专题08 全等三角形中的几何模型（4大题型4难点，题型清单）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测+答案

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题型一：一线三等角模型
【中考母题溯源·学方法】
【典例1】难点01：二次函数中构造一线三等角模型
（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，过点B的直线与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接，设点M的纵坐标为n，当时，求n的值；
(3)如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：联立，
解得：，
∴，
∵，
∴对称轴为直线，顶点为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴的值为；
（3）解：由（2）得顶点，设，
由旋转得，
当时，
过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
将点代入，
得，
整理得：，
解得：，
∴或；
当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
将点代入，
得，
整理得：，
解得：，
或，
综上所述：所有符合条件的点P的坐标为：或或或．
【变式1-1】难点02：作垂线构造一线三等角模型
（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】
（1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【详解】（1），理由如下：
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2），理由如下：
过E点作于点M，过E点作于点N，如图，
∵四边形是正方形，是正方形的对角线，
∴，平分，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，，
∴四边形是正方形，
∴是正方形对角线，，
∴， ，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
即有；
（3），理由如下，
过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式1-2】难点03：作等线段构造一线三等角模型
类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题：
(1)如图，在等腰直角三角形中，，，直线经过点但不与边相交，过点作于点，过点作于点．小明同学分析图形关系，发现了，以及三角形全等，在此基础上，请进一步探索并直接写出，，之间的数量关系：___________；
(2)如图，在中，，点，分别在边，上，，且．若，，求的长度（用含，的代数式表示）；
(3)如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接，；
探索与的数量关系并说明理由；
在点，运动过程中，点位置也随之发生改变，若，当点共线时，直接写出线段的长．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：，理由，
如图，在上取一点，使得，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵点共线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由得：，
∵，
∴，
∴，
∴．
【中考模拟闯关·练提分】
1．如图，是线段的中点，，过点作直线交、于点、．
(1)证明：；
(2)若，的垂直平分线交线段、于点、，，，求线段的长．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵是线段的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵的垂直平分线交线段、于点、，
∴．
∵，
∴，
∴都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
由（1）知，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
2．一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外两个顶点分别作这条直线的垂线，这样满足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为“一线三垂直”模型．
(1)如图1，在中，，点在直线上，过点作于点，过点作于点，由得___________．又知道，可以推理得到，进而得到___________．
(2)当图1中的直线绕点旋转到图2的位置时，求证：．
(3)当图1中的直线绕点旋转到图3的位置时，请直接写出．之间的数量关系：___________．
(4)如图4，若将（1）中的条件改为：在中，， D，A，E三点都在直线上，且满足，其中为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【详解】（1）证明：，
在和中
，，
（2）证明：
在和中
，，
（3），
同理（2）可得： ，，
．
（4）成立，理由如下：
在和中
3．问题情境：在等腰直角中，，，为直线上任意一点，将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接．
尝试发现：
（1）如图1，当点在线段上时，求线段与的数量关系；
类比探究：
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，线段与是否存在（1）中的数量关系？如果存在，写出与的数量关系并说明理由，如果不存在，请说明理由；
拓展探究：
（3）若，，请直接写出的值．
【详解】解：（1）如图，过点作，交的延长线于点，
由旋转得，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（2）存在，
理由如下：如图，过点作交于点，
由旋转得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，当在的延长线上（点在点的右侧）时，过点作于点，连接，
由（2）得，，
，
；
当在的延长线上（点在点的左侧）时，过点作于点，如图，连接，
同理可得：，
，，
，
；
综上：或．
4．【模型构建】如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用．
【模型应用】（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，
①点A坐标为_______；点B坐标为_______；
②C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，，则的最小值是_______；
（2）如图2，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点．将直线绕点B顺时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式；
【模型拓展】（3）如图3，直线的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x轴交于点D．点，Q分别是直线l和直线上的动点，点C的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标．
【详解】解：（1）①当时，，当时，由，解得，
∴点A坐标为，点B坐标为；
②过A作于，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点A坐标为，点B坐标为，
∴，
∴，
∴，
在中，；
∵D是正比例函数图象上的动点，
∴根据垂线段最短，得的最小值是的长，
故的最小值是；
（2）如图，过点A作交直线l于C，过点C作轴于D，
则，
，
，
直线绕点B逆时针旋转得到直线l，
，
是等腰直角三角形，则，
同（1）可证明：，
，，
一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，
当时，，
当时，由得，
，，
，，
，
，
设直线l对应的函数表达式为，
将、代入，
得，解得，
直线l对应的函数表达式为；
（3）点Q的坐标为或．
解：把代入直线得：，
把代入直线得：，
解得：，
∴，，
①当时，如图2，过点P作轴于E，过点Q作，交延长线于F，
，
，
，
，
，
又，，
，
，，
，
点Q的坐标为，
将点Q的坐标代入得，，
解得，
，，
点Q的坐标为；
②当时，如图3，过点P作轴于E，过点Q作，交延长线于F，
，
，
，
，
，
又，，
，
，，
，
点Q的坐标为，
将点Q的坐标代入得，，
解得，
，，
点Q的坐标为；
综上，点Q的坐标为或．
5．【问题背景】“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上，建立数量关系是处理问题的重要手段．
【问题探究】
（1）如图1，在中，平分交于点，，点在边上，且，连接，试说明：．
【综合研究】
（2）2025年是国家安全法颁布施行十周年，在第十个全民国家安全教育日来临之际，某校组织了一次推动人工智能技术与国家安全深度融合的校园活动，如图2是活动场地平面示意图，在中，米，校学生会在边、上分别取点、，使得点为的中点，于点，在线段上找点，使得米，为等腰直角三角形，，并沿其三条边搭建安全文化宣传长廊（宽度不计），其他区域规划为展示区．为了预算，需要知道的长，请你帮助校学生会计算出的长．
【详解】解：（1）∵平分，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）过点作，交的延长线于点，如图2所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵米，
∴（米），
∴米，
∵米，
∴（米）．
6．综合与实践
建立模型：如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：．
构造模型：如图2，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B旋转至直线，你能否利用图1所获得的模型，求出直线的函数表达式．
应用模型：如图3，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知直线，点B在直线l上运动，将线段绕点O顺时针旋转至线段，连接，其中点，请求出线段的最小值．
【详解】建立模型：证明：，
，
，，
，
，
在和中，
，
；
构造模型：解：如图，作交于D，作轴交轴于E，
当时，，即，则；
当时，，即，则；
∵，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
设，
将，代入得：
，
解得：，
即；
应用模型：解：如图，分别作轴，轴，交轴于M、N，
∵点B在直线l上运动，
∴设，
则，，
∵将线段绕点O顺时针旋转至线段，
∴，，
同建立模型可证，
则，，
即，
∵，
∴
，
∵，
∴，
即，
则，
∴线段的最小值为．
7．过等腰的直角顶点C作直线l，过点A作于点D，过点B作于点E，研究图形，不难发现： ．
(1)如图2，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，求点坐标；
(2)如图3，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，将直线绕点逆时针旋转得到，求的函数表达式；
(3)如图4，直线分别交轴，轴于点，直线过点交轴于点，且．若点是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点是轴上的一个动点，当以点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，直接写出点和点的坐标．
【详解】（1）解：如图2，过点B作轴于E，

∵
∴当时，；当时，，，
∵点C的坐标为，A点的坐标为，
∴，，
∵将线段绕着点逆时针旋转得到线段，
∴，，
又∵轴，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：如图3，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，
∵，
∴，
同（1）可证，
∵，
当时，；当时，，，
∴，，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴；
（3）解：∵直线分别交x轴、y轴于点A，C，
∴，，
∴，
∵．
∴，
∴，
设点，点，
①当时，（点M在x轴上方），如图4，
分别过点Q、B作y轴的平行线、，过点M作x轴的平行线分别交、于点G、H，
同（1）可证，
∴，，
即：，
解得：，；
故点、点；
当点M在x轴下方时，如图5，
同理可得：，
解得：（舍去）；
②当时，如图6，
同理可得：，
解得：，，
∴、；
③当时，如图7，
同理可得：，
解得：，，
∴，；
综上，、；、；，．
题型二：手拉手模型
【中考母题溯源·学方法】
【典例2】（2025·山东济南·二模）在初中数学的学习过程当中，我们掌握了许多关于中点的基础知识，比如特殊三角形的中线的性质、倍长中线法构造全等、中位线定理等等，也积累了很多解决中点问题的活动经验，灵活运用这些经验和技能，可以帮助我们解决很多问题．
如图 1，点是正方形的边上的点，以为边，在正方形右侧作正方形，连接，为线段的中点，连接．
(1)猜想：图 1 中线段和线段的位置关系为： ，数量关系为： （直接写出结论，无需证明）；
(2)以为旋转中心将正方形顺时针旋转，旋转角为，则（1）中结论是否仍然成立？若成立，以图 2 中情形为例证明你的结论；若不成立，说明理由；
(3)若正方形的边长为2，正方形的边长为1，则在正方形旋转一周的过程中，当点、点、点三点共线时，直接写出的长．
【详解】（1）解：如图，连接，
正方形，，
，，
，
为线段的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
（2）解：成立，理由如下，
如图，作，与的延长线交于点，连接，，，
，，
，
，
，，
，
，
正方形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，；
（3）解：①如图，当在线段上时，连接，
正方形的边长为2， ，
，
中，，
由（1）、（2）知，，
，
；
②如图，当在线段的延长上时，连接，
正方形的边长为2， ，
，
中，，
由（1）、（2）知，，
，
；
综上所述，当点、点、点三点共线时，的长为或．
【变式2-1】（2025·山东烟台·中考真题）【问题呈现】
如图1，已知是正方形外一点，且满足，探究，，三条线段的数量关系．
小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：如图2，构造与全等，从而得出与的数量关系；
思路二：如图3，构造与全等，从而得出与的数量关系．
（1）请参考小颖的思路，直接写出与的数量关系______________；
【类比探究】
（2）如图4，若是正五边形外一点，且满足，，，求的长度（结果精确到，参考数据：，，，）；
【拓展延伸】
（3）如图5，若是正十边形外一点，且满足，则，，三条线段的数量关系为_________（结果用含有锐角三角函数的式子表示）．
【详解】（1）
如图2，在射线上截取，连接，
∵，
∴
又∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
又∵四边形是正方形，
∴
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
故答案为：．
（2）解：正五边形的一个内角为
如图4，在射线上截取，连接，过点作于点
同理可得，
∴，
∴
∵，，
∴
∴
∴；
（3）如图，在射线上截取，连接，过点作于点
同理可得
∴
∴
∵
∴
∴即
故答案为：．
【变式2-2】 （2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
(1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____．
(2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转，得到，
，，，，
四边形是正方形，
，
，
E、B、N三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）解：；理由如下：
将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，
，，，，
E在上，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：．理由如下：
将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，
，，，，
，
，
E、B、N三点共线，
，
，
，
，
．
【变式2-3】难点04：作等腰三角形构造手拉手模型
和是共顶点C的两个大小不一样的等边三角形．
(1)如图1，若点A，D，E在同一直线上，连接，．
①求证：；
②的度数为______；
(2)如图2，点B、D、E在同一直线上，连接，，，为中边上的高，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图，在中，，，点D为三角形右侧外一点．且．连接，若的面积为，则线段的长度为______．
【详解】（1）证明：①∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
②∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：；
理由如下：∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵为中边上的高，
∴，
∴．
（3）解：作交直线于F，连接，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴的面积为，
即，
．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2026·四川德阳·模拟预测）如图，正方形与正方形的边、在一条直线上，正方形以点为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为在旋转过程中，两个正方形只有点重合，其他顶点均不重合，连接，．
(1)当正方形旋转至如图所示的位置时，求证：；
(2)如图，如果，，，连接，，求的面积．
【详解】（1）解：由旋转的性质可知：，由正方形的性质可知：，．
在和中，
，
∴．
．
（2）连接、，延长交于．
当时，则．
．
．
又，
．
又，，
为等腰直角三角形．
．，
，与平行．
．
2．（2025·江苏无锡·三模）同学们，你们在初三数学学习中一定有许多收获．我在模型上加以创新，你快来试试，我相信这一定难不倒你们！
【Ⅰ．“手拉手”模型】
如图，在中，，点D是射线上的动点（不与点B，C重合），连接，过点D在左侧作，使，连接，点F，G分别是的中点，连接．
（1）如图1，点D在线段上，且点D不是的中点，当时，与的位置关系是 ， ．
（2）如图2，点D在线段上，当，时，求证：．
【Ⅱ．“黄金三角形”】
（3）如图3，点C将线段分成两部分，较长线段为，如果，这个比值叫黄金比，称点C为线段的黄金分割点．在求黄金比时，通常设整个线段的长为单位1，较长线段的长为x，请你利用定义求出黄金比．
（4）进一步探究发现：①当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比；②腰与底的比是黄金比．
满足以上两种情况之一的三角形叫做黄金三角形，设黄金三角形顶角的角度为．请你利用所学知识，选择其中一种并画出图形，求的值．
【详解】解：（1）连接并延长交于，

∵，
∴，
同理：，
∴，
∴，四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴与垂直；
∵是的中点，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：垂直，；
（2）作于，作，交的延长线于点，连接，连接交于点，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，四点共圆，
∴，
∵是的中点，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图（3），设，，则，
∵，即，
∴，
解得：或（负值不符合题意，舍去），
∴，
∴，
∴黄金比为；
（4）①当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时：
如图，在，，底边与腰的长度之比为，，
过点作于点，
∴，，
在中，，
∴的值为．
②当等腰三角形的腰与底的比等于黄金比时：
如图，在，，腰与底边的长度之比为，，
过点作于点，
∴，，
在中，，
∴的值为．
3．（2025·吉林长春·二模）【模型提出】手拉手模型是初中几何中的一个重要基本模型，主要涉及两个顶角相等且共用顶角顶点的等腰三角形．通过连接对应的底角顶点，可以得到全等三角形，我们称其为手拉手全等模型．
如图①，和中，，，且，连接，．
请找出图中的一对全等三角形：________．
【模型构造】数学课上，王老师提出这样一道数学问题：如图②，在中，，，，以点A为顶点，以为腰作等腰三角形，若
求的长．
某学习小组构造手拉手全等模型，利用等腰三角形中的三线合一和直角三角形中的勾股定理等知识，求出线段长度．以下是这个学习小组解题的部分过程：
请将上述过程补充完整．
【模型应用】如图④，中，，分别以和为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，，则________．
【详解】[模型提出]
解：∵，
∴，
∴，又，，
∴，
故答案为：；
[模型构造]
解：如图③，过点A在左侧作，且满足，连接，
则，所以．
又
过点A作于点．
又
，又，，，
∴,，
∴，又，
∴，
即；
[模型应用]
解：连接，
∵以和为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
即
∴．
4．（2026·山东临沂·模拟预测）问题背景：如图（），与为等腰直角三角形，，连接，请直接写出线段与有什么关系？
尝试应用：如图（），与为等腰直角三角形，，连接，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点，猜测：，，之间有什么数量关系，并证明．
拓展延伸：如图（），等腰直角绕点逆时针旋转一定角度，使得点在一条直线上，，，，连接交于一点，在线段上有一动点，求的最小值．

【详解】问题背景]解：∵与为等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
如图，延长交于点，

在中，，
∴，
∴，
∴；
[尝试应用]解：∵与为等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，

在等腰中，，
∴，
∴，即，
∴；
[拓展延伸]解：∵与为等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
在等腰中，，
∴，
又∵，
∴，
在中，根据勾股定理，得：，
在上任找一点，作，垂足为点，如图，

在中，，
即=，
∴，
∴，
∴求最小值就转化为求的最小值，
∴当在同一条直线上时，长度最小，过点作垂线段，交于点，此时长度就是所求最小值，
∵，
∴，
∴，
∴最小值为．
题型三：倍长中线模型
【中考母题溯源·学方法】
【典例3】（山东泰安·中考真题）若和均为等腰三角形，且．
（1）如图（1），点B是的中点，判定四边形的形状，并说明理由；
（2）如图（2），若点G是的中点，连接并延长至点F，使．求证：①，②．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形．
理由如下：
∵为等腰三角形且，
∴，
∵B是的中点，
∴，
∴，
∵是等腰三角形，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
（2）证明：①∵和为等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴；
②延长至点H，使．
∵G是中点，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式3-1】（2025·山东聊城·二模）【发现问题】数学活动课上，刘老师提出了如下问题：如图1，在中，，求边上的中线的取值范围．
【探究方法】“智慧”小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长到E，使得；
②连接，通过三角形全等把转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围．
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（1）如图1，直接写出边上的中线的取值范围．
（2）如图2，在等腰三角形和等腰三角形中，，连接和，E是的中点，求证：．
【问题拓展】
（3）如图3，在中，于点D，是边上的中线，过点E作，交于点M，连接，判断之间的关系并证明．
【详解】解：（1）延长到E，使得；连接，
∵点为的中点，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
故答案为：；
（2）证明：延长至点H，使得，连接，如图2：
则，
由题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）结论：．
理由：延长到G使，连接．
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
在中，，
∴．
【变式3-2】（2025·山东菏泽·三模）（1）方法呈现：如图①：在中，若，，点为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在中，点是的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中，，与的延长线交于点、点是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明．
【详解】解：（2），
证明：延长至点，使，连接，，如图所示．
同（1）得：，
，
，
，
在中，由三角形的三边关系得：
，
．
（3）．
证明：如图，延长，交于点，
，
，
在和中，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】
小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围．
【构建模型】
她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”．
请回答：
（1）小红证明的判定定理是： ．
（2）的取值范围是
【模型应用】
（3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ．
【详解】解：（1）延长到E，使，连接BE，
∵是中线，
∴，
又，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，，
又，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）延长至点F，使，
同（1）可证，
∴，，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴“燕尾”四边形的面积为，
故答案为：8．
2．（2025·安徽亳州·二模）综合与实践：在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法．
(1)如图1，是的中线，，，求的取值范围；
(2)如图2，，，，D为的中点，求证，；
(3)如图3，在四边形中，对角线相交于点E，F是的中点，，，试探究与的数量关系，并说明理由．
【详解】（1）解：延长到点E．使，连接，
∵是的中线，
∴，又，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
故答案为：；
（2）证明：延长至G，使，连接，则
∵点D为的中点，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
（3）证明：如图，延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接，
∵点F是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
3．（2025·广东东莞·模拟预测）综合与实践
【问题提出】
小明在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在中，已知，的长，求边上中线的取值范围．他用“倍长中线”的方法构造全等三角形，即延长至点，使，再连接，得到一对全等三角形，最终解决了问题．
下课后小明继续思考，已知三角形中两边的长，是否能求夹角的角平分线？如果不能，那满足什么样的条件能求？
【探究发现】
（1）小明设计了这样的问题：如图2，在中，已知，，平分．若，求的长．他的方法是过点作的平行线，交的延长线于点．
①求的长．
②若，，，则__________．(用含，，的代数式表示)
【拓展延伸】
（2）老师看到小明的研究后告诉他，求三角形角平分线还可以借助圆的知识来解决．如图3，作的外接圆，的平分线交于点，交于点．
①已知，，求的值．
②求证：．
【详解】解：（1）如图2，过作，交延长线于，过作于，
①平分，，
，
，
，
，
，
又于，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
②由①知：，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）如图3，连接，
①平分，
，
，
，
，
；
②证明：，，
，
，
，
由①知：，
，
题型四：截长补短模型
【中考母题溯源·学方法】
【典例4】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F．
（1）当点D在线段上时，如图①，求证：；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图①的证明过程：
探究问题：
（2）当点D在线段的延长线上时，如图②：当点D在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系；
拓展思考：
（3）在（1）（2）的条件下，若，，则______．
【详解】（1）证明：在边上截取，连接．
在中，．
，
．
又，
．
又，，
．
又，
．
．
．
．
，
．
是等边三角形．
，
，
；
（2）图②：当点D在线段的延长线上时，，证明如下：
如图所示，在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
图③：当点D在线段的延长线上时，，证明如下∶
如图所示，在上取点H使，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）如图所示，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由（1）可知，，
∴；
如图所示，当点D在线段的延长线上时，
∵，与矛盾，
∴不符合题意；
如图所示，当点D在线段的延长线上时，
∵，，
∴，
由（2）可知，，
∵，
∴．
综上所述，或18．
【中考模拟闯关·练提分】
1.如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段AB上，连接CD，∠ADC＝60°，AD＝2，过C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交BC于F．
（1）求△CDE的面积；（2）证明：DF+CF＝EF．

（1）解：在Rt△ADC中，∵AD＝2，∠ADC＝60°，
∴∠ACD＝30°，∴CD＝CE＝2AD＝4，
∵EC⊥CD，∴∠ECD＝90°，
∴S△ECD＝•CD•CE＝×4×4＝8．
（2）证明：在EF上取一点M，使得EM＝DF，
∵EC＝CD，∠E＝∠CDF＝45°，
∴△ECM≌△DCF，
∴CM＝CF，
∵∠ADC＝60°，
∠FDB＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∴∠DFB＝∠CFM＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∴△CFM是等边三角形，
∴CF＝MF，∴EF＝EM+MF＝DF+CF．
2.如图，正方形中，是的中点，交外角的平分线于．
（1）求证：；
（2）如图，当是上任意一点，而其它条件不变，是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
【详解】
（1）证明：取的中点，连接，如图；
是正方形，；
，
，
，
∴，
又∵，，
在和中，
，；
（2）解：成立．
在上取，连接，如图，
为正方形， ，，，又∵，
∴，在和中，，．
3.课堂上，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明．
(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；
(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．
【解析】（1）证明：（1）如图1，延长至F，使，连接，则，
∴，
∵平分
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）证明：如图3，在上截取，使，连接
∵分别平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）证明：如图4：延长至G，使，连接，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴，即平分．
4.在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证：∠BFC=90°+12∠A；
（2）已知∠A=60°．
①如图1，若BD=4，BC=6.5，求CE的长；
②如图2，若BF=AC，求∠AEB的大小．
【详解】解：（1）∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴∠FBC+∠FCB=12(180°−∠A)=90°−12∠A，
∴∠BFC=180°−(∠FBC+∠FCB)=180°−(90°−12∠A)，
∴∠BFC=90°+12∠A，
（2）如解（2）图，在BC上取一点G使BG=BD，
由（1）得∠BFC=90°+12∠A，
∵∠BAC=60°，
∴∠BFC=120°，
∴∠BFD=∠EFC=180°−∠BFC=60°，
在△BFG与△BFD中，
BF=BF∠FBG=∠FBDBD=BG ，
∴△BFG≅△BFD（SAS）
∴∠BFD=∠BFG，
∴∠BFD=∠BFG=60°，
∴∠CFG=120°−∠BFG=60°，
∴∠CFG=∠CFE=60°
在△FEC与△FGC中，
∠CFE=∠CFGCF=CF∠ECF=∠GCF，
∴△FEC≅△FGC(ASA)，
∴CE=CG，
∵BC=BG+CG，
∴BC=BD+CE；
∵BD=4，BC=6.5，
∴CE=2.5
（3）如解（3）图，延长BA到P，使AP=FC，
∵∠BAC=60°，
∴∠PAC=180°−∠BAC=120°，
在△BFC与△CAP中，
BF=AC∠BFC=∠CAP=120°CF=PA ，
∴△BFC≅△CAP（SAS）
∴∠P=∠BCF，BC=PC，
∴∠P=∠ABC，
又∵∠P=∠BCF=12∠ACB，
∴∠ACB=2∠ABC，
又∵∠ACB+∠ABC+∠A=180°，
∴3∠ABC+60°=180°，
∴∠ABC=40°，∠ACB=80°，
∴∠ABE=12∠ABC=20°，∠AEB=180°−(∠ABE+∠A)=180°−(20°+60°)=100°
5．（2025·吉林长春·二模）【问题提出】在正方形中，点E、F分别在边、上，且，连结.求证：.
【问题探究】如图①，小亮采用“截长补短”的方法，在的延长线上鹤取，连结，通过证明三角形全等，进而得证.
下面是小亮的部分证明过程：
证明：在的延长线上截取，连结.
四边形是正方形，
.
又，
.
.
.
请补全缺失的证明过程.
【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系.
【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结，点在上，过点作，垂足为点，交延长线于点且.若，则线段的长为_______.
【问题拓展】如图③，是的外接圆，，点在上，且点与点在的两侧，连结.若，则的值为_______.
【详解】解：[问题探究]证明：在的延长线上截取，连接，如图，
∵四边形是正方形，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
[问题解决]过点M作于点H，如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由 [问题探究]知：，
∵，
∴．
故答案为：9；
问题拓展：解：延长至点E，使，连接，如图，
∵四边形为圆的内接四边形，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
题型一：一线三等角模型
难点01：函数中构造一线三等角模型
难点02：作垂线构造一线三等角模型
难点03：作等线段构造一线三等角模型
题型二：手拉手模型
难点04：作等腰三角形构造手拉手模型
题型三：倍长中线模型
题型四：截长补短模型
如图③，过点A在左侧作，且满足，连接，
则，所以．
又
过点A作于点．
又
……
证明过程缺失