2025--2026学年海南省儋州市高二下册期中学业质量监测数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年海南省儋州市高二下册期中学业质量监测数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分， 共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设离散型随机变量X的分布列为
若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的有（ ）
A. B.
C. D.
10. 一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，下列结论正确的是（ ）
A. 从中任取3个球，恰有1个白球的概率是
B. 从中有放回地取球3次，每次任取1个球，恰好有2个白球的概率为
C. 从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则至少有1次取到红球的概率为
D. 从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第1次取到红球的条件下，第2次再次取到红球的概率为
11. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. 当时，中只有最大D. 当时，
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分.
12. 新高考实行“”选科模式，“3”表示“语文、数学、英语”三科必选，“1”表示从“物理、历史”两科中任选一科，“2”表示从“化学、生物、政治、地理”四科中任选两科．某些班规定选生物时必选化学，则不同的选科方法共有______种．
13. 展开式中的常数项为__________.
14. 已知数列的前项和为，若，，则__________ (用数字作答).
四 、解答题：本题共5小题，共 77 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 假设有5个条件类似的大学毕业生（分别记为A，B，C，D，E）到某单位应聘工作，但只有2个岗位，每人只能应聘一个岗位，每个岗位只聘用1人，5个人中有且仅有2人能被录用.假设5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率：
（1）毕业生A获得一个岗位；
（2）毕业生A和B至少有一人获得岗位．
16. 设函数.
（1）求在处的切线方程；
（2）求的极小值点和极大值点.
17. 已知是各项均为正数的等比数列，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18. 已知函数.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若在区间上有两个极值点.
（）求实数的取值范围；
（）求证.
19. 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立．在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束．
（1）求事件“且乙获胜”的概率；
（2）求；
（3）记事件“且甲获胜”的概率为，求证：．
数学
考试时间120分钟.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分， 共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设离散型随机变量X的分布列为
若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的有（ ）
A. B.
C. D.
答案：BD
解析：
思路：由离散型随机变量X的分布列的性质求出，由此能求出，再由离散型随机变量Y满足，能求出和．
解答过程：解：由离散型随机变量X的分布列的性质得：，
所以，
，
∴，，
故选：BD．
方法提示：本题考查了概率的性质，考查了离散型随机变量的期望和方差公式和性质，属于基础题.
10. 一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，下列结论正确的是（ ）
A. 从中任取3个球，恰有1个白球的概率是
B. 从中有放回地取球3次，每次任取1个球，恰好有2个白球的概率为
C. 从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则至少有1次取到红球的概率为
D. 从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第1次取到红球的条件下，第2次再次取到红球的概率为
答案：ABD
解析：
思路：根据古典摡型的概率计算公式，独立重复试验的概率计算公式，以及对立事件和条件概率的计算公式，逐项计算，即可求解.
解答过程：对于A中，从中任取3个球，恰有1个白球的概率为，所以A正确；
对于B中，从中有放回地取球3次，每次任取1个球，其中每次取到白球的概率为，
所以恰好有2个白球的概率为，所以B正确；
对于C中，从中有放回地取球3次，每次任取1个球，其中每次取到白球的概率为，
所以至少有1次取到红球的概率为，所以C不正确；
对于D中，设第1次取到红球为事件A，第2次再次取到红球为事件B，
所以第1次取到红球的条件下，第2次取到红球的概率为，
所以D正确.
故选：ABD.
11. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. 当时，中只有最大D. 当时，
答案：ABD
解析：
思路：利用等差数列的通项公式、前n项和公式、等差数列的性质对各个选项逐一分析即可求解.
解答过程：对于A，等差数列中，，有，有，可得，故A正确；
对于B，由，故B正确；
对于C，由，有，所以和最大，故C错误；
对于D，由，，有，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分.
12. 新高考实行“”选科模式，“3”表示“语文、数学、英语”三科必选，“1”表示从“物理、历史”两科中任选一科，“2”表示从“化学、生物、政治、地理”四科中任选两科．某些班规定选生物时必选化学，则不同的选科方法共有______种．
答案：8
解析：
思路：运用分类加法计数原理，对选生物或不选生物进行分类讨论即可得出结果．
解答过程：分两种情况进行讨论：
（1）选生物，则必选化学，再从“物理、历史”两科中任选一科，共有2种不同的选科方法；
（2）不选生物，先从“物理、历史”两科中任选一科，再从“化学、政治、地理”三科中任选两科，共有（种）不同的选科方法．
由分类加法计数原理，得共有（种）不同的选科方法．
13. 展开式中的常数项为__________.
答案：
解析：
思路：写出展开式的通项，令的指数为零，即得常数项.
解答过程：展开式中第项为
，
令，所以常数项为.
故答案为:-220
方法提示：本题考查二项展开式中特定的项，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题.
14. 已知数列的前项和为，若，，则__________ (用数字作答).
答案：264
解析：
思路：先根据条件确定，求得中间57项的和，再利用条件求，即得结果.
解答过程：因为，，
所以，
因此
因为，，
所以，
因此
综上
故264．
四 、解答题：本题共5小题，共 77 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 假设有5个条件类似的大学毕业生（分别记为A，B，C，D，E）到某单位应聘工作，但只有2个岗位，每人只能应聘一个岗位，每个岗位只聘用1人，5个人中有且仅有2人能被录用.假设5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率：
（1）毕业生A获得一个岗位；
（2）毕业生A和B至少有一人获得岗位．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用古典概型的概率公式结合计数原理求解即可；
（2）利用古典概型的概率公式结合计数原理求解即可.
（1）设事件“毕业生A获得一个岗位”，
所以；
（2）设事件“毕业生A或B获得一个岗位”，
所以.
16. 设函数.
（1）求在处的切线方程；
（2）求的极小值点和极大值点.
答案：（1）；
（2）极大值点，极小值点.
解析：
思路：（1）求函数的导数，利用函数的导数求出切线的斜率，结合切点坐标，然后求解切线方程；
（2）利用导数研究f(x)的单调性，判断函数的极值点即可．
（1）函数，函数的导数为．
，，
在处的切线方程：，即．
（2）令，，解得，．
当时，可得，即的单调递减区间，
或，可得，∴函数单调递增区间，，．
的极大值点，极小值点．
17. 已知是各项均为正数的等比数列，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得，解方程求出，即可求出的通项公式；
（2）求出，再由错位相减法求和即可.
（1）设等比数列的公比为，由，得，
即，解得（舍）或.
.
（2），
，
相减得：，
，
所以
18. 已知函数.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若在区间上有两个极值点.
（）求实数的取值范围；
（）求证.
答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）；（ii）详见解析.
解析：
思路：（Ⅰ）求出，列表讨论的单调性，问题得解．
（Ⅱ）（i）由在区间上有两个极值点转化成有两个零点，即有两个零点，求出，讨论的单调性，问题得解．
（ii）由得，将转化成，由得单调性可得，讨论在的单调性即可得证．
解答过程：解：（Ⅰ）当时，，，令，得.
的单调性如下表：
易知.
（Ⅱ）（i）.令，则.
令，得.
的单调性如下表：
在区间上有两个极值点，即在区间上有两个零点，
结合的单调性可知，且，即且.
所以，即的取值范围是.
（ii）由（i）知，所以.
又，，，结合的单调性可知，.
令，则.当时，，，，
所以在上单调递增，而，，
因此.
方法提示：本题主要考查了导数与函数单调性的关系，考查了分类思想及转化思想，考查了极值与导数的关系，还考查了利用导数证明不等式，考查计算能力及转化能力，属于难题．
19. 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立．在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束．
（1）求事件“且乙获胜”的概率；
（2）求；
（3）记事件“且甲获胜”的概率为，求证：．
答案：（1）
（2） （3）证明见解析
解析：
思路：（1）事件“且乙获胜”，表示在双方平后，甲先发球，两人又打了2个球，且这两个球均由乙得分;
（2）事件“” 表示在双方平后，甲先发球，两人又打了4个球，且这4个球分为前两球是甲、乙各得1分，后两个球均由甲得分，或则均由乙得分;
（3）对和进行分析研究，再求出甲先发球，记“比赛2局结果为平局”为事件，求出其概率为，最后得到当时，，再利用等比数列得通项公式以及求和公式可得答案.
（1）记事件“且乙获胜”为事件，则这两个球均由乙得分，
所以.
（2）由题可得：事件“” 表示在双方平后，甲先发球，两人又打了4个球，
且这4个球分为前两球是甲、乙各得1分，后两个球均由甲得分，或则均由乙得分，
所以
（3）由比赛规则可知：
当时，．
当时，事件“且甲获胜”，
就是在双方平后，甲先发球，两人又打了个球，
且这个球的得分情况为：前个球是每两个球甲、乙各得1分，最后第，个球均由甲得分；
记“比赛2局结果为平局”为事件，则．
则．
又因为，所以．
综上，
所以
，
因为，，所以
X
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.2
q
X
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.2
q





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