理直线的解析式为，
联立得：，解得：或（舍去），
∴此时点C的坐标为；
综上所述，点C的坐标为或或．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，解题时综合运用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用，难度较大．
真题动向
题型一：函数自变量取值范围求解
题型二：待定系数法求函数解析式
题型三：比较函数值的大小
题型四：一次函数的性质
题型五：反比例函数的图象与性质
题型六：反比例函数k值的几何意义应用
题型七：二次函数a、b、c及判别式符号判断
题型八：二次函数的单调性
题型九：二次函数图象的平移
题型十：二次函数与方程
题型十一：二次函数与不等式
题型十二：函数的平移、翻折、对称问题
必备知识
知识1 一次函数的图象与性质
知识2 反比例函数的图象与性质
知识3 二次函数的图象与性质
知识4 二次函数的图象特征与各项系数之间的关系
知识5 函数的平移
命题预测
真题动向
题型一：动点问题的函数图象问题
题型二：线段最值问题
题型三：周长最值问题
题型四：特殊三角形存在性问题
题型五：特殊四边形存在性问题
题型六：线段、面积存在性问题
题型七：角度存在性问题
题型八：函数交点问题
题型九：函数新定义问题
题型十：函数与几何图形综合
命题预测
命题透视
命题形式：呈现 “数形结合、多函交汇、情境创新” 的特点，以函数图像、表格数据、实际场景为载体，兼顾选择填空的基础考查与解答题的综合探究，突出对运算求解、逻辑推理及数形转化能力的考查。
命题内容：侧重基础性质的灵活应用与综合压轴的分层突破，基础层聚焦三类函数的解析式、图像特征及与方程不等式的关联，压轴层深挖面积最值、特殊图形存在性、动点动态分析、含参分类讨论及新定义创新应用。
热考角度
考点
2025年
2024年
2023年
函数自变量取值范围、函数值
T12：（无锡）函数的自变量取值范围
T12：（苏州）一次函数自变量与函数值
T19：（南京）一次函数自变量与函数值
T2：（无锡）函数自变量的取值范围
T2：（无锡）函数自变量的取值范围
函数解析式
一次函数的图象与性质
T6：（南京）一次函数的翻折、旋转
T5：（无锡）一次函数的平移问题
反比例函数的图象与性质
T14：（南京）反比例函数的增减性求最值
T23：（苏州）反比例函数的图象与性质
T15：反比例函数的图象与性质
T16：根据反比例函数的定义求参数
T4：（南京）反比例函数的图象识别
反比例函数的k值意义
T9：（无锡）反比例函数k值意义
T14：（南京）反比例函数的k值意义
二次函数的图象与性质
T26：（南京）二次函数的图象与性质、平移
T27：（无锡）二次函数的图象与性质
T27：（苏州）二次函数的图象与性质
T10：（无锡）二次函数的图象与性质
T25：（南京）二次函数的图象与性质
T28：（无锡）二次函数的图象与性质
T25：（南京）二次函数的图象与性质
T28：（无锡）二次函数的图象与性质
动点与函数关系
函数与几何综合
T10：（无锡）一次函数、反比例函数与几何综合
命题预测
.函数图像与性质（核心模块）
核心考点：
一次函数：k、b符号与图像象限、增减性、与坐标轴围成三角形面积；
反比例函数：k的几何意义、双曲线上点的坐标特征；
二次函数：a、b、c及Δ符号判断、对称轴与顶点坐标、最值计算、与x轴交点及根的分布。
综合趋势：
函数（一次/二次/反比例）+方程/不等式+几何图形（三角形、四边形）的方案设计与最值问题将成为小压轴主流，强调建模与分析能力；
函数动点问题、特殊图形存在性问题（等腰三角形、平行四边形等）是高频压轴方向。
备考建议（函数图像与性质）
夯实基础：熟练掌握三类函数的图像特征、性质及解析式求解方法，确保基础题不丢分；
突破中档：重点训练数形结合思想、参数讨论、整数解问题，总结函数与面积、线段长的解题模板；
强化综合：针对“函数+方程/不等式+几何”综合题，提炼建模步骤，提升分析与表达能力；
关注创新：熟悉新定义函数、函数图像变换、动点探究题型，培养迁移与推理能力。
求解函数自变量取值范围，需根据表达式类型确定限制条件：整式取全体实数，分式分母不为零，根式被开方数非负，零次幂底数不为零，实际问题需符合实际意义。
反比例函数 k 值的几何意义应用，关键是过图象上的点作坐标轴的垂线，利用所得矩形面积等于 | k|、三角形面积等于 | k|/2 的性质，将面积问题转化为求 k 值或利用 k 值求面积。
判断二次函数 a、b、c 及判别式符号，需观察抛物线图象：开口方向定 a，对称轴位置定 b（左同右异），与 y 轴交点定 c，与 x 轴交点个数定判别式 Δ。
二次函数图象的平移，关键是掌握 “左加右减，上加下减” 的口诀，将原函数解析式化为顶点式后，根据平移方向和距离调整 h、k 的值即可。
k的符号
图像
图像的位置
增减性
k＞0
图像经过原点
和第一、三象限
y随x增大而增大
k＜0
图像经过原点
和第二、四象限
y随x增大而减小
一次函数
k、b
的符号
k＞0
k＜0
b＞0
b＝0
b＜0
b＞0
b＝0
b＜0
图像
趋势
从左向右看图像呈上升趋势
从左向右看图像呈下降趋势
增减性
y随x增大而增大
y随x增大而减小
与y轴交点的位置
正半轴
原点
负半轴
正半轴
原点
负半轴
经过
的象限
第一、二、
三象限
第一、三象限
第一、三、
四象限
第一、二、
四象限
第二、四象限
第二、三、
四象限
平移变换
平移方式（m＞0）
函数解析式
向上平移m个单位
向下平移m个单位
向左平移m个单位
向右平移m个单位
对称变换
变换方式
变换后
关于x轴对称
关于y轴对称
关于原点对称
表达式
图像
k＞0
k＜0
图像无限接近坐标轴，但不相交
图像无限接近坐标轴，但不相交
经过象限
一、三象限（x、y同号）
二、四象限（x、y异号）
增减性
在每个象限内，y随x的增大而减小
在每个象限内，y随x的增大而增大
基本形式
图象
a>0
a0
开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值；
a0
在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大.
a