专题22 二次函数中的特殊图形问题（4解答压轴题型17难点，题型清单）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测+答案

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题型一：相似、全等三角形问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例1】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式及点的坐标；
(2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：把，，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴；
（2）解：①设，则，
∴
，
∴当时，有最大值为；
②∵，，
∴，
又，
∴，
又轴，
∴轴，
∴，
当时，如图，
∴，
∴轴，
∴P的纵坐标为3，
把代入，得，
解得，，
∴，
∴，
∴P的坐标为；
当时，如图，过B作于F，
则，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴P的坐标为
综上，当P的坐标为或时，与相似．
【变式1-1】难点01：锐角三角形相似
（2025·广东揭阳·三模）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与轴交于点，顶点是点D，交抛物线的对称轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)以为直径作，判断与的位置关系，并说明理由；
(3)若抛物线对称轴上存在点，使得与相似，求点的坐标．
【详解】（1）解：抛物线过点，，
解得
抛物线的解析式为．
（2）与相切，
理由：如图（1），令，
解得，．
，
，
又
，
，
过点作轴于点．
抛物线的对称轴为直线，顶点．
，
，
，
又为直径，
与相切．
（3）如图（2）：设抛物线对称轴与轴交于点，则．
，且点在抛物线对称轴上．
若与相似，则分以下两种情况：
当时，点与点重合，
当时，如图（2），
，
，
．
点的坐标为或．
【变式1-2】难点02：直角三角形相似
（2025·湖南永州·模拟预测）如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，，点是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)在轴上有一点，求出的值最小时点的坐标，及此时的值．
(3)在第四象限内的抛物线上是否存在一点，过点作轴交轴于点，使与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，，
把点，点，点的坐标代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：作点关于轴的对称点，连接、、，如图所示，
根据轴对称可知：，
，
两点之间线段最短，
当共线时，最小，即最小，最小值为的长度，
点的坐标为，
点的坐标为，
，
顶点坐标，
的最小值为：；
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的表达式为，
当时，，
点的坐标为，
（3）解：在第四象限中的抛物线上存在点，使与相似，理由如下：
设 ，则，
，，，，
①当时，
，
即，
解得：，（舍去），
此时，
；
②当时，
，
即，
解得：，（舍去），
此时，
；
综上所述，点坐标为或．
【变式1-3】难点03：直角三角形全等
1．已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B (点A在点B左侧)，根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．
（1）①如图2，求出抛物线y＝x2的“完美三角形”斜边AB的长；
②请写出一个抛物线的解析式，使它的完美三角形与y＝x2+1的“完美三角形”全等；
（2）若抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值．
【详解】（1）①设点B的坐标为： (m，m)，
把点B的坐标代入抛物线表达式得：m＝m2，
解得：m＝0或1 (舍去0)，
故点B的坐标为： (1，1)，则点A (﹣1，1)，
则AB＝2；
②∵抛物线y＝x2+1与y＝x2的形状相同，
∴抛物线y＝x2+1与y＝x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等．
又由“完美三角形”的定义知，这两个“完美三角形”的对应边相等，
∴抛物线y＝x2+1与y＝x2的“完美三角形”全等；
（2）当a＞0时，由 （1）得：点B (m，m+4)，
∵AB＝2m＝4，
∴m＝2，
∴点B (2，6)，
将点B的坐标代入抛物线表达式y＝ax2+4得：6＝4a+4，
解得：a＝；
当a＜0时，设点B (m，4﹣m)，
同理可得：a＝﹣；
综上，a＝或﹣；
【变式1-4】难点04：钝角三角形全等
如图1，直线与抛物线（a、b为常数且a≠0）交于点A、B，且B到y轴的距离是1，A在x轴上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，P是y轴左侧抛物线上一点，轴，交直线于点C，若，求三角形的面积；
(3)在（2）的条件下，连接交抛物线的对称轴于点Q，在坐标平面内有一点M，射线交抛物线于N，当与全等时，求点N的坐标．
【详解】（1）解：根据直线与抛物线（a、b为常数且a≠0）交于点A、B，且B到y轴的距离是1，A在x轴上，
得点A的坐标为，点B的坐标为，代入得，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）解：∵P是y轴左侧抛物线上一点，
不妨设，
∵轴，交直线于点C，
∴，，
∴，，
∵直线与y轴的交点M的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得（舍去），
∴，，
∴点B到直线的距离为，
∴三角形的面积为．
（3）解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
根据（2）得，，
设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式得：
，
解得，
∴直线的解析式为：，
当时，，
故点Q的坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式得：
，
解得，
∴直线的解析式为：，
过点P作交对称轴于点M，
由，
故四边形是平行四边形，
根据平行四边形的性质，得与全等，
设直线的解析式为：，
∴，
∴，
∴直线的解析式为：，
根据题意，得，
解得（舍去），，
∴；
过点C作直线的对称点M，连接，
则与全等，
设，则，
整理，得，
根据题意，得的中点坐标为，其一定在直线上，
故，整理得，
故，
解得，
故点M的坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入直线解析式得：
，
解得，
∴直线的解析式为：，
根据题意，得，
解得（舍去），，
∴；
综上所述，点N的坐标为或．
【中考模拟闯关·练提分】
1．如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点D在x轴下方，以A，B，D为顶点的三角形与全等，平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点B和点D，请求出点D的坐标并写出平移的过程．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，代入点C的坐标得：
，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵，，，
∴，
∴只存在和两种情况，
当时，如图1所示，由对称性可知点D的坐标为；
当时，如图2所示，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴点D的坐标为；
综上所述，点D的坐标为或；
设平移方式为向右平移m个单位长度，向下平移n个单位长度，则平移后的抛物线解析式为，
∵平移后的抛物线经过B、D，
当点D的坐标为时，
∴，
解得，
∴平移方式为向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度；
当点D的坐标为时，
∴，
解得，
∴平移方式为向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度；
综上所述，当点D的坐标为时，平移方式为向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度；当点D的坐标为时，平移方式为向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度．
2．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点，抛物线的顶点为M．
(1)求抛物线的解析式，并写出M点的坐标；
(2)若点P是线段上一个动点，连接，问是否存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：将点、代入，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
∵，
∴M点的坐标为；
（2）解：存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似，理由如下：
当时，，
解得，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
设，则，，
当时，，
∴，
解得：，
∴，解得：或2（舍去），
∴；
当时，，
∴，解得：，
∴，
解得或（舍去），
∴P点的坐标为；
综上所述：P点的坐标为或．
3．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点及原点，直线与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点是二次函数图象在直线上方的一个动点，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
为何值时的面积最大，并求出其最大值；
是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：把，，代入，得，
解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：∵点是二次函数图像在直线上方的点，
∴，
设直线解析式为，
把，代入得，，
解得，
∴直线的表达式为：，
由题知，则，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，最大值为；
存在，理由如下：
∵轴，即轴，
∴，
∵是直角三角形，
∴要使相似，只有保证是直角三角形即可，
当时，如图，
∴，
此时轴，关于抛物线的对称轴对称，
∴；
当时，如图，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
由知，
∵，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
综上，存在点使与相似，此时的坐标为或．
4.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵顶点D的横坐标为1，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵A（-1，0），
∴B（3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），
把C（0，3）代入抛物线的解析式得：
-3a=3，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；
（2）存在，P（0，-1），理由如下：
∵∠APB+∠ACB=180°，
∴∠CAP+∠CBP=180°，
∴点A，C，B，P四点共圆，
如图所示，
∵点A（0，-1），B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC=3，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠APC=∠ABC=45°，
∴△AOP是等腰直角三角形，
∴OP=OA=1，
∴P（0，-1）；
（3）解：存在，理由如下：
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴D（1，4），
由抛物线的对称性得：E（2，3），
∵A（-1，0），
∴，
∴，
∴△ADE是直角三角形，且∠AED=90°，DE∶AE=1∶3，
∵点M在直线l下方的抛物线上，
设，则t＞2或t＜0，
∵MF⊥l，
∴点F（t，3），
∴，，
∵以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，
∴或，
∴或，
解得t=2（舍去） 或t=3或t=-3或（舍去）或，
∴点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或，
综上所述，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或．
5．（2025·宁夏吴忠·三模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点，点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)是否存在点 P，使得，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由；
(3)连接， 求四边形面积的最大值．
【详解】（1）解：抛物线过与点，
，
，
抛物线的解析式为；
（2）解：存在，
设直线解析式为，
则有，解得：，
即直线解析式为；
设点坐标为，
轴，
点的坐标为，
；
当时；
如图，连接，
则，，
，
，，
，
，
，
，
，
即，
解得：，（舍去），
此时；
当时，
则，，
则有，
；
过点作于，则，
，
，
解得：，（舍去），
此时；
综上，点 P 的坐标为或；
（3）解：由（2）可知，
四边形面积，
∵，
∴当时，四边形面积的最大值为．
6．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，抛物线过，两点，且交轴于另一点，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知点为第一象限内抛物线上一点，且点的横坐标为，请用含的代数式表示点到直线的距离；
(3)抛物线上是否存在一点（点除外），使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：把代入，得，
∴
把代入得，，
∴，
∴一次函数，
把代入，得，
∴
∴，
把和代入得，
，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：过点作轴的平行线交于点，作于点，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴；
（3）解：存在，理由如下：
①当点在轴上方时，则点，，为顶点的三角形与全等，
此时点与点关于抛物线对称轴对称，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴；
②当点在轴下方时，
（）当时，，则，
由勾股定理得，，
又∵，
∴，
过点作轴于点，如图，
∵，，
∴，
∴，
，，，，
∴，
，，
∴，
∴点的横坐标为，
∵点在抛物线上，
，
根据点的对称性，当点在第三象限时，符合条件的点，
∴点的坐标为：或；
（Ⅱ）当时，如图，
则直线，
∴可设直线的表达式为，
把代入得，，
∴，
∴直线的解析式为，
联立函数解析式，得，
解得或（不合，舍去）
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，为顶点的三角形与不相似，故舍去，
同理的对称点同样不合；
综上，点的坐标为或或．
7．（2024·甘肃嘉峪关·模拟预测）直线分别交x轴、y轴于A、B两点，绕点O按逆时针方向旋转后得到，抛物线经过A、C、D三点．
(1)写出点A、B、C、D的坐标；
(2)求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；
(3)在直线上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：在中，当时，，即，
当时，，解得，即，
∴，，
由旋转的性质可得：，，
∴，；
（2）解：设抛物线的解析式为，
将，，代入解析式可得，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点；
（3）解：如图，过点作轴于，
，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点Q在直线上，
∴设点，
∵以点A、B、Q为顶点的三角形与相似，
∴当时，，
∴，
即，
解得：，
∴，；
当时，，
∴，
即，
解得：，
∴，，
综上所述，符合要求的点的坐标分别为，，，．
8．（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．
(1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标；
(2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标；
(3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【详解】（1）解：直线，令，得，令，得，
所以，，代入得，
，解得：，
∴，
∴，
∴顶点P的坐标为：；
（2）解：在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F，
设点，则点，
∴，
∴
，
∴当时，的面积有最大值，
此时，点E的坐标为；
（3）解：存在，理由如下，
连接，设，
当时，，
解得，，
∴，
∵，，，
∴，且非等腰三角形，
若为顶点的三角形与相似，
，则点在点的左侧，
，
①当时，，
∴，
解得，所以点N的坐标为，
②当时，，
∴，
解得，所以点N的坐标为，
综上所述，点N的坐标为或．
9．（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是抛物线上对称轴右侧的点．
①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标；
②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和，与轴交于点，
∴，
解得，
∴；
（2）解：①令，解得，，
∴，
设直线的表达式为，
则，解得，
∴，
过P作轴，交于Q，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得（不符合题意舍去），，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵点在对称轴上，且与相似，
∴当时，
或，
设，
则或，
解方程，得，，
∴，
∴，
解，得，，
∴，
∴，
当时，
过P作于H，
则，
又，
∴，
又与相似，
∴与相似，，
∴或，
同理可求或，
综上：或．
10．（2026·上海徐汇·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)将抛物线向上平移，设点的对应点为点，射线交线段于点．
①如果恰好平分，求平移之后的抛物线的表达式；
②如果与相似，求平移的距离．
【详解】（1）解：将点代入抛物线得，
，
解得，
∴抛物线的表达式为，
∴对称轴为直线，
当时，，
∴顶点；
（2）解：①对于抛物线，令，得，
，
∵，
则轴，且，
过作，交延长线于点，
，
，
，
由题可知点向上平移到点，
则轴，即，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
∴点向上平移 4 个单位到点，即抛物线向上平移 4 个单位，
∴平移之后的抛物线的表达式为；
②解：设抛物线向上平移了个单位，
∴，
令，得或 6 ，
∴，
设直线的表达式为，
代入可得，解得：，
故直线的表达式为，
设直线的表达式为，
代入可得，解得：，
故直线的表达式为，
联立，
解得，
即，
，
∵，轴，轴，
∴，
∴分两种情况讨论：
当时，
则，即，
解得；
当时，
则，即，
解得；
综上，平移的距离为5或个单位．
11．（2023·湖北随州·中考真题）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．

(1)直接写出抛物线和直线的解析式；
(2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值；
(3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：抛物线过点，，
抛物线的表达式为，
将点代入上式，得，
．
抛物线的表达式为，即．
设直线的表达式为，
将点，代入上式，
得，
解得．
直线的表达式为．
（2）解：点在直线上，且，
点的坐标为．
，，．
当为等腰三角形时，
①若，则，
即，
解得．
②若，则，
即，
解得或（舍去）．
③若，则，
即，
解得（舍去）或．
综上，或或．
（3）解：点与点相对应，
或．
①若点在点左侧，
则，，．
当，即时，如图所示：
则：直线的表达式为，
，
解得：或（舍去）．
，即，
，即，
解得．
，；
当，即时，过点P作轴，如图所示：
则，
∴，，
∵，
，即，
解得：或（舍去），
经检验是原方程的解，
此时点，，
∴；
②若点在点右侧，则，，
当，即时，如图所示：
此时直线的表达式为，
，
解得或（舍去），
，
∵，
，即，
解得：．
，．
当，即时，如图所示：
，，
∵，
，即，
解得或（舍去），
经检验是原方程的解，
，,
∴．
综上，，或，或，或，．
12．（2023·四川资阳·中考真题）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线交于点C，求的长的最大值；
(3)点Q是线段上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结交y轴于点N．是否存在点P，使与相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【详解】（1）直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
，，
抛物线经过A、B两点．
，
解得，
；
（2）设，
作x轴，与直线交于点C，
，解得，
，
当时，的长的最大值为4；
（3）设，
，，
，
分两种情况：
①当时，
，
，，
，
，
，
，
， ，
，
，
或3（舍去），
，
，，
设直线的解析式为，
解得，
直线PQ的解析式为，
联立解得或（不合题意，舍去）
点P的坐标为；
②当时，过点Q作于H，
，
，，
，
，
，
∴，
∴，
设，则，，
，解得，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
同理得直线的解析式为，
联立解得或（不合题意，舍去）
点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或．
13．如图1，抛物线y＝ax2＋bx﹣4与x轴交于A（﹣3，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC．点D是线段BC上的一个动点（不与B，C重合），过点D作DE⊥x轴于点E．设点D的横坐标为m（0＜m＜4）．
(1)求抛物线的表达式；
(2)线段DE的长用含m的式子表示为 ；
(3)以DE为边作矩形DEFG，使点F在x轴负半轴上、点G在第三象限的抛物线上．
①如图2，当矩形DEFG成为正方形时，求m的值；
②如图3，当点O恰好是线段EF的中点时，连接FD，FC．试探究坐标平面内是否存在一点P，使以P，C，F为顶点的三角形与△FCD全等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【详解】（1）将A（﹣3，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4中，
得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝，
将x＝0代入，得y＝﹣4，
所以点C（0，﹣4）；
（2）设直线BC的解析式为y＝k1x+b1，将B（4，0），C（0，﹣4）代入，
得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣4，
∴D（m，m﹣4），E（m，0），
∴DE＝0﹣（m﹣4）＝4﹣m，
故答案为：4﹣m；
（3）①∵点D的横坐标为m，且0＜m＜4，
∴OE＝m，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE＝EF＝FG＝4﹣m，
∴OF＝EF﹣OE＝4﹣m﹣m＝4﹣2m，
∵点G在第三象限，
∴点G的坐标为（2m﹣4，m﹣4），
∵点G在抛物线y=上，
∴，
解得：m1＝4（不符合题意，舍去），，
∴当矩形DEFG成为正方形时，m＝；
②存在；点P的坐标为或或．
∵点D的横坐标为m，OE＝OF，
∴点G的横坐标为﹣m，
∴G，
∵四边形DEFG是矩形，
∴GF＝DE，
∴，
解得：m＝0（舍去）或m＝2，
∴D（2，﹣2），G（﹣2，﹣2），F（﹣2，0），
如图3，作点D关于直线FC的对称点P1，连接P1C，P1F，
则△FCP1≌△FCD（SSS），
连接P1D交FC于点M，则DM＝P1M，P1D⊥FC，
由F（﹣2，0），C（0，﹣4），易求得直线FC的表达式为y＝﹣2x﹣4，
∴可设直线P1D的表达式为y＝x+b2，
将D（2，﹣2）代入，可求得b2＝﹣3，
∴直线P1D的表达式为y＝x﹣3，
联立直线FC和直线P1D的表达式，得，
解得： ，
∴M，
∵点M是P1D的中点，
∴点P1，
设DG，FC交于点N，
由点F，G，C的纵坐标易知点N是FC的中点，
∴N（﹣1，﹣2），
作点P1关于点N的对称点P2，连接P2F，P2C，则△CFP2≌△FCD，
连接P1P2，则点N是P1P2的中点，
∴P2（，），
延长DG到点P3，使P3N＝DN，连接P3F，P3C，则△FCP3≌△CFD（SAS），
∵点N是P3D的中点，
∴P3（﹣4，﹣2），
综上所述，点P的坐标为（﹣4，﹣2），（，），（，）．
14．（2026·江苏苏州·模拟预测）抛物线过点，顶点为，与轴交于、两点（在点左侧），且．
(1)求抛物线的解析式和顶点的坐标；
(2)若点在抛物线上且，求点的坐标；
(3)若点在抛物线上，且，请直接写出满足条件的点坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点的坐标为；
（2）解：令，则，
解得或，
∴点的坐标为，
在线段上取点，使，此时，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
则，
∴，
∵，
∴，
当点在轴上方时，设交轴于点，
∴，
解得，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
整理得，
解得或，
当时，，
∴点的坐标；
当点在轴下方时，设交轴于点，
∴，解得，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
整理得，
解得或，
当时，，
∴点的坐标；
综上，点的坐标或；
（3）解：∵，
∴，
如图，作交的延长线于点，过点作轴，分别过点和作的垂线，垂足分别为和，
∴是等腰直角三角形，且，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴点的横坐标为，点的纵坐标为，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，
整理得，
解得或，
当时，，
∴点的坐标．
题型二：平行四边形的存在性问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例2】（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
【详解】（1）解：把，代入中得，
，解得，
；
（2）解：，，
当的值最小时，则的周长最小．
作点关于对称轴的对称点，即为点，
由（1）可知抛物线的解析式为，
对称轴为直线，且，
．
如图，连接，与对称轴的交点即为点，
设直线的解析式为，
把，代入中得，
，解得，
直线的解析式为．
点的横坐标为，
把代入得，
；
（3）解：设，，
①当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点，
，，
，
，解得，
把代入，
；
②当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点，
，，
，
，解得，
把代入，
；
③当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点，
，，
，
，解得，
把代入，
；
综上所述，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，此时点的坐标为或或．
【变式2-1】难点05：三定一动
（25-26九年级上·山东东营·期末）如图，二次函数的图像与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点的坐标；
(3)点在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：把点和点代入二次函数中得，
，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：如图，过点作轴于点，设，
∵点是抛物线在第三象限上的一点，
∴，
当时，，
∴或，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
（3）解：由，
∴抛物线的对称轴是直线，
如图，四边形是平行四边形，
∵，，点的横坐标为，
∴点的横坐标为，
∴；
如图，四边形是平行四边形，
同理可得点的横坐标为，
∴；
如图，四边形是平行四边形，此时轴，点在轴上，
∴，
综上，点的坐标为或或．
【变式2-2】难点06：两定两动
（2024·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标；
(3)作抛物线F关于直线上一点的对称图象，抛物线F与只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线上一点，H为抛物线对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标．
【详解】（1）解：，代入，
得：，解得：，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：如图1，过点C作x轴的垂线交于点M．
∴轴，
∴，
∴，
设的解析式为，
把，代入解析式得，
解得：，
∴．
设，则，
∴，
∵，，
∴当时，最大，最大值为．
∴的最大值为，此时点C的坐标为．
（3）解：由中心对称可知，抛物线F与的公共点E为直线与抛物线F的右交点，
∴，
∴（舍），，
∴．
∵抛物线F：的顶点坐标为，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的对称轴为直线．
如图2，当为对角线时，由题知，
∴，
∴．
如图3，当为边时，由题知，
∴，
∴．
如图4，由题知，
∴，
∴，
综上：点G的坐标为，，．
【变式2-3】难点07：两定两动+平移
（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标．
(3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标．
【详解】（1）解；把代入到中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解；如图2-1所示，当点P在下方时，
∵，
∴，
∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，
∵抛物线对称轴为直线，
∴点P的坐标为；
如图2-2所示，当点P在上方时，设直线交x轴于H，
∵，
∴，
∴
设，
∴，
解得，
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或；
（3）解：由（2）可得原抛物线对称轴为直线，
∵，
∴由对称性可得，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，
∴将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线，
∴新抛物线解析式为，
当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分，
∴的中点坐标相同，
∴，
∴，
∴．
∴此时点E的坐标为；
当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分，
∴的中点坐标相同，
∴，
∴，
∴．
∴此时点E的坐标为；
当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分，
∴的中点坐标相同，
∴，
∴，
∴．
∴此时点E的坐标为；
综上所述，点E的坐标为或或．
【变式2-4】难点08：与动态问题结合
（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上的一个动点．
(1)求该二次函数的解析式．
(2)若点在直线的下方，则当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出此时点的坐标以及的面积的最大值．
(3)若是轴上的一动点，是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
【详解】（1）解：由二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，
将点，点，点的坐标分别代入得：，
解得：，
∴二次函数表达式为；
（2）解：如图，过点作轴的平行线交直线于点，连接，
设直线的解析式为，将点，点坐标分别代入，得，
解得：，
∴直线得解析式为，
设，，
则
∵
，
∵，
∴当时，面积有最大值，此时点的坐标为；
（3）解：存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形；理由如下：
由题意可得：，，
设，，
当为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分，
由中点坐标公式可得：，
∴，
解得：（不合题意，舍去）或，
∴点的坐标为；
当为对角线时，同理可得：，
∴，
解得：（不合题意，舍去）或，
∴点的坐标为；
当为对角线时，同理可得：，
∴，
解得：或，
∴点的坐标为或；
综上所述，点的坐标为或或．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·广东深圳·二模）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点P是抛物线上的一个动点．
①如图1，若点在第一象限内，连接交直线于点，设的面积为，面积为，若，求点坐标；
②如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作于点，点是对称轴上的一个动点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：把， ，代入得∶
，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）①设直线的解析式为，
把，代入得∶
，
解得
直线的表达式为．
过作轴交于， 过作轴交于，
∴，
，
，
，
设， 则，
，
，
∴当时，，
，
，
，
或，
点的坐标为或．
②存在，理由如下：
过点作于，如图，
的对称轴为直线，
，
，
，
又，
是等腰直角三角形，
，，
是等腰直角三角形，
，
点的坐标为，
当为边时，
四边形为平行四边形，
，轴，
点的横坐标与点的横坐标同为，
当时，，
点的坐标为，
，
点的坐标为，
根据对称性当时，
，
∴时，四边形也是平行四边形．
当为对角线时，如图，
四边形为平行四边形，
，轴，
同理求得：点的坐标为，
，
点的坐标为，
综上，点的坐标为时，点的坐标为或，时，．
2．（2025·湖南·模拟预测）在热播的《哪吒2》中，哪吒和敖丙的冒险充满了奇幻与挑战．一次，他们在陈塘关上空发现了一条神秘的飞行轨迹，这条轨迹可以用抛物线来描述．抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点．已知点A的坐标为，点C的坐标为．
(1)求这条神秘飞行轨迹（抛物线）的解析式；
(2)如图（1），若点P是第一象限内抛物线上的一动点，象征着哪吒和敖丙在飞行中的某个位置．当点P到直线的距离最大时，求的面积．
(3)备用图（2），若哪吒站在抛物线上的一点M处，点N是抛物线对称轴上一点，点N象征着哪吒在探索未知的旅程中遇到的新伙伴．是否存在以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出哪吒站点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：将代入，得，
将代入，得，解得，
抛物线的解析式为；
（2）过作轴于，交于，过点作于，如图：
在中，令，得，解得或，
，
是等腰直角三角形，
，
轴，
，
是等腰直角三角形，
利用勾股定理可得，
当最大时，最大，
设直线解析式为，将代入，得，
，
∴直线解析式为，
设，则，
，
∴当时，最大为2，
此时，；
（3）解：存在，理由如下：
抛物线对称轴为直线，
设而，
①以为对角线，则的中点重合，如图∶
∴，解得，
∴；
②以为对角线，则的中点重合，如图∶
，解得，
，
③以为对角线，则中点重合，如图∶
，
解得，
∴；
综上所述，M的坐标为或或．
3．（2025·四川广元·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接，点P为直线上方抛物线上的一动点，连接，求的面积取最大值时，点P的坐标；
(3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线，连接，点D是线段上的一动点（不包括端点），点E是抛物线上的一点，使得以点O、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点E的坐标．
【详解】（1）解：把点和点分别代入中，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过作轴，交于点，
由（）得抛物线的解析式为，
当时，，
∴，
设直线的函数解析式为，
和得，，
解得，
∴直线的函数解析式为，
设点，则，
∴，
∴，
∴当时，的面积取最大值，此时点的坐标为；
（3）解：∵，
∴平移后，
∵点是线段上的一动点，
∴设点，
以为对角线时，，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴；
以为对角线时，，，
∴，即，
∵，
∴
∴
解得或（舍去），
∴；
以为对角线时，满足条件的点不存在，
综上所述，点的坐标为或．
4．（2026·湖南邵阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标；
(3)若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，请说明理由．
【详解】（1）解：点，在抛物线的图象上，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：设点，点，，
与关于对称轴对称，
连接与对称轴交于点，
∴，
此时的周长取得最小值，
设解析式为，
，
解得，
，
当时，，
，
点；
（3）解：存在，理由如下：
，
抛物线的对称轴为直线，
设点的坐标为，点的坐标为，
分三种情况：①当为平行四边形对角线时，
则，解得：，
点的坐标为；
②当为平行四边形对角线时，
则，解得：，
点的坐标为；
③当为平行四边形对角线时，
则，
解得：，
点的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
5．（2026·上海松江·一模）在平面直角坐标系中，一条抛物线与轴交于点、点，与轴正半轴交于点，顶点为点，且．
(1)求该抛物线的表达式和点的坐标；
(2)是抛物线上位于第一象限内的一点，且．
①求点的坐标；
②将该抛物线向右平移，点移到点，新抛物线的顶点为，如果新抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，求平移的距离．
【详解】（1）解：∵一条抛物线与轴交于点、点，
∴设抛物线的解析式为，
∵，，
∴，
∵抛物线与轴正半轴交于点，
∴，
把代入，得，解得，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，，
∴；
（2）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线与轴交于点，则：，
∴，
∵点在第一象限，
∴，
设直线的解析式为，
把代入，得，解得，
∴，
联立，解得或，
∴；
②设抛物线向右平移个单位，得到新的抛物线，
∵，
∴平移后的抛物线的解析式为，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为，
由①知：，
∴，
设，
∵四边形为平行四边形，
∴为对角线，
∴，
∴，
∴，
把代入，得，
解得或；
即平移的距离为或个单位长度．
6．（2026·江苏苏州·一模）如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接．
(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标．
(2)若将该二次函数图象向下平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求m的取值范围．
(3)点P是直线上的动点，过点P作直线的垂线，记点M关于直线的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点P的坐标．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，点，
∴，
解得：，
∴该二次函数的解析式为，
∵，
∴顶点；
（2）解：设直线的解析式为，
∴．
解得：，
∴直线的解析式为．
过点M作直线轴，分别交于点E，交于点F，如图，
当时，，
∴．
∵将该二次函数图象向下平移个单位，
∴平移后的点M的坐标为，
∵平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），
∴，
∴；
（3）解：当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，点P的坐标为或，理由：
①当四边形为平行四边形时，．
连接，过点M作轴于点H，设与交于点F，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵点M关于直线的对称点为Q，
∴．
过点P作轴于点G，
设，则，
∵，
，
∴．
∴，
∴．
∴；
②当四边形为平行四边形时，．
连接，过点M作轴于点H，设与交于点F，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵点M关于直线的对称点为Q，
∴，
过点P作轴于点G，
设，则，
∵，
，
∴，
∴，
∴．
∴．
综上，当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，点P的坐标为或．
7．（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B，．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得周长最小，请求出点M的坐标；
(3)连接，点P是线段上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形为平行四边形时点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)则点P的坐标为：或
【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，轴对称最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质的综合，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）根据二次函数解析式可求出，可得点的坐标，运用交点式即可求解二次函数解析式；
（2）根据抛物线的解析式可得点的对称点为点，结合轴对称最短路径可得的周长为最小，根据点的坐标可求出直线的解析式，由抛物线的对称轴为，代入直线的解析式即可求解；
（3）根据平行四边形的判定和性质可得，设点则，由此列式求解即可．
【详解】（1）解：由抛物线的表达式可知，，
∴，
∴，
∴，，，
设抛物线的表达式为：，
∴，
∴，
故抛物线的表达式为：；
（2）解：由（1）可知，抛物线的表达式为：，
∴对称轴为直线，
∴点关于抛物线对称轴的对称点为点，
∴交抛物线的对称轴于点，即为所求点的位置，即的周长为最小，
已知，，
设直线的解析式为：，
∴，
解得，
∴直线的解析式为：，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，，
则点；
（3）解：由（1）和（2）可知，抛物线的解析式为，直线的解析式为，
∴如图所示，设点，根据过点作轴的平行线交抛物线于点，四边形为平行四边形，则，
∴，
∴，
∴
解得：，，
∴当时，，即；
当时，，即
∴点的坐标为：或．
8．（2025·辽宁·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，连接，点P为直线下方抛物线上一点，连接交于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)点Q在直线上，抛物线与抛物线关于点Q成中心对称，抛物线与有且只有一个公共点E（E在y轴右侧）．
①求抛物线的表达式；
②点M在直线上，点N在抛物线对称轴上，若以B，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求M的坐标．
【详解】（1）解：，与y轴交于点，
，
将代入中，，
解得，
；
（2）解：如图，过P作轴于点E，交于点F，
∴轴，
∴，，
∴，
∴，
令，解得，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴有最大值，
∵，
当时，取得最大值，此时点P的坐标为，即的最大值为；
（3）解：①∵抛物线与关于点Q成中心对称，且抛物线与有且只有一个公共点E，
∴点Q与点E重合，
∵点Q在直线上，
∴令，
解得，
∵点E在y轴右侧，
∴抛物线与关于中心对称．
∵，
∴抛物线的顶点为，
∴抛物线的顶点为，
∴；
②∵为直线上一点，N为抛物线对称轴上一点，
∴设，
∵为顶点的四边形是平行四边形，
∴当为边时，如图，平行四边形时，过E作轴于H，过M作的对称轴于G，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴的横坐标为，
当时，代入，，
∴；
平行四边形时，M的横坐标为，则，
∴；
当为对角线时，如图，过M作轴，过E作垂直的对称轴，
则，
∵，
∴，
∴的横坐标为，
∴，
则．
综上，点的坐标为或或．
9．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于、两点，与轴相交于点，直线与抛物线交于两点．

(1)求二次函数的解析式；
(2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴的平行线交于点，当最长时，求此时点的坐标；
(3)抛物线顶点为，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：将 分别代入，
得，解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：如图1，设点，则，
．
联立一次函数与二次函数的表达式，得，
解得或，
．
∵，且，
∴当时，取得最大值，
把代入，得，
∴；
（3）解：，
∴抛物线的顶点为．
由（1）知，
如图2，当点为顶点的四边形是平行四边形时，
设，分三种情况：

①如图2，为对角线时，的中点与的中点重合，
，
解得，
∴；
②如图2，为对角线时，的中点与的中点重合，
，
解得，
；
③如图2，为对角线时，的中点与的中点重合，
，
解得，
．
综上，点 的坐标为．
10．（2024·宁夏·中考真题）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，过作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，当时，求的值；
(3)如图点，连接并延长交直线于点，点是轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：把点代入，得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：令，则，
解得：，，
点的坐标为，
当时，，
点的坐标为，
，，
，
根据题意得，点的坐标为，则，
把代入，得：
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
把，代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
点的坐标为，
，
，
又轴，
∴轴，
，
，
，
，
又，
，
解得：，（不合题意，故舍去），
∴的值为；
（3）解：存在，点的坐标为或或或，
理由如下：
设直线的解析式为，
把，代入，得：
，
解得：，
的解析式为：，
当时，，
点的坐标为，
又点是轴上方抛物线上的一点，
当时，，
解得：，，
点的坐标为或，
分情况讨论：
当点的坐标为时，
，
点的坐标为或；
当点的坐标为时，
，
点的坐标为或；
综上所述，点的坐标为或或或．
题型三：等腰三角形与菱形的存在性问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例3】（2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点．
(1)若该函数图象经过点，求点的横坐标；
(2)若，点和在该函数图象上，证明：；
(3)若是等腰三角形，求的值．
【详解】（1）解：∵二次函数图象过点，
∴，
解得：，
∴二次函数为，
∴，
∴点的横坐标为.
（2）解：∵点和在函数图象上，
∴，，
∵，
，
∴.
（3）解：在函数中，
当时，，
∴，
∵，二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点
∴，，
∴，，，
当时，则，
解得：（舍去），，
当时，则，
解得：（舍去），，
当时，∴，，则和重合，舍去，
当时，则，
解得：（舍去），，，
综上：或.
【变式3-1】难点09：底边确定
（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线（a、c为常数，）与x轴交于点两点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是抛物线上的一个动点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求点P的坐标．
【详解】（1）解：将代入，
得
解得
该抛物线的函数表达式为．
（2）当时，，则点C的坐标为，
是等腰直角三角形．
由是以为底边的等腰三角形，可知，连接，
点P，O在线段的垂直平分线上，则，即平分．
过点P作轴于点D，轴于点E，则．
设点P的坐标为，则，
，
解得，
点P的坐标为或．
【变式3-2】难点10：一腰确定
（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线于点E，点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是x轴上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)当时，求点P的坐标；
(4)在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，则的最小值为______．
【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴当时，，即；当时，，即；
∵，
∴设抛物线的解析式为，
把代入可得：，解得：，
∴，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：∵，，
∴,
∴，
如图：当，
∴,即；
如图：当，
∴,即；
如图：当，
∴,即；
综上，点D的坐标为．
（3）解：如图：∵轴，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴,
∴,
∵设，则,
∴，
∴，解得：，
当时，，
∴．
（4）解： ∵抛物线的解析式为：，
∴抛物线的对称轴为：直线，
如图：将线段向右平移单位得到,
∴四边形是平行四边形，
∴,即,
作关于对称轴的点,则
∴,
∵，
∴的最小值为．
故答案为．
【变式3-3】难点11：腰和底都不确定
（2025·广东云浮·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点且的面积为8，D是中点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值．
(3)若点G是该抛物线对称轴上的一点，且是等腰三角形，请直接写出点G 的坐标
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵的面积为8，
∴，解得，
∴，
将，代入得：
，解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：设直线为，将代入得：，解得，
直线为，
，，D是中点，
，
过点P作轴交于点Q，如图：
设，则，
，
，
，，
时，有最大值，最大值为2；
即面积的最大值是2；
（3）解：由得抛物线的对称轴为直线，
根据题意，设，
∴，，，
若是等腰三角形，分三种情况：
当时，，
则，解得，不合题意，舍去；
当时，，
则，解得，此时；
当时，，
则，解得或，
此时或，
综上，满足条件的点P的坐标为或或．
【变式3-4】难点12：菱形的一边确定
（2025·江苏常州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．
(1)点的坐标是 ，点的坐标是 ．
(2)点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线交线段于点．
①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长．
【详解】（1）解：当时，，解得：，，
∵点在点的左侧
∴，，
当时，，即．
故答案为：，．
（2）解：①存在，理由如下：
∵，，
∴直线的函数表达式为，
设点的坐标为，其中，
∵，，
∴，，，
∵，
∴当时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，
分两种情况：
如图，当时，四边形为菱形，
∴，
∴，解得：，（舍去），
∴点的坐标为，
∵点向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点，
∴点的坐标为；
如图，当时，四边形为菱形，
∴，
∴，解得：，（舍去），
∴点的坐标为，
∵点向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点，
∴点的坐标为；
综上，存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或；
②设点的坐标为，其中，
②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长．
∵，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，，
∴直线的函数表达式为；
∵直线，
∴设直线的解析式为，
∵点的坐标，
∴，
∴
∴，
∵抛物线的对称轴与直线交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去），
∴点的坐标为，
∴点的坐标为，
∴．
【变式3-5】难点13：菱形的一组对边确定
（2025·湖北·二模）如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标；
(3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标．
【详解】（1）解：二次函数的对称轴是直线，
，
，
点的坐标为，
，
，
二次函数的解析式为；
（2）解：如图，连接，
设，则，
，
在中，令，则，令，则，
解得：或，
，，
，，
，
，
，
，
当时，四边形的面积取最大值，四边形面积的最大值是，此时；
（3）解：在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下：
设直线的解析式为，将，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
设，，则，，
，
当以、、、为顶点的四边形是菱形时，，是一组对边；
①当、为对角线时，、的中点重合，且，
，
解得：（此时、与重合，舍去）或，
；
②当、为对角线时，、的中点重合，且，
，
解得：（舍去）或 或，
或；
综上所述，点的坐标为或或．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当时，y的取值范围是，求t的值；
(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称，
∴，解得：，
∴；
（2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小，
∵时，，
①当时，则：当时，函数有最大值，即：，
解得：或，均不符合题意，舍去；
②当时，则：当时，函数有最大值，即：，
解得：；
故；
（3）存在；
当时，解得：，当时，，
∴，，
设直线的解析式为，把代入，得：，
∴，
设，则：，
∴，，，
当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：
①当为边时，则：，即，
解得：（舍去）或，
此时菱形的边长为；
②当为对角线时，则：，即：，
解得：或（舍去）
此时菱形的边长为：；
综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2．
2.（2024·四川达州·中考真题）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标；
(3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为；
（2）由，当时，，则
∵，则，对称轴为直线
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为，
当时，，则
∴
∴
∴是等腰三角形，
∴
连接，设交轴于点，则
∴是等腰直角三角形，
∴，，
又
∴
∴
∴点与点重合时符合题意，
如图所示，过点作交抛物线于点，
设直线的解析式为，将代入得，
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：，
∴
综上所述，或；
（3）解：∵，，
∴
∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，设其中
∴，
①当时，，解得：或
②当时，，解得：
③当时，，解得：或（舍去）
综上所述，或或或．
3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于，两点，其中点，．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)过点作轴交抛物线于点，连接，在抛物线上是否存在点使．若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答）
(3)将该抛物线向左平移个单位长度得到，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，是平面直角坐标系内的一点，当以点、、、为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．
【详解】（1）解：∵把点，代入得
，
解得，
∴．
（2）存在．
理由：∵轴且，
∴，
∴（舍去），，
∴．
过点作于点，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴．
设直线交轴于点，
，，
∴，．
连接交抛物线于，连接交抛物线于，
∴，的解析式为，，
∴，解得，
或，解得．
∴把，代入得，，
∴，．
综上所述，满足条件的点坐标为，．
（3）、、、．
方法一：
①以为对角线，如图作的垂直平分线交于点交直线于
∵，，
∴．
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
．
②以为边
如图以为圆心，为半径画圆交直线于点，；连接，，
过点作，过点作，和相交于点，同理可得
，，
，
．
过点作直线于点，则；
在和中，由勾股定理得，
，
，．
点是由点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的，
，，
③以为边
如图以点为圆心，长为半径画圆交直线于点和，
连接，，则，
过点作于点，则，在和中，由勾股定理得，
，
、，
，
，
、、三点共线，
过点作，过作，
和相交于点，
∵、，
的中点．
，点为的中点，
．
综上所述：、、、．
4．（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标；
(3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：由题意得：，
则，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，点，
由点B、C的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
∵，故有最大值，
此时，则，
即点；
（3）解：存在，理由：
设直线的表达式为，
由点的坐标得，，解得：，
∴直线的表达式为：，
令，，故，
过点作轴交轴于点，则，
，
则，
即直线和关于直线对称，故，
设直线的表达式为，
代入，，得，
解得：，
则直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：(舍去)或5，
即点；
设点，由的坐标得，，
当时，则，
解得：，即点或；
当或时，
同理可得：或，
解得：或，
即点或或；
综上，点或或或或．
5．（2025·广东珠海·二模）如图1，已知抛物线与y轴交于点，顶点为，对称轴与轴相交于点，点关于对称轴的对称点为，，与轴分别交于点，，绕点逆时针旋转得到，连接，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在整个变化过程中，线段，的数量和位置存在一种关系始终保持不变．
①试猜想并直接写出线段，的数量和位置关系；
②请以旋转角小于（如图1）为例证明你的猜想；
(3)如图2，当点恰好落在上时，与抛物线的交点为，连接，．证明是等腰三角形．
【详解】（1）解：将代入得，
解得：
∴抛物线解析式为
（2）解：①猜想，，
②证明：如图1，延长交于点，
∵，
∴
∵，点关于对称轴的对称点为
∴，
∴的中点为，在轴上，即，同理可得，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，，，
又∵,分别为的中点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，即；
（3）∵，
∴当点恰好落在上时，此时重合，
，
即，轴
∵，当时，，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∵，
∴，
∴，即是等腰三角形．
6．（2025·江苏连云港·一模）如图，二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C，点D是二次函数图像的顶点，连接、．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求的正切值；
(3)若点P在二次函数图像上，且横坐标为，过点P的直线平行于y轴，与、、x轴分别交于点E、F、G，试证明线段、、总能组成等腰三角形；
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点，
∴设二次函数的表达式为，代入，
解得，
故这个二次函数的表达式为；
（2）解：连接
，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴；
（3）证明：设直线的表达式为，将、代入，
得，
解得，
故直线的表达式为，
设直线的表达式为，将、代入，
得，
解得，
故直线的表达式为，
设，则，，
故，，，
∴，
∵，故，
∴，即，
∴线段、、总能组成等腰三角形．
7．（2025·湖南衡阳·三模）如图，二次函数图象与轴交于点两点（点在点的右边），与轴交于点．
(1)求三点的坐标．
(2)若点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若点是线段上的任意一点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
【详解】（1）解：令，得，
．
令，得，
解得或，
．
（2）解：存在，理由如下，
抛物线的对称轴为，
设点，
三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形，
，
，
，
解得，
；
（3）解：令，
或，
，
又，
，
．
设长为．
若，如图1．
，
，
，
，
，
点坐标为．
若，如图2．
，
．
同理可得，
，
∴点坐标为．
综上所述，点坐标为或时符合题意．
8．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点，过点作轴，交抛物线于点，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)①在图1中，抛物线对称轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由；
②在图2中，点为抛物线上第四象限上一点，连接交轴于点，当时，求点的坐标．
【详解】（1）当时，
∴
∵
∴，
分别将，代入得：
解得：
∴；
（2）①存在.
设交对称轴于M，设交对称轴于N，则，
对称轴为直线，
设E点纵坐标为a
则
∵过点作轴，交抛物线于点，
∴，关于直线对称，
∴
Ⅰ.当时，如图，
则
即，
解得：
即；
Ⅱ.当时，如图，
或
则
即，
解得：
即或；
Ⅲ.当时，如图，
或
则
即，
解得：
即或；
综上所述，点的坐标为或或或或；
②如图，作轴交轴于F，连接
∴轴，
即
∴
∵
∴
∴，
∴
设与交于G，
则，
设，
∵，
∴
整理得，
解得：，
∴
设直线的解析式为
将，
则
解得
∴，
联立得
解得：，
∵点为抛物线上第四象限上一点，
∴，
∴
9．（2025·广东广州·二模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，一次函数经过点、、．点是直线上方二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点，连接．
(1)求二次函数和一次函数的解析式；
(2)当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；
(3)连接，连接交于点，记面积为，面积为，在点运动的过程中，判断是否存在最大值，若存在，求出其最大值，若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，，
∴，
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为，即．
当，，
∴，
一次函数过点和，
代入，得，解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：依题意，可设，则，
过点作于点，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴，轴，
∴的纵坐标为2，
∴，
即有，
解得：（舍去）或，
∴．
（3）解：∵面积为，面积为，
∴，
如图，过作轴交于，而直线轴，
∴轴，则，
∴，
∴，
∵，直线为，
∴，，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点是直线上方二次函数图象上的一个动点，
∴，
而，则有最大值，
当时，的最大值为：．
10．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于点和点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在抛物线上有一点，使得是以底的等腰三角形，求点的坐标：
(3)设为直线上方的抛物线上一点，连接，以为邻边作平行四边形，则平行四边形面积的最大值为___________；
(4)如图2，若在x轴上有两个动点，且，则的最小值为___________．
【详解】（1）解：∵抛物线与直线相交于点和点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：设点M的坐标为，
∵，，
∴，
，
∵是以底的等腰三角形，
∴，
∴，
∴
∴
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
∴当时，；
当时，；
∴点M的坐标为或；
（3）解；设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值；
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴当最大时，最大值，
∴的最大值为；
（4）解：如图所示，作点A关于x轴的对称点L，作且，连接，则，
由轴对称的性质可得，
∵且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴当A、E、T三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，
∵，
∴的最小值为．
11．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）定义：如果一个等腰三角形的顶角为，则称该等腰三角形为等腰三角形，称这个等腰三角形的顶角顶点为等腰点，过等腰点的函数叫做这个三角形的破角函数．
如图，平面直角坐标系中，点，点
(1)若点C是的等腰点，一次函数是的破角函数，直接写出的解析式；
(2)点Q是y轴正半轴上一点，平行于y轴，是等腰三角形，P是等腰点，反比例函数是的破角函数，求的解析式；
(3)如图2，二次函数与x轴交于A，D两点，与y轴交于点E，是等腰三角形，M是等腰点，且，是的破角函数．
①求的解析式；
②当时，的最大值为，最小值为4，直接写出m的取值范围；
③把线段沿射线方向平移，平移后的线段记为，在对称轴左侧，是等腰三角形，N点落在对称轴上时，求N点坐标．
【详解】（1）解：点C是的等腰点，
，
为等边三角形，
，
，
，点C在y轴上，
或，
将C点坐标代入得，或，
或；
（2）解：如图，过Q作于点H，
则，
，
，
，
，
点P坐标为，
反比例函数是的破角函数，
，
；
（3）解：①如图，过M作于点N，
令，
解得：，
∴，
又∵，
，
，，
，，
，
，
，
是的破角函数，
将点代入得，，
解得，
；
②，
顶点坐标为，
当时，，
当时，，
由抛物线对称性可知，关于对称轴对称点为，
当时，依然满足，
又当时，的最大值为，最小值为4，
；
③由，可得，，
直线DE的解析式为；
设，
第一种情况：，
如图，过作轴，分别过和N作的垂线，垂足为M和Q，
由平移可知，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
第二种情况：，
同理可得，
，，
，
，
，
，
；
第三种情况：，
由平移得，
，，
同理可得，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
综上，点N的坐标为或或
12．（2025·上海·模拟预测）我们称抛物线为的“轮换抛物线”．已知在平面直角坐标系中，抛物线N是抛物线M的“轮换抛物线”．
(1)假设M的解析式是（p为常数），抛物线N过点，求抛物线M的顶点坐标．
(2)假设M、N和y轴正半轴分别交于点P和，点是线段的一个三等分点（），若M、N都关于同一条直线对称，求该直线的表达式．
(3)假设M、N均过和B．以A为起点，向右作和x轴平行的射线，从左到右依次交N、M于点C、D．平面中有一点E，如果四边形是菱形，求点E的坐标．
【详解】（1）解：M的解析式是，
的解析式是
把点代入，
得，
M的解析式是，
则顶点坐标为；
（2）解：对称轴相同
，
由题可得：与轴交于点，与轴交于点，
点是线段的一个三等分点（），
，
，
即
∴对称轴的表达式为
（3）解：∵M，N过，
，
则，
（舍去），，
∴，
当，即时，
则M过A，B，D，开口朝下，与不符合，故舍去；
当，则则，两函数是同一函数，此时重合，无法组成菱形，故舍去；
当，即时，
把代入，可得，
解得（舍去）或，
∴
为菱形，
，，
∴，，
∴，即，
解得（舍去），
∴
∴．
13．（2025·甘肃天水·模拟预测）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是线段上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交于点F，当时，求点E的坐标；
(3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：将，代入，
可得：，
解得，
抛物线解析式是．
（2）解：根据（1）可得，
设直线的方程为，
将，代入，
可得： ，
解得，
直线的解析式为，
设，则，．
，，
，
，
解得或（与题意不符，舍去），
将代入抛物线方程，
可得：，
．
故E点坐标为．
（3）存在点M、N，使四边形为菱形，理由如下：
当四边形是菱形时，是等腰三角形．
根据题意，，，对称轴为，
根据勾股定理可得，
①当是边，
当，
点A到直线的距离为，
点M不存在；
当，如下图所示，
过点E作于点H，
，，
在中，根据勾股定理得，
的值为或，
，，
当点M为，由，
，解得，
，解得，
故点的坐标为，
同理可得的坐标为．
②当是对角线，
可得，，
设，则有，
解得：，，由,
，解得，
，解得，
故点的坐标为，
综上，N的坐标为：或或．
14．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，已知抛物线经过点，两点，直线与抛物线交于，两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若是以为腰的等腰三角形，求点的坐标；
(3)过点作轴的平行线，分别交直线，于，两点．若，求的值．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，两点，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：设，
根据题意，是以为腰的等腰三角形，有两种情况：
当时，点B和点P关于y轴对称，

∵，
∴；
当时，则，
∴，
整理，得，
解得，，
当时，，则，
当时，，则，
综上，满足题意的点B的坐标为或或；
（3）解；如图所示，

设抛物线与直线的交点坐标为，，
由得，
∴，；
设直线的表达式为，
则，解得，
∴直线的表达式为，
令，由得，
∴，
同理，可得直线的表达式为，则，
过E作轴于Q，过D作轴于N，
则，，，，
若，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
则，
整理，得，
即，
将，代入，得，
即，则或，
解得，，
综上，存在常数m，使得，m的值为2或．
15．（2025·安徽·模拟预测）如图，已知抛物线的图象与轴交于点和，与轴交于点，点是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，过点作交抛物线于点．
（ⅰ）连接，，求的面积；
（ⅱ）将抛物线的顶点沿直线移动得到一个新抛物线，若新抛物线的顶点与点，点能构成等腰三角形，试求出平移后的抛物线的表达式．
【详解】（1）解：∵抛物线的图象与轴交于点和，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）（ⅰ）∵抛物线的图象与轴交于点，点是抛物线的顶点，
当时，，
∴，，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
设直线的解析式为，过点，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴的面积为；
（ⅱ）①当点在的垂直平分线上时，则，
∴为等腰三角形，
此时点的纵坐标为，且在直线：上，设，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
②如图，以点为圆心，为半径作圆，交直线于点，
则，
∴为等腰三角形，
∵，且点在直线：上，设，
∴，
解得：或，
∴点的坐标为或，
此时抛物线的表达式为或；
综上所述，平移后的抛物线的表达式为或或．
题型四：直角三角形、矩形、正方形的存在性问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例4】（2025·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标；
(3)设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值．
【详解】（1）解：∵，抛物线经过点，与轴交于点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，过点D作轴于M，过点F作轴于N，设直线于y轴交于T，
∴，
在中，当时，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵在直线上，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
（3）解：∵点在抛物线上，点在抛物线上，
∴，，
令
∴
，
∴二次函数的对称轴为直线，且开口向上，
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得或（舍去）；
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得或（舍去）
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得（舍去）；
综上所述，或．
难点14：一条直角边确定
（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标；
(3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
设抛物线的解析式为，
把代入解析式，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，即；
（2）解：∵抛物线的解析式为：，
∴抛物线图象的对称轴为：，
设，
∵轴，
∴，
∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，
∴四边形是矩形，
∴四边形的周长
，
∵，
∴当时，四边形的周长最大，则，
∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为；
（3）解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，
∴，
由翻折得，
∵．
∴，
∴，
∵对称轴于H，
∴轴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵抛物线的解析式为：，
∴对称轴为，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
将代入，则，
∴，
设，
∴，，，
分两种情况：
①当时，，
∴，
解得：，
∴；
②当时，，
∴
解得：，
∴点的坐标为；
综上，所有符合条件的点P的坐标为或．
难点15：一条斜边确定
（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究
如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．

(1)求抛物线的函数解析式．
(2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标．
(3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点，
∴，
解得，
∴；
（2）解：∵中，当时，，
∴，
∴设直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
当时，
，，
∵，
∴，
解得（舍去），或（舍去），
∴点P不存在；
当时，，
∴，
解得解得，或（舍去），
∴，
∴；
当时，，点P不存在；
当时，，，
∴，
解得，或（舍去），
∴，
∴，
故点坐标为，

（3）解： 过点F，P作轴于G，轴于H，则，
∵是以为斜边的等腰直角三角形．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
解得，，
∴P坐标为，或；
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
解得，（舍去），
∴P坐标为；
故P坐标为，或，或．

难点16：矩形边与对角线均不确定
（2026·四川泸州·一模）如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标．
【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．将点，点的坐标分别代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，将点，点分别代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
点为直线下方抛物线上的点，如图，
设，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴面积的最大值为，
∴；
（3）解：由题意可得：，
的对称轴为．
∵，，
∴，，
当为矩形一边时，且点在轴的下方，如图，过作轴于点，
∵在的对称轴上，
∴，
∵，，
∴，
∴，，即点，
∴点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点；
当为矩形一边时，且点在轴的上方，′的对称轴为与轴交于点，如图，
∵在的对称轴上，
∴，
∴，
∵，即，
，即点，
∴点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点；
当为矩形对角线时，如图，设，，的中点的坐标为，
依题意得：，
解得：，
又∵，
∴，
解得：，
联立得：，
解得：，
∴点的坐标为或．
综上所述，点的坐标为或或或．
难点17：正方形一条边确定
如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，点E在直线上运动．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点E在线段上，点D关于直线的对称点F恰好落在y轴上时，求点E坐标；
(3)点P在x轴上方抛物线上，点Q在坐标平面内，在点E移动的过程中，当以点E，O，P，Q为顶点的四边形是以为边的正方形时，请直接写出点E坐标．
【详解】（1）解：将点与点代入抛物线中，
得，
解得，
；
（2）解：如图，连接，，
由题意得点D与点F关于直线对称，
，，
，轴，
当时，
，
解得，，
，
，
，，
在中，，
解得，
，，
设点，，，
在中，，
，
解得，
；
（3）解：由题意得只能为正方形边长，
即只需考虑等腰的存在情况，
当点O为直角顶点时，为等腰直角三角形，
如图，过点P作，过点E作，
，，
，，
，
在与中，
，
，
，，
设点，
有，，
，
将点P代入抛物线得，
解得，
；
当点P为直角顶点时，
如下图，过点P作轴，过点E作，
同理可证，
，，
设点，
有，，
，
代入抛物线解析式得
解得，或，
时的情况如下图所示，
，或，
当点E坐标为时也满足条件，如下图所示，
综上所述，点E坐标为，或，或，或．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点，
(1)求，，三点的坐标及直线的函数解析式．
(2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围；
(3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，当时，，解得：，
∴，
∵直线经过点A，B
∴，解得：，
∴；
（2）∵点P的横坐标为，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵P是第二象限内抛物线上的一个动点，
∴；
∴；
（3）存在，设点，
∵，
∴，
∵，
∴；
①当点为直角顶点时：，解得：，
∴；
②当点为直角顶点时，，解得：，
∴；
③当点为直角顶点时：，解得：或，
∴或；
综上：或或或．
2．（2024·湖南长沙·模拟预测）我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，，，则称函数y1与y2互为“回旋”函数．根据该约定，解答下列问题：
(1)求二次函数的“回旋”函数的解析式；
(2)若关于x的二次函数的顶点在它的“回旋”函数图象上，且当时，，求a，c的值；
(3)关于x的函数的图象顶点为M，与x轴的交点为A、B，当它的“回旋”函数的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若，是否存在b使得为矩形？
【详解】（1）解：∵，
∴，，，
∴二次函数的“回旋”函数的解析式为．
（2）解：的“回旋”函数为：，
由知，其顶点坐标为，
将该点代入得，
解得，
则函数的表达式为，
即时，，
当时，
当时，，
解得，则；
当时，
当时，，
解得，则；
综上，，或，．
（3）解：如下图：
设点、、、的横坐标分别为：，，，，，
∴点的坐标为：且，，点的坐标为：
且，，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
设左侧抛物线的对称轴交轴于点，
∵，，
∴．
在中，，
∴，
∵，
∴
同理：，
∴，
即，
解得（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）或，
∴存在使得为矩形．
3．（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由；
(3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴这个二次函数的表达式为；
（2）解：∵，都在该二次函数的图象上，
∴，，
∴，
当时，即时，；
当时，即时，；
当时，即时，；
（3）解：设直线的函数解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的函数解析式为，
当为正方形的边时，
①∵，
∴，
过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作的垂线，垂足为点H，
∵轴，
∴，
∴，则，
设，则，
∴，
∴点N的纵坐标为，
即，
∵以，，，为顶点的四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
把代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
②如图：构造，
和①同理可得：，，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
③如图：构造，
和①同理可得：，，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
④如图：构造，
和①同理可得：，，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
当为正方形对角线时，
⑤如图：构造矩形，过点P作于点K，
易得，
∴，
设，则，
和①同理可得：，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，则，
∴，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
⑥如图：构造，
同理可得：，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
综上：或或或或或
．
4．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标；
(3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为．
∴设抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
∴，
∴；
（2）当时，解得：，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
作轴，垂足为点，设，则：，
∴，
∵与的面积相等，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍去）；
∴；
（3）存在点，使四边形为正方形，
如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，，
由（2）可知，直线的解析式为，
设，直线解析式为，
联立得：，
消去得：，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
∵四边形为正方形，
∴，
，
整理得：，
解得：或，
正方形边长为，
或．即正方形的边长为或．
5．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点．
(1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴；
(2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式；
(3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵点A的坐标是，
∴，
∵以原点为中心，把点A顺时针旋转，
∴，
此时点在轴正半轴上，
∴；
∵，
∴对称轴为直线；
（2）∵，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，
∵，
∴当，有最大值为，
∴，
∴；
（3）存在；
∵，
∴当时，，
∴，
设，，
由（1）知：；
当以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形时，分三种情况：
①当为对角线时，则为以为顶点的直角三角形，，即轴，，
∴轴，
∴轴，
∴，；
②当以为对角线时，则：，解得，
∴，，
∵，
∴，解得；
∴；
③当以为对角线时，要满足，P，M，N为顶点的四边形是矩形，则需要满足是以为直角的直角三角形，即轴，与题意不符；故此种情况不存在；
综上：或．
6．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)①求点A的坐标；
②当时，根据图象直接写出x的取值范围________；
(3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：将、代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①令，则，
解得或，
∴点A的坐标为；
②根据图象可知，当时，x的取值范围为，
故答案为：；
（3）解：设点P的坐标为，
∵，，
∴，，，
∵是以为直角边的直角三角形，
∴分以下两种情况讨论：
当为斜边时，则，
∴，
解得，
∴；
当为斜边时，则，
∴，
解得，
∴．
综上所述，存在符合条件的P点，，．
7．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究：如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线，，是直线下方抛物线上一动点．
(1)求抛物线解析式；
(2)过点作轴，交直线于点，交直线于点．当为线段的中点时，求此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，若是直线上一动点，试判断在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)当点到的距离最大时，点在直线上，则的最小值为_______．
【详解】（1）解：将，代入，
，
化简得，
解得：，，
∴抛物线解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入得
，
解得：，，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将，代入得
，
解得：，，
∴直线的解析式为；
设，
∵轴，
∴，，
∵是线段的中点，
∴，
，
化简得：，
解得：（舍去），，
∴，
∴；
（3）解：存在，点的坐标为或．
分以下三种情况讨论：
①当时，如图，过点作轴于点，
过点作，交的延长线于点．
设，则，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
解得．
∴，
∴；
②当时，如图，过点作轴，过点作于点，
过点作交的延长线于点．
设，则，．
∵，
∴，
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴；
③当时，该情况不存在．
综上所述，点的坐标为或．
（4）解：设，作轴交于，交轴于，
∵直线解析式为，
∴，
∴，
在中，∵，，
∴，
∴，
∵轴，轴
∴，
∵在中，，
∴，
∵二次函数开口向下，当时，点到的距离最大，
此时即，
过作轴于，连接，
在中，，
∵，，
∴，
∴，
当、、共线（即在上）时，，
∵，为到轴的距离，
∴，即的最小值为．
8．（2024·海南·三模）如图1，抛物线经过，两点，与y轴交于点，与x轴交于点，直线与y轴相交于点，点是直线上方的抛物线上的动点．
(1)求该抛物线对应的二次函数关系式；
(2)当时，求点的坐标及此时的值；
(3)当是以点为顶点的等腰三角形时，直接写出点的坐标；
(4)如图2，点是抛物线的顶点，点是y轴上的点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是为边的矩形，求点的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线；经过点，
∴，解得
∴该抛物线的函数表达式为：；
（2）解：设直线解析式为，
∵，
∴，解得，
∴直线解析式为，
∴，
∵，，
∴直线解析式为，
；
解得：（舍去），
∴，
∵，
∴，
（3）解：如图1，当是以点为顶点的等腰三角形时，
过F点作，
∴点H为中点，
∴，
又∵轴，
∴
；
解得：
∴（舍去） ，
综上可知点F坐标为，
（4）解：∵，
∴顶点，
当为对角线时，如图2，
设抛物线对称轴交x轴于点R，作，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
又∵，
∴，
当为对角线时，如图3，
过A作轴，作于S，作于R，
∵， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
又∵，
∴，
综上可知，Q的坐标为，．
题型一：相似、全等三角形问题
难点01：锐角三角形相似
难点02：直角三角形相似
难点03：直角三角形全等
难点04：钝角三角形全等
题型二：平行四边形的存在性问题
难点05：三定一动
难点06：两定两动
难点07：两定两动+平移
难点08：与动态问题结合
题型三：等腰三角形与菱形的存在性问题
难点09：底边确定
难点10：一腰确定
难点11：腰和底都不确定
难点12：菱形的一边确定
难点13：菱形的一组对边确定
题型四：直角三角形、矩形、正方形的存在性问题
难点14：一条直角边确定
难点15：一条斜边确定
难点16：矩形边与对角线均不确定
难点17：正方形一条边确定
1.明确对应关系
当明确相似三角形的对应关系求点坐标时，根据对应边成比例列等式求解.
当两个相似三角形的对应关系不明确时，讨论对应关系，然后根据对应边成比例，列等量关系求解.
2.当已明确其中一个三角形为直角三角形时，解题步骤如下:
根据题图判断出另一个三角形中的某个锐角与已知三角形中的角的角度相等或也存在直角或垂直关系.
分情况讨论两个顶点为直角或锐角的对应情况.
3.全等三角形存在性问题，求点坐标的一般步骤:
找已知等角:寻找两个三角形中相等的定角，如90°(直角坐标系，垂直关系)，同位角(内错角)，对顶角及特殊角(直线夹角).
确定角的对应关系:分情况讨论全等三角形角的对应关系.
求点坐标:根据对应边相等列关系式求解.
当存在一组对应边相等时，分两种情况讨论对应关系，然后根据对应边相等列等量关系求解.
1.当平行四边形的两个顶点A,B确定时，需分当AB为边或当AB为对角线两种情况讨论.
2.当平行四边形的三个顶点A,B,C确定时，需分当AB,AC,BC边分别为平行四边形对角线三种情况讨论.
3.当已知平行四边形，求点坐标时，通常需利用相似、全等、锐角三角函数等知识表示出线段长，然后根据对边相等列等式求解.
当底边确定，底边垂直平分线与抛物线的交点即为等腰三角形的顶点.
当腰确定时，分别以腰的两个端点为圆心，腰长为半径画圆。
当等腰三角形的腰和底都不确定时，需要分三种情况进行讨论求解.