专题02方程（组）与不等式（组）（知识清单）（5大模块+5大题型+3大易错+5大方法+测试）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测（原卷版+解析版）

这是一份专题02方程（组）与不等式（组）（知识清单）（5大模块+5大题型+3大易错+5大方法+测试）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测（原卷版+解析版），共17页。
目 录
01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养
02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系
03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（5大模块）
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324398" 模块01 一元一次方程 "file:///D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324398" 模块02 二元一次方程组
"file:///D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324398" 模块03 分式方程 模块04 一元二次方程
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04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（5大重难题型）
题型01一元一次方程的常考类型
题型02二元一次方程组的常考类型
题型03分式程的常考类型 题型
04一元二次方程的常考类型
题型05一元一次不等式（组）的常考类型
05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（6个易混易错点）
易 "file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324409" 错点01分式方程的无解及含参问题
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06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（6大方法技巧）
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"file:///D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧02：一次方程（组）的实际应用
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"file:///D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧05：一元二次方程的实际应用
07 测・实战演练：巩固核心模块，强化应试能力（24题）
1.理解等式的基本性质，掌握一元一次方程的解法和基本步骤，会用一元一次方程解决实际问题
2.理解二元一次方程（组）的有关定义，能用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组；能用二元一次方程组解决实际生活问题
3.理解分式方程的定义，能解可化为一元一次方程的分式方程，会检验方程方程的解，并会用分式方程解决实际问题
4.理解一元二次方程的概念，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；
会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根，了解一元二次方程的根与系数的关系；能针对具体问题列出一元二次方程并求解；
5.结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质；能解一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集;会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式,解决简单的实际问题.
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324398" 模块一、一元一次方程
方程和方程的解
1.方程的概念：含有未知数的等式叫作方程。
2.方程与等式的区别：方程是等式，但等式中不一定含有未知数，即等式不一定是方程。
3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。
4.一元一次方程：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1，这样的整式方程叫作一元一次方程。
（3）一元一次方程的标准形式：。
二、等式的基本性质
1.等式：用“=”来表示相等关系的式子叫作等式。
2.等式的性质：
（1）性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等（如果，那么（为一个数或式子））。
（2）性质2：等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等（如果，那么；如果，那么）
三、解一元一次方程
（1）去分母：把方程两边都乘以各分母的最小公倍数（去分母时，若分子是多项式，要添括号）；
（2）去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（不要漏乘括号里的项，不要弄错符号）；
（3）移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边（注意移项要变号）；
（4）合并同类项：把等号两边的同类项分别合并，化成“”的形式（）；
（5）系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得方程的解为。
四、一元一次方程的应用
一元一次方程解应用题的常见类型有：
（1）和、差、倍、分问题：和、差、倍、分对应两个量之间的加、减、乘、除，解题时要注意弄清倍、分关系和多少关系等；
（2）增长（减少）率问题：增长后的量=原有量×（1+增长率）；降低后的量=原有量×（1-降低率）；
（3）等积变形问题：长方形体积=长×宽×高；圆柱体积=；
（4）行程问题：路程=速度×时间；快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离（相向而行）；快车行驶路程-慢车行驶路程=原距离（同向而行）。
（5）航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度；
（6）调配问题：从调配后的数量关系中找等量关系；
（7）比例分配问题：全部数量=各种成分的数量之和；
（8）年龄问题：大小两个年龄的差不会变；
（9）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量；一般情况下，把总工作量设为1.
（10）利润问题：商品的售价=商品的标价×折扣；商品的利润=商品售价-商品进价；商品的利润率=；
（11）数字问题：设分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为；
（12）储蓄问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×（1+利率×期数）；
模块二、二元一次方程组
二元一次方程（组）的有关概念
1.二元一次方程的定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
2.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解。
3.二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组；组成方程组的两
个方程不必同时含有两个未知数，
4.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解。
二、解二元一次方程组
1.用代入法解二元一次方程组的一般步骤：
①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．
②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．
③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．
④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．
⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．
②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．
③解这个一元一次方程，求得未知数的值．
④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．
⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x=ax=b的形式表示．
三、二元一次方程组的应用
1、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
2、设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
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1、分式方程的定义
分母中含未知数的方程叫做分式方程．
【归纳】分式方程的重要特征：（1）含有分母；（2）分母中含有未知数；（3）是方程．
2、分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思想：
把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解．
（2）解分式方程的一般方法和步骤：
①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；
②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等等；
③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．
简称为一化，二解，三检验．
3、分式方程的应用
分式方程的应用基本思路和方法：
一审：审清题意，弄清已知量和未知量；
二找：找出等量关系；
三设：设未知数；
四列：列出分式方程；
五解：解这个方程；
六验：既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求；
七答：写出答案．
在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324398" 模块四、一元二次方程
一．一元二次方程的有关概念：
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
（2）一元二次方程的一般形式：
一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
（3）一元二次方程的根：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
二.一元二次方程的解法：
（1）直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）²=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
（2）配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
（3）公式法：把x=−b±b2−4ac2a（b2-4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2-4ac的值（若b2-4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2-4ac≥0．
（4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
三.一元二次方程根的判别式：
利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
四.一元二次方程根与系数的关系：
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1， x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+ x2=-p，x1 x2=q
反过来可得p=-（x1+ x2），q=x1 x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，
反过来也成立， x1+ x2=—ba，x1 x2=ca
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
五、一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
3、列一元二次方程解应用题的“六字诀”
审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
解：准确求出方程的解．
验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
答：写出答案．
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不等式
1.不等式的定义：一般地，用符号“”、“≥”、“≤”表示大小关系的式子叫作不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。
2.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解；
3.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集；
4.不等式解集的表示方法：
（1）用最简的不等式表示，一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围；
（2）用数轴表示，不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，形象的表明不等式的无限个解（注意：边界点和方向）。
二、不等式的基本性质
1.不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
若a＞b，则a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或ac＞bc）
不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或ac＜bc）
三、解一元一次不等式
1.一元一次不等式的概念：一般地，只含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫作一元一次不等式。
2.解一元一次不等式的一般步骤：
①去分母：防止漏乘不含分母的项，乘以（或除以）负数时，不等号要改变方向，分子是多项式时，须加括号；
②去括号：防止漏乘括号内的项和出现符号错误；
③移项：过了不等号的项要变号；
④合并同类项：防指计算错误；
⑤系数化为1：除以负数时要改变不等号的方向。
解一元一次不等组
1.一元一次不等式组的概念：一般地关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组
2.解一元一次不等式组：
（1）一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫作这个一元一次不等式组的解集。
（2）由2个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况：同小取小；同大取大；大小小大取中间，大大小小取不到。
（3）一元一次不等式组的解法：
第一步：分别求出不等式组中各不等式的解集；
第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来；
第三步：在数轴上找出各不等式的解集的公共部分，这个公共部分就是这个不等式组的解集。
五、一元一次不等式的应用
1.用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤：
审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；
设：设出适当的未知数；
列：根据题中的不等关系，列出不等式；
解：解所列的不等式；
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
2.一元一次不等式（组）的应用题的关键语句：
1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
题型01一元一次方程的常考题型
【典例】36．（2025·山东青岛·模拟预测）若等腰三角形的腰长恰好是方程的解，且它的底边长是偶数，则这个等腰三角形的周长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元一次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键．
先求出方程的解得到腰长，再根据底边为偶数和三角形三边关系得出底边长，然后根据三角形周长公式计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
∴等腰三角形的腰长为2，
由它的底边长是偶数，且三角形的三边关系可得底边长为2，
∴这个等腰三角形的周长为．
故答案为：6．
【变式练习】
1．（2025·贵州·一模）已知，，为有理数，若，则下列变形不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
【详解】解：、∵，
∴，原选项变形正确，不符合题意；
、∵，
∴，原选项变形正确，不符合题意；
、∵，
∴，原选项变形正确，不符合题意；
、∵，
∴当与不为零时，，原选项变形不正确，符合题意；
故选：．
2．（2024·广东清远·二模）关于x的一元一次方程与的解相同，则a的值为（ ）
A．B．1C．7D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的解以及同解方程，解题的关键是求出第一个方程的解并代入第二个方程求解．
先求解方程得到的值，再将其代入方程，进而求出的值．
【详解】解：解方程，两边同时除以2，得．
把代入中，得到，即．
两边同时减去4，得．
所以的值为，
故选：A．
3．（2025·贵州贵阳·三模）是关于的一元一次方程的解，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了方程的解，正确理解方程的解是解题的关键．将代入中，即可求解．
【详解】解：将代入中，得，
，
故答案为：．
4．（2025·陕西·模拟预测）第9届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”毛绒玩具在市场热销．若“妮妮”毛绒玩具的进价为90元，某店按标价的9折出售，仍可获利，则“妮妮”毛绒玩具的标价是 元．
【答案】120
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
设“妮妮”毛绒玩具每件的标价为x元，根据按标价的9折出售，仍可获利，列一元一次方程解题．
【详解】设“妮妮”毛绒玩具每件的标价为x元，根据题意得，
，
解得，
即“妮妮”毛绒玩具的标价是120元．
故答案为：120．
5．（2024·湖南·模拟预测）传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图案，这个图案被后人称为“洛书”，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和相等，下表是一个未完成的幻方，则x的值为 ．

【答案】9
【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据“每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和相等”列出方程，求解即可．
【详解】解：根据题意，得，
解得．
故答案为：9
6．（2025·陕西汉中·一模）某生产线共有名工人，每名工人每天可生产个电压表或个电流表，套物理电学实验器材包中要配有个电压表和个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？
【答案】应分配名工人生产电压表．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应分配名工人生产电压表，则分配名工人生产电流表，依题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设应分配名工人生产电压表，则分配名工人生产电流表，
依题意得，
解得，
答：应分配名工人生产电压表．
7．（2024·安徽·模拟预测）砀山酥梨以果大核小、黄亮型美、皮薄多汁、酥脆甘甜而驰名中外．果农小李准备将一批酥梨装箱运往某水果超市销售，每箱酥梨的重量要相等．第一天小李用这批水果的，装了16个果箱，还剩余4千克；第二天她把剩下的酥梨全部取来，恰好共装了9个果箱，那么这批酥梨共有多少千克？
【答案】这批酥梨共有54千克
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据每箱酥梨的重量要相等，列出方程进行解答．
【详解】解：设这批酥梨共有x千克．根据题意得
，
解得．
答：这批酥梨共有54千克．
8．（2025·河南安阳·模拟预测）已知二元一次方程组，则的值为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握通过方程相减直接求解代数式的值是解题的关键．通过观察方程组中两个方程的系数，用第一个方程减去第二个方程，可直接求出的值．
【详解】解：，
得，
，
∴ ，
故选：B．
题型02二元一次方程组的常考题型
【典例】（2025·山东·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则 ， ．
【答案】 3 1
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题的关键．
将代入，即可求解．
【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解是，
∴，，
∴，，
故答案为：3；1．
【变式练习】
9．（24-25八年级上·四川成都·期中）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】此题主要考查列二元一次方程组，解题的关键是根据题意找到等量关系.
设雀每只两，燕每只两，根据五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重，找到等量关系即可列出方程组.
【详解】∵雀每只两，燕每只两，
依题意可得
故选A
10．（2025·浙江杭州·二模）已知二元一次方程组，则的值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．
通过将方程组的两个方程相加，可以直接求出．
【详解】解：
将①和②相加，得：
化简得：．
故答案为：5．
11．（2025·广东广州·模拟预测）点与点关于原点对称，则的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．
根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数列式求解即可．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，
得，，
即．
故答案为：4．
12．（2025·四川乐山·二模）解方程组：
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，运用加减消元法进行解方程，即可作答．
【详解】解：，
得，
解得，
将代入②，得，
．
13．（2025·安徽淮南·二模）为庆祝建校30周年，学校文创社特别推出两款纪念品：学霸笔记本和励志马克杯．已知购买4本学霸笔记本和5个励志马克杯的费用相同；购买6本学霸笔记本和4个励志马克杯共需138元．若学生会计划在校庆日向优秀学生代表赠送50本学霸笔记本和100个励志马克杯，则需准备的预算金额为多少元？
【答案】需准备的预算金额为1950元
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，设每本学霸笔记本x元，每个励志马克杯y元，根据“购买4本学霸笔记本和5个励志马克杯的费用相同；购买6本学霸笔记本和4个励志马克杯共需138元”列二元一次方程组，解方程组求出笔记本和马克杯的单价，再计算预算金额即可．
【详解】解：设每本学霸笔记本x元，每个励志马克杯y元．根据题意，得
，
解得，
所以，准备的预算金额（元）．
答：需准备的预算金额为1950元．
14．（2024·广东·模拟预测）为了促进经济内循环，某商场进行促销活动，有两种促销方案．方案一：若顾客购买两种不同价格的商品，高价格的商品按原价购买，低价格的商品可按原价的半价购买；方案二：顾客购买两件商品的总价的折购买．小明身上带有元到商场购买两件不同的物品，若按方案一买两件商品，则还差元；若按方案二买两件商品，则剩余元．那么这两件商品的原价分别是多少？
【答案】高价格的商品原价是220元，低价格的商品原价是80元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设高价格的商品原价是元，低价格的商品原价是元，根据按方案一买两件商品，则还差元，可列方程；根据按方案二买两件商品，则剩余元，可列方程，解方程组即可求出两种商品的原价．
【详解】解：设高价格的商品原价是元，低价格的商品原价是元，
根据题意可得：
解方程组可得：，
答：高价格的商品原价是元，低价格的商品原价是元．
题型03分式方程的常考题型
【典例】（2025·福建漳州·三模）解方程：．
【答案】无解
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键，去分母，将分式方程化为整式方程，求解后，进行检验即可．
【详解】解：，
方程两边同乘以得：
解得：，
经检验，是分式方程的增根，
原方程无解．
【变式练习】
15．（2026·江苏连云港·模拟预测）分式方程的解为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式方程的求解，通过去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，检验分母是否为零求出最后结果即可．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验当时，分母且，
故方程解为，
故选：C．
16．（2025·四川乐山·二模）将分式方程去分母后可得整式方程为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查解分式方程，掌握相关知识是解决问题的关键．分式方程两边同乘以最简公分母即可．
【详解】解：，
两边同乘以得：
．
故选：C．
17．（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为 ．
【答案】6或
【分析】本题考查了解分式方程．
将分式方程两边乘以最简公分母，化为整式方程，再根据增根的定义，令x等于使公分母为零的值，代入整式方程求解m．
【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得，
整理得，
即，
∵增根是使公分母为零的x值，
∴，
解得：，
当时，；
当时，；
则的值为6或．
故答案为：6或．
18．（2026·江西·模拟预测）昌九高速铁路正线全长约138千米，比昌九城际铁路正线全长多3千米，昌九高速铁路的设计速度比昌九城际铁路每小时快100千米，若全程运行时间缩短9分钟(不考虑停靠站点)，设昌九高速铁路的设计速度为x千米/时，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了列分式方程，设昌九高速铁路的设计速度为x千米/时，昌九高速铁路正线全长约138千米，比昌九城际铁路正线全长多3千米，昌九高速铁路的设计速度比昌九城际铁路每小时快100千米，进行列方程，即可作答．
【详解】解：由题可知昌九高速铁路的设计速度为x千米/时，
则昌九城际铁路的设计速度为千米/时，
根据题意可列方程为
即
故答案为：
19．（2025·上海·模拟预测）我们知道凸透镜的焦距公式为，其中f是凸透镜的焦距，u表示物距，v表示像距． 若凸透镜和物体距离时，凸透镜另一侧的光屏上成了一个清晰的像，仅移动凸透镜，将像距减小，光屏上又成了一个清晰的像，那么该凸透镜的焦距是 ．
【答案】
【分析】本题考查分式方程的应用，根据像距减小，得到物距增加，根据焦距是个定值，列出方程进行求解即可．
【详解】解：由题意，移动凸透镜后，像距变为，物距变为，
由题意，得：，
解得或（舍去）；
∴；
∴；
故答案为：
20．（2025·云南楚雄·模拟预测）五一假期期间，智慧学习小组计划到云南省博物馆参观学习，该小组原计划花360元请讲解人员进行解说，后来临时增加3名同学，总讲解费增加了60元，但人均费用变为原来的．求该学习小组的实际参观人数．
【答案】15人．
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设该学习小组的实际参观人数为x人，则原计划参观人数为人，利用人均费用总费用人数，结合实际人均费用变为原来的，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【详解】解：设该学习小组的实际参观人数为x人，则原计划参观人数为人，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：该学习小组的实际参观人数为15人．
21．（2025·山西临汾·二模）农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社打算租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天的收割亩数是A型号的1.5倍，若收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天，求A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数．
【答案】A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩
【分析】本题考查了分式方程的应用，设型号收割机每台每天收割玉米亩，则型号收割机每台每天收割玉米亩，根据“收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天”列方程求解即可．
【详解】解：设型号收割机每台每天收割玉米亩，则型号收割机每台每天收割玉米亩，
得，
解得．
经检验，是原分式方程的解，
．
答：A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩．
题型04一元二次方程的常考题型
【典例】（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)当时，直接写出该方程的根．
【答案】(1)见解析；
(2),．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
（1）计算该一元二次方程根的判别式，并结合完全平方公式进行整理，即可解题；
（2）将代入一元二次方程进行整理，再结合因式分解法解整理后的一元二次方程即可．
【详解】（1）证明：由题知，
，
该方程总有两个实数根；
（2）解：当时，关于x的一元二次方程为，
整理得，
则或，
解得，．
【变式练习】
22．（2025·新疆昌吉·模拟预测）关于方程，下列说法不正确的是（ ）
A．该方程是一元二次方程
B．解方程时，两边同时除以即可
C．该方程适合用因式分解法求解
D．该方程有两个不等的实数根
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义、解法及根的判别式，掌握一元二次方程的定义、解法及根的判别式是解题的关键．
根据一元二次方程的定义、解法及根的判别式逐一判断即可求解．
【详解】解：A、方程整理得，故方程是一元二次方程，该说法正确，不合题意；
B、解方程时，方程两边先同时除以，会漏解，故该说法错误，符合题意；
C、，
移项得 ，
提取公因式得 ，
即 ，
∴ 方程根为 或 .
用因式分解法解此方程最适宜，该说法正确，不合题意；
D、由得：
，
故方程有两个不相等的实数根，该说法正确，不合题意；
故选：．
23．（2025·新疆·模拟预测）如果关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴ >，
∴，
故选：C．
24．（2025·四川绵阳·一模）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和代数式求值，准确计算是解题的关键．
利用一元二次方程的根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入代数式求解．
【详解】解：，是一元二次方程的两个根，
, ，
；
故答案为．
25．（2025·贵州遵义·一模）新定义：，例如：． 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据新定义将方程转化为一元二次方程，利用判别式求参数范围即可．
本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键．
【详解】解：由新定义得 ，
整理，得，
故．
由方程有实数根，
则判别式，
解得．
故答案为：．
26．（2025·陕西渭南·一模）我国是世界上第一个成功研发和推广杂交水稻的国家某农业基地现有杂交水稻种植面积30公顷，计划逐年增加杂交水稻种植面积，两年后将杂交水稻种植面积增加到公顷，设该农业基地这两年杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
根据计划两年后将杂交水稻种植面积增至公顷，即可得出关于的一元二次方程；
【详解】解：依题意，得：．
故答案为：．
27．（2025·四川绵阳·一模）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若是方程的两个不相等的实数根，且满足，求k的值．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
（1）求出判别式的符号，即可得出结论；
（2）根据根与系数之间的关系，得到，结合，得到关于的方程进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴；
∴ 无论取何值，方程总有两个不等实根；
（2）解：由题意，，，
∴，
∴，
∴，
．
28．（2024·福建龙岩·模拟预测）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
【答案】(1)
(2)50
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可；
（2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可．
【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得
解得，（不合题意，舍去）
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，
依题意，得
整理，得
解得
因尽可能让顾客得到实惠
所以不合题意，舍去．
所以．
答：该品牌头盔每个售价应定为50元．
题型05不等式与不等式组的常考题型
【典例】（2025·江苏南京·模拟预测）阅读下面的材料，回答问题：
在学习不等式的过程中，创新组李岚同学遇到了这样的一个难题：如果，求x的取值范围．组长张鑫同学这样思考：根据“两数相乘，同号为正，异号为负”的有理数乘法法则，将原不等式化为两个一次不等式去解：根据题意，得或，分别解这两个不等式组．
【答案】前不等式组无解，后不等式组解得
【分析】本题考查了解一元一次不等式组；分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组无解；
，
解不等式③得：，
解不等式④得：，
则不等式组的解集为．
【变式练习】
29．（2025·浙江丽水·二模）不等式的解在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及在数轴上表示解集，关键是熟练应用；
先移项再合并同类项，系数化为，即可算出解集.
【详解】解：，
，
，
，
故选：D．
30．（2025·山东枣庄·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，把不等式组的解集在数轴上表示出来；分别求出每个不等式的解集，再求出其公共部分，最后把解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解：解不等式，得；
解不等式，得；
则不等式组的解集为：，在数轴上表示如下：
；
故选：A．
31．（2025·上海·模拟预测）若实数、满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质判断即可．
【详解】解：A、由无法确定是否成立，不符合题意；
B、由无法确定是否成立，不符合题意；
C、由两边同时乘以3，不等式不变号得到，符合题意；
D、由无法确定是否成立，不符合题意．
故选：C．
32．（2025·黑龙江·一模）在平面直角坐标系中，点不可能在第 象限．
【答案】四
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键．
根据点P的坐标，通过讨论m的取值范围，分析点P可能所在的象限，并判断不可能出现的象限．
【详解】解：点P的坐标为．平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征为：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
分情况讨论：
当时，，点P在第一象限；
当时，且，点P在第二象限；
当时，且，点P在第三象限；
不存在m使得且，因此点P不可能在第四象限．
故答案为：四．
33．（2025·安徽·模拟预测）若关于x的不等式组的整数解共有三个，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解．利用不等式组的整数解个数来列出关于a的不等式组是解题的关键．
首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式组，从而得出a的范围．
【详解】解：，
解①得，
解②得，
∵不等式组的整数解共有三个，
∴这三个整数解为：2，3，4，
∴，
∴．
故答案为：．
34．（2025·山西·一模）解不等式组，并将其解集表示在如图所示的数轴上．
【答案】，见解析
【分析】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，正确求得不等式组的解集是解答的关键．
先分别求解各个不等式的解集，求出公共部分得到不等式组的解集，并在数轴上表示解集即可．
【详解】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
不等式组的解集为，
不等式组的解集在数轴上表示如图：
35．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）敏衣中学计划为绘画小组购买A、B两种型号的颜料．购买1盒A型颜料和2盒B型颜料需用56元．购买2盒A型颜料和1盒B型颜料需用64元．
(1)求1盒A型颜料和1盒B型颜料的售价各是多少元；
(2)敏衣中学如果决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3912元，那么该中学最多可以购买多少盒A型颜料？
【答案】(1)每盒A型颜料24元，每盒B型颜料16元
(2)该中学最多可以购买89盒A型颜料
【分析】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意；
（1）设1盒A型颜料和1盒B型颜料的售价各为x、y元，由题意可得方程组为，进而求解即可；
（2）设该中学可以购买m盒A型颜料，则购买B型颜料为盒，由题意易得，进而求解即可．
【详解】（1）解：设1盒A型颜料和1盒B型颜料的售价各为x、y元，由题意得：
，
解得：；
答：1盒A型颜料和1盒B型颜料的售价各为24、16元．
（2）解：设该中学可以购买m盒A型颜料，则购买B型颜料为盒，由题意得：
，
解得：；
答：该中学最多可以购买89盒A型颜料．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324409" 易错点01分式方程的无解及含参问题
【错因】分式方程的无解问题≠最简公分母为零，求解含参问题时容易忽略分母为零的情况
【避错关键】1.分式方程无解可能有两种情况：(1)求出的x的值是分式方程转化成整式方程
的解，但这个解使最简公分母的值为0：
(2)所化成的整式方程无解，这往往是由未知数的系数含有待定字母造成的，这种情况在解题时不要
忽略。
2.在确定字母的取值范围时，要注意两点：
(1)要使所求得的未知数满足所给出的范围；
(2)要使所求得的未知数满足分式的分母不为零两个条件必须同时满足
【典例】
1．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（ ）
A．B．1或0C．1D．1或
【答案】D
【分析】本题考查分式方程的解，理解其意义是解题的关键．将原方程去分母得，整理得，根据题意分情况讨论并求得对应的m的值即可．
【详解】解：原方程去分母得，
整理得，
当时，
无解，那么原方程无解，符合题意，
当时，
若方程无解，那么它有增根，
则，
解得：，
综上，m的值为1或，
故选：．
2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知关于x的分式方程的解是非正数，则m取值范围是（ ）
A．且B．且C．且D．且
【答案】B
【分析】本题考查了解分式方程，解不等式等知识；首先将分式方程转化为整式方程，求出解的表达式，再根据解的非正数解不等式，再考虑分母为零时m的取值，综合即可求得的范围．
【详解】解：两边同乘公分母得：，
展开整理得：，
解得：；
由题意，解，即：，
由于分子为负，分母需为正，
故，即；
当时，代入解的表达式得，但不满足，无需额外排除；
当时，代入解的表达式得，此时满足，需排除；
综上，需满足且，
故选：B．
3．（2024·四川宜宾·模拟预测）关于分式方程无解，则的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，熟练掌握分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于是解决此题的关键，先根据解分式方程的方法求出，当，即时，方程无解，再由分式方程无解可得：，即，求出的值，进而得出答案．
【详解】解：
方程去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
解得：，
当，即时，方程无解，
∵分式方程无解，
∴，即，
∴，
解得：，
综上所述，分式方程无解，的值为或．
故答案为：或．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324409" 易错点02不等式（组）的整数解及含参问题
【错因】关于一元一次不等式组有解无解的条件易忽视相等
【避错关键】要求不等式组的特殊解，首先要求出不等式组的解集，然后在不等式组的解集中找出特合条件的特殊解（如正整数解、最小整数解等)，为了便于观察，还可以借助数轴来找特殊解。
【典例】
1．（2025·河南商丘·三模）关于x的不等式的非负整数解仅有2个，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查一元一次不等式的非负整数解问题．首先解不等式得到x的范围，再根据非负整数解的个数确定参数a的取值范围．
【详解】解：解不等式，得．
题目要求非负整数解仅有2个，即x的非负整数解为0和1．
当时，x的非负整数解为0和1，恰好满足2个解，因此．
若，则x的非负整数解为0、1、2，共3个，不符合题意，因此．
综上，a的取值范围为，
故选：C．
2.（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，依据口诀“大大小小找不到”结合不等式组的解集可得的范围，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．
【详解】解：由得：，
由得：，
∵一元一次不等式组无解，
∴，
解得，
故答案为：．
3．（2025·山东威海·二模）若不等式组的解集为，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了不等式组中的含参问题，熟练掌握找不等式组的解集是解题的关键．
先求出原不等式组中每一个不等式的解集，再根据已知的不等式组的解集为，确定的范围．
【详解】解：，
由①得：，由②得：，
∵原不等式组的解集为，
∴，
故答案为：．
4．（2025·四川绵阳·三模）若关于x的不等式组共有4个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了不等式组的整数解问题，正确求出不等式组的解集，进而得出其整数解是解题关键．
先解每个不等式确定不等式组的解集，然后再根据不等式组只有4个整数解，得到关于的不等式组，即可求得a的范围即可．
【详解】解：
解不等式①得
解不等式②得
则不等式组的解集为
∵不等式组只有4个整数解
∴整数解是，，，1．
，解得
故答案为：．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324409" 易错点03一元二次方程的判别式、根与系数的关系
【错因】在一元二次方程的判别式容易忽略二次项系数不等于0；在利用根与系数的关系，忽略判别式成立
【避错关键】利用一元二次方程根与系数的关系求方程中未知字母的值时，千万不要忘记将未知字母的值代回验证△≥0是否成立，因为根与系数的关系需在一元二次方程中△≥0的前提下才能使用.
【典例】
1（2025·四川绵阳·一模）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．且B．C．且D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，
需考虑方程可能为一次或二次方程：当时，方程为一次方程，直接求解；当时，方程为二次方程，利用判别式求范围．
【详解】解：当时，原方程为，
解得 ，有实数根，
∴符合条件；
当时，方程为一元二次方程，判别式，
∵方程有实数根，
∴，
即，
∴.
综上，实数的取值范围是．
故选：B．
2．（2024·贵州遵义·一模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求k的取值范围．
(2)是否存在实数k的值，使得方程的两个实数根分别为，，且满足？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在实数k的值，理由见解析
【分析】本题考查了已知根的情况求参数，一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据一元二次方程有两个实数根，得，代入数值计算，即可作答．
（2）假设满足题意的k的值存在．结合根与系数的关系得，，再代入，计算得出，由（1）得，则不在的范围内，即可说明不存在实数k的值，使得方程的两个实数根，满足．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根
∴，
∴，
∴．
（2）解：不存在实数k的值，使得方程的两个实数根，满足．
理由如下：假设满足题意的k的值存在．
∵
∴，，
∵，
∴，
∴．
由（1）得，
∵不在的范围内
∴不存在实数k的值，使得方程的两个实数根，满足．
3．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知方程的根均为整数，求实数m的值．
【答案】或或
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数．
当时，该方程为一元一次方程，则，此时，满足题意；当时，该方程为一元二次方程，由韦达定理可得，，故，进而解得，，或，，此时或，满足题意．
【详解】解：若，则，
此时，满足题意；
若，即，此时方程为一个一元二次方程，
设方程的两个整数根为，，且，
，
即，由韦达定理可知，，
从而，
∴，
则，，或，，
解得，，或，，
算得对应的或，均满足判别式，
综上所述，或或．
4.（2025·四川南充·一模）关于x的一元二次方程．
(1)判断方程根的情况，并说明理由；
(2)若方程有一个根不小于3，求k的取值范围．
【答案】(1)方程总有两个实数根，理由见解析
(2)
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和性质．结合二次函数的单调性，求解参数的取值范围是解题关键
（1）计算判别式，据此判断方程实数根个数；
（2）先求出方程的根，再结合“根不小于3”的条件，确定参数的范围．
【详解】（1）解：，
方程总有两个实数根．
（2）解：，
，，
方程有一个根不小于3，
，
．
答：k的取值范围为．
5．（2025·四川乐山·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程．
（1）根据根的判别式计算即可；
（2）根据根与系数的关系列一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：关于x的一元二次方程有实数根，
，
，
；
（2）解：方程的两个实数根分别为，
，
，
，
，
，
或1，
，
．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧01：方程（组）与不等式（组）的含参问题
【典例】
1．（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组和一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得，再根据方程组解的情况得到关于的不等式，求最小整数解即可．
【详解】解：，
由得：，
方程组的解满足，
，
解得：，
整数m的最小值为2，
故选：B．
2．（2025·四川南充·二模）关于的方程组，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题可先通过方程组中两个方程相减得出关于的表达式，再结合的取值范围来确定的取值范围．本题考查二元一次方程组的变形以及不等式的性质．解题关键在于通过方程组中方程相减得到（即）关于的表达式，再利用的取值范围，结合不等式性质求出的取值范围．
【详解】解： ，
用第一个方程减去第二个方程，
可得：
去括号得：
合并同类项得：
两边同时除以，得到．
∵，
∴．
，对于，当时，；当时，．
∵的取值范围是大于小于，
∴的取值范围是．
故选：D
3．（2023·江苏连云港·二模）关于、的方程组的解满足，，求实数的取值范围．
【答案】
【分析】先解二元一次方程程组，根据题意列出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】解：
①+②，得，
∴③，
③代入②，解得：，
∵，，
∴ ，
∴ ，
∴
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组，根据题意建立不等式组是解题的关键．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧02：一次方程（组）的实际应用
【典例】
1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元．
(1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元；
(2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？
【答案】(1)甲型6元，乙型8元
(2)20盏
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元，根据购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费64元；购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯，共花费52元；列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设这个工厂要购买甲型节能灯m盏，则购买乙型节能灯盏，根据购买资金不超过360元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为元、元，
由题意，得
，
解得，
答：1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为6元和8元．
（2）解：设购买盏甲型节能灯，则购买乙型节能灯盏，
由题意，得
解得，，
答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯．
2．（2025·海南·中考真题）某汽车销售公司分两批次采购新能源汽车．第一批购进1辆A型汽车、4辆B型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆A型汽车、3辆B型汽车，共花费76万元（同类型汽车进价不变）．某销售经理估计每辆A型汽车的进价约为19~21万元，每辆B型汽车的进价约为万元．
(1)求A、B型汽车的进价，并判断该销售经理的估计是否正确；
(2)现实生活中的很多问题可以用方程（组）解决，请写出解二元一次方程组的常用方法．
【答案】(1)每辆A型车的进价为20万元，每辆B型车的进价为12万元；该销售经理的估计正确；
(2)解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法．
【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的等量等关系，并据此列出方程组，进行求解
（1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法．
【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，
根据题意可列出方程组，
解得：
∴每辆A型车的进价为20万元，每辆B型车的进价为12万元；
该销售经理的估计正确；
（2）解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法．
3．（2024·广东·模拟预测）为了促进经济内循环，某商场进行促销活动，有两种促销方案．方案一：若顾客购买两种不同价格的商品，高价格的商品按原价购买，低价格的商品可按原价的半价购买；方案二：顾客购买两件商品的总价的折购买．小明身上带有元到商场购买两件不同的物品，若按方案一买两件商品，则还差元；若按方案二买两件商品，则剩余元．那么这两件商品的原价分别是多少？
【答案】高价格的商品原价是220元，低价格的商品原价是80元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设高价格的商品原价是元，低价格的商品原价是元，根据按方案一买两件商品，则还差元，可列方程；根据按方案二买两件商品，则剩余元，可列方程，解方程组即可求出两种商品的原价．
【详解】解：设高价格的商品原价是元，低价格的商品原价是元，
根据题意可得：
解方程组可得：，
答：高价格的商品原价是元，低价格的商品原价是元．
4.（2025·北京·模拟预测）年，为加力支持消费者购买绿色智能家电，增添绿色消费新动力，北京市商务局发布了《北京市加力支持家电以旧换新补贴实施细则》，补贴期间，对在京个人消费者购买一级和二级能效(水效)的冰箱(含冰柜)、洗衣机(含洗烘一体机)、电视、空调、电脑(含学习机)、热水器(含壁挂炉)、家用灶具(含集成灶)、吸油烟机等类家电产品予以以旧换新补贴．补贴标准：一级能效(水效)的家电产品，按照产品销售价格的给予补贴；二级能效(水效)的家电产品，按照产品销售价格的给予补贴，每位消费者每类产品可补贴件，每件补贴不超过元．
已知在补贴期间，一位顾客购买了一台一级能效的电脑和一台二级能效的洗衣机，共花费元，比补贴前便宜了元，若顾客只购买一台电脑，则花费比补贴前便宜多少元？
【答案】若顾客只购买一台电脑，则花费比补贴前便宜元．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该顾客购买的电脑补贴前售价为元，则他购买的洗衣机补贴前的售价为元，根据题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设该顾客购买的电脑补贴前售价为元，则他购买的洗衣机补贴前的售价为元，
根据题意得，
解得：，
∴（元），
答：若顾客只购买一台电脑，则花费比补贴前便宜元．
5．（2025·陕西·模拟预测）一队学生从学校出发去部队军训，以5的速度行进4.5时，一名通讯员以14的速度骑自行车从学校出发追赶队伍，他在离部队6处追上了队伍，求学校到部队的路程．
【答案】学校到部队的路程是13千米
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键在于根据题意找出等量关系列出方程．
设学校到部队的路程是x千米，根据追及时间建立方程求解，即可解题．
【详解】解：设学校到部队的路程是x千米，
根据题意得：，
解得，
答：学校到部队的路程是13千米．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧03：分式方程的实际应用
【典例】
1（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同．
(1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？
(2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案．
【答案】(1)款机器人的单价为5万元，款机器人的单价为4万元
(2)购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
（1）设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，根据用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买款机器人台，则购买款机器人台，根据购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，列出一元一次不等式，解得，再设购买成本为万元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：款机器人的单价为5万元，则款机器人的单价为4万元；
（2）解：设购买款机器人台，则购买款机器人台，
根据题意得：，
解得：，
设购买成本为万元，
根据题意得：，
，
随的增大而增大，
当时，有最小值，
此时，，
答：购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台．
2．（2025·黑龙江大庆·中考真题）某公司开发了两款模型，分别为模型A和模型B．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据．已知模型B比模型A每小时多处理数据，模型B处理数据的时间与模型A处理数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少数据？（备注：为数据的存储单位）
【答案】模型A每小时能处理数据
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．设模型A每小时能处理数据，则模型B每小时能处理数据，根据“模型B处理数据的时间与模型A处理数据的时间相同”建立分式方程求解即可．
【详解】解：设模型A每小时能处理数据，则模型B每小时能处理数据，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
答：模型A每小时能处理数据．
3．（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．
(1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示）
(2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克．
【答案】(1)元
(2)这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克．
【分析】本题考查的是列代数式，分式方程的应用；
（1）根据人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低，再列代数式即可；
（2）设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；根据要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，再建立分式方程求解即可．
【详解】（1）解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．
∴用智能机器人采摘的成本是（元）；
（2）解：设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；
∴，
解得：，
经检验是原方程的解且符合题意；
∴（千克），
答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克．
4．（2025·云南·模拟预测）2024年春城文化节“阅见春城·读见我心”——“4·23世界读书日暨春城读书日”全民阅读系列活动于4月21日上午在昆明市文化馆正式启动．活动现场，某旅游推荐达人发布“阅享有一种叫云南的生活”昆明市新型公共文化空间CityWalk漫游活动，向市民推介了漫游阅读线路，市民、游客到各新型公共文化空间获取漫游护照，进行漫游打卡集章，集满8个漫游图章，即可领取精美文创礼物一份．主办方制作了A，B两种文创礼品，已知A 种礼品比B种礼品每件制作成本多20元，预算资金为32000元，其中14000元用于制作A种礼品，其余资金制作B种礼品，且B种礼品的数量是A种礼品的2倍．求A，B两种文创礼品的制作成本．
【答案】奖品的单价为56元，奖品的单价为36元．
【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设种文创礼品的制作成本为元，则种文创礼品的制作成本为元，由题意：预算资金为元，其中元制作礼品，其余资金制作礼品，且购买种种礼品的数量是种礼品的2倍．列出分式方程然后求解即可．
【详解】解：设种文创礼品的制作成本为元，则种文创礼品的制作成本为元，由题意得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解且符合题意，
∴（元）．
答：种文创礼品的制作成本为56元，种文创礼品的制作成本为36元．
5．（2024·广东·模拟预测）某校为了让更多师生了解“一带一路”的相关知识，开展了“幸福友谊路，点亮科技梦”的创客活动．某创客小组用电脑编程控制小型小车进行比赛的活动，“梦想号”和“创新号”两辆车从起点同时出发，“梦想号”到达终点时，“创新号”离终点还差． 已知“梦想号”的平均速度比“创新号”的平均速度快． 求“创新号”的平均速度．
【答案】“创新号”的平均速度为．
【分析】本题考查了分式方程的应用，设“创新号”的平均速度为，则“梦想号”的平均速度为，由题意得，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出分式方程是解题的关键．
【详解】解：设“创新号”的平均速度为，则“梦想号”的平均速度为，
由题意得，，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合实际意义，
答：“创新号”的平均速度为．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧04：一元一次不等式（组）的应用及方案问题
【典例】
1.（2025·青海西宁·中考真题）西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元．
(1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？
(2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？
【答案】(1)50元；80元
(2)购买紫丁香20株，白丁香25株；2850元
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，正确地列出方程组和一次函数关系式是解题的关键：
（1）设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元，根据买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元，列出方程组进行计算即可；
（2）设购买紫丁香m株，总费用为w元，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元．
根据题意，列方程组
解方程组得；
答：白丁香的单价为50元，紫丁香的单价为80元；
（2）解：设购买紫丁香m株，则购买白丁香株，总费用为w元．
根据题意，
∵
∴w随m的增大而增大
又∵，
∴当时，．
答：购买紫丁香20株，白丁香25株时，总费用最少，最少费用为2850元．
2．（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）．
(1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本；
(2)求当a为何值时，每天的利润W最大．
【答案】(1)每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元
(2)
【分析】本题考查了二次函数，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元，根据“2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元”建立二元一次方程组并求解；
（2）先根据利润公式求出关于的函数表达式，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元，
由题意得：，
解得：，
答：每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元；
（2）解：由题意得，，
∵，对称轴为直线，且a为整数，
∴当时，取最大值，
答：当时，每天的利润W最大．
3．（2025·贵州·中考真题）贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装A、B两种型号生产线.已知，同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共．
(1)求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨？
(2)为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A、B两种生产线共5条，该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于，至少需要安装多少条A型生产线？
【答案】(1)一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶
(2)至少需要安装3条A型生产线
【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶，根据“同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共”建立二元一次方程组求解；
（2）设需要安装条A型生产线，则安装B种生产线条，根据“4个月生产抹茶不少于”建立一元一次不等式求解即可．
【详解】（1）解：设一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶，
由题意得：，
解得：，
答：一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶；
（2）解：设需要安装条A型生产线，则安装B种生产线条，
由题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴最小取，
答：至少需要安装3条A型生产线．
4．（2025·四川资阳·中考真题）某社团计划开展手工制作活动，制作需使用A，B两款材料包，购买3份A款材料包和2份B款材料包需84元，购买2份A款材料包和3份B款材料包需86元．
(1)问购买一份A款材料包和一份B款材料包各需多少元？
(2)该社团打算购买A，B两款材料包共50份，总费用不超过830元，则至少购买A款材料包多少份？
【答案】(1)购买一份A款材料包和一份B款材料包各需元和元
(2)至少购买A款材料包份
【分析】（1）设购买一份A款材料包和一份B款材料包各是元和元，根据题意列方程组求解即可；
（2）设购买A款材料包份，根据题意列出不等式求解即可．
本题主要考查了列二元一次方程组解应用题，列一元一次不等式解应用题，解题的关键是正确设元，并找到题目中的等量关系或不等关系列出方程或不等式．
【详解】（1）解：设购买一份A款材料包和一份B款材料包各需元和元，
则，解得，
答：购买一份A款材料包和一份B款材料包各需元和元．
（2）解：设购买A款材料包份，
，
解得，
∵a为整数，
∴a最小为，
答：至少购买A款材料包份．
5．（2025·湖南长沙·中考真题）为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入元．（不考虑加工损耗）
(1)求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元？
(2)若该食品企业以每千克8元购进千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品多少千克？
【答案】(1)A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元
(2)要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品千克
【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式在实际问题中的应用，正确理解题意即可．
（1）设A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元，由题意得即可求解；
（2）设需加工A等级农产品千克，则需加工B等级农产品千克，由题意得．即可求解；
【详解】（1）解：设A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元，
由题意得解得
答：A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元．
（2）解：设需加工A等级农产品千克，则需加工B等级农产品千克，
由题意得．
解得，
答：要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品千克．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧05：一元二次方程的实际应用
【典例】
1．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；
(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为
(2)最少购进甲种商品40件
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键．
（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可；
（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为；
（2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，
由题意得，，
∴，
解得，
∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件，
答：最少购进甲种商品40件．
2．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
【答案】(1)，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元
(2)这天售出了64辆轮椅
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：
（1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；
（2）令，得到关于的一元二次方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：；
∵每辆轮椅的利润不低于180元，
∴，
∴，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，每天的利润最大，为元；
答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元；
（2）当时，，
解得：（不合题意，舍去）；
∴（辆）；
答：这天售出了64辆轮椅．
3．（2025·四川成都·一模）在综合实践活动中，小张和小红准备将一个大型养鸡场重新设计为可养大、中、小三种鸡的综合性养鸡场，改良后的养鸡场的示意图如右图所示，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为．每类鸡舍均设计一道宽的门（门用普通的木材制作）．
(1)若养鸡场的宽为，求改良后养鸡场的长y（请用含x的式子表示y）；
(2)当养鸡场的总面积为，请求出养鸡场的长和宽．
【答案】(1)
(2)长和宽分别为55，5或者20，．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、列代数式等知识点，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据题意直接用x表示出y即可；
（2）由（1）可得改良后养鸡场的长，再根据养鸡场的总面积为，列出一元二次方程求解并检验即可解答．
【详解】（1）解：若养鸡场的宽为，
由题意可得：改良后养鸡场的长，即．
（2）解：由题可得：，
整理得：，
解之得：，
当宽为5，，长分别为55，20，均符合题意．
所以养鸡场的长和宽分别为55，5或者20，．
4．（2025·四川南充·一模）某科技公司研发了一款新型智能手表在市场上很受欢迎，该公司某专卖店根据市场调查发现：这款智能手表每天销售数量y（块）与每块销售单价x（元）的关系满足一次函数，每块智能手表各项成本合计为元．设专卖店销售这款智能手表每天获利w元．
(1)若该专卖店某天销售这款智能手表获利元，求销售单价x的值；
(2)当销售单价x定为多少元时，该专卖店销售这款智能手表每天获利最大？最大利润为多少元？
(3)临近新品发布会，若该专卖店决定每块降价a（）元，此时销售量仍为个，当每天的销售量不低于块时，为了确保降价后的利润随着销售单价的增大而增大，求a的取值范围．
【答案】(1)元或元
(2)当每块销售单价定为元时，该专卖店销售这款智能手表每天获利最大，最大利润为元
(3)
【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．
(1)根据总利润=单利润数量列出一元二次方程求解；
(2)将利润函数配方成顶点式求最大值；
(3)降价后的利润函数为，结合销售量条件和确保降价后的利润随着销售单价的增大而增大的要求，得到关于a的不等式，解不等式得到 a 的范围．
【详解】（1）解：由题意可得方程：，
整理，得，
解得，．
答：销售单价为元或元．
（2）解：由题意可得．
，
当时，有最大值，最大值为．
答：当每块销售单价定为元时，该专卖店销售这款智能手表每天获利最大，最大利润为元．
（3）解：，
∴对称轴为直线．
∵每天的销售量不低于块，
，
，
随的增大而增大，且开口向下，
，
，
，
．
5．（2026·湖北·模拟预测）某店铺销售一批文创产品毛绒玩具，每件毛绒玩具进价元，规定销售单价不低于元，且单件利润不高于，经市场调查发现，该毛绒玩具每周的销售量（单位：件）与售价（单位：元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如下表：
(1)求与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；
(2)将毛绒玩具销售单价定为多少元时，该商店每周销售毛绒玩具获得的利润最大？最大利润是多少元？
(3)当毛绒玩具销售单价是多少元时，商店每周销售毛绒玩具获利元？
【答案】(1)
(2)元，元
(3)元
【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，根据已知条件求出函数解析式，再结合函数性质求解．
（）利用待定系数法求解可得；
（）根据所获得总利润(售价进价)销售量列出函数解析式，配方成顶点式可得答案．因为，所以二次函数图象开口向 下，在对称轴处取得最大值， 又因，所以当时，有最大值，最大值为元；
（）根据（）即可解答．
【详解】（1）解：设与之间的函数解析式，
将代入，可得方程组：
∴与之间的函数解析式．
已知每件毛绒玩具进价是元，且单件利润不高于，则售价满足，
又规定销售单价不低于元所以自变量的取值范围是，
∴与之间的函数解析式．
（2）根据题意，得
，
∵，
∴当时，有最大值为，
∴将毛绒玩具销售单价定为元时，该商店每周销售毛绒玩具获得的利润最大，最大利润是元．
（3）令，
解得(不合题意，舍去)．
∴当毛绒玩具销售单价是元时，每周销售毛绒玩具获利元．
一、单选题
1．（25-26九年级上·广东广州·月考）把方程配方，得（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方的方法是关键；使用配方法将方程左边转化为完全平方形式，右边为常数．
【详解】解：方程两边加上，得，
即，
故选：B．
2．（2025·四川绵阳·中考真题）设，则下列不等关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题关键．
根据不等式的基本性质逐一验证选项即可．
【详解】解：由，
∴，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C正确；
，故选项D错误，
故选：C．
3．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ）
A．0B．25C．26D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可．
【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
，
故选：C．
4．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了解分式方程，去分母将分式方程转化为整式方程，然后求解并验证分母不为零．
【详解】∵ ，
去分母得，，
，
解得，
检验：当时，，满足条件．
故方程的解为．
故选：B．
5．（2025·四川·中考真题）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两”，即可列出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：∵5头牛、2只羊，共值金10两，
∴；
∵2头牛、5只羊，共值金8两，
∴．
∴根据题意可列出方程组．
故选：D．
6．（2024·甘肃甘南·中考真题）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，根据题意找出等量关系列出方程是解题的关键．根据题意，设规定时间为天，慢马送信时间为天，速度为；快马送信时间为天，速度为，由快马速度是慢马速度的倍，即可列出方程．
【详解】解：设规定时间为天，则慢马所需时间为天，快马所需时间为天，
由题意得，慢马速度为里/天，快马速度为里/天，
，
故选B．
7．（2025·四川绵阳·一模）若关于的方程的一根大于，另一根小于，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数、一元二次方程综合，熟记二次函数图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的情况与判别式关系是解决问题的关键．
令，根据二次函数图象与性质即可判断A选项正确；由一元二次方程根与系数的关系判断B、D错误；由一元二次方程根的情况与判别式的关系判断C错误，从而得到答案．
【详解】解：A、令，
∵二次项系数，
抛物线开口向下，
关于的方程的一根大于，另一根小于，
∴当时，，即，
选项结论正确，符合题意；
B、设关于的方程的两个根为，
则，
关于的方程的一根大于，另一根小于，
若，则，即不一定为，
选项结论错误，不符合题意；
C、关于的方程的一根大于，另一根小于，
一元二次方程有两个不相等的实数根，即，
选项结论错误，不符合题意；
D、设关于的方程的两个根为，
则，即，
关于的方程的一根大于，另一根小于，
若，则，，即不一定小于，
选项结论错误，不符合题意；
故选：A．
8．（2025·山西临汾·二模）某玩具店以200元/辆的进价购入200辆儿童自行车，并以260元/辆的价格销售，两个月后自行车的销售款已超过这批自行车的进货款，这段时间售出的自行车可能是（ ）
A．150辆B．152辆C．153辆D．154辆
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的应用，熟练掌握解不等式是解题的关键．
设这段时间售出的自行车为x辆，根据题意，得，解不等式即可．
【详解】解：设这段时间售出的自行车为x辆，根据题意，得，
解得：，
又x为正整数，
故符合题意的最小正整数为154，
故选：D．
9．（2025·陕西渭南·一模）对于任意实数m、n，定义新运算，，例如：，则方程的根是（ ）
A．B．C．，D．，
【答案】C
【分析】本题考查了新定义，以及解一元二次方程，根据新运算的定义，将方程转化为一元二次方程，然后求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴或，
∴或，
故方程根为．
故选：C．
10．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（ ）
A．7组B．21组C．28组D．42组
【答案】B
【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于不同值，所对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算．
【详解】解：令，
则的正整数解中的值可以为：，，，9，11，13
∴的正整数解有组，
又∵的正整数解有组；
的正整数解有组；
的正整数解有组；
的正整数解有组；
的正整数解有组；
的正整数解有组；
∴方程的正整数解组数为：．
故选：B．
二、填空题
11．（2025·广东·一模）方程的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解熟练掌握解分式方程是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
检验：当时，分母 ，
所以原方程的解为，
故答案为：．
12．（2020·广东揭阳·一模）不等式组的最小整数解是 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的最小整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而可得不等式组的最小整数解．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式组的解集为，
∴原不等式组的最小整数解为3，
故答案为：3．
13．（2025·安徽淮南·二模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数p的值可以为 ．（写出一个即可）
【答案】2（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，解题的关键是掌握根的判别式和解一元一次不等式的步骤．
根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，判别式大于零，求出p的取值范围，解接一元一次不等式，再取整数解．
【详解】解：方程的判别式为，
由于有两个不相等的实数根，故，即，
解得，
因此，整数p可以取 2、1、0 等，
故答案为：2．
14．（2025·湖南·模拟预测）我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住人，则还有人无宿舍住；若每间住人，其余宿舍住满，且有一间宿舍不空但所住的人数不足人．若设宿舍间数为，根据题意应满足的不等式（组）为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一元一次不等式组的实际应用，准确列出关系式是解题的关键．
根据总人数列式，利用最后一间宿舍人数大于等于1且小于5建立不等式组．
【详解】解：设宿舍间数为，则总人数为人，
若每间住7人，则前间住满，最后一间宿舍不空但所住人数不足5人，
即最后一间宿舍人数满足，
得，
即不等式组．
故答案为：．
15．（2025·江苏扬州·一模）给出一种运算：对于，规定例如：若，则有已知，则命题“方程的解是或”是 命题．
【答案】真
【分析】本题考查了解一元二次方程的直接开平方法以及判断命题的真假．根据新定义的规定先计算，再解方程，最后进行判断即可．
【详解】解：由题意得，，
又∵，
∴．
∴．
∴，．
所以，命题“方程的解是或”是真命题，
故答案为：真．
16．（2025·四川·一模）不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组．先求出不等式组的解集，再根据题意建立关于a的不等式组即可解决问题．
【详解】解：解不等式得，；
解不等式得，，
所以不等式组的解集为：，
则此不等式组的整数解为0，1．
又因为此不等式组的整数解均满足不等式组，
所以，
解得．
故答案为：．
三、解答题
17．（2024·江苏无锡·模拟预测）（1）解方程：．
（2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）；（2），数轴见解析
【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式组的求解，注意计算的准确性即可；
（1）方程两边都乘，将分式方程化为整式方程即可求解；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：（1）原方程可化为：，
解得：；
检验：当时，；
∴是原方程的解；
（2），
解①得：；
解②得：；
∴原不等式的解集为，
18．（2025·江苏无锡·二模）（1）解方程： ；
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了解一元二次方程，解不等式组，解题的关键是：
（1）根据公式法求解即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】（1）解∶
，
，
，
（2）解∶
解不等式①，得∶，
解不等式②，得．
∴不等式组的解集为．
19．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）已知关于的方程．
(1)求证：无论常数取何值，方程总有实数根；
(2)当整数取何值时，方程有两个整数根？
【答案】(1)见解析
(2)或或或
【分析】本题考查根据方程的根的情况，求参数的值．熟练掌握一元二次方程判别式和根的个数关系，以及根与系数的关系，是解题的关键．
（1）根据二次项系数为零和不为零两种情况进行分类讨论，利用判别式的取值进行证明即可；
（2）根据方程的两个根都是整数，说明方程为一元二次方程，利用根与系数的关系，结合两个根都是整数，进行计算即可．
【详解】（1）证明：当，即：时，
方程变为：，
解得：，方程有实数根；
当，即：时，方程为一元二次方程，
，
∴方程有两个不相等的实数根；
∴无论m为何值，方程总有实数根．
（2）解：依题意，方程有两个整数根，则该方程为一元二次方程，故，即，
设方程的两个根为：，
则：，
，
∵方程的两个根都为整数，
∴和为整数，即为整数，
∴或，
解得：或或或，
∴当或或或时，该方程的两个根都为整数．
20．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）2025年国庆期间，某话剧院开展“铭记历史，致敬英雄”系列活动，对团体购买话剧《抗战中的文艺》的票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价20元，这样按原定零售票价需花费3000元购买的门票，现在只花费了1800元．
(1)求每张话剧票的原定零售票价；
(2)为了进一步传播英雄事迹，该剧院决定对现场购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张40.5元，求平均每次降价的百分率．
【答案】(1)50元
(2)
【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的应用，关键是根据题意找出等量关系列方程求解．
（1）设每张话剧票的原定零售票价为x元，根据题意可知，同一批门票在降价前后的数量不变，可列分式方程，求出解后代入检验即可；
（2）设平均每次降价的百分率为m，根据连续两次降价后票价为每张40.5元，列一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设每张话剧票的原定零售票价为x元，
根据题意，得 ，
化为整式方程，得，
解得，
经检验，是原分式方程的根．
答：每张话剧票的原定零售票价为50元．
（2）解：设平均每次降价的百分率为m，
根据题意，得，
解得，（舍去），
答：平均每次降价的百分率为．
21．（25-26九年级上·山西晋城·月考）如图1是一张矩形硬纸板，．将这张硬纸板的四个角剪去四个全等的小矩形后，折叠成如图2所示的有盖的长方体收纳盒．经测量可知该长方体收纳盒的底面的面积为，求该长方体收纳盒的长、宽、高分别为多少厘米．
【答案】该长方体收纳盒的长、宽、高分别为
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设该长方体收纳盒的高为，根据该长方体收纳盒的底面的面积为列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设该长方体收纳盒的高为，
根据题意，得．
整理，得．
解得（舍去），．
．
答：该长方体收纳盒的长、宽、高分别为．
22．（2025·江苏泰州·三模）箱子里有m个红球，n个白球，小明、小丽分别按下列方式取球：小明的取法是每次取相同数量的球，其中红球数比白球数多1个，连续取了几次后（不放回），箱子里只剩下6个红球；小丽取法是每次取相同数量的球，其中红球数比白球数多3个，小丽每次取的球中的白球数与小明每次取的球中的白球数相同，连续取了几次后（不放回），箱子里只剩下9个白球．已知小明取球的次数比小丽多3次．
(1)小明每次取的白球数为________；
(2)求m、n的值．
【答案】(1)3；
(2)，．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握根据实际问题列二元一次方程组是解题的关键．
（1）设小明每次取白球个，那么每次取红球个，小丽每次取白球个，每次取红球个．设小丽取球次，则小明取球次．根据红球和白球的数量关系，通过设未知数来推导小明每次取的白球数．
（2）根据上述设的未知数，结合红球和白球剩余数量，列出关于、的方程，进而求解、的值．
【详解】（1）解：设小明每次取白球个，则小明每次取红球个，小丽每次取白球个，小丽每次取红球个．设小丽取球次，则小明取球次．
由白球数量关系，
∵小丽取球后只剩下个白球，
∴，
∴，
，
，
解得，
故答案为：3；
（2）解：设小明每次取白球个，则小明每次取红球个，小丽每次取白球个，小丽每次取红球个．设小丽取球次，则小明取球次．
∵，
∴小明每次取红球个，小丽每次取红球个．
由红球数量关系
∴，，
∴，
，
，
解得．
∴，．
23．（25-26八年级下·全国·期末）某工厂拥有两条不同的护目镜加工生产线 A，B．原计划A 生产线每小时生产护目镜 400 个，B 生产线每小时生产护目镜 500 个．
(1)若生产线A，B共工作12小时，且生产护目镜的总数量不少于个，则B生产线至少生产护目镜多少小时？
(2)原计划A，B生产线每天平均工作8小时，但现在为了尽快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比原计划多工作了相同的小时数，但因为机器损耗及人员不足的原因，A生产线每增加1小时，该生产线实际工作时每小时的产量均减少10个，B生产线每增加1小时，该生产线每小时的产量均减少15个，这样一天生产的护目镜将比原计划多个，求该厂实际每天生产护目镜的时间．
【答案】(1)B生产线至少生产护目镜7小时
(2)该厂实际每天生产护目镜的时间为14小时
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：根据各数量的关系，正确列出一元一次不等式；列出一元二次方程．
（1）设生产线生产护目镜小时，则生产线生产护目镜小时，利用工作总量工作效率工作时间，结合该厂每天生产护目镜总数量不少于个，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论；
（2）设该厂实际每天生产护目镜的时间为小时，则生产线每小时生产护目镜个，生产线每小时生产护目镜个，利用工作总量工作效率工作时间，结合该厂实际一天生产的护目镜将比原计划多个，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设生产线生产护目镜小时，则生产线生产护目镜小时，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为7．
答：生产线至少生产护目镜7小时；
（2）解：设该厂实际每天生产护目镜的时间为小时，则生产线每小时生产护目镜个，生产线每小时生产护目镜个，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：该厂实际每天生产护目镜的时间为14小时．
24．（25-26九年级上·广东东莞·月考）阅读材料：若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”．
(1)求“快乐方程”的“快乐数”的值；
(2)若关于的一元二次方程是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”；
(3)若关于的一元二次方程与（m、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值．
【答案】(1)-4
(2)3，
(3)或3
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，读懂题目中“快乐方程”， “快乐数”的定义是解题的关键．
（1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”；
（2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为完全平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”；
（3）关于x的一元二次方程是“快乐方程”，即可求出m的值，求出方程的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出n的值．
【详解】（1）解：方程：的“快乐数”
（2）方程，
，即：，
或36，
（舍去），
方程变为：，
则，
故其“快乐数”是；
（3）解：，
∴，
设，
则，
又与同奇偶，
∴或或或
解得或，
方程变为：或；
当时，，
解得：或（不合题意），
当时，，
解得，
故：或3．
《方法技巧》
当方程组的解满足特定要求时，要先设法求出这个方程组的解，再根据题意列出不等式如，求出所求字母参数的值或取值范围。
《方法技巧》
两种解法的不同之处在于对题目中等量关系的利用，列一元一次方程求解时，只等要设一个未知数，借助一个等量关系将另一个未知量用含有未知数的式子表示出来，用另一个等量关系列方程，列二元一次方程组求解时，需要设两个未知数，题目中的两个等量关系都用于列方程并组成方程组
《方法技巧》
列分式方程解应用题时，一定不要忘记检验，实际问题中要舍去不符合实际意义的分式方程的解，常见的类型有：行程问题、销售问题、工程问题.
《方法技巧》
此类方案设计问题的实质就是把实际问题转化成不等式问题，列出不等式，求出不等式的解集，在其解集内找出特合条件的解.因此，解决此类问题的关健是把提好题目中的不等关系.
《方法技巧》
1.列一元二次方程解决实际问题的四点注意
(1)注意挖掘题目中隐含的等量关系.
(2)注意文字语言与数学语言之间的转化.
(3)注意列方程时各量之间的单位要统一
(4)注意对求出的结果进行检验
2.常见的类型：传播问题、增长率问题、面积问题、销售问题、数字问题等
每件售价/元
…
70
…
周销售量/件
…
300
…