热点03 平面直角坐标系与一次函数6大题型（热点专练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测（原卷版+解析版）

这是一份热点03 平面直角坐标系与一次函数6大题型（热点专练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测（原卷版+解析版），文件包含热点02方程与不等式7大题型热点专练江苏专用原卷版docx、热点02方程与不等式7大题型热点专练江苏专用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。
热点聚焦 方法精讲 能力突破
第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。
第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。
题型01 坐标特征、平移、轴对称、中心对称变换
题型02 自变量取值范围、函数图像识别
题型03 一次函数解析式、k/b几何意义
题型04 一次函数与方程不等式结合
题型05 一次函数生活实际应用题
题型06 一次函数简易几何综合
第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。

题型01 坐标特征、平移、轴对称、中心对称变换
例1（2025·江苏宿迁·中考真题）点在第一象限，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【分析】本题考查已知点所在象限求参数，根据第一象限内的点的纵坐标为正数列不等式，解不等式即可．
【详解】解：点在第一象限，
，
解得，
故答案为：
例2（2025·江苏淮安·中考真题）点沿y轴向上平移4个单位长度后点的坐标是______．
【答案】
【分析】本题考查的是坐标平移，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．根据“上加下减”的原则求得平移后点的坐标即可．
【详解】解：点沿y轴向上平移4个单位长度后的点坐标是，即．
故答案为：．
例3（2025·江苏宿迁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，过作轴于点，过作轴于点，则，然后通过同角的余角相等得出，证明，故有，，然后根据坐标特点即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点，则，
由旋转性质可知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵点的坐标为，
∴，，
∴，，
∴点的坐标为，
故选：．
例4（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】先求出，，再分析得沿轴翻折得，求出的解析式，然后判断沿轴翻折不过点；再求出经过点，，则，，，得是的垂直平分线，即与关于直线对称，故沿函数的图像翻折过点；点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点，得出，经过分析，得不在，即绕原点按顺时针方向旋转不经过点；结合勾股定理的逆定理以及勾股定理得是等腰直角三角形，即点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合，故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点，即可作答．
【详解】解：令则，
∴，
即，
令，则，
即，
∵沿轴翻折，
∴沿轴翻折得
设的解析式为，
把，代入
得，
∴，
则，
∴沿轴翻折不过点，
∴①不符合题意；
②令则，
解得，
即经过点，
令，则
即经过点，
连接，如图所示：
∵，，，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴与关于直线对称，
故沿函数的图像翻折过点，
∴②符合题意；
③
依题意，点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点，
当点在上，则绕原点按顺时针方向旋转经过点；
当点不在上，则绕原点按顺时针方向旋转不经过点；
过程如下：
∴，
此时点，
把代入，
得
∴不在，
即绕原点按顺时针方向旋转不经过点，
故③不符合题意；
∵绕点按顺时针方向旋转，且，
∴记为T点，连接，
∴，
∴，
则，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合，
故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点，
∴④符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了几何变换，一次函数的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【变式1】（2026·江苏扬州·一模）若点在第二象限，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】先根据点在第二象限得到，的取值范围，再判断点横纵坐标的正负，即可确定所在象限．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴根据第二象限点的坐标特征，得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点的横坐标为正，纵坐标为负，符合第四象限点的坐标特征，
∴点在第四象限．
【变式2】（2026·江苏宿迁·一模）若点在x轴上，则点P的坐标是__________．
【答案】
【分析】直接利用轴上的点的坐标特点：纵坐标为0，得出的值，进而得出答案．
【详解】解：点在轴上，
，
解得，
，
点的坐标是．
【变式3】（2026·江苏徐州·一模）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，按照规律计算即可得到结果．
【详解】解：∵关于轴对称的点的坐标规律为：纵坐标不变，横坐标互为相反数，
又∵点的坐标为，
∴横坐标的相反数为，纵坐标仍为，
即点关于轴对称的点的坐标是．
【变式4】（2026江苏无锡·一模）点关于原点对称的点的坐标是______．
【答案】
【分析】根据点的对称性，关于原点对称的两个点的各个坐标互为相反数即可得到答案．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查点的对称，熟记点的对称的坐标特征是解决问题的关键．
【变式5】（2026·江苏盐城·一模）如图，已知点，将线段OA绕点A逆时针旋转90°至，则点的坐标是_____．
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟知图形旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．过点A作y轴的平行线，交x轴于点N，再过点作的垂线，垂足为M，利用全等三角形的判定与性质结合点的坐标即可解决问题．
【详解】解：过点A作y轴的平行线，交x轴于点N，再过点作的垂线，垂足为M，
由旋转可知，，，
∴．
又∵，轴，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，．
∵点A的坐标为，
∴，，
∴，，
∴点的坐标为．
题型02 自变量取值范围、函数图像识别
例1（2026·江苏徐州·一模）若函数的表达式在实数范围内有意义，则自变量的取值范围是_______．
【答案】
【分析】根据二次根式的被开方数为非负即可求解．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
解得，
∴自变量的取值范围是．
例2（2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查函数图象，行程问题，分式方程，熟练根据题意找到等量关系是解题的关键．由题意得小丽家到图书馆的距离为米，若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，得出，可得现在小华开始的速度为（米/分钟）,设小华分钟后与小丽相遇后，由题意得，得，则相遇时小华到图书馆的距离为（米），再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟，即可求解．
【详解】解：由题意得小丽家到图书馆的距离为（米），
∵若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，
∴，
∴，
∴现在小华开始的速度为（米/分钟）,
设小华分钟后与小丽相遇，
由题意得，
得，
则相遇时小华到图书馆的距离为（米），
剩余路程为（米），
再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟，
则开始的900米所用时间小于后面的900米所用时间，
可知只有选项A符合题意，
故选：A．
例3（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示．
(1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________；
(2)当时，求关于的函数表达式；
(3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为．
【答案】(1)90，3960
(2)
(3)当甲出发或时，两人之间的路程为
【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键：
（1）观察图像可知，甲走了，甲行走时，乙追上甲，进而求出甲和乙的速度，当甲行走时，乙到达点，求出乙的总路程即为之间的路程；
（2）求出点坐标，待定系数法求出段的函数关系式即可；
（3）分和两种情况，求出的值即可．
【详解】（1）解：由图像可知：甲的速度为：，
设乙的速度为，由题意，得：，解得：，
故乙的速度为；
之间的路程为：；
故答案为：90，3960；
（2）由图像可知：点的纵坐标为，
∴，
当时，设，把，代入，得：
，解得：，
∴；
（3）当时，令，解得：；
当时，，解得：；
综上：当甲出发或时，两人之间的路程为．
【变式1】（2026·江苏扬州·一模）已知函数，则自变量的取值范围是（ ）
A．且B．且C．D．
【答案】D
【详解】解：，
解得．
【变式2】（2026·江苏无锡·一模）一辆轿车从甲地驶往乙地，一辆货车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，轿车恰巧出现故障，货车继续驶往甲地，轿车维修好后按原速继续驶往乙地，两车到达各自终点后停止，两车之间的距离与货车行驶的时间之间的关系如图．货车的速度为______，轿车出发______时两车相距．
【答案】 60 或
【分析】由图象可知，甲、乙两地的距离为，轿车和货车一起行驶了3小时相遇，则速度和为，再根据小时，轿车出现故障，货车继续驶往甲地，求出货车的速度．两车相距需分两种情况讨论：①在轿车出现故障前；②在轿车出现故障后．
【详解】解：由图象可知，甲、乙两地的距离为，
则轿车和货车的速度和，
由图象可知，小时，轿车出现故障，货车继续驶往甲地，
则货车的速度，
①在轿车出现故障前两车相距，则；
②在轿车出现故障后两车相距，货车独自行驶了，
则轿车和货车共同行驶了，行驶时间为，
即行驶总时间为，
综上可知，轿车出发或时两车相距．
【变式3】（2026·江苏连云港·一模）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1），小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距A景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图2所示．
(1)___________．
(2)求桐桐骑车时距A景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式（不必写出的取值范围）；
(3)桐桐到达A景点，休息10分钟再次出发后，当是多少时，两人相距140米．
【答案】(1)25
(2)
(3)43.25或44.25或48
【分析】（1）观察图象根据路程除以时间得出答案；
（2）将点代入关系式，求出解即可；
（3）先求出小兴对应的函数关系式，再分两种情况列出方程 ，求出解即可．
【详解】（1）解：∵桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，
∴（分钟）；
（2）解：桐桐开始骑车的时间为（分钟），
桐桐骑车到达C景点的时间为（分钟），
设桐桐骑车时距景点A的路程与时间的关系式为，且经过点根据题意，得
，
解得，
∴函数关系式为；
（3）解：设小兴距景点A的函数关系式为，且经过点，
∴，
解得，
∴．
桐桐到达A景点前，两人相距140米，
∴，
解得或；
桐桐到达景点A之后，两人相距140米，
则，
解得，
所以当t是43.25，或44.25或48分时，两人相距140米．
题型03 一次函数解析式、k/b几何意义
例1（2025·江苏南通·中考真题）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数（、为常数， ）的图象性质，分析、取值对直线经过象限的影响来求解．本题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握不同、取值对应直线经过的象限是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限，
∴时， 时，
故选： ．
例2（2025·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，且与y轴交于点C．
(1)求一次函数、反比例函数的表达式；
(2)连接，求的面积．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握一次函数、反比例函数交点问题的解法．
（1）先将代入求出反比例函数解析式，再将代入，求出，将，代入，求解即可；
（2）先求出，再利用求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，
∴将代入，
得：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为，
将代入，
得：，
∴，
将，代入，
得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：当时，，
∴，
∴，
∴．
【变式1】（2026·江苏扬州·一模）若，为直线上的两点，且，则的取值范围是____________．
【答案】
【分析】结合已知两点横纵坐标的大小关系，得到关于的一元一次不等式，求解不等式即可得到的取值范围．
【详解】解：，是直线 上的两点，且，
随的增大而减小
根据一次函数的性质可得
解得
【变式2】（2026·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴相交于点两点，二次函数的图象经过点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)若二次函数的图象的顶点在直线上，求；
(3)设时，当时，则的函数值的取值范围是_________；
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）把点代入解析式，求出的关系式，进而表示出顶点坐标，代入一次函数解析式进行求解即可；
（3）待定系数法求出函数解析式，根据二次函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：把代入，得
，解得，
∴；
（2）解：把代入，得：
，
∴，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线的顶点坐标在直线上，
∴，
整理，得，解得，
∴或；
综上：或；
（3）解：当时，，
把代入，得，
解得，
∴，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，
∵，
∴当时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为0，
∴．
题型04 一次函数与方程不等式结合
例1（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键．先根据可得，从而可得，再可得，然后根据一次函数的图象特点即可得．
【详解】解：∵，
∴，
当时，，，与矛盾，
当时，， ，与矛盾，
当时，，，与矛盾，
当时，，，与矛盾，
∴，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
例2（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移，把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，可得函数与轴的交点坐标为，再结合图象可得答案．
【详解】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，
∴向右平移3个单位得，
∴函数与轴的交点坐标为，
∵，
∴结合图象可得：，
故选：C．
例3（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同．
(1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？
(2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案．
【答案】(1)款机器人的单价为5万元，款机器人的单价为4万元
(2)购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
（1）设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，根据用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买款机器人台，则购买款机器人台，根据购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，列出一元一次不等式，解得，再设购买成本为万元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：款机器人的单价为5万元，则款机器人的单价为4万元；
（2）解：设购买款机器人台，则购买款机器人台，
根据题意得：，
解得：，
设购买成本为万元，
根据题意得：，
，
随的增大而增大，
当时，有最小值，
此时，，
答：购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台．
【变式1】（2026·江苏南通·一模）已知一次函数和，当时，，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的交点问题． 联立两个一次函数解析式求出交点横坐标，结合一次函数增减性和已知条件得到交点横坐标的范围，解不等式即可得到的取值范围．
【详解】解：联立两个一次函数解析式得
令，解得，
即两函数交点的横坐标为，
一次函数中，，随增大而增大，一次函数中，，随增大而减小，
当大于交点横坐标时，，
又当时，，
，
不等式两边同乘得：，
移项得：．
【变式2】（2026·江苏扬州·一模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4．
(1)分别求出a和b的值；
(2)结合图象直接写出的取值范围；
(3)在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)点P的坐标为
【分析】（1）利用反比例函数的几何意义可以求出反比例函数解析式，再将和点的坐标代入即可求出的值；
（2）利用函数图像即可求出不等式的解集；
（3）作点A关于y轴的对称点，连接并延长，交轴于点P，连接，因为点关于轴的对称点，又，则直线与轴的交点即为所求的点，求出直线的关系式，再求其与x轴的交点坐标即可．
【详解】（1）解：∵的面积为4，
∴，
解得，或（不符合题意舍去），
∴反比例函数的关系式为，
把点和点代入得，
，．
（2）解：根据一次函数与反比例函数的图象可知，
不等式的解集为：
或；
（3）解：作点A关于y轴的对称点，连接并延长，交轴于点P，连接，如图所示：
根据轴对称可得：，
∴，
∴此时最大，
点关于轴的对称点，
设直线的关系式为，代入和得，
，
解得，
∴直线的关系式为，
令，，
∴直线与轴的交点坐标为，
即点P的坐标为．
【变式3】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等．
(1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个?
(2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片?
【答案】(1)恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个
(2)至少需要134张正方形硬纸片
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个．结合题意列出方程组，再解得，即可作答．
（2）先设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片．根据题意列出，结合，得，其中最小整数解为34．运用一次函数的图象性质进行分析作答即可．
【详解】（1）解：制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，甲种需要1个正方形，4个长方形，乙种需要2个正方形，3个长方形，
设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个．
根据题意，得，
得，
答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个．
（2）解：设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片．
则．
由，知w随m的增大而增大，
∴当m最小时，w有最小值．
根据题意，得，
解得，
其中最小整数解为34．
即当时，．
答：至少需要134张正方形硬纸片．
题型05 一次函数生活实际应用题
例1（2025·江苏镇江·中考真题）新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到）：
(1)计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到）；
(2)小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似的表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数．
【答案】(1)
(2)，的实际意义为 年我国发明专利申请授权数年均增长约万个；
预测我国2025年发明专利申请授权数万个
【分析】此题考查了有理数的混合运算的实际应用，一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意列式求解即可；
（2）利用待定系数法求出满足的函数表达式，然后得到的实际意义，然后将代入表达式求解即可．
【详解】（1）解：
∴2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率约为；
（2）解：将，代入得，
，
解得，
∴；
其中的实际意义为 年我国发明专利申请授权数年均增长约 万个；
当时，，
∴预测我国2025年发明专利申请授权数万个．
例2（2025·江苏苏州·中考真题）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表：
研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据表格数据，确定一次函数中的系数a和常数项b，再代入计算v的值，即可解题．
【详解】解：满足公式，
由表格数据可得，
解得，
即，
当温度t为时，，
故选：B．
【变式1】（2026·江苏南通·一模）2026年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）正如火如荼在省内各地开展．某体育用品商店购进一批南通特色文旅服装，现有线上和线下两种销售方式，售价均为x元/件（）．调查发现，线上的销售量为件；线下的销售量件与售价元/件满足一次函数关系，部分数据如下表：
(1)求与的函数关系式；
(2)求当售价为多少元时，线上的销售量与线下的销售量相等；
(3)求当售价为多少元时，线上和线下销售量的和有最大值．
【答案】(1)
(2)100元或180元
(3)100元
【详解】（1）设与的函数关系式为，
,
解得
即与的函数关系式是．
（2）由题意可得
．
解得：．
答：当售价为每件100元或180元时，线上的销售量与线下的销售量相等．
（3）设线上和线下销售量的和为件，
则
∴当时，取得最大值为2800．
答：当售价为每件100元时，线上和线下销售量的和最大．
【变式2】（2026·江苏南京·模拟预测）已知N市出租车原收费标准如下：不超过的路程按起步价10元收费，超过以外的路程按2.4元收费．为减少出租车空车返回的损失，现N市决定实施返空费方案，具体方案如下：设出租车行驶的路程为，当时，按原收费标准收费；超过以外的路程，按原单价2.4元的1.5倍收费．若行驶路程x超过，则收费总额y（元）与x（）的函数关系式为_________．
【答案】
【分析】根据总费用为前的费用与超过以外的费用之和求解即可．
【详解】解：由题意得，
整理得，．
【变式3】（2026·江苏无锡·模拟预测）无锡市阳山镇坚持高质量发展，以昂扬的水蜜桃售卖姿态领跑无锡的经济发展，下表是关于14天的销售旺季内的销售情况表．已知水蜜桃进价为元/千克．
(1)因销售情况远超预期，两次对原价20元/千克的水蜜桃进行降价，最后降为元/千克．且每次降价的百分率相同，均为_______．
(2)求销售利润随的函数表达式；
(3)这14天中日销售利润不低于930元的有______天．
【答案】(1)
(2)
(3)6
【分析】（1）设每次降价的百分率为a，根据题意可列出关于a的一元二次方程，解出a的值即得出答案；
（2）根据利润（标价进价）销量储存和损耗费，即可得(元)，进而可求出与之间的函数解析式，再结合一次函数和二次函数的性质求出其最值即可；
（3）依题意可列出关于的不等式，结合解一元一次不等式的方法和图像法解一元二次不等式，分别求出的解集，即可得出答案．
【详解】（1）解：设每次降价的百分率为a，根据题意得：
，
解得：（舍去），
即每次降价的百分率为；
（2）解：结合（1）得，第一次降价后的价格为（元），
当时，
，
当时，
，
综上可知：，
（3）解：当时，，
解得：，
此时为天利润不低于元，
当时，，
解得，
，，
，
此时第到天利润不低于元，
（天），
综上所述，共有天利润不低于元．
题型06 一次函数简易几何综合
例1（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________．
【答案】6
【分析】本题主要考查了一次函数的图象，垂径定理，对于，当时，得直线过定点，再求出，得点P在内部，根据过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，得当直线与垂直时，为最小，此时，在中，由勾股定理求出，进而可得的最小值．
【详解】解：∵
∴直线过定点，
∵点，
∴，
又∵的半径为，
∴，
∴点P在内部，
由于过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，即当直线与垂直时，为最小，如图所示：
由垂径定理得：，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
∴，
即的最小值为6．
故答案为：6．
例2（2025·江苏宿迁·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域．
(1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________；
①；②；③．
(2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围；
(3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围．
【答案】(1)①
(2)
(3)或
【分析】（1）根据“1阶近轴点”的定义，结合函数的性质逐个分析判断即可得出结论；
（2）设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为，根据题意列出不等式组，进而得出关于的不等式组有解，列出关于的不等式，即可求解；
（3）设“2阶完美点”的坐标为，由题意得，得出“2阶完美点”在函数上，分析可知函数与函数只有一个交点，设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足，根据函数与轴的交点个数分情况讨论，再结合二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：经过点，点是“1阶近轴点”，故①符合题意；
设存在“1阶近轴点”，设此点的坐标为，
由题意得，，
∴不等式组无解，
∴图像上不存在“1阶近轴点”，故②不符合题意；
∵，
∴函数的最小值为2，
∴函数图像上的点到轴的距离大于等于2，
∴函数不存在“1阶近轴点”，故③不符合题意；
∴函数图像上存在“1阶近轴点”的是①；
故答案为：①；
（2）解：设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为，
由题意得，，
解得：，
∵一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，
∴关于的不等式组有解，
∴或或，
解得：或或，即，
∴实数的取值范围为；
（3）解：设“2阶完美点”的坐标为，
由题意得，，
∴“2阶完美点”在函数上，
∵二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，
∴函数与函数只有一个交点，
令，整理得，
设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足，
当时，，
若函数与轴有2个交点，则当时，有，
∴，
解得：；
若函数与轴只有1个交点，则，
整理得：，
解得：或，
当时，则与轴的交点的横坐标为，
∵，
∴符合题意；
当，则与轴的交点的横坐标为，不符合题意，舍去；
综上所述，实数的取值范围为或．
【点睛】本题考查了新定义，涉及一次函数、反比例函数、二次函数的图像与性质，理解“阶近轴点”和“阶完美点”的定义是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的理解应用和数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生．
【变式1】（2026·江苏南通·二模）已知函数与，当满足时，两个函数的图象存在2个公共点，则k满足的条件是______．
【答案】
【分析】整理一次函数解析式可得其恒过定点，确定在上的图象，结合图象找出两个函数存在2个公共点的临界情况，计算得到k的取值范围即可．
【详解】解：整理函数得，
当时，，因此该一次函数恒过定点，
当时，可分段写为：
，
其图象为折线，端点坐标为，，，
当一次函数过点时，将点代入解析式得：
，
解得，此时两个函数仅有1个公共点，不符合要求，
当时，一次函数解析式为，根据函数图象可知，此时两个函数有2个公共点，
根据函数图象可知：当时，两个函数有2个公共点，
因此满足的条件是．
【变式2】（2026·江苏宿迁·二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)填空：__________，__________；
(2)设为此抛物线的对称轴上一点，当的面积等于的面积时，求点坐标；
(3)直线．经过点，点为该直线上一动点，当有且只有一点满足时，求直线的函数表达式．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或
【分析】（1）把，代入，解出即可；
（2）求出直线与直线交点M坐标，及，求出，进而求出结论；
（3）点P在以为直径的圆上，设其圆心为N，得出直线与相切于点，分两种情况：当点P在x轴上方，且直线与相切于点P时，或当点在x轴下方，且直线与相切于点时，分别求出即可．
【详解】（1）解：把，代入，得：
，
解得；
（2）解：，
∴此抛物线的对称轴是直线，
当时，，
，
设直线的表达式为，直线交直线于点M，
把，代入，得：
，
解得：，
∴直线的表达式为，
当时，，
，
，，，
，
，
∵的面积等于的面积，
，
，
，
或；
（3）解：，
∴点P在以为直径的圆上，设其圆心为N，
，，，
，的半径为3，
∵直线经过点，有且只有一点满足，
∴直线与相切于点，
∴分两种情况：
当点P在x轴上方，且直线与相切于点P时，连接，作于点H，
，
，，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
把，代入直线，得：
，
解得：，
∴直线的函数表达式为；
当点在x轴下方，且直线与相切于点时，
同理，，
同理，得出直线的函数表达式为；
综上，直线的函数表达式为或．
【变式3】（2026·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，若直线把分成面积相等的两部分，则的值为___________．
【答案】0.6
【分析】首先，将直线，变形得出，知直线恒过定点，然后根据题意得直线过点，再将此点代入即可得出的值．
【详解】解：∵直线，
∴，
∴直线恒过定点．
∵直线，把分成面积相等的两部分，
∴直线过线段的中点．
∵，
∴直线过点．
把点代入，得，解得．

（20分钟限时练）
1．（2026·江苏徐州·一模）在平面直角坐标系中，点不可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据各象限内点的坐标符号特点列出关于m的不等式组，解之求出m的范围，从而得出答案．
【详解】解：A、若点在第一象限，则，解得，故点可能在第一象限；
B、若点在第二象限，则，解得，故点可能在第二象限；
C、若点在第三象限，则，该不等式组无解，故点不可能在第三象限；
D、若点在第四象限，则，解得，故点可能在第四象限．
2．（2026·江苏无锡·一模）已知一次函数的图象经过点，则k的值为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】D
【分析】一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将已知点坐标代入解析式即可求解的值．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点，
∴把代入函数解析式得，
解得．
3．（2026·江苏无锡·一模）把函数的图像沿轴向上平移3个单位长度，所得到的图像一定经过点（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数图像的平移规律，利用“上加下减”的平移规则求出平移后的函数解析式，再代入点坐标验证即可得到结果．
【详解】解：∵原函数为，将其图像沿轴向上平移3个单位长度，根据一次函数平移规则，
∴平移后得到的函数解析式为．
将代入解析式，得，
∴在平移后的图像上，因此选C．
4．（2025·江苏徐州·模拟预测）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合是解答本题的关键．依据题意，由函数图象直接写出不等式解集即可．
【详解】解：由函数图象可知，一次函数与轴的交点坐标为，
不等式的解集是．
故选：A．
5．（2025·江苏淮安·二模）弹簧原长（不挂重物），弹簧总长与重物质量的关系如表所示：
当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧总长是（ ）
A．17B．17.5C．18D．18.5
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是求出弹簧长度与重物质量的关系式．根据表格观察可发现：重量每增加1千克，弹簧增长2厘米，满足一次函数关系，根据待定系数法求解析式即可得解．
【详解】解：设L与x的关系式为：，
把，代入解析式得，
解得，
∴L与x的关系式为，
当时，，
故选：C．
6．（2026·山东枣庄·一模）平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标是______．
【答案】
【分析】需先明确关于x轴对称的点的坐标特征，再根据该特征计算点P的对称点坐标．
【详解】在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点，其横坐标相同，纵坐标互为相反数，即点关于x轴的对称点为，
∴点关于x轴对称点坐标为．
7．（2026·江苏南京·模拟预测）一次函数经过定点______．
【答案】
【分析】将一次函数解析式整理为关于参数的多项式形式，根据定点的定义，无论参数取何值，点的坐标都满足解析式，因此令含项的系数为，即可求解得到定点坐标．
【详解】解：将给定一次函数解析式变形得，
因为一次函数经过定点，即无论取任意实数，等式恒成立，
所以令的系数为，即：，
解得 ，
将代入解析式，得 ，
因此该一次函数恒过定点．
8．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，直线与直线（为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为 ______ ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键．
根据函数图像解答即可求解．
【详解】解：由函数图像可知，当时，函数的图像不在函数图像的上方，即，
∴不等式的解集为，
故答案为：．
9．（2025·江苏淮安·二模）甲、乙两车从地出发沿同一路线驶向地，甲车先出发匀速驶向地，分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了千米时，结果与甲车同时到达地．甲、乙两车距地的路程（千米），（千米）与乙车行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题：

(1)的值为______；甲车的速度为______千米时；
(2)求乙车减速前的速度，以及图中线段所表示的与的函数关系式．
【答案】(1)，；
(2)乙车减速前的速度为千米小时，．
【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据图象求出的值，由速度路程时间求出甲车的速度即可；
（）设乙车减速前的速度为千米小时，则减速后的速度为千米小时，根据乙车减速前后路程之和为两地之间的距离，据此列关于的一元一次方程并求解，求出点的坐标和减速后乙车的速度，根据路程速度时间求出所表示的与的函数关系式．
【详解】（1）解：（小时），
∴，
甲车的速度为（千米小时），
故答案为：，；
（2）解：设乙车减速前的速度为千米小时，则减速后的速度为千米小时，
根据图象，得，
解得，
∴乙车减速前的速度为千米小时，
（千米），
∴，
∴，
乙车减速后的速度为（千米小时），
则，
∴线段所表示的与的函数关系式为．
10．（2026·江苏南通·一模）已知，一次函数与分别与x轴相交于点A和点D，与y轴相交于点B和点C，两直线相交于点E，连接．
(1)求点E的坐标；
(2)点F是线段上一点，且线段把的面积分成两部分，请求出符合条件的点F的坐标．
【答案】(1)点E的坐标为
(2)点F的坐标为或
【分析】（1）根据题意可得，得到，即可确定两直线交点的坐标；
（2）先求直线与x轴交点，计算得出面积为；设，分和两种情况，根据面积公式列方程，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵两直线相交于点E，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
（2）解：∵直线与轴交于点，
∴将代入得，
解得，
∴，即．
∴
，
∵在直线上，
∴设，
∴的面积为：，
当两部分的面积比为时，则，
∴
解得，
∴，
故；
当两部分的面积比为时，则，
∴
解得，
∴，
故，
综上所述，符合条件的点的坐标为或．
【点睛】本题以一次函数为载体，结合交点求解与面积分割问题，通过联立方程组求交点、分类讨论面积比例，体现了数形结合与分类讨论的数学思想．
11．（25-26九年级下·江苏苏州·月考）加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数图象是如图所示的线段，其中，乙种蔬菜的种植成本为50元．
(1)当x为多少时，y是30元；
(2)设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
【答案】(1)当x为时，y是30元/
(2)当种植甲种蔬菜，乙种蔬菜时，使W最小
【分析】本题主要考查一次函数、二次函数的运用．
（1）根据题意，运用待定系数法即可得到当时，y与x的函数关系式为，令当时，代入计算即可求解；
（2）由题意可得，结合二次函数图象的性质即可求解．
【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为，
∵点在该函数图象上，
∴，解得，
即当时，y与x的函数关系式为，
当时，，
解得，即当x为时，y是30元；
（2）解：由题意可得：，
∴当时，W取得最小值42000，此时；
∴当种植甲种蔬菜，乙种蔬菜时，使W最小．
近三年：平面直角坐标系与一次函数是江苏中考数学的核心基础函数模块，是后续二次函数、反比例函数学习的基石，近三年在13市中考中，整体分值占比稳定在10-18分，是基础题与中档题的重要来源，也是几何与代数综合题的 “桥梁”。
1.高频考点分布
平面直角坐标系：坐标特征、对称与平移变换为基础必考点，以选择、填空形式考查，占2-4分；
一次函数的图像与性质：解析式求法、k/b的几何意义、图像识别为必考考点，占3-6分；
一次函数与方程/不等式结合：是中档题高频考点，常以选择、填空形式考查，占2-4分；
一次函数实际应用与几何综合：是解答题高频考点，常作为基础解答题出现，占4-8分。
2.命题特点
基础题以课本变式为主，侧重坐标变换、函数图像性质的理解；
应用题常结合行程、工程、利润等生活场景，考查建模与函数应用能力；
几何综合题侧重一次函数与三角形、四边形的结合，考查数形结合思想；
新情境试题逐年增多，常结合科技、生活背景考查函数的实际意义。
3.高频失分点
混淆点的对称、平移变换规则，如关于x轴/y轴对称时坐标符号变化错误；
忽略一次函数的隐含条件，如一次项系数k≠0、实际应用中自变量的取值范围；
对k的几何意义理解不清，无法判断函数的增减性；
一次函数与不等式结合时，不能准确从图像中读取解集；
实际应用中，未结合自变量的实际意义确定函数的取值范围。
预测2026年：2026年本模块将继续保持稳定命题风格，更突出数形结合与实际应用：
基础题难度不变，仍以坐标变换、函数性质的基础考查为主；
情境化应用题占比提升，将更多结合江苏本地生活、交通等背景，考查建模能力；
一次函数与几何、方程不等式的综合题区分度增强，侧重考查数形结合与转化思想；
对函数图像的分析能力要求进一步提高，如结合图像分析实际问题中的变量关系。
解｜题｜策｜略
①坐标特征速记：
象限内点：第一象限(+,+)、第二象限(−,+)、第三象限(−,−)、第四象限(+,−)；
坐标轴上点：x轴上点纵坐标为0，y轴上点横坐标为0；
角平分线上点：一、三象限角平分线上横纵坐标相等，二、四象限角平分线上横纵坐标互为相反数。
②平移变换规则：上加下减纵坐标，左减右加横坐标，点(x,y)：
向上平移a个单位：(x,y+a)；向下平移a个单位：(x,y−a)；
向左平移a个单位：(x−a,y)；向右平移a个单位：(x+a,y)。
③对称变换规则：
关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标取反，即(x,y)→(x,−y)；
关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标取反，即(x,y)→(−x,y)；
关于原点中心对称：横纵坐标都取反，即(x,y)→(−x,−y)。
④易错点：平移/对称时，混淆坐标变化的方向，可结合坐标系画图辅助理解。
解｜题｜策｜略
① 自变量取值范围的判断规则：
整式函数：自变量为全体实数；
分式函数：分母不为0；
二次根式函数：被开方数非负；
实际问题中的函数：自变量需同时满足数学意义和实际意义（如人数、长度为非负数）。
② 函数图像识别技巧：
看起点：判断自变量的初始取值和对应的函数值；
看趋势：上升、下降或水平线段，对应函数的增减性或不变性；
看拐点：函数图像的转折点，对应实际问题中的关键节点（如到达终点、速度变化）；
看终点：判断自变量的取值范围和函数的最终值。
③ 解题关键：结合实际情境，将文字描述转化为图像信息，排除不符合题意的选项。
解｜题｜策｜略
① 一次函数解析式求法：
待定系数法：设解析式y=kx+b(k≠0)，代入图像上两个点的坐标，列二元一次方程组求解k和b；
平移法：直线平移时k不变，根据平移方向和距离调整b的值。
② k和b的几何意义：
k（斜率）：决定函数的增减性和倾斜方向：k>0时，y随x的增大而增大；k0时，交点在 y 轴正半轴；b0的解集，是直线y=kx+b在x轴上方部分对应的x的取值范围；
不等式kx+b