专题11 中考函数与几何模型核心探究（4大类型17种题型）（专项训练）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测练习+答案

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目录
考点一：函数与一线三等角模型
（该专题含等腰/直角三角形存在性内容）
题型一 一次函数与一线三垂直模型
1．（2025·广西柳州·二模）综合与探索
【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，过点A作AD⊥l交于点D，过点B作BE⊥l交于点E，易得△ADC≌△CEB，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】如图2，在直角坐标系中，直线l1：y=2x+4分别与y轴，x轴交于点A、B，
(1)直接写出OA=______，OB=______；
(2)将直线AB绕点A顺时针旋转90°得直线AE，求出直线AE解析式：
小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角△ABE，使得∠BAE=90°，AB=AE，根据K型全等和坐标之间的关系，求出点E的坐标为______；通过A，E两点坐标求出直线AE的解析式______；
(3)如图3，将直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2，求l2的函数解析式．
2．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形OABC中，点O为坐标原点，点A的坐标为0,3，点C的坐标为4,0，点P在BC边上，直线l的解析式为y=2x−3，直线l交AB于点D，交OC于点E．
(1)如图1，连接AE，求D，E的坐标；
(2)如图2，若以AE和EP为邻边作矩形AEPQ，求过点Q的反比例函数的表达式；
(3)如图3，在第一象限内，直线l上是否存在点M，使△APM是等腰直角三角形？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．
3．（2025·河北廊坊·一模）【模型呈现】
（1）如图1，△ABC中，∠ACB=90°,CA=CB，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；
【模型应用】
（2）如图2，将图1放置在平面直角坐标系中，若点B的坐标为(−1,2)，则点A的坐标是______；
（3）如图3，直线l:y=−2x+2分别交x轴、y轴于点A、B．点C的坐标为(−2,0)，点D为直线l上一动点，连接DC，将线段DC绕点C顺时针旋转90°得到线段EC，请直接写出OE2的最小值．
题型二 反比例函数与一线三垂直模型
1．（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数y=3x+3的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数y=kx的图象经过点A，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，则k的值为 ．
2．（2025·四川广元·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，当30°直角三角板ABC的直角顶点落在C6,0处时，锐角顶点A、B9,m恰好落在反比例函数y=kx第一象限的图象上．
(1)分别求反比例函数的表达式和直线AB所对应的一次函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使△ABP周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
3．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在反比例函数y=−2x和y=kxk>0的图像上，点A的横坐标为−1，点B的横坐标为nn>3，点C的坐标为3,0，AC⊥BC，AC=2BC．

(1)求点A、B的坐标和反比例函数y=kxk>0的表达式；
(2)点D、E分别在反比例函数y=kxk>0和y=−2x的图像上，与点A、B构成以AB为边的平行四边形，则点D、E的坐标分别为_____、_____．
4．（2025·四川达州·一模）已知一次函数y1=12x+2与反比例函数y2=kxk≠0的图象交于A2,m、B两点，交y轴于点C．
(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标；
(2)若点A关于原点的对称点为A'，求△AA'B的面积；
(3)探究：在y轴上是否存在一点P，使得△ABP为等腰直角三角形，且直角顶点为点P，若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
题型三 二次函数与一线三垂直模型
1．（2025·四川凉山·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A−3,0，B1,0，C0,−3三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在直线AC下方的抛物线上运动，求点P到直线AC的最大距离；
(3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线QA，若射线QA绕点Q逆时针旋转90°与抛物线交于点D，是否存在点Q使AQ=QD？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究
如图，抛物线y=ax2+bx−5交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线y=kx−5经过B、C两点，若点A1,0，B−5,0．点P是抛物线上的一个动点（不与点A、B重合）．

(1)求抛物线的函数解析式．
(2)过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，当PE=3ED时，求P点坐标．
(3)若点F是直线BC上的一个动点．请判断在点B右侧的抛物线上是否存在点P，使△AFP是以PF为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3a≠0与x轴交于A，B两点，点B的坐标为1,0，点C2,5在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)①求点A的坐标；
②当y0,x>0的图象相交于点C、D，且C为AO的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接DE．若△BDE的面积为54，则k的值为（ ）
A．54B．52C．5D．10
2．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，O是坐标原点，反比例函数y=−4xx>0与直线y=−2x交于点A，点B在y=−4xx>0的图象上，直线AB与y轴交于点C．连结OB．若AB=3AC，则OB的长为（ ）
A．10B．522C．34D．1302
3（2025·江西·中考真题）如图，直线l:y=23x+m与反比例函数y=kxk≠0的图象交于点A6,2．
(1)求一次函数和反比例函数解析式；
(2)将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接OA，OC，当∠1=∠2时，求点C的坐标及直线l平移的距离．
4．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，OA=2，点B在反比例函数y=kxk>0的图象上，△OBA为等边三角形，延长BO与反比例函数y=kx的图象在第三象限交于点C．连接CA并延长与反比例函数y=kx的图象在第一象限交于点D．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求点D的坐标及△OAD的面积；
(3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
题型三 二次函数与相似三角形模型
1．（2025·四川泸州·二模）如图，抛物线y=−13x2+bx+c与x轴交于A−2,0、B6,0两点，与y轴交于点C,D是线段OB上的一个动点（不与端点重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点P，交直线BC于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当PE=DE时，求PC的长；
(3)若以C、P、E为顶点的三角形与△BDE相似，求点D的坐标．
2．（2025·吉林·中考真题）如图，在△ABC中，AB=32，BC=5，∠BAC=45°．动点P从点A出发，沿边AC以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以AP为边作正方形APDE，使点D和点B始终在边AC同侧．设点P的运动时间为xs(x>0)，正方形APDE与△ABC重叠部分图形的面积为y（平方单位）．
(1)AC的长为_______．
(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当正方形APDE的对称中心与点B重合时，直接写出y的值．
3．（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边BC长2m，△ABC的面积为1.5m2．
(1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大；
(2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积ym2与DE的长xm之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值．
4．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，OA=2，OB=6，D是直线BC上方抛物线上一动点，作DF⊥AB交BC于点E，垂足为点F，连接CD．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点D的横坐标为t，
①用含有t的代数式表示线段DE的长度；
②是否存在点D，使△CDE是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接OE，将线段OE绕点O按顺时针方向旋转90°得到线段OG，连接AG，请直接写出线段AG长度的最小值．
题型四 相似与面积比的综合
1．（2025·广东梅州·二模）如图，已知二次函数 y=x2+bx+c的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，其中A−3,0,C0,−3．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标．
2．（2025·陕西·模拟预测）已知抛物线L：y=x2+bx+c的顶点为D，且经过点A1,0，B0,2．将该抛物线沿着对称轴向下平移1个单位长度，得到抛物线L'．L'交y轴于点B'，顶点为D'．
(1)求抛物线L'的函数表达式；
(2)若点N在抛物线L'上，且△NBB'的面积是△NDD'面积的2倍，求点N的坐标．
3．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x2+bx−1经过点2,−1．点P在此抛物线上，其横坐标为m，连接PO并延长至点Q，使OQ=2PO．当点P不在坐标轴上时，过点P作x轴的垂线，过点Q作y轴的垂线，这两条垂线交于点M．
(1)求此抛物线对应的函数解析式．
(2)△PQM被y轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变．如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由．
(3)当△PQM的边MQ经过此抛物线的最低点时，求点Q的坐标．
(4)当此抛物线在△PQM内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=−13x2+bx+c交x轴于A、B两点，点A的坐标为−2,0，点B的坐标为4,0．
(1)求b、c的值；
(2)如图1，点C为该抛物线的顶点，连接AC交y轴于点D，连接BD，点E在线段BD上，连接OE,OE=12DB，求点E的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，点F在线段OB上，点H在点C的右侧，连接BH、CH、DH、FE，连接FH交线段BE于点G，若∠OBH−∠CDH=45°，EF∥BH，△EFG的面积等于△BFE的面积的14，求△CDH的面积．
考点三：面积类模型
题型一 铅锤法求面积
1．（2025·四川宜宾·二模）如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象交x轴、y轴于C、B两点，与反比例函数y=mx（m≠0，x>0）的图象相交于点A，OB=1，tan∠OBC=2，BC:CA=1:2．点D是线段AB上任意一点，过点D作y轴平行线，交反比例函数的图象于点E，连接BE．当△BDE面积最大时，点D的坐标是（ ）．
A．−12,1B．1,−12C．1,−1D．−1,−12
2．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知抛物线y=ax2+bx过点A−2,−2，点B6,−6．
（1）该抛物线的顶点坐标为 ．
（2）点C是AB上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接AC，BC，则△ABC面积的最大值为 ．
3．（2025·福建三明·二模）如图，已知二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中B3，0，C0，3．
(1)求该二次函数的顶点坐标；
(2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第一象限，△PBC的面积是△ABC面积的一半，求点P的坐标．
题型二 割补法求面积
1．（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数y1=k1x+bk1≠0的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数y2=k2xk2≠0,x>0的图象交于点C1,2，Dm,12．下列结论错误的是（ ）
A．b=52B．△BOC与△AOD的面积相等
C．△COD的面积是174D．当1≤x≤4时，y1≥y2
2．（2025·山东淄博·中考真题）如图，D为矩形OABC（边OA，OC分别在x，y轴的正半轴上）对角线OB上的点，且OD=12BD，经过点D的反比例函数y=kx的图象分别与AB，BC相交于点E，F，连接OE，OF，EF，若△OBF的面积是24，则△OEF的面积为（ ）
A．25B．26C．793D．803
3．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A−1,6，Bm,−2．
(1)求反比例函数、一次函数的表达式；
(2)求△OAB的面积．
4．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点C．已知点A的坐标为(−2,0)，点C的坐标为(1,6)，点D在反比例函数y=kx(x>0)的图像上，纵坐标为2．
(1)求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标；
(2)连接BD，OD，请直接写出四边形ABDO的面积．
5．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=k1x的图象与一次函数y=k2x+b的图象相交于Aa,6、B−6,1两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)当x0的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N（M，N不重合）．给出下面四个结论：
①△COM与△CON的面积一定相等；②△MON与△MCN的面积可能相等；③△MON一定是锐角三角形；④△MON可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
2．（2025·黑龙江·中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为3,−4．
(1)求b与c的值．
(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积与△ABC的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A,B两点（点A在点B的左边），与y轴相交于点C0,−3，且抛物线的顶点坐标为1,−4．
(1)求抛物线的表达式；
(2)P是抛物线上位于第四象限的一点，点D0,−1，连接BC,DP相交于点E，连接PB．若△CDE与△PBE的面积相等，求点P的坐标；
(3)M,N是抛物线上的两个动点，分别过点M,N作直线BC的垂线段，垂足分别为G,H．是否存在点M,N，使得以M,N,G,H为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由．
4．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线y=ax2−2x+3与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，顶点C的横坐标为−1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，将直线AB沿y轴向上平移mm>0个单位长度，当它与抛物线有交点时，求m的取值范围；
(3)如图2，抛物线的对称轴交直线AB于点D，交x轴于点E，连接AC．抛物线上是否存在点P（不与点C重合），使得S△PAD=S△CAD．若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．
题型四 面积最值与定值问题
1．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x+4与y轴相交于点A，与x轴相交于点B，点C在线段OA上（不与点O，A重合），过点C作OA的垂线，与直线AB相交于点D，点A关于直线CD的对称点为E，连接DE．
(1)求证：∠OAB=45°；
(2)设点C的坐标为0,m，当00)的图象交于A2,yA，B两点（点A在点B的右侧），过AC的中点D作线段AC的垂线交x轴于点E，交y轴于点F，连接AF，AE，BE．
(1)如图1，当b=4，点D的坐标为1,5时，求反比例函数的表达式和B点坐标；
(2)如图2，当b=0，连接BF，S△ABF=5时，求m的值；
(3)当m=2时，若△AFD∽△ BED，求b的值．
3．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，点B在y轴右侧的x轴上，抛物线y=ax2+32x+c(a≠0)经过A，B，C三点，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标；
(2)点P在直线AC上运动，当△BDP的周长最小时，求点P的坐标；
(3)探究在△ABC内部能否截出面积最大的矩形EFGH（顶点E，F，G，H在△ABC各边上）？若能，求出此时矩形在AB边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由．
4．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数y=−x2+2x+3的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线BC，Mm,y1，Nm+2,y2为二次函数y=−x2+2x+3图像上两点．
(1)求直线BC对应函数的表达式；
(2)试判断是否存在实数m使得y1+2y2=10．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
(3)已知P是二次函数y=−x2+2x+3图像上一点（不与点M，N重合），且点P的横坐标为1−m，作△MNP．若直线BC与线段MN，MP分别交于点D，E，且△MDE与△MNP的面积的比为1:4，请直接写出所有满足条件的m的值．
5．（2025·山东威海·中考真题）已知抛物线y=ax2+bx−3交x轴于点A−1,0，点B，交y轴于点C．点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线y=ax2+bx−3上．点E为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标；
(2)连接BC，点M是线段BC上一动点，连接OM，作射线CD．
①在射线CD上取一点F，使CF=CO，连接FM．当OM+FM的值最小时，求点M的坐标；
②点N是射线CD上一动点，且满足CN=CM．作射线CE，在射线CE上取一点G，使CG=CO．连接GN，BN．求OM+BN的最小值；
(3)点P在抛物线y=ax2+bx−3的对称轴上，若∠OAP+∠OCA=45°，则点P的坐标为___________．刷考点精准巩固，扫清盲区
提能力聚焦过程，优化策略
测综合跨界融合，挑战创新
解｜题｜技｜巧
模型名称
一次函数背景考法
反比例函数背景考法
二次函数背景考法
一线三垂直
1.求一次函数解析式
2.求直线与坐标轴交点坐标
3.证明三角形全等/相似
1.结合k的几何意义求面积
2.利用全等求反比例函数解析式
3.探究双曲线上的点的存在性
1.探究抛物线上的等腰、直角三角形存在性
2.求三角形面积最值
3.求动点坐标及路径长度
解｜题｜技｜巧
模型名称
一次函数背景考法
反比例函数背景考法
二次函数背景考法
相似三角形
1. 求一次函数解析式
2. 求线段比例或点坐标
3. 证明三角形相似并求参数
4. 结合角度条件（如 45°）构造相似
1. 结合 k 的几何意义求面积或比例
2. 利用斜 X 型相似证明线段关系
3. 探究双曲线上的点的存在性
4. 证明三角形相似并求 k 值
1. 探究抛物线上相似三角形的存在性
2. 求三角形面积最值或周长最值
3. 利用相似建立函数关系式
4. 结合动点问题求路径长度或坐标
解｜题｜技｜巧
1）铅垂法求面积核心原理：把三角形拆成两个以 “水平宽” 为底、“铅垂高” 为高的小三角形，面积公式为：.
2）割补法核心原理：对于不规则图形，用矩形、梯形等规则图形的面积，减去周围几个直角三角形的面积。
3）等积变换核心原理：利用 “平行线间距离相等” 的性质，将三角形的一个顶点沿平行于底边的直线移动，面积保持不变。
4）面积最值与定值核心原理：将面积表示为关于动点横坐标的函数，再利用二次函数的性质求最值；或通过几何证明，确定面积为定值的条件。