专题11 相似三角形中的几何模型（3大题型5难点，题型清单）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测+答案

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题型一：一线三等角模型
【中考母题溯源·学方法】
【典例1】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，．

(1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式；
(2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____．
【详解】（1）解：∵点A的横坐标为，且点在反比例函数的图象上，代入得：
，
，
作轴，轴，如图，
∵，
∴，
，
，
，
，
，
∵，
，
∵，点的坐标为，
，
，，
，
，
在反比例函数的图像上，代入得：
，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵、分别在反比例函数和的图像上，
∴设，，
∵，，
∴轴，且，
∵、与点A、构成以为边的平行四边形，
∴，且，如图，
∴轴，且，
∴
由②得：，
代入①得：
解得：（舍），
则，
∴．
故答案为：．
【变式1-1】难点01：作垂线构造一线三垂直模型
（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，，，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为，过点B作轴，垂足为，
∴，
，
∴，
∴
∴，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵第二象限内的点B在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
故选：D．
【变式1-2】难点02：作等线段构造一线三等角模型
感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．
应用：
(1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：．
(2)如图3，在中，D是上一点，
，求点C到边的距离．
(3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若
，求 的值．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即点C到的距离为；
（3）过点D作交的延长线于点M，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，平面直角坐标系中，矩形的边，点，分别在轴，轴上，反比例函数的图象经过点，则值为（ ）
A．B．C．7D．9
【答案】B
【详解】解：作轴，如图所示：
则，
∴；
∵，
∴；
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
设点，
∵，，，为矩形的四个顶点，
∴，解得，
∴，
∴；
故选：B
2．（25-26九年级上·上海·月考）如图，，且和之间的距离是1，和之间的距离是2，的三个顶点分别在、、上，与交于点，如果，，那么的长是 ．
【答案】5
【详解】解：如图，分别过点作，交于点，
则，
由题意得：，，
，
∵，
∴，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：5．
3．（25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．
(1)求证：；
(2)求的值．
【详解】（1）∵边形是正方形，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∴，
∴，
∴．
（2）设正方形的边长为，
∵是边上的中点，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
故．
4.感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型．
应用：
(1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：．
(2)如图3，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，求的值．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
在和中，
∵，
∴；
（2）解：如图，在的延长线上取点M，使，连接，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
5．（2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？
(1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证：
(2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证：
(3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证：
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴．
（3）∵，，
∴，
∴．
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
6．（2025·江西·模拟预测）如图，将反比例函数 的图象沿直线向下翻折，翻折后的图象与轴交于点，点在该反比例函数图象上，以为边在上方作正方形，点恰好落在轴上，已知点的纵坐标为2，
(1)求的值．
(2)设边与反比例函数 的图象的交点为，求点的坐标．
【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，则．
又 ，
．
设，则点关于直线对称的点的坐标为，点的坐标为，
又点 关于直线 对称的点和点 都在反比例函数上，
，解得，
．
（2）由（1）知，
在正方形中，，
又
（点拨：也可通过证，求的值）．
如图，过点作轴于点，则．
，
，
．
又，
（提示：“一线三直角”相似模型），
，
设，则，，
（点拨：根据的几何意义建立方程），
解得 ，（舍去），
点的坐标为
7．（1）【感知】如图①，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B合），．证明：．
（2）【探究】如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．若，求的长．
（3）【拓展】如图③，在中，，点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，直接写出的长．
【详解】（1）证明：
∴，
∴
∴
∴；
（2）解：∵是的外角，
∴，
即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，解得：
；
（3）解：∵，
∴，
∵是的外角，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
当时，，
∵，
∴不成立；
当时，，
则，
∴；
当时，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴，
综上所述：是等腰三角形时，的长为4或．
8．（2023·吉林长春·一模）【基础问题】
如图①，矩形中，点E为边上一点，连接，作交于点F，且，求证：．
【拓展延伸】
（1）如图②，点E为平行四边形内部一点，，作交延长线于点F，若，则平行四边形的面积为_________．
（2）如图③，在正方形中，，在边上取一点E，使，将沿翻折到位置，作于点F，在右侧作，则面积的最大值为_________．
【分析】解：基础问题：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴．
拓展延伸：（1）如图所示，过点E作于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
故答案为：；
（2）∵四边形是正方形，
∴，
如图所示，延长交于H，则四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
由折叠的性质可得，
设，
∴，
同理可证，
∴ ，即，
解得，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴，
∴，
∴，
∴面积的最大值为，
故答案为：．
9．（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
（二）模型体验（2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______；
（三）模型拓展（3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程：
（四）模型应用（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度．
【详解】（一）解：，
，
故答案为：
（二）解：四边形的周长为，，
，
，
的周长为，，
，
，
，
故答案为：；
（三）解：；理由如下，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（四）解：在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为．
在矩形中，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
为等腰三角形，
，
设，则，
，
，
，，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
∴，，
设，，
，
，
，
即，
，对称轴为直线，
当时，，
即当时，．
10．（2024·甘肃天水·二模）综合与实践
感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图，点M在直线上，且（可以是直角、锐角或者钝角），像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型，我们把它称为“一线三等角”模型．
应用：
(1)如图1，在矩形中，M，N分别为边上的点，，且，则的数量关系是_____；
(2)如图2，在中，，，M是上的点（），且，，求的长；
(3)如图3，在四边形中，，，，，求的值．
【详解】（1）解：．
证明：四边形为矩形，
．
，
，
又，
∵，
∴，
，
，，
．
故答案为：；
（2）如图1，延长至点N，使，
．
为等边三角形，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
．
设，则，，
，
解得（负值已舍去）．
∴，
过点M作于点D，
在中，，
，，，
在中，，
（3）如图3，延长至点P，使，则，
连接并延长交的延长线于点Q，
过点M作于点N，则四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
，，
∴，
为等腰直角三角形，．
设，则，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，即，
解得，（舍去），
．
，
，
，
∴．
11．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线）分别与x轴，y轴，线段，直线交于点E，F，P，Q．
(1)当时，求证：．
(2)探究线段之间的数量关系，并说明理由．
(3)在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）证明：由知，，
则，
则点、的坐标分别为：，
当时，，则，
即点，
；
（2）解：，
理由：
设直线的表达式为：，
将代入得：，
解得：，
∴直线的表达式为：，
联立上式和得，
解得．
即点，
同理（1）可得，点，
，
，
；
（3）解：分别过点作轴，轴，
，
，
，
，
，
，
，
设点，由（2）知，点、的坐标分别为：、，
①若，如图2，则，
当时，
，
，
，
联立方程组：，
解得：，
∴时，，
②若，如图3，
当时，
，
，
，
联立方程组：，
解得：．
时，；
③若，当时，
如图4，，
AI，
，
，
，
联立方程组：，
解得：，
；
④的情况不存在，
综上，时，时，时，．
题型二：飞鱼模型
【中考母题溯源·学方法】
【典例2】（2025·河南·模拟预测）综合与实践
【问题初探】
(1)数学课上，李老师展示了这样一个问题：“如图，在中，，点是边上一点，点是延长线上的一点，连接交于点，若，求证：．”
如图，小乐同学从中点的角度，给出了一种解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，可完成证明；
如图，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点作，交的延长线于点，利用两个三角形全等和已知条件，可完成证明．
请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
(2)李老师发现以上两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好地理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答．
如图，在中，点在边上，是的中点，连接，，与相交于点，若，求证：．
【学以致用】
(3)如图，在中，，，平分，点在的延长线上，过点作，交于点，交于点，且，若，请直接写出的长度．
【详解】（1）证明：选择解题思路，
，，，
，
，，
，即，
，
，
，
，
，
；
或选择解题思路，
，
，
又，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
；
（2）证明：如答图，延长至点，使得，连接，
是的中点，
，
又，，
，
，，
，，
，
又，即，
，
，
，
；
（3）解：如答图4，延长至点，使得，连接，
，，，
，
，，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，，
，，
，，，
，
，
．
【变式2-1】（24-25九年级上·江西景德镇·期中）马超同学在学完相似三角形的性质后对截任意三角形边的线段展开了如下探究：
如图①，中，点、分别是边、的中点，连接、、线段、交于点，已知的面积为12．
（1）__________；__________；
（2）_____；
如图②，中，点为边上的动点，过点作射线分别交边及边的延长线于点、，此时，马超同学发现，线段与的三边（或其延长线）都产生了交点，他把线段称为的的截线段；
深入探究：
（3）截线段上的三个交点、、与的三个顶点、、所组成的线段（特别是交点所在边所形成的线段如、、等）之间是否存在某种数量关系？爱思考的马超同学立刻展开探究；
根据已有的知识经验，为了找线段之间的关系，可尝试先考虑线段的比，因此，可尝试构造平行线从而得到相似三角形，进而得出线段之间比的关系：对任意，过点作交线段的延长线于点，易得，通过多次对比，马超得出了的重要结论，请根据图②沿着马超的思路尝试着证明该结论；
通过以上结论，马超同学发现了一个有趣的事实，对于结论，该结论从结构上看，作为分子的三条线段首字母为的三个顶点（、、顺序排列），而作为分母的三条线段的第二个字母恰为上方三个字母的延续如，而如字母、、恰为线段、、边上（或延长线上）的点．
方法应用：
（4）如图③，中，、、为边、、上的点，，，若点为的中点，连接交线段于点，请直接写出的值．
【详解】解：（1）∵的面积为12，点是边的中点，
∴
如图所示，连接
设，
∵点、分别是边、的中点，
∴，
∴
∵是的中点
∴，
∴
∵是的中点
∴
∴
由∵
∴
∴
∴
即
（2）∵的面积为12．
由（1）可得
∴
即，
故答案为：．
（3）由题意知，，，
∴．
（4）如图所示，延长，交于点，
由（3）可得：，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∵点为的中点，
∴
∴，
∴
∴
【变式2-2】难点03：题中隐藏一组线段关系
13．（2023·江苏盐城·二模）【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得 的对应线段成比例．

【初步体验】
（1）如图 1，在中，点 D 在上，E 在上，．若，，则 ， ；
（2 ） 已知，如图 1 ，在中，点 D 、E 分别在、上，且． 求证：．
证明：过点作的平行线交于点 F
… … … … … …
请依据相似三角形的定义（如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似）和上面的基本事实，补充上面的证明过程；
【深入探究】
（3 ）如图 2，如果一条直线与的三边、、或其延长线交于 D、F、E 点，那么是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由；
（4） 如图 3 ，在中，D 为 的中点，．则 ．

【详解】解：（1）∵，
∴，即：，
∴，
∴；
故答案为：3，；
（2）证明：过点作的平行线交于点 F

则：，
∵，
∴，
又，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
又，
∴；
（3）过点作，交于点，

∴，
∴，
即：为定值，值为1；
（4）过点作，交于点，交于点，

∵，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·山东济南·三模）【问题初探】
（1）如图1，是的中线，交于点，交于点，且，求证：．
请写出完整的证明过程，以下解题思路仅供参考．
思路1：延长至点，使，连接，构造……
思路2：过点作交延长线于点，构造……
【迁移应用】
（2）如图2，已知等边中，为边上一动点，连接，将绕若顺时针旋转得到，连接，取中点，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想；
【能力提升】
（3）如图3，已知中，，，点是斜边上的一点，且，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接线段，点为线段的中点，连接．若，，求线段的长度．
【详解】（1）证明：方法一：延长至，使，连接，
是的中线，
，
在和中，
，
∴，
，，
，
．
，
，
，
；
方法二：过点作交延长线于点，
，
是的中线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：．
理由：延长至，使，连接，，
∵是的中点，是的中点，
∴是的中位线，
∴，
由旋转得，，
∴，．
∵是等边三角形，
∴，．
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，延长至点，使，连接，
∵点是中点，点是中点，
∴是的中位线，
∴，
作，垂足为，
∵，，
∴，，
∴．
由旋转得，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，，
，
在上取点，使，则，
，
，
在中，，
，，
，
．
2．（2025·广西梧州·一模）如图1，在中，点、分别是与的中点，可得，且．
［初步感知］（1）如图2，在中，，，、是的中线，并相交于点，、分别是和上的点，且，求的长；
［尝试应用］（2）如图3，在中，、分别是、的中点，连接，将绕点逆时针旋转一定角度，连接、，若，求的值；
［拓展运用］（3）如图4，在等边三角形中，是射线上一动点（点在点的右侧），连接，把线段绕点逆时针旋转得到线段，是的中点，连接、．若，，求的值．
【详解】解：（1）如图，连接，
，，
，
、是的中线，
、分别为、的中点，即是中位线，
，，
又，，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，，
，
，
由旋转得：，
，
；
（3）如图，当时，
是等边三角形，，
，
是的中点，
，
，
，
，
；
如图，当与不平行时，过点作，交的延长线于点，
，
，
是的中位线，
，
由旋转得：，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
综上述，或．
3．（24-25九年级上·江苏淮安·月考）综合与实践
【问题初探】
（1）如图1，是的中线，交于点E，交于点F，且，
则下面是小明、小红的部分思路和方法，
小明的思路和方法：如图2，延长到点G，使，连接，构造…．
小红的思路和方法：如图3，过点B作交延长线于点G，于是得到…；
根据小明或小红的方法，可以得到线段与的数量关系是______．
【变式拓展】
（2）如图4，在中，，交于点E，交于点F，且，判断线段与的数量关系，请说明理由
【迁移应用】
（3）请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在图5的线段上作一点P，使．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
【综合提升】
（4）如图，平面直角坐标系中，，，，过B、C点分别作平行线，交x轴于E、F两点，若，直线、之间距离的最大值为_____．
【详解】解：（1）小明的方法：延长到点G，使，连接，如图所示：
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
小红的方法：过点B作交延长线于点G，如图所示：
则，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
延长，过点B作，交的延长线于点G，如图所示：
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）点P即为所求作的点，如图所示：
过点E作任意一条线段，作线段的垂直平分线，交于点B，作，在上截取，连接，交于点P，即可得出答案，
根据作图可知：，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（4）过点C作延长线的垂线，垂足为点M，过点C作于点M，如图所示：
则，
∵，，
∴与间距离为，与间距离为，
∴与间的距离为，
设，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
由题意可知：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴
，
∵，
∴的最大值为，
∴的最大值为，
∵，
∴的最大值为，
∴与间的距离最大为：
．
4．（2025·贵州铜仁·三模）【问题解决】（1）如图，在正方形中，点为边上的一点，过点作于点，交于点，求的值；
【灵活运用】（2）如图2，在矩形中，点是边上一点，连接，过点作于点，交于点，若，求的值；
【知识迁移】（3）如图3，在中，，点是边的中点，连接，过点作于点，交于点，若，求的值．
【详解】解：（1）解：∵四边形是正方形，
∴
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形为矩形，
∴
∴
∵于点，
∴
∴
∴
∴
∴．
（3）解：构造矩形，延长交于点，如图所示，
由（2）中结论可得，
∵，
∴设，
∵点为的中点，
∴
在中，根据勾股定理，得
∵
∴，
则，
解得，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，即
解得
∴．
5．（2024·湖北荆州·二模）【教材呈现】
人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1，是一个正方形花园，是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题又进行了拓展探索，内容如下：
【类比分析】
（1）如图2，在矩形中，点E是上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，垂足为点G，若，，求的长．
【迁移探究】
（2）如图3，在中，，，点D是上一点，连接，作交于点E，求证：．
【拓展应用】
（3）如图4，在中，，，，作点A关于的对称点D，点E为上一点，连接，过点D作的垂线，交于F，垂足为G，若E为中点，则_________．
【详解】（1）解：四边形为矩形，
，
，
于点，
，
，
，
，
，，
，
解得；
（2）证明：作，延长交于点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：连接，交于点，由对称的性质可知于点，，作于点，交于点，
，，
，
，，，
，，
，
，解得，
，
，
设，，
有，
解得，
，
，，
，
，
，
，
E为中点，
，
，
，解得．
故答案为：．
6.【阅读材料】

请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题．
【基础应用】已知中，，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点．
(1)如图1，若，，求证：点是的中点；
(2)如图2，若，，探究与之间的数量关系；
【灵活应用】如图3，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，点运动的路径长为______，扫过的面积为______．
【详解】解：（1）证明：，，
，
过点作，则，，
是等腰直角三角形，则，
，
，
，
，
又，
，
，
点是的中点；
（2）过点作，则，

，，则，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
，
则，
，
；
[灵活应用]：
是半圆的直径，点是半圆上一点，
，
过点作，则，
，
，
，
，
，
又，
，
，
过点作，则，，
，
，，
，则，
，
点在以为直径的半圆上运动，
运动的路径长为：
过点作，则，，

，
，
点在以为直径的半圆上运动，
则扫过的面积为以为直径的半圆与以为直径的半圆的面积之差，
即：扫过的面积为
故答案为：，．
7．（2025·广东深圳·二模）综合与探究
【课本回顾】如图1，在中，中线，，于点，点叫做的重心．
【知识探究】
（1）如图2，数学兴趣小组发现，当的中线，交于点时，不管的边长如何变化，线段与存在固定的数量关系，并经过讨论得到如下两种解决思路：
在上述两种思路中，可以选择其中一种，并完成具体解题过程；（若用其他思路解决问题，则写第3种）
【问题解决】
（2）在中，为直径，点是上一点（不与点，重合）．
①如图Ⅱ，若点是弦的中点，交于点，则的值为 ；
②如图Ⅲ，在①的条件下，若，求的值；
③如图，若，，为弦上一动点，过作，交于点，交于点．设，，直接写出与的函数关系式．
【详解】解：（1）线段与存在固定的数量关系为，理由：
思路一：取中点，连接，如图，
，，
为的中位线，
，．
，
．
，
，
，
，
，
，
，
．
思路二：作交延长线于点，如图，
，
．
在和中，
，
，
，
，
．
，，
，
，
；
（2）①连接，如图，
，，
为的重心，
，
，
．
故答案为：；
②连接、，
由（1）知：，
设，则，
，，
，
．
，
由（1）知：．
．
③如图，连接，
是的直径，
，
，
如图所示，过点作于点，交于，
，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，，，，
，
，
，
即，整理得．
与的函数关系式为．
8．（2026·湖北·模拟预测）如图1，在中，，是延长线上一点，，连接，是延长线上一点，．
问题提出：当时，探究的值．
（1）先将问题特殊化．如图2，当时，直接写出的值；
（2）再将问题一般化．如图1，证明（1）中的结论仍成立；
问题拓展：
（3）如图3，过点作于点，若，直接写出的值用含的式子表示．
【详解】（1）解：如图1，，，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图2，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴；
（3）解：如图3，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，
由（2）得：，，
∴，
，
∴，
，
，
设，，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴．
题型三：手拉手模型
【中考母题溯源·学方法】
【典例3】1（2025·四川·中考真题）和中，，．
【初步感知】
（1）如图1，若，连接，则与之间的数量关系是____，位置关系是_____；（直接写出结论，不写推理过程）
【深入探究】
（2）如图2，若，将绕点C旋转，设直线与交于点M，与交于点N，试确定与之间的数量关系和位置关系，并说明理由；
【迁移应用】
（3）如图3，当点D在内部，且时，若，，连接，作于点F，交于点G，求的长．
【详解】（1）解：如图，
，
，，
又，
，
即，
在△和△中，
，
，
，，
设与交于点，
，，
，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：数量关系：，位置关系：．
理由如下：，
，即，
又，
，
，，
，，
，
则，
即；
（3）解：∵，，
∴，，
过点作平行线交延长线于点，则，过点作延长线的垂线，垂足为点，

∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
则在中，由勾股定理得，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式3-1】难点04：作共顶点三角形构造手拉手模型
（2024·山东聊城·模拟预测）综合与实践
将正方形的边绕点逆时针旋转至，记旋转角为．连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，，
(1)如图1，当时，的形状为_______，连接，可求出的值为______；
(2)当且时．
①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的值，若，请直接写出此时点到的距离．
【详解】（1）解：如图，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵绕点逆时针旋转至，旋转角为，
∴，，
∴，为等边三角形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：等腰直角三角形；；
（2）①两个结论仍然成立，
证明：如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∵绕点逆时针旋转至，旋转角为，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴（1）中的两个结论不变，依然成立；
②若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论：
第一种：以CD为边时，则，
此时点在线段的延长线上，如图所示，
此时点与点重合，
∴，，
∴，
∵，
∴，
此时点到的距离为；
第二种：当以为对角线时，如图所示，
∵四边形是平行四边形，
∴，，点为中点，，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的值为或，此时点到的距离为或．
【变式3-2】难点05：连接拉手线构造手拉手模型

（2025·河南濮阳·一模）在矩形中，E是边上一点，以为边在矩形内部构造矩形，使得，连接．
【特例发现】
（1）如图1，当时，________；
【类比探究】
（2）如图2，将矩形绕点B顺时针旋转，连接AE，当时，求的值；
【拓展运用】
（3）如图3，矩形在旋转的过程中，当点G落在边上时，D，G，F三点共线．若，，请直接写出的长．
【详解】（1）解：如图，延长交于，
，
，，
四边形、是正方形，
是正方形的对角线，
是正方形的对角线，
、、三点共线，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为．
（2）解：连接、，
四边形和四边形都是矩形，
，
，
，
，
，
∵，，
∴，，
，
，
．
（3）解：，，
设，，，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·江苏连云港·一模）综合与实践：
【新知定义】如图1，若，，则．小明称图1中的和互为“手拉手等形三角形”．
【新知探究】
（1）如图2，若，，，D为的中点．以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接，则的长为______；
（2）在图1中，连接，求证：；
【变式应用】
（3）如图3，在中，，，D为的中点，为一边在右侧作，，，连接，求的长；
【综合应用】
（4）如图4，若，，，若D点在线段上运动（，且点D不与点B重合），以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接．以为边构造矩形，连接．直接写出面积的最大值及此时的长度．
【详解】（1）解∶∵，，，D为的中点
∴，，，
∵和互为“手拉手等形三角形”，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，即，
解得，经检验符合题意；
（2）证明：如图，
∵和互为“手拉手等形三角形”，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
（3）∵，，D为的中点，
∴，，
∴，
过B作于M，过D作于N，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，经检验，符合题意；
（4）解：∵，，，
∴，，，
∵和互为“手拉手等形三角形”，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴， ，
设，则，
过A作于M，过F作于N，
∴，，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴
，
∴当时，有最大值为，此时，
∴面积的最大值为，此时的长度为．
2．（2026·陕西西安·一模）问题提出
（1）如图1，在与中，，，，若，则___________；
问题解决
（2）如图2，市政部门计划修建四边形绿地，要求米，，在四边形绿地中修建直道，将绿地分为两个三角形区域，区域铺设草坪作为宠物活动区，为中点，以为斜边在内部修建一个等腰直角用作放养锦鲤的水池，其它区域种植鲜花，求鲜花区的最大面积．
【详解】解：（1）∵，，
∴
又∵
∴
∴
∴，即
∴；
（2）∵米，为中点，
∴米，
∵是等腰直角三角形，
∴米，
∴的面积（平方米），
∵鲜花区的面积，
∴当最大时，鲜花区的面积取得最大值，
如图所示，连接，，过点C作于点G，
∴当取得最大值时，最大
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴（米），
∴点C在以点F为圆心，为半径的圆上运动，
∴如图所示，当点C，F，G三点共线时，取得最大值，
∴此时（米），
∴此时（米），
∴此时（平方米），
∴鲜花区的面积最大值为平方米．
3．（2025·江苏徐州·中考真题）如图1，将绕直角顶点O旋转至，点A，B的对应点分别为C，D．连接，直线与交于点E．
(1)与的面积存在怎样的数量关系？请说明理由；
(2)如图2，连接，若的中点分别为P，Q，R．求证：P，Q，R三点共线；
(3)已知，随着及旋转角的变化，若存在以A，B，C，D为顶点的四边形，其面积为S，则S的最大值为_______．
【详解】（1）解：，理由如下：
由旋转的性质可得
过作于过点C作的延长线于，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
（2）证明：延长至， 使得， 连接，
为中点
为的中位线
由旋转的性质可得，
，，
，
，
四点共圆，
，
，
连接，
在中，点是的中点，
，
同理可得，
在中，点是的中点，
，
同理可得，
，
四边形是菱形，
，
即，
四边形是平行四边形，
，
又，
P，Q，R三点共线；
（3）解：过点C作延长线于，
由旋转的性质可得，
由（1）得，由旋转的性质可得，
，
，
，
，
，
，
，
中，，
，
则S的最大值为25．
故答案为：25．
4．（23-24九年级下·湖北黄冈·期中）某校数学活动小组探究了如下数学问题：
(1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______；
(2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长．
【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，
在中，，，
∴，，
∴．
在和中， ，
∴，
∴；
（2）解：结论：，
理由如下：∵是等腰直角三角形，中，，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，如图所示，
∵四边形与四边形是正方形，与交于点，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
在中，，设，则，
又∵正方形的边长为，
∴，
∴，
解得（舍去），．
∴正方形的边长为6．
5．（2025·河南南阳·二模）综合与实践
【问题呈现】
（1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________．
（2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，．
【类比探究】
①如图②，点在线段上时，求证：．
【拓展提升】
②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长．
【详解】（1）；；
解：∵和都是等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
故答案为：；；
（2）①如图②，过点作，垂足为，
∵在中，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
由旋转可知：是等腰直角三角形，
同理（1）可得：；；
设，，
则，，，
∴，
∴，
②当在内时，如图③-1，过点作，垂足为，

同理可得：，；；
∵在中，，，
∴，
∴，
∴当时，，
∴，
∴
当在内时，如图③-2，
同理可求：，，
∴
综上所述：长为
6．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）（1）如图1，在正方形中，点在边上，点在边上，且点不与、重合，点不与、重合，，，，求的长．小明利用正方形的性质，通过把旋转到的位置（如图2），就计算出了的长为_____．
（2）如图3，是正方形的边上的任意一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接．求的度数．
（3）如图4，正方形中，过点再作，垂足为，连接．求证：．
【详解】（1）解：∵正方形 ，
∴，，
∵把旋转到的位置，如图2，
∴，，，，
∴，
，即、、在同一直线上，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
（2） 四边形是正方形，
，，
，，
，
，即
，
，
，
是等腰直角三角形．
；
（3）证明：如图4，连接，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∵四边形是正方形，是对角线，
∴是等腰直角三角形，，，
∴，
∴；
又∵，
∴，
∴，
∴．
7．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在Rt中，，，于点，点是直线上一动点，连接，过点作，交直线于点．
(1)如图1，若，点在线段上，求出的值，并写出证明过程；
(2)①如图2，若点在线段上，则___________（用含，的代数式表示）；
②当点E在直线上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；
(3)若，，请直接写出的长．
【详解】（1）解：当时，即：，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，，
，
，
（2），
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，，
，
，
成立如图3，
，
，
又，
，
，
，
，
即，
，
，
，，
，
，
．
（3）由（2）有，，
又∵，，
，
∴，，
，
，
如图4图5图6，连接．
如图4，当E在线段上时，
在中，，，
根据勾股定理得，，
，或舍
如图5，当E在延长线上时，
在中，，，
根据勾股定理得，，
，
，或舍，
③如图6，当E在延长线上时，
在中，，，
根据勾股定理得，，
，
，或（舍），
综上：或．
8．（24-25九年级上·河南洛阳·月考）如图，回答下列题：
【操作发现】
如图（1），在和中，，，，连接，交于点M．
①与之间的数量关系为_________；
②的度数为_________；
【类比探究】
如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数．
【实际应用】
如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，，绕点C转动其中较小的三角板，使得点D、E、B在同一直线上，，，请直接写出之间的距离．
【详解】解：（1）①，
，
，
又，，
，
，
②设与交于点，
由①知，，
，
，，
，
故答案为：①；②；
（2）中，，．
∴
同理得：
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，，
在中，．
（3）如图3-1中，作于H，连接，
在中，∵，，．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴由勾股定理得，
在中，，
∴，
同（2）可证明：，
∴，
∴，
如图3-2中，连接，作于H，
同法可得，，
∴，
∵，
∴，
∴．
综上所述，点A、D之间的距离为或．
9．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）【问题发现】
（1）如图1，在和中，，，，连接交于点M．求出的值及的度数；
【类比探究】
（2）如图2，在和中，，，连接，交的延长线于点M，求出的值及的度数；
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．当D、C、B三点共线时时，直接写出的长为__________；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
如图，设与交于点F，
∵，
∴，
∵，
，
∴；
（2）解：如下图，在和中，设与交于点，
∵∠，，
∴；
∵，
即，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，；
（3）①如下图所示，点C在线段上时，
在中，，，
，
在中，，
由（2）知，，且，
设，则，
在中，，
，
解得，，舍去，
，
②如下图，当点C在线段延长线上时，
在中，，，
，
在中，，
由（2）知，，且，
设，则，
在中，，
，
解得，，舍去，
；
综上所述：的长为或，
故答案为：或．
10．（25-26九年级上·福建宁德·期中）在矩形中，点为射线上一点，连接，以为一边，在的右侧作正方形．
(1)若，如图1，连接，当射线与射线的交点在线段上时．
求证：①；
②点一定在射线上；
(2)如图2，若，，连接，求的最小值．
【详解】（1）解：①证明：四边形是矩形，，
四边形是正方形，
是对角线，
，
同理，
又，
．
②如图，连接，
四边形是正方形，是对角线，
，
同理，
，
又，
，
，
，
，
点一定在射线上．
（2）如图，过点E作直线，再过点F分别作，则，
设的长度为，则，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
结合图形可知四边形和四边形都是矩形，
，
，
由勾股定理可知，
当时，有最小值，最小值为32，
最小值为．
11（24-25九年级上·四川成都·期末）已知，，直线与直线相交于点．
(1)如图1，点在内部，当且点，重合时，请证明：；
(2)如图2，点在内部．
①当时，探究线段，，之间的数量关系；
②当时，直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系；
(3)当，，且为直角三角形时，直接写出表示线段与的比值．
【详解】（1）证明：，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
∵，
，
，
在和中，
，
()，
．
（2）解：①(ⅰ)如图，当点D，N重合时，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
在中，，
，
，
，
，
当点D，N重合时，；
(ⅱ) 如图，当点D，N不重合时，
在上取一点H，使得，连接；
由(ⅰ)同理可证：，，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
；
在中，
同理可求：，
当点D，N不重合时，
．
综上，．
②如图：在上取一点H，使得，连接，
由①中的(ⅱ)同理可证，，
∴，，
，
如图，过作交于，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
故；
（3）解：如图，取的中点，连接，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
①如图，当时，此时与重合，
（ⅰ）点在线段上，如图，
，
，
，
；
（ⅱ）点在线段延长线上，如图，
由（ⅰ）同理可证：；
②当时，
（ⅰ）如图，当点在的内部时，
如图，连接，在上取一点H，使得，连接，过作交的延长线于，过作于，
设，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
四边形是矩形，
，，，
，，
，，
，
，
，
由（2）同理可证：，
，
，
，
解得：，
，
，
解得：，
，
，
，
，
；
（ⅱ）如图，当点在的外部时，
连接，在上取一点H，使得，连接，过作交于，过作交于，
设，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
由（2）同理可证：，
，
，
，
，
解得：，
，
，
解得：，
，
，
，
，
；
综上所述：或或．
12．（2025·湖北武汉·三模）如图，在和中，，，，点在边上，是的中点．连接，是的中点．
(1)求证：；
(2)如图（1），若点在上，直接写出的值；
(3)①如图（2），若点在下方，判定以，，为顶点的三角形的形状，并证明你的结论．
②如图（2），若线段（m为常数），请直接写出点从点运动到点，点的运动路径长．（请用含 的式子表示）．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴，即，，
∴，
∴；
（2）解：如下图，连接，作，垂足为，
由（1）可知，，，
∴，
∵，，是的中点，
∴，，即，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵
∴，
∵，且，
∴，
，
∴
（3）以，，为顶点的三角形为等腰直角三角形，证明如下：
延长交于点，连接，，设交于点，
∵，
∴，
∵是的中点，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
又，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，且，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴，
即：，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形．
②取的中点，连接，
∵，
∴，，
∴点在过点平行于直线上运动，
当点在点时，点与点重合，点与点重合，
∵，
∴，
∴，
当点运动到点时，此时，则，，
∴点从点运动到点，点的运动路径长为
题型一：一线三等角模型
难点01：作垂线构造一线三垂直模型
难点02：作等线段构造一线三等角模型
题型二：飞鱼模型
难点03：题中隐藏一组线段关系
题型三：手拉手模型
难点04：作共顶点三角形构造手拉手模型
难点05：连接拉手线构造手拉手模型
教材习题
如图，、相交于点，是中点，，求证：是中点．
问题分析
由条件易证，从而得到，即点是的中点
方法提取
构造“平行字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法
思路一
思路二
第一步
如图3，取中点，连接，证明；
如图4，作平行交延长线于点，先证明，再证明；
第二步
利用相似三角形的性质及中位线的性质，得到线段与之间的数量关系
利用全等三角形的性质及相似三角形的性质，得到线段与之间的数量关系
图形表达