专题23 全等与相似几何模型（7压轴题型难点，题型清单）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测（原卷版+解析版）

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题型一：倍长中线构造全等三角形
【中考母题溯源·学方法】
【典例1】（2025·安徽亳州·二模）综合与实践：在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法．
(1)如图1，是的中线，，，求的取值范围；
(2)如图2，，，，D为的中点，求证，；
(3)如图3，在四边形中，对角线相交于点E，F是的中点，，，试探究与的数量关系，并说明理由．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】
小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围．
【构建模型】
她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”．
请回答：
（1）小红证明的判定定理是： ．
（2）的取值范围是
【模型应用】
（3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ．
2．（2025·山东菏泽·三模）（1）方法呈现：如图①：在中，若，，点为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在中，点是的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中，，与的延长线交于点、点是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明．
3．（2025·山东聊城·二模）【发现问题】数学活动课上，刘老师提出了如下问题：如图1，在中，，求边上的中线的取值范围．
【探究方法】“智慧”小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长到E，使得；
②连接，通过三角形全等把转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围．
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（1）如图1，直接写出边上的中线的取值范围．
（2）如图2，在等腰三角形和等腰三角形中，，连接和，E是的中点，求证：．
【问题拓展】
如图3，在中，于点D，是边上的中线，过点E作，交于点M，连接，判断之间的关系并证明．
题型二：截长补短构造全等三角形
【中考母题溯源·学方法】
【典例2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F．
（1）当点D在线段上时，如图①，求证：；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图①的证明过程：
探究问题：
（2）当点D在线段的延长线上时，如图②：当点D在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系；
拓展思考：
在（1）（2）的条件下，若，，则______．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·吉林长春·二模）【问题提出】在正方形中，点E、F分别在边、上，且，连结.求证：.
【问题探究】如图①，小亮采用“截长补短”的方法，在的延长线上鹤取，连结，通过证明三角形全等，进而得证.
下面是小亮的部分证明过程：
证明：在的延长线上截取，连结.
四边形是正方形，
.
又，
.
.
.
请补全缺失的证明过程.
【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系.
【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结，点在上，过点作，垂足为点，交延长线于点且.若，则线段的长为_______.
【问题拓展】如图③，是的外接圆，，点在上，且点与点在的两侧，连结.若，则的值为_______.
2．（2025·江苏南通·一模）综合与实践：
【回归教材】
八年级上册教材中探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分内容如下：
如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，折边落在上，点C落在上的为D点，折线交于点E，则，，
这说明在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等．
大边所对的角越大．
从上面的过程可以看出，通过轴对称的性质或“截长补短”构建全等三角形的方法将陌生问题转化为已学习的问题，这是研究几何问题时常用的方法．
类比探究“在三角形中，大角对大边”．
（1）如图2，在中，，判断： ______（填“>”、“=”或“