专题07 三角形相似模型（8大模型清单+模型大招）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测（原卷版+解析版）

这是一份专题07 三角形相似模型（8大模型清单+模型大招）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测（原卷版+解析版），文件包含专题07三角形相似模型原卷版docx、专题07三角形相似模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共65页， 欢迎下载使用。

模型一：简单相似模型
【典例1】（2025•雷州市二模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，sinA=35，则BD的长度为（ ）
A．94B．154C．125D．4
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，sinA=35，
∴csA=1−(sinA)2=45，
∴csA= ACAB=45，
∴AB＝5，
∴BC=AB2−AC2=3，
∵∠DBC＝∠A．
∴cs∠DBC＝cs∠A=BCBD=45，
∴BD＝3×54=154．
故选：B．
【变式1-1】（2025•双塔区校级模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝6，DB＝4，BC＝15，则DE的长度为（ ）
A．6B．9C．10D．12
【解答】解：∵AD＝6，DB＝4，
∴AB＝AD+DB＝10．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∴ADAB=DEBC．
∴DE=AD⋅BCAB=6×1510=9．
故选：B．
【变式1-2】（南通）如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，则S△ADES△ABC= ．
【解答】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴ADAB=AEAC=12，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=（12）2=14．
故答案为：14．
【典例2】（营口）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将AC绕着点C按顺时针旋转60°得到CD，连接BD交AC于点E，则AEED= ．
【解答】解：如图，连接AD，过点D作DG⊥AC于点G，
∵将AC绕着点C按顺时针旋转60°得到CD，
∴AC＝CD，∠ACD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，
∵DG⊥AC，
∴AG＝CG=12AC，
设AB＝AC＝2a，则AC＝AD＝CD＝2a，AG＝CG＝a，
在Rt△ADG中，DG=AD2−AG2=3a，
∵∠BAE＝∠DGE＝90°，∠AEB＝∠GED，
∴△ABE∽△GDE，
∴AEGE=ABDG，即AEGE=2a3a=233，
∴AE=233GE，
∵AE+GE＝AG＝a，
∴233GE+GE＝a，
解得：GE=(23−3)a，
∴AE=(4−23)a，
在Rt△DGE中，DE=DG2+EG2=23(2−3)a，
∴AEED=(4−23)a23(2−3)a=6−333=(322−62)23=22−66．
【变式2-1】（2025•深圳模拟）如图是”小孔成像”的原理示意图，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2，若烛焰AC的高是4cm，则实像DB的高是（ ）
A．12cmB．10cmC．8cmD．6cm
【解答】解：根据题意知，△AOC∽△BOD．
∵蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2．
∴相似比为1：2．
∴AC：BD＝1：2．
∴BD＝2AC＝8cm．
即实像DB的高是8cm．
故选：C．
【变式2-2】（2025•吐鲁番市二模）同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与“小孔”的距离是光屏与“小孔”距离的一半，且蜡烛与光屏始终垂直于水平面，当蜡烛火焰的高度AB为1.6cm时，所成的像A′B′的高度为 cm．
【解答】解：设AA′与BB′相交于点O，过点O作OB⊥AB，垂足为C，延长CO交A′B′于点D，
由题意得：OC=12OD，AB∥A′B′，
∴∠OAB＝∠OA′B′，∠OBA＝∠OB′A′，
∴△OAB∽△OA′B′，
∴ABA'B'=OCOD，
∴1.6A'B'=12，
解得：A′B′＝3.2，
∴所成的像A′B′的高度为3.2cm，
故答案为：3.2．
题型二：一线三等角相似模型
【典例】（2025•宿松县三模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝AB，以BC为直径的半⊙O与边AD相切于点E．
（1）求证：∠BCE＝∠DCE；
（2）若CD=2，求DE的长．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵半⊙O与边AD相切于点E，
∴∠OEA＝90°，
∵∠D＝90°，
∴∠D＝∠OEA＝90°，
∴OE∥CD，
∴∠ECD＝∠OEC，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴∠BCE＝∠DCE；
（2）解：连接BE，
∵BA⊥AD，OE⊥AD，CD⊥AD，
∴AB∥CD∥OE，
∵OB＝OC，
∴AE＝DE，
设DE＝AE＝x，则AD＝AB＝2x，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BEC＝90°，
∴∠DEC+∠AEB＝180°﹣∠BEC＝90°，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝∠DEC，
∴△ABE∽△DEC，
∴AEDC=ABDE，
∴x2=2xx，
解得：x=22，
∴DE的长为22．
【变式1】（2026•遂宁一模）如图，AB＝9，AC＝8，P为AB上一点，∠A＝∠CPD＝∠B，连接CD．
（1）若AP＝3，求BD的长；
（2）若CP平分∠ACD，求证：PD2＝CD•BD．
【解答】（1）解：∵AB＝9，AC＝3，
∴BP＝AB﹣AP＝9﹣3＝6，
∵∠A＝∠CPD，∠ACP+∠APC＝180°﹣∠A，∠APC+∠BPD＝180°﹣∠CPD，
∴∠ACP＝∠BPD，
∵∠A＝∠B，
∴△ACP∽△BPD，
∴ACBP=APBD，
∴86=3BD，
∴BD=94，
∴BD的长为94；
（2）证明：∵CP平分∠ACD，
∴∠PCD＝∠ACP，
∵∠ACP＝∠DPB，
∴∠PCD＝∠DPB，
∵∠CPD＝∠B，
∴△CPD∽△PBD，
∴PDBD=CDPD，
∴PD2＝CD•BD．
【变式2】（2025•聊城模拟）如图，直线y=3x+3与双曲线y=23x（x＞0）的交点为A，与x轴的交点为B．
（1）求∠ABO的度数；
（2）求AB的长；
（3）已知点C为双曲线y=23x（x＞0）上的一点，当∠AOC＝60°时，求点C的坐标．
【解答】解：（1）设直线y=3x+3与y轴交于点D，如图所示：
当x＝0时，y=3．即点D（0，3）．
当y＝0时，x＝﹣1，即点B（﹣1，0）．
∴OD=3，BO=1．
∴tan∠ABO=DOBO=3．
∴∠ABO＝60°．
（2）过点A作AE⊥x轴，垂足为E，如图所示．
设点A坐标为：(m，23m)．且m＞0．
∴OE＝m，AE=23m．
∵DO∥AE．
∴△BDO∽△BAE．
∴BOBE=DOAE．即：11+m=323m．
∴m＝1或m＝﹣2（舍）．
∴A(1，23)．
∴AB=BE2+AE2=4．
即：AB＝4．
（3）过C作∠CFO＝60°，点F在x轴上，再过点C作CH⊥OF于H点，如图所示．
设C(a，23a)，a＞0．
∴OH=a，CH=23a．
∴CF=CHsin∠CFO=23asin60°=4a．
∴HF=2a．
∴OF=a+2a．
∵∠AOF＝∠AOC+∠COF，且∠AOF是△ABO一内角的外角．
∴∠BAO＝∠COF．
∴△ABO∽△OFC．
∴ABOF=BOCF即：4a+2a=14a．
∴a=±14．
∵a＞0．
∴a=14．
∴C(14，427)．
模型三：旋转相似模型（手拉手）
【典例】（2025•昆山市模拟）如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，BEBF=43，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为 ．
【解答】解：如图，过点B作BP⊥AC于点P，连接PG，
∵BEBF=ABBC=43，∠ABC＝∠EBF，
∴△ABC∽△EBF，
∴∠CAB＝∠FEB，
∵∠APB＝∠EGB＝90°，
∴△ABP∽△EBG，
∴ABPB=EBGB=1sin∠BAC=ACBC=53，∠ABP＝∠EBG，
∴∠ABE＝∠PBG，
∴△ABE∽△PBG，
∴∠BPG＝∠BAE，
即在点E的运动过程中，∠BPG的大小不变且等于∠BAC，
∴当CG⊥PG时，CG最小，
设此时AE＝x，
∵AEPG=ABPB=53，
∴PG=35x，
∵CG⊥PG，
∴∠PCG＝∠BPG＝∠BAC，
∴CPPG=53，
代入PG=35x，解得CP＝x，
∵CP＝BC•sin∠CBP＝BC•sin∠BAC=185，
∴x=185，
∴AE=185
∴CE=325，
故答案为：325．
【变式1】（2024•宁明县三模）如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝3，AC＝4，点D在线段BC上运动，P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是 ．
【解答】解：∵△ABC∽△ADE，
∴ABAD=ACAE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，ABAC=ADAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABD+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠ACE＝90°，
∴∠DCE＝90°，
∵DP＝PE，
∴CP=12DE，
∵△ABC∽△ADE，
∴AD的值最小时，DE的值最小，此时CP的值最小，
∵AB＝3，AC＝4，∠BAC＝90°，
∴BC=AB2+AC2=32+42=5，
根据垂线段最短可知，当AD⊥BC时，AD的值最小，根据三角形面积得，此时AD=AB⋅ACBC=3×45=125，
∵ABAC=ADAE=34，
∴ADDE=35，
∴DE=53AD＝4，
∴CP的最小值为12×4＝2，
故答案为：2．
【变式2】（2024•武进区校级一模）如图，AB⊥BC，AB＝BC＝4，以AB为直径作半圆O，D是半圆O上一个动点，连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°到CE，连接AE，则AE的最小值是 ．
【解答】解：如图：以AC为直角边构造等腰Rt△ACM，连接AM、DM、DO．
∴AC=2AB＝42，
∴AM=2AC＝8．
∵∠MCA＝∠DCE＝90°，
∴∠MCD＝∠ACE，
由CM＝CA，∠MCD＝∠ACE，CD＝CE，
得△MCD≌△ACE（SAS），
∴DM＝AE，
∵∠CAB+∠MAC＝45°+45°＝90°，
∴∠MAO＝90°，
故MDO共线时，DM最小，即AE最小．
∴OM=AM2+AO2=82+22=217．
∴DM＝MO﹣CD＝217−2．
故答案为：217−2．
模型四：三角形内接矩形相似
【典例】（东营）如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的长为 ．
【解答】解：设AD交EH于点R，
∵矩形EFGH的边FG在BC上，
∴EH∥BC，∠EFC＝90°，
∴△AEH∽△ABC，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ARE＝∠ADB＝90°，
∴AR⊥EH，
∴ARAD=EHBC，
∵EF⊥BC，RD⊥BC，EH＝2EF，
∴RD＝EF=12EH，
∵BC＝8，AD＝6，AR＝6−12EH，
∴6−12EH6=EH8，
解得EH=245，
∴EH的长为245，
故答案为：245．
【变式1】（2025•梧州二模）如图，当驾驶员的眼睛点P与地面BE的距离为1.6米时，BE是驾驶员的视觉盲区，车头AFDC近似地看成是矩形，且AF：FD＝3：2，若BE的长度为5.6米，则车宽CD的长度大约是（ ）
A．1.12米B．1.15米C．1.58米D．1.68米
【解答】如图，过点P作PM⊥BE，垂足为M，交AF于点N，
则PM＝1.6米，
设FA＝x米，由AF：FD＝3：2得，
FD=23x=MN，
∴AF∥CD，AF＝CD，
∴△PAF∽△PBE，
∴PNPM=FAEB，
即PN1.6=x5.6，
∴PN=27x，
∵PN+MN＝PM，
∴27x+23x=1.6，
解得，x＝1.68，
∴AF＝CD＝1.68米．
故选：D．
【变式2】（2025•蚌山区三模）如图，在△ABC中，∠A＝90°，矩形DEFG的顶点D，G分别在边AB、AC上，E，F在边BC上．若DG=2DE，BC=493，BE=3，则矩形DEFG的面积为（ ）
A．16B．24C．32D．36
【解答】解：设DE＝x，则 DG＝2x．
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°．
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEB＝90°，GF＝DE＝x，EF＝DG＝2x，
∴∠B+∠BDE＝90°，
∴∠C＝∠BDE．
∵∠BED＝∠GFC＝90°，
∴△BED∽△GFC，
∴BEED=GFFC，
∵BC=493，BE=3，
∴FC=BC−BE−EF=493−3−2x=403−2x，
即3x=x403−2x，
即x2+6x﹣40＝0，
解得x＝4或 x＝﹣10（负值舍去），
∴DE＝4，DG＝8，
∴矩形DEFG 的面积为4×8＝32．
故选：C．
模型五：射影定理（拓展）
【典例】（北京二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE⊥BC交BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接AC，若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝2，求EC和AC的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵CF＝BE∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFD是矩形；
（2）解：如图，∵CF＝BE，CF＝2，
∴BE＝2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∵AE⊥BC，
∴AE2＝BE•EC（射影定理），
∴EC=AE2BE=422=8，
∴AC=AE2+CE2=42+82=45．
【变式1】（金华模拟）在矩形ABCD中，AB＝4，点P是直线CD上（不与点C重合）的动点，连结BP，过点B作BP的垂线分别交直线AD、直线CD于点E、F，连结PE．
（1）如图，当AD＝4，点P是CD的中点时，求tan∠EBA的值；
（2）当AD＝2时，
①若△DPE与△BPE相似，求DP的长．
②若△PEF是等腰三角形，求DE的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，BC＝AD＝4，∠ABC＝∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵点P是CD的中点，
∴CP=12CD＝2，
∵BP⊥EF，
∴∠ABE+∠ABP＝90°，
∴∠ABE＝∠PBC，
∴tan∠EBA＝tan∠PBC=CPBC=24=12．
（2）①∵△DPE与△BPE相似，∠PDE＝∠PBE＝90°，
∴△DPE∽△BPE或△DPE∽△BEP，
当△DPE∽△BPE时，
∴PDPB=DEBE=PEPE，
∴PD＝PB，BE＝DE，
设PD＝x，则PB＝x，PC＝4﹣x，
在Rt△BPC中，BC2+PC2＝PB2，
∴22+（4﹣x）2＝x2，
解得：x=52，
∴PD=52．
当△DPE∽△BEP时，如图2，
∴DPBE=DEBP=PEPE，
∴DP＝BE，DE＝BP，
∵DP＝BE＞AB，
∴点P在DC的延长线上，
在△DEF和△BPF中，
∠DFE=∠BFP∠EDF=∠PBFDE=BP，
∴△DEF≌△BPF（AAS），
∴DF＝BF，
设DF＝BF＝m，则CF＝4﹣m，
在Rt△BFC中，BC2+CF2＝FB2，
∴22+（4﹣m）2＝m2，
解得：m=52，
∴DF＝BF=52，CF=32，
∵∠FBC+∠PBC＝90°，∠PBC+∠BPC＝90°，
∴∠FBC＝∠BPC，
∵∠BCF＝∠BCP，
∴△FBC∽△BPC，
∴CFBC=BCCP，即322=2CP，
∴CP=83，
∴DP＝DC+CP＝4+83=203，
综上所述，PD=52或203．
②∵△PEF是等腰三角形，
∴PE＝PF或PE＝EF或PF＝EF，
当PE＝PF时，如图3，
∵BP⊥EF，
∴EB＝BF，
∴EF＝2FB，
∵BC∥AD，
∴△FBC∽△FED，
∴BCDE=FBEF=12，
∴DE＝2BC＝2×2＝4；
当PE＝EF，点P在CD的延长线上时，如图4，
设CF＝m，则DF＝m+4，
∵PE＝EF，ED⊥PF，
∴DP＝DF＝m+4，
∴CP＝DP+DC＝m+8，
∵∠PBF＝∠PCB＝∠BCF＝90°，
∴∠PBC+∠BPC＝90°，∠PBC+∠FBC＝90°，
∴∠BPC＝∠FBC，
∴△PBC∽△BFC，
∴CPBC=BCCF，即m+82=2m，
∵m＞0，
∴m＝25−4，
∴CF＝25−4，DF＝25，
∵BC∥AD，
∴△FBC∽△FED，
∴BCDE=CFDF，即2DE=25−425，
∴DE=4525−4=10+45；
当PE＝EF，点P在DC的延长线上时，如图5，
设CP＝t，则DP＝t+4，
∵PE＝EF，ED⊥PF，
∴DP＝DF＝t+4，
∴CF＝DF+DC＝t+8，
∵∠PBF＝∠PCB＝∠BCF＝90°，
∴∠PBC+∠BPC＝90°，∠PBC+∠FBC＝90°，
∴∠BPC＝∠FBC，
∴△PBC∽△BFC，
∴CPBC=BCCF，即t2=2t+8，
∵t＞0，
∴t＝25−4，
∴CP＝25−4，DF＝25，CF＝25+4，
∵BC∥AD，
∴△FBC∽△FED，
∴BCDE=CFDF，即2DE=25+425，
∴DE=4525+4=10﹣45；
当PF＝EF时，如图5，
∵PF＝EF，
∴∠BEP＝∠DPE，
∵∠EBP＝∠PDE＝90°，
∴△BEP≌△DPE（AAS），
∴BP＝DE，
设CP＝n，则DP＝4+n，
∴DE2＝BP2＝BC2+CP2＝4+n2，
∵∠FBP＝∠BCF＝∠BCP＝90°，
∴∠BFC+∠FBC＝90°，∠FBC+∠PBC＝90°，
∴∠BFC＝∠PBC，
∴△BFC∽△PBC，
∴CFBC=BCCP，即CF2=2n，
∴CF=4n，
∴DF＝4−4 n，EF＝PF＝n+4n，
∵DE2+DF2＝EF2，
∴4+n2+（4−4n）2＝（n+4n）2，
解得：n=83，
∴DE=4+n2=4+(83)2=103；
综上所述，DE的长为4或10+45或10﹣45或103．
【变式2】（2025•宿迁模拟）在矩形ABCD中，点E为射线BC上一动点，连接AE．
（1）当点E在BC边上时，将△ABE沿AE翻折，使点B恰好落在对角线BD上点F处，AE交BD于点G．
①如图1，若BC=3AB，求∠AFD的度数；
②如图2，当AB＝4，且EF＝EC时，求BC的长．
（2）在②所得矩形ABCD中，将矩形ABCD沿AE进行翻折，点C的对应点为C'，当点E，C'，D三点共线时，求BE的长．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠BAD＝90°，
∵BC=3AB，
∴AD=3AB，
∴tan∠ABD=ADAB=3，
∴∠ABD＝60°，
由折叠的性质得：AF＝AB，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠AFB＝60°，
∴∠AFD＝180°﹣∠AFB＝120°；
②由折叠的性质得：BF⊥AE，EF＝EB，
∴∠BGE＝90°，
∵EF＝EC，
∴EF＝EB＝EC，
∴BC＝2BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝CD＝4，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠CBD＝90°，
∴∠BAE＝∠CBD，
∵∠ABE＝∠BCD，
∴△ABE∽△BCD，
∴ABBC=BECD，即4BC=12BC4，
解得：BC＝42（负值已舍去），
即BC的长为42；
（2）当点E，C'，D三点共线时，分三种情况：
a、如图3，由②可知，BC＝42，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝42，CD＝AB＝4，AD∥BC，
∴∠DCE＝90°，∠CED＝∠B'DA，
由折叠的性质得：AB'＝AB＝4，∠B'＝∠ABC＝90°，
∴∠DCE＝∠B'，DC＝AB'，
∴△CDE≌△B'AD（AAS），
∴DE＝AD＝42，
∴CE=DE2−CD2=(42)2−42=4，
∴BE＝BC+CE＝42+4；
b、如图4，
由折叠的性质得：∠AEC'＝∠AEC，
∵∠BEC'＝∠DEC，
∴∠AEB＝∠AED，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠AED，
∴DE＝AD＝42，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE=DE2−CD2=(42)2−42=4，
∴BE＝BC﹣CE＝42−4；
c、E与C重合时，BE＝BC＝42；
综上所述，BE的长为42+4或42−4或42．
1．（2025•诸暨市三模）如图，已知AB为⊙O直径，弦AC，BD相交于点E，点M在AE上，连结DM．若AB＝1，∠DMC＝∠B，则cs∠AED的值始终等于线段长（ ）
A．DMB．EMC．AMD．CM
【解答】解：连接DC，BC，
∵∠DMC＝∠ABD，∠ABD＝∠ACD，
∴∠DMC＝∠ACD，
∴DM＝DC，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴cs∠CEB=CEEB，
∵∠AED＝∠CEB，
∴cs∠AED=CEEB，
∵∠DEC＝∠AEB，
∴△DEC∽△AEB，
∴CEEB=DCAB，
∴CEEB=DM1=DM，
∴cs∠AED＝DM，
故选：A．
2．（2025•珠海校级三模）如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上一点，将正方形沿BE翻折，使点A落在点F处，连接AF并延长交BE于点G、交CD于点H，若AB＝12，DH＝5，则EG的长为 ．
【解答】解：∵将正方形沿BE翻折，使点A落在点F处，连接AF并延长交BE于点G、交CD于点H，
∴∠EAG＝∠EFG，EG⊥AF，AE＝EF，AB＝BF，∠BAE＝∠BFE＝90°，
∴BF＝AD，∠BFE＝∠ADH＝90°，
∵∠EFG+∠BEF＝∠EBF+∠BEF＝90°，
∴∠EBF＝EFG＝∠EAG，
在△BFE和△ADH中，
∠BFE=∠ADH=90°BF=AD∠EBF=∠DAH，
∴△BFE≌△ADH（ASA），
∴EF＝DH＝5，
∴AE＝EF＝5，
∵AB＝12，DH＝5，
∴AH=AD2+DH2=13，
在△AGE和△ADH中，
∠A为公共角，∠AGE＝∠ADH＝90°，
∴△AGE∽△ADH，
∴AEAH=EGDH，
即513=EG5，
解得：EG=2513．
故答案为：2513．
3．（2025•东营一模）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，用“出入相补”法证明了三角形面积公式．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，作AF⊥DE于点F，沿虚线分割再重新拼接（无重叠无缝隙）成四边形GBCH．若DE＝4，AF＝3，则四边形DBCE的面积为 ．
【解答】解：∵AF⊥DE，
∴△ADE的面积=12DE•AF=12×4×3＝6，
∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC，DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=（DEBC）2=14，
∴△ABC的面积＝4△ADE的面积＝24，
∴四边形DBCE的面积＝△ABC的面积﹣△ADE的面积＝24﹣6＝18，
故答案为：18．
4．（2025•无棣县一模）如图是凸透镜成像示意图，BD是蜡烛AC通过凸透镜MN所成的像．已知蜡烛AC离凸透镜MN的水平距离OA为30cm，该凸透镜的焦距OF为10cm，光线CE∥OF，则像BD离凸透镜MN的水平距离为 cm．
【解答】解：由题意得：CE＝AO＝30cm，OF∥CE，
∴∠DOF＝∠DCE，∠DFO＝∠DEC，
∴△DFO∽△DEC，
∴OFCE=ODDC=1030=13，
∴DOCO=12，
由题意得：AC∥BD，
∴∠CAO＝∠DBO，∠ACO＝∠BDO，
∴△ACO∽△BDO，
∴OBOA=ODOC，
∴OB30=12，
解得：OB＝15，
∴像BD离凸透镜MN的水平距离为15cm，
故答案为：15．
5．（2025•苏州二模）如图，AB＝2，∠ABF＝90°，AB＝AC，E在线段BC的延长线上，且BE＝BF．G在线段AF上，I在射线BG上，连接IE．作GH⊥FB，若GH=2BFBF+2，BC×BF＝24，若始终保持∠IEB＝90°，求BI的最小值为 ．
【解答】解：如图，根据题意点C的轨迹在以点A为圆心AB为半径的⊙A上，延长BA交⊙A于点P，并与过点E平行于DF的直线交于点K；过点I分别向直线EK和AB作垂线，垂足为M、N；延长FB至点D，使BD＝AB．易知△ABD为等腰直角三角形，四边形MKNI为矩形．
∵GH=2BFBF+2可得GH2=BFBF+2，
∴GHAB=BFBF+BD=BFFD．
根据GH∥AB可得GHAB=FGFA，
∴FGFA=FBFD．
在△FGB和△FAD中，∠GFB＝∠AFD，FGFA=FBFD，
∴△FGB∽△FAD，
∴∠FBG＝∠FDA＝∠KBI＝45°．
连接CP，∠BCP＝90°，设∠CBP＝α，则BC＝BP•csα＝4csα，
∵BC•BF＝24，
∴BE＝BF=24BC=6csα，
∴BK＝BE•csα＝6．
在△IME和△EKB中，∠IME＝∠EKB＝90°，∠MEI＝90°﹣∠BEK＝∠KBE＝α，
∴△IME∽△EKB，
∴MEBK=MIEK．
由于△BNK为等腰直角三角形，则NI＝BN＝MK．
设BN＝m，ME＝n，
∵MI＝NK＝6﹣m，EK＝MK﹣ME＝BN﹣ME＝m﹣n，
∴n6=6−mm−n，即n2﹣mn﹣6m+36＝0．
关于n的一元二次方程n2﹣mn﹣6m+36＝0，由于n有实数根，
∴Δ＝（﹣m）2﹣4（36﹣6m）≥0，解得m≥122−12．
∴BI=2BN≥24﹣122．
故答案为：24﹣122．
6．（2025•盱眙县模拟）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，BD＝2，AD＝8，求S△ABC．
【解答】解：如图，∵△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴CD2＝AD•BD．
又∵BD＝2，AD＝8，
∴CD2＝16，AB＝BD+AD＝10，
∴CD＝4，
∴S△ABC=12AB•CD=12×10×4＝20，即S△ABC＝20．
7．（2025•台儿庄区模拟）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，∠BAD＝∠ACB＝∠AED＝90°，由∠1+∠2+∠BAD＝180°，∠2+∠D+∠AED＝180°，可得∠1＝∠D；又因为∠ACB＝∠AED＝90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到BCAC= AEDE .我们把这个模型称为“一线三等角”模型．
应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且∠APD＝∠B．
①求证：△ABP∽△PCD；
②当点P为BC中点时，求CD的长；
拓展：（3）在（2）的条件下，如图2，当△APD为等腰三角形时，请直接写出BP的长．
【解答】（1）解：∵△ABC∽△DAE，
∴BCAE=ACDE，
∴BCAC=AEDE，
故答案为：AEDE；
（2）①证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠APC＝∠B+∠BAP，∠APC＝∠APD+∠CPD，∠APD＝∠B，
∴∠BAP＝∠CPD，
∵∠B＝∠C，
∴△ABP∽△PCD；
②解：∵BC＝12，点P为BC中点，
∴BP＝PC＝6，
∵△ABP∽△PCD，
∴ABPC=BPCD，即106=6CD，
解得：CD＝3.6；
（3）解：当PA＝PD时，△ABP≌△PCD，
∴PC＝AB＝10，
∴BP＝BC﹣PC＝12﹣10＝2；
当AP＝AD时，∠ADP＝∠APD，
∵∠APD＝∠B＝∠C，
∴∠ADP＝∠C，不合题意，
∴AP≠AD；
当DA＝DP时，∠DAP＝∠APD＝∠B，
∵∠C＝∠C，
∴△BCA∽△ACP，
∴BCAC=ACCP，即1210=10CP，
解得：CP=253，
∴BP＝BC﹣CP＝12−253=113，
综上所述：当△APD为等腰三角形时，BP的长为2或113．
8．（2025•德阳模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝4cm，动点E从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s，以AE为直径作⊙O，与AB交于点D，连接DE．设运动时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：
（1）t取何值时，BE平分∠ABC；
（2）设△DCE的面积为y，求y与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使CD与⊙O相切？若存在，求出t的值；若不存在说明理由．
【解答】解：（1）由题意得：∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝4cm，AE＝2tcm，CE＝（4﹣2t）cm，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
在Rt△ABC中，BC=AB2−AC2=52−42=3（cm），
∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∠EAD＝∠BAC，
∴△AED∽△ABC，
∴DEAE=BCAB，即DE2t=35，
∴DE=65tcm，
∵∠BDE＝∠BCE＝90°，
∴当DE＝CE时，BE平分∠ABC，
∴65t＝4﹣2t，
解得：t=54，
∴当t=54时，BE平分∠ABC；
（2）如图，过点D作DG⊥AC于点G，
∵△AED∽△ABC，
∴ADAE=ACAB，即AD2t=45，
∴AD=85tcm，
∵DG⊥AE，AD⊥DE，
∴AE•DG＝AD•DE，即2t•DG=85t•65t，
∴DG=2425tcm，
∴y＝S△DCE=12CE•DG=12（4﹣2t）•2425t=−2425t2+4825t；
（3）存在某一时刻t，使CD与⊙O相切．理由如下：
如图，过点D作DG⊥AC于点G，
由（1）（2）知：AE＝2tcm，OA＝OD＝tcm，OC＝（4﹣t）cm，AD=85tcm，AG=3225tcm，DG=2425tcm，
∴OG＝AG﹣OA=3225t﹣t=725t，
∴CG＝OC﹣AG＝4−3225t，
∵DG⊥AC，
∵CD与⊙O相切，
∴∠CDO＝90°，
∴∠DGO＝∠CDO，
∵∠DOG＝∠COD，
∴△ODG∽△OCD，
∴OGOD=ODOC，即725tt=t4−t，
解得：t=78，
∴当t=78时，CD与⊙O相切．
9．（2025•威海一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于两点A（﹣1，0）、B（4，0），于y轴交于点C，且△ABC为直角三角形．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线上是否存在点P，能使点P满足S△PAC＝S△PBC，若存在，求出所有点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）将△ABC绕平面内一动点Q（m，m）旋转180°后所得△A'B'C'与该抛物线没有公共点，请直接写出m的取值范围 ．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0）、B（4，0），且△ABC为直角三角形．即∠ACB＝90°，
∵∠ACO+∠OCB＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°，
∴∠OCB＝∠CAO，
∴△ACO∽△CBO，
故CO2＝AO•BO，即CO2＝1×4＝4，故CO＝2，
从而C（0，2）．
∵抛物线与x轴交于两点A（﹣1，0）、B（4，0），
∴设解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），代入C（0，2），
即2＝﹣4a，解得a=−12，
故该抛物线的解析式为y=−12（x+1）（x﹣4）=−12x2+32x+2．
（2）存在这样的点P，理由如下：
如图1所示，以PC为△PAC和△PBC的公共底，
当PC∥AB时，满足S△PAC＝S△PBC，
抛物线对称轴为直线x=32，由对称性易知P（3，2）；
如图2所示，以PC为△PAC和△PBC的公共底，
从A、B两点分别向CP作高AE、BD，
又S△PAC＝S△PBC，则AE＝BD，
易证△AFE≌△BFD，故AF＝BF，
所以F为AB中点，
因此F（32，0）．
设直线CF的解析式为y＝kx+b，代入点F（32，0），C（0，2），
可得b=232k+b=0，解得k=−43b=2，
故直线CF的解析式为y=−43x+2，
联立y=−43x+2与y=−12x2+32x+2，
解得x=173或0（舍去），
此时P点横坐标为173，纵坐标为−509，
即P（173，−509），
综上，P点坐标为（173，−509）或（3，2）．
（3）∵A（﹣1，0）、B（4，0），C（0，2），
将上述三点绕Q（m，m）旋转180°后得到A'（2m+1，2m）、B'（2m﹣4，2m）、C'（2m，2m﹣2）．
①当A'（2m+1，2m）不在抛物线上时，△A'B'C'与该抛物线没有公共点，
把A'（2m+1，2m）代入y=−12x2+32x+2中，
即2m=−12（2m+1）2+32(2m+1)+2，整理得2m2+m﹣3＝0，
解得m=−32或1（不合题意，舍去），
故此时m的取值范围为m＜−32；
②当直线B'C'与抛物线没有交点时，△A'B'C'与该抛物线没有公共点，
设直线B'C'的解析式为y＝px+q，代入B'（2m﹣4，2m）、C'（2m，2m﹣2）．
即2m=(2m−4)p+q2m−2=2mp+q，解得p=−12q=3m−2，
故直线B'C'的解析式为y=−12x+3m−2，
联立y=−12x+3m−2与y=−12x2+32x+2，
可得x2﹣4x+6m﹣8＝0，令Δ＝16﹣4（6m﹣8）＝0，
解得m＝2，
故m＞2，
综上，m的取值范围为m＜−32或m＞2．
故答案为：m＜−32或m＞2．
10．（2025•江汉区模拟）已知等边三角形ABC中，D，E分别是在边AC，AB上，且CD＝nAE．
（1）如图1，若n＝1，ADAC=35，CE，BD交于点F．
①求证：△ABD≌△BCE；
②求CFBF的值；
（2）如图2，若n＝2，直接写出DEBD的最小值 ．
【解答】（1）①证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵n＝1，且CD＝nAE，
∴CD＝AE，
∵AD＝AC﹣CD，BE＝AB﹣AE，
∴AD＝BE，
∵在△ABD和△BCE中，
AB=BCAD=BE∠A=∠ABC，
∴△ABD≌△BCE（SAS）；
②解：过点C作CG∥AB交BD的延长线于点G．
∵CG∥AB，
∴∠G＝∠ABD，∠GCD＝∠A＝60°；
∵△ABD≌△∠BCE，
∴∠ABD＝∠BCE，
∴∠G＝∠BCE；
∵ADAC=35，设AD＝3x，则AC＝5x，
∴CD＝2x，AE＝2x，BE＝3x；
∵CG∥AB，
∴△CDG∽△ADB，
∴CGAB=CDAD，CG5x=2x3x，
解得CG=10x3，
∵∠G＝∠BCE，∠GFC＝∠BFE，
∴△CFG∽△BFE，则CFBF=CGBE，
代入数据得CGBE=103x3x=109，
∴CFBF=109；
（2）解：作BM⊥AC于M，DN⊥AE于N，如图：
∵n＝2，
∴CD＝2AE，
设CD＝2AE＝2a，AC＝AB＝BC＝2b，
∴AM＝b，AD＝2b﹣2a，
∵∠A＝60°，
∴AN=12AD＝b﹣a，DN=3AN=3（b﹣a），BM=3AM=3b，
∴EN＝AE﹣AN＝a﹣b+a＝2a﹣b，DM＝AM﹣AD＝b﹣2b+2a＝2a﹣b，
∴DEBD=DN2+EN2BM2+DM2=3(b−a)2+(2a−b)23b2+(2a−b)2=7a2+4b2−10ab4a2+4b2−4ab，
令y=7a2+4b2−10ab4a2+4b2−4ab，x=ab，
∵CD≤AC，
∴a≤b，
∴0≤x≤1，
∴y=7x2+4−10x4x2+4−4x=74−3x+34x2−4x+4，
令s=4x2−4x+43x+3，t＝x+1，
∴1≤t≤2，x＝t﹣1，
∴s=4(t−1)2−4(t−1)+43t=4t3−4+4t=4（t3−1t）2﹣4+233，
∴当t3=1t时，s有最小值，则y有最小，
∴t=3，x=3−1，
∴y=7(3−1)2+4−10(3−1)4(3−1)2+4−4(3−1)=7−434−23，
∴DEBD=y=2−33−1=3−12．
故答案为：3−12．
11．（2025•龙泉驿区模拟）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC和△ADE中，AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°．
【初步感知】
（1）如图1，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究BDCE的值；
【深入探究】
（2）如图2，在纸片ADE绕点A逆时针旋转过程中（旋转角不大于90°），直线BD与CE交于点F；
①求证：CF＝EF；
②当∠BAD＝∠BCA时，求BF的长；
【拓展延伸】
（3）在纸片ADE绕点A逆时针旋转过程中（旋转角不大于90°），试探究C，D，F三点能否构成等腰三角形，若能，直接写出DF的长；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，AC＝AE，AC＝AE=AB2+BC2=5．
在△ABD和△ACE中，∠ABD＝∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD＝∠CAE，ABAC=ADAE=35．
∴△ABD∽△ACE．
∴BDCE=ABAC=35．
（2）①证明：连接AF．
由（1）知△ABD∽△ACE，△ABD可视为△ACE顺时针旋转∠BAC而来，并且边长缩小到原来的35，
∴对应边的夹角为旋转角都相等：∠BAC＝∠DAE＝∠BFC．
在四边形ADFE中，∠DAE+∠DFE＝∠BFC+∠DFE＝180°．
∴A、D、F、E四点共圆．
∴∠AFE＝∠ADE＝90°，
∵AC＝AE，△ACE是等腰三角形，
∴CF＝EF．
②如图，作FG∥BC交AB于点F．由于∠ABC＝90°，则∠BGF＝90°．
由△ABD∽△ACE可得∠BAD＝∠CAE，
又∵∠BAD＝∠BCA，
∴∠BCA＝∠CAE，
∴AE∥BC，
由①知点F为CE中点，则FG为梯形ABCE的中位线，FG=BC+AE2=BC+AC2=92，BG=AB2=32．
在Rt△BFG中，BF=BG2+FG2=3102．
（3）C，D，F三点能否构成等腰三角形分为三种情况：
①当CD＝CF时，如图，作CH⊥BF，H为垂足．则DH＝FH．
根据（1）和（2）可知∠BFC＝∠BAC，BDCE=35，CF＝EF．
∴BDCF=65，cs∠BFC＝cs∠BAC=FHCF=35，sin∠BFC＝sin∠BAC=CHCF=45．
设FC＝5m，则BD＝6m，FH＝DH＝3m，CH＝4m，BH＝BD+DH＝9m．
在Rt△BCH中，BH2+CH2＝BC2，即81m2+16m2＝42，解得m=49797．
∴DF＝2DH＝2×3×49797=249797．
②当DF＝CF时，如图，点D正好落在AC上．
∵∠BAC＝∠DFC，∠ADB＝∠FDC，
∴△ABD∽△FDC．
∴ABDF=BDCD，CF＝DF．
∵AB＝3，CD＝AC﹣AD＝2，BDCF=65，DF＝CF，
∴65DF2＝3×2，DF=5．
③当DF＝CD时，如图，作DH⊥CE，H为垂足，则CH＝FH．
.
∵CF＝FE，DH＝DFsin∠DFH=45DF，FH＝DFcs∠DFH=35DF，DE＝4，
∴EH＝FH+FE＝FH+CF＝3FH=95DF．
在Rt△DEH中，DH2+EH2＝DE2，即9725DF2＝42，DF=209797．
故C、D、F三点能构成等腰三角形，DF的长度为249797或5或209797．
12．（2025•东海县模拟）综合与实践：
【新知定义】如图1，若∠BAC＝∠DAE，ABAC=ADAE，则△ABC∽△ADE．小明称图1中的△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”．
【新知探究】
（1）如图2，若∠BAC＝90°，∠B＝30°，BC＝4，D为BC的中点．以AD为一边在AD右侧作△ADE，且△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”，连接CE，则CE的长为 ；
（2）在图1中，连接BD，CE，求证：△ABD∽△ACE；
【变式应用】
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，AD为一边在AD右侧作△ADE，∠BAC＝∠DAE，S△ABC＝S△ADE，连接CE，求CE的长；
【综合应用】
（4）如图4，若∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝1，若D点在线段BC上运动(BD＜12BC，且点D不与点B重合），以AD为一边在AD右侧作△ADE，且△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”，连接CE．以AD、AE为边构造矩形ADFE，连接CF．直接写出△CEF面积的最大值及此时BD的长度．
【解答】（1）解：在Rt△ABC中，BC＝4，∠B＝30°，
∴AC＝BC•sin30°＝2，AB＝BC•cs30°＝23，
∵D是BC中点，
∴BC＝2，
由△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”可知，△ABC∽△ADE，
∴ABAD=ACAE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴ABAC=ADAE，
∵∠BAD＝∠CAE＝90°﹣∠CAD，
∴△ABD∽△ACE，
∴ABAC=BDCE，即232=2CE，
∴CE=233；
故答案为：233；
（2）证明：如图，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE．
∵ABAC=ADAE，即ABAD=ACAE，
∴△ABD∽△ACE；
（3）解：在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC中点，
∴BD=12BC=3，AD⊥BC，即∠ADB＝90°，
∴AD=AB2−BD2=4，
作BM⊥AC，DN⊥AE，垂足分别为M、N，
则∠AMB＝∠AND＝90°，
∵S△ABC＝S△ADE，
∴12BM⋅AC=12DN⋅AE，
∴BMDN=AEAC，
∵∠AMB＝∠AND，∠BAC＝∠DAE，
∴△ABM∽△AND，
∴BMDN=ABAD，
∴AEAC=ABAD，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△AEC，
∴ADAC=BDCE，即45=3CE，
∴CE=154；
（4）在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝1，
∴BC＝2AC＝2，AB=3AC=3，
∵△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”，
∴△ABC∽△ADE，
∴ABAD=ACAE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ADE＝∠B＝90°，
∴ABAC=ADAE，
∵∠BAD＝∠CAE＝90°﹣∠CAD，
∴△ABD∽△ACE，
∴ABAC=BDCE=3，∠ACE＝∠B＝30°，
∵∠B+∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠ACB＝90°，即∠BCE＝90°，
∴点E就在垂直BC的直线上运动，
设CE＝x，则BD=3x，
如图，过F作FM⊥CE，AN⊥CE，分别交直线CE于点M、N，
在Rt△ACN中，AC＝1，∠ACN＝30°，
∴CN＝AC•cs30°=32，
∴EN＝CN﹣CE=32−x，
∵四边形ADFE为矩形，
∴AD＝EF，∠EAD＝90°，
∴∠AEN＝∠EFM＝90°﹣∠MEF，
∵∠N＝∠M＝90°，
∴△AEN∽△EFM，
∴ENFM=AEEF=AEAD=tan30°=33，
∴FM=3EN=32−3x，
∴S△CEF=12CE⋅FM
=12x•（32−3x）
=−32x2+34x
=−32（x−34）2+3332，
∵−32＜0，
∴当x=34时，S△CEF=3332，此时BD=3x=34，
∴△CEF面积的最大值为3332，BD的长度为34．模型大招
1.A字型与反A字型相似
2.8字型与反8字型相似
3.蝴蝶型相似
模型大招
模型大招
模型大招
如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，则△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，.
模型大招
（1）双垂直，如图：
结论①△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC；
②△ADC∽△ACB，AC2＝AD·AB；
③△CDB∽△ACB，CB2＝BD·BA.
（2）斜射影相似
结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.