【数学】海南儋州市2025-2026学年高一年级第二学期期中学业质量监测试题（学生版+解析版）

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一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）
1. 已知复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，则，故的虚部为.
2. 已知与为非零向量，，若三点共线，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】由题意知，三点共线，
故,且共线，
故不妨设，则，
所以，解得，
故选：D.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为
，
所以．
4. 在复平面内，复数对应的点在第二象限，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为复数在复平面内对应的点在第二象限，
所以，解得，所以的取值范围为.
5. 雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则雷锋塔的高度约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在中，；
在中，；
由图可知，易知，
在中，，
根据正弦定理可得：，则.
故选：C.
6. 在中，已知，则向量在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】两边平方得，即，
又两边平方得，
即，即，
如图，，向量与的夹角为，，
所以向量在上的投影向量为.
7. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】将向左平移个单位长度得到的解析式为：
，
为偶函数，则有即，，
令依次为可得的值为，只有时为整数.
8. 在中，内角所对的边分别为，若，，则是（ ）
A. 正三角形
B. 一个内角余弦值为的直角三角形
C. 底角余弦值为的等腰三角形
D. 底角正弦值为的等腰三角形
【答案】C
【解析】因为，
所以，即，由及正弦定理，
得．
所以，即有，三角形不可能为等边三角形和直角三角形，排除AB；
所以该等腰三角形底角的余弦值为，C正确；
该等腰三角形底角正弦值为，D错误.
故选：C．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，全对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．共18分．）
9. 已知向量，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. 已知，若，则D. 与夹角的余弦值为
【答案】BC
【解析】对于A，易知，所以不垂直，即A错误；
对于B，，可得，可得B正确；
对于C，由且可得，解得，即C正确；
对于D，设与的夹角为，所以，
可得D错误.
故选：BC
10. 已知函数的部分图象如下图所示，下列说法正确的有（ ）
A. 函数在上单调递增
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的图象关于点对称
D. 该图象对应的函数解析式为
【答案】BCD
【解析】由图可知，，函数的最小正周期，则，
图象经过点，则得，因，则，
故函数的解析式为，故D正确；
对于A，当时，，
因函数在上先减后增，故A错误；
对于B，因为函数的最小值，故B正确；
对于C，因，故C正确；
故选：BCD.
11. 在中，内角所对的边分别为，已知，，则（ ）
A.
B. 的周长的最大值为
C. 当最大时，的面积为
D. 的取值范围为
【答案】BCD
【解析】对于A选项，因为，
由正弦定理可得，整理可得，
由余弦定理可得，因为，故，A错；
对于B选项，因为，由余弦定理和基本不等式可得
，即，
当且仅当时，等号成立，故的周长为，
即的周长的最大值为，B对；
对于C选项，由正弦定理可得，则，
当且仅当时，取最大值，此时，，，C对；
对于D选项，由正弦定理可得，
则，，
所以
，
因为，则，可得，
则，D对.
故选：BCD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则__________.
【答案】
【解析】因为是关于的实系数方程的一个复数根，
所以是关于的实系数方程的另一个复数根，
因此
故答案为：.
13. 已知，如果与的夹角为钝角，则的取值范围是_____.
【答案】
【解析】向量与的夹角为钝角，则，解得或；
又向量与不共线，所以，解得且；
故所求的取值范围是.
故答案为：.
14. 函数的最小值是______
【答案】
【解析】，
当时，函数有最小值为.
四、解答题（本题共5小题，共77分．）
15. 已知，.
（1）求；
（2）若在复平面内对应的向量分别为，且，求实数的值.
解：（1）因为，所以
因为，所以.
（2）由（1）可知，则，
，因为，
所以，解得.
16. 如图，已知菱形的边长为，，为的中点，点在对角线上，且，设，．
（1）用向量，表示，；
（2）求的值．
解：（1）因为，，
所以；
因为，，所以，
所以．
（2）由题知，，，的夹角为，
所以.
17. 已知的内角所对的边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）点在边上，且，求的周长．
解：（1）由及正弦定理得：，
所以，
所以，
因为，所以，所以．
（2）在中，，解得，
在中，，所以，
所以周长．
18. 已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为．
（1）求的解析式；
（2）求函数单调递增区间和对称轴方程；
（3）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围．
解：（1），
，
，
因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，得，所以.
（2）令，
则，
所以的单调递增区间为;
令, 解得,
即的对称轴方程为.
由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，
得到函数，
再向左平移个单位得，
令，则，所以，
因为在上只有一个解，

由的图象可得，或，
所以的取值范围是
19. 成都市为迎接2022年世界大学生运动会，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形，根据自行车比赛的需要，需预留出，两条服务车道（不考虑宽度），，，，，为赛道，，，，．注：为千米．
（1）若，求服务通道的长；
（2）在（1）的条件下，求折线赛道的最长值（即最大）．（结果保留根号）
解：（1）在中，由正弦定理得：，；
在中，由余弦定理得，
，．
（2）在中，由余弦定理得：，
，，
，，
，．（当且仅当时取“”）