北京市五十七中学2025-2026学年高一第一学期科创实验班数学期末考试试题（含答案解析）

这是一份北京市五十七中学2025-2026学年高一第一学期科创实验班数学期末考试试题（含答案解析），共3页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 已知集合，，则（ ）．
2. 已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（ ）
3. 已知过原点且倾斜角为的直线与直线交于点，则当在上变化时，点的轨迹长度为（ ）
4. “”是“直线与平行”的（ ）
5. 若两条直线，与圆的四个交点能构成正方形，则（ ）
6. 如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（ ）
7. 已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（ ）
8. 已知圆直线，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别与圆M相切于点A，B．则下列说法正确的个数是（ ）
（1）四边形PAMB的面积最小值为
（2）最短时，弦AB长为
（3）最短时，弦AB直线方程为
（4）直线AB过定点
9. 在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（ ）
10. 已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（ ）
11. 如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动.当的面积取得最小值时，点的位置是（ ）
12. “十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，则下列说法正确的是（ ）
二、填空题
13. 若点是圆：上的任一点，直线：与轴、轴分别相交于、两点，则面积的最小值为______.
14. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是________．
15. 已知圆：，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为______.
16. 已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则__________．
17. 已知、，点在，则的取值范围为______.
18. 已知函数，其中，是这两个函数图像的交点，且不共线.①当时，面积的最小值为___________；②若存在是等腰直角三角形，则的最小值为__________.
19. 已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是__________.
20. 已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论：

①白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为；
②在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3；
③阴影部分的面积为；
④阴影部分的内外边界曲线长为.
其中正确的有__________.
三、解答题
21. 已知函数（），.
(1)求；
(2)设函数，
①求函数在的最大值和最小值
②求函数的单调递减区间.
22. 如图，在三棱锥中，分别是AC，PC的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值
23. 如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，四边形为菱形，，平面平面，为棱的中点，记平面和平面的交线为．

(1)证明：；
(2)求点到平面的距离；
(3)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的位置；若不存在，请说明理由．
24. 在中，角的对边分别为，．
(1)求角的大小；
(2)若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积．
条件①：；
条件②：边上的中线长为；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
25. 已知圆O：与直线相切．
（1）求圆O的方程；
（2）若过点的直线l被圆O所截得的弦长为4，求直线l的方程；
（3）若过点作两条斜率分别为，的直线交圆O于B、C两点，且，求证：直线BC恒过定点．并求出该定点的坐标．
26. 已知集合，集合且满足：与恰有一个成立，对于定义.
(1)若，求的值及的最大值；
(2)从中任意删去两个数，记剩下的个数的和为，证明：；
(3)求证：对于满足的每一个集合，集合中都存在三个不同的元素，使得.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
第22题：
第23题：
第24题：
第25题：
第26题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．2
C．3
D．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．4
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．1
B．2
C．3
D．4
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．线段的三等分点，且靠近点
B．线段的中点
C．线段的三等分点，且靠近点
D．线段的四等分点，且靠近点
A．一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直
B．该“十字贯穿体”的表面积是
C．该“十字贯穿体”的体积是
D．一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长为