第26讲 正方形的性质与判定(讲义，1考点+1命题点21种题型(含3种解题技巧))-2025年中考数学一轮复习讲义及试题（含答案）

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TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc188350702" 01考情透视·目标导航
\l "_Tc188350703" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc188350704" 03考点突破·考法探究
\l "_Tc188350705" 考点 正方形
\l "_Tc188350706" 04题型精研·考向洞悉
\l "_Tc188350707" 命题点 正方形的性质与判定
\l "_Tc188350708" ►题型01 利用正方形的性质求角度
\l "_Tc188350709" ►题型02 利用正方形的性质求线段长
\l "_Tc188350710" ►题型03 利用正方形的性质求周长
\l "_Tc188350711" ►题型04 利用正方形的性质求面积
\l "_Tc188350712" ►题型05 根据正方形的性质求点的坐标
\l "_Tc188350713" ►题型06 利用正方形的性质证明
\l "_Tc188350714" ►题型07 正方形的折叠问题
\l "_Tc188350715" ►题型08 求正方形重叠部分面积
\l "_Tc188350716" ►题型09 添加一个条件使四边形是正方形
\l "_Tc188350717" ►题型10 证明四边形是正方形
\l "_Tc188350718" ►题型11 根据正方形的性质与判定求角度
\l "_Tc188350719" ►题型12 根据正方形的性质与判定求线段长
\l "_Tc188350720" ►题型13 根据正方形的性质与判定求面积
\l "_Tc188350721" ►题型14 根据正方形的性质与判定解决多结论问题
\l "_Tc188350722" ►题型15 与正方形有关的规律探究问题
\l "_Tc188350723" ►题型16 正方形有关的新定义问题
\l "_Tc188350724" ►题型17 与正方形有关的动点问题
\l "_Tc188350725" ►题型18 与正方形有关的最值问题
\l "_Tc188350726" ►题型19 正方形与函数综合
\l "_Tc188350727" ►题型20 与正方形有关的存在性问题
\l "_Tc188350728" ►题型21 与正方形有关的材料阅读类问题
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 正方形
1.正方形的定义：有一组邻边相等且只有一个角是直角的平行四边形是正方形.
2.正方形的性质：
1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行.
2）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.
【补充】
1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
2）一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°.
3）两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
4）正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半.
3.正方形的对称性：
1）正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线和两条对角线所在的直线.
2）正方形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心.
4.正方形的判定：
1．（2021·黑龙江·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使矩形ABCD是正方形．
2．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD=4，则EF= ．
3．（2024·新疆·中考真题）如图，在正方形ABCD中，若面积S矩形AEOH=12，周长C矩形OFCG=16，则S正方形EBFO+S正方形HOGD= ．
4．（2024·福建·中考真题）如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为 ．

5．（2023·湖南怀化·中考真题）如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE=3．则点P到直线AB的距离为 ．

\l "_Tc188278348" 04题型精研·考向洞悉
命题点一 正方形的性质与判定
►题型01 利用正方形的性质求角度
1．（2023·重庆·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF=45°．若∠BAE=α，则∠FEC一定等于（ ）

A．2αB．90°−2αC．45°−αD．90°−α
2．（2021·重庆·中考真题）如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN=30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则∠AMP的度数为（ ）
A．60°B．65°C．75°D．80°
3．（2023·山东·中考真题）如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到△CBF．若∠ABE=55°，则∠EGC= 度．

4．（2024·宁夏·中考真题）如图，在正五边形ABCDE的内部，以CD边为边作正方形CDFH，连接BH，则∠BHC= °．
QUOTE QUOTE QUOTE ►题型02 利用正方形的性质求线段长
在正方形问题中，一般可以通过证三角形全等来证两条线段相等，也可以利用正方形的角是直角来构造直角三角形，利用勾股定理解题.在正方形中，也常用对角线互相垂直平分证明线段相等.
5．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边AD上，DE=2AE,F是BE的中点，点H在CD边上，∠EFH=45°，则FH的长为（ ）．
A．3104B．352C．554D．2103
6．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5．正方形DEFG的边长为5，它的顶点D，E，G分别在△ABC的边上，则BG的长为 ．
7．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正方形ABCD的面积为50，以AB为腰作等腰△ABF，AB=AF，AE平分∠DAF交DC于点G，交BF的延长线于点E，连接DE．若BF=2，则DG= ．
8．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，点F是OD上一点．连接EF．若∠FEO=45°，则EFBC的值为 ．
の
►题型03 利用正方形的性质求周长
9．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O．E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE,EF．若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是（ ）

A．22B．2+2C．4−22D．2
10．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是80cm，则图中阴影图形的周长是（ ）

A．440cmB．320cmC．280cmD．160cm
11．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=7，F为DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的长为 ．

12．（2022·江苏南通·中考真题）如图，点O是正方形ABCD的中心，AB=32．Rt△BEF中，∠BEF=90°,EF过点D，BE,BF分别交AD,CD于点G，M，连接OE,OM,EM．若BG=DF,tan∠ABG=13，则△OEM的周长为 ．
QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE ►题型04 利用正方形的性质求面积
13．（2023·广东·中考真题）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 ．

14．（2023·湖南·中考真题）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4dm的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为 dm3．

15．（2023·四川内江·中考真题）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，△BPC是等边三角形，则阴影部分的面积为 ．

16．（2023·浙江金华·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边在AB的同侧作三个正方形，点F在GH上，CG与EF交于点P，CM与BE交于点Q．若HF=FG，则S四边形PCQES正方形ABEF的值是（ ）

A．14B．15C．312D．625
17．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角∠FOH=90°．则图中阴影部分面积是 ．
QUOTE ►题型05 根据正方形的性质求点的坐标
18．（2024·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为−2，0，点E在边CD上．将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为0，6，则点E的坐标为 ．
19．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于原点O．若点A的坐标是2,1，则点C的坐标是 ．
20．（2023·甘肃武威·中考真题）如图1，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点．动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（ ）

A．4,23B．4,4C．4,25D．4,5
21．（2022·山东威海·中考真题）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点C，则k的值为 ．
22．（2021·浙江金华·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上．若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是 ．
►题型06 利用正方形的性质证明
23．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD，OM为折痕，以点O为圆心，OM为半径作弧，分别交AD，BC于E，F两点，则EF的长度为 （结果保留π）．
24．（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA、EC．
(1)求证：△EAB≌△ECB；
(2)若∠AEC=45°，求证：DC=DE．
25．（2024·广东广州·中考真题）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE=3，EC=6，CF=2．求证：△ABE∽△ECF．
26．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，正方形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，且BM=CN，AN与DM相交于点P．

(1)求证：△ABN≌△DAM；
(2)求∠APM的大小．
27．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD．
(1)求证：△ABE≌△FMN；
(2)若AB=8，AE=6，求ON的长．
►题型07 正方形的折叠问题
28．（2023·湖北·中考真题）如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上（点M不与点A,D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E,F，连接BM．

(1)求证：∠AMB=∠BMP；
(2)若DP=1，求MD的长．
29．（2022·辽宁抚顺·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF．当GF最小时，AE的长是 ．
30．（2022·河南·中考真题）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．
►题型08 求正方形重叠部分面积
31．（2023·山东菏泽·一模）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ．
32．（2021·辽宁抚顺·三模）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．设两个正方形重合部分的面积为S1，正方形ABCD的面积为S2，通过探索，我们发现：无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，始终有S1= S2．
33．（2020·河北·二模）在平面上，边长为2的正方形和短边长为1的矩形几何中心重合，如图①，当正方形和矩形都水平放置时，容易求出重叠面积S=2×1=2．
甲、乙、丙三位同学分别给出了两个图形不同的重叠方式；

甲：矩形绕着几何中心旋转，从图②到图③的过程中，重叠面积S大小不变．
乙：如图④，矩形绕着几何中心继续旋转，矩形的两条长边与正方形的对角线平行时，此时的重叠面积大于图③的重叠面积．
丙：如图⑤，将图④中的矩形向左上方平移，使矩形的一条长边恰好经过正方形的对角线，此时的重叠面积是5个图形中最小的．
下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙、丙都对B．只有乙对C．只有甲不对D．甲、乙、丙都不对
34．（2020·浙江·中考真题）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为 （用含a，b的代数式表示）．
►题型09 添加一个条件使四边形是正方形
35．（2020·湖北襄阳·中考真题）已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（ ）
A．OA=OC，OB=OD
B．当AB=CD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
36．（2023·辽宁鞍山·一模）如图中，阴影部分表示的四边形是 ．
37．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）在下列条件中，能够判定矩形ABCD为正方形的是（ ）
A．∠BAD=90°B．AC⊥BD C．AC=BD D．AB=CD
38．（2024·河北秦皇岛·一模）数学课上，嘉嘉作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧相交于点C，D，则直线CD即为所求．作完图之后，嘉嘉经过测量发现AC=BC=AD=BD，AB=CD，根据他的作图方法和测量可知四边形ADBC是正方形，嘉嘉的理由是（ ）
A．两组对边分别平行的菱形是正方形B．四条边相等的菱形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形D．有一个角是直角的菱形是正方形
39．（2024·山东东营·中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形，从①AC=BD，②AC⊥BD，③AB=BC，这三个条件中任意选取两个，能使▱ABCD是正方形的概率为（ ）
A．23B．12C．13D．56
40．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，添加条件 可使菱形ABCD成为正方形．
41．（2021·广西玉林·中考真题）一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：
a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等
c.一组邻边相等 d.一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是：（ ）
A．仅①B．仅③C．①②D．②③
QUOTE ►题型10 证明四边形是正方形
判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；还可以先判定四边形是平行四边形，再证明它有一个角为直角和一组邻边相等．
42．（2023·湖北十堰·中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC,BD交于点O，分别以点B,C为圆心，12AC,12BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP,CP．

(1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
(2)请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？
43．（2024·内蒙古·中考真题）如图，∠ACB=∠AED=90°，AC=FE，AB平分∠CAE，AB∥DF．
(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
(2)过点B作BG⊥AE于点G，若CB=AF，请直接写出四边形BGED的形状．
44．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，连接EF，EF与AD相交千点H．
（1）求证：AD⊥EF；
（2）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？说明理由．
45．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠BAC=90°，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接DF．
(1)求证：AB=AF；
(2)请增加一个条件，使得四边形ACDF为正方形．（不需要说明理由）
46．（2023·山东青岛·一模）如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG=DE，分别连接AE，AG，FG．

(1)求证：△BCE≌△FDE；
(2)若BF平分∠ABC，已知______（从以下两个条件中选择一个作为已知条件并补写相应内容，填写序号），四边形AEFG为正方形？请证明．
①平行四边形ABCD的边满足______时
②平行四边形ABCD的角满足______时
►题型11 根据正方形的性质与判定求角度
47．（2021·湖南株洲·中考真题）《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（蜨，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“様”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件（“一様二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点P处，点P与点A关于直线DQ对称，连接CP、DP．若∠ADQ=24°，则∠DCP= 度．
48．（2023·四川·中考真题）如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，C是AB上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD=CE，则图中阴影部分面积为( )

A．25π16B．25π8C．25π6D．25π4
49．（2023·福建宁德·一模）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使顶点B落在AD上点B'处；再将矩形展平，沿AF折叠，使顶点B落在AE上点G处，连接DE． 小明发现△DEC可以由△AFG绕某一点顺时针旋转α0°AB，点B到直线AD的距离为BE．
①求BE的长．
②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求ΔMNC周长的最小值．
71．（2024·江苏常州·模拟预测）在学习了“中心对称图形…平行四边形”这一章后，同学小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据以上定义，回答下列问题：
(1)下列关于“双直四边形”的说法，正确的有 （把所有正确的序号都填上）；
①双直四边形”的对角线不可能相等：
②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半；
③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形．
(2)如图①，正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，连接CE，BF，EF，CF，若AE=DF，证明：四边形BCFE为“双直四边形”；
(3)如图②，在平面直角坐标系中，已知点A0,6，C8,0，点B在线段OC上且AB=BC，是否存在点D在第一象限，使得四边形ABCD为“双直四边形”，若存在；求出所有点D的坐标，若不存在，请说明理由．
72．（2024·辽宁大连·模拟预测）点M在四边形ABCD内，点M和四边形的一组对边组成两个三角形，如果这两个三角形都是以对边为斜边的等腰直角三角形，那么定义该四边形ABCD 为蝴蝶四边形．例如，如图1，在四边形ABCD中， ∠AMB=∠CMD=90°， MA=MB，MC=MD，则四边形ABCD 为蝴蝶四边形．
【概念理解】如图2，正方形ABCD 中，对角线 AC，BD相交于点 M．判断正方形ABCD 是否为蝴蝶四边形，说明理由．
【性质探究】如图3，在蝴蝶四边形ABCD中，∠AMB=∠CMD=90°．求证：AC=BD．
【拓展应用】在蝴蝶四边形ABCD中， ∠AMB=∠CMD=90°，MA=MB=2,MC=MD=1，当△ACD 是等腰三角形时，求此时BD2的值．
►题型17 与正方形有关的动点问题
73．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重合的一动点，点F是对角线BD上一点，连接BE，AF交于点O，且∠ABE=∠DAF．
【模型建立】
（1）求证：AF⊥BE；
【模型应用】
（2）若AB=2，AD=3，DF=12BF，求DE的长；
【模型迁移】
（3）如图2，若矩形ABCD是正方形，DF=12BF，求AFAD的值．
74．（2023·海南·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=8，点E在边AD上，且AD=4AE，点P为边AB上的动点，连接PE，过点E作EF⊥PE，交射线BC于点F，则EFPE= ．若点M是线段EF的中点，则当点P从点A运动到点B时，点M运动的路径长为 ．

75．（2022·辽宁丹东·中考真题）已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG．
(1)如图1，当ADAB=AGAE=1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；
(2)如图2，当ADAB=AGAE=2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，若AB=5，∠AEB=45°，请直接写出△MND的面积．
76．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=2，∠ABC=60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE=DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形MENF；②存在无数个矩形MENF；③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形MENF．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
►题型18 与正方形有关的最值问题
77．（2024·江西·中考真题）综合与实践
如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD，以CD为直角边在CD的右侧构造Rt△CDE，∠DCE=90°，连接BE，CECD=CBCA=m．
特例感知
（1）如图1，当m=1时，BE与AD之间的位置关系是______，数量关系是______；
类比迁移
（2）如图2，当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
拓展应用
（3）在（1）的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF，EF，BF，如图3．已知AC=6，设AD=x，四边形CDFE的面积为y．
①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；
②当BF=2时，请直接写出AD的长度．
78．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE=BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG=2GB，则OM+12FG的最小值是（ ）

A．4B．5C．8D．10
79．（2021·青海·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为
80．（2023·广东广州·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E是边AD上一动点（不与点A，D重合）．边BC关于BE对称的线段为BF，连接AF．

(1)若∠ABE=15°，求证：△ABF是等边三角形；
(2)延长FA，交射线BE于点G；
①△BGF能否为等腰三角形？如果能，求此时∠ABE的度数；如果不能，请说明理由；
②若AB=3+6，求△BGF面积的最大值，并求此时AE的长．
81．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点A、B、M、E、F依次在直线l上，点A、B固定不动，且AB=2，分别以AB、EF为边在直线l同侧作正方形ABCD、正方形EFGH，∠PMN=90°，直角边MP恒过点C，直角边MN恒过点H．
(1)如图1，若BE=10，EF=12，求点M与点B之间的距离；
(2)如图1，若BE=10，当点M在点B、E之间运动时，求HE的最大值；
(3)如图2，若BF=22，当点E在点B、F之间运动时，点M随之运动，连接CH，点O是CH的中点，连接HB、MO，则2OM+HB的最小值为_______．
►题型19 正方形与函数综合
82．（2023·江苏泰州·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点A(m，0)，B(m−a，0)(a>m>0)的位置和函数y1=mx(x>0)、y2=m−ax(xm>0的条件下任意变化时，△PGH的面积是否变化？请说明理由；
(3)试判断直线PH与BC边的交点是否在函数y2的图像上？并说明理由．
83．（2023·湖南·中考真题）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点At,0，点P1,2在函数y=kxk>0，x>0的图像上

(1)求k的值；
(2)连接BP、CP，记△BCP的面积为S，设T=2S−2t2，求T的最大值．
84．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究
如图，某一次函数与二次函数y=x2+mx+n的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 ；
(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；
(4)在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．
►题型20 与正方形有关的存在性问题
85．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
(1)【问题一】如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F，则AE与BF的数量关系为_________；
(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD、BC交于点E、F，直线n分别与AB、CD交于点G、H，且m⊥n，若正方形ABCD边长为8，求四边形OEAG的面积；
(3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，顶点E在BC的延长线上，且BC=6，CE=2．在直线BE上是否存在点P，使△APF为直角三角形？若存在，求出BP的长度；若不存在，说明理由．
86．（2020·湖南衡阳·中考真题）如图1，平面直角坐标系xOy中，等腰ΔABC的底边BC在x轴上，BC=8，顶点A在y的正半轴上，OA=2，一动点E从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB向左运动，到达OB的中点停止．另一动点F从点C出发，以相同的速度沿CB向左运动，到达点O停止．已知点E、F同时出发，以EF为边作正方形EFGH，使正方形EFGH和ΔABC在BC的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）当点H落在AC边上时，求t的值；
（2）设正方形EFGH与ΔABC重叠面积为S，请问是存在t值，使得S=9136？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，取AC的中点D，连结OD，当点E、F开始运动时，点M从点O出发，以每秒25个单位的速度沿OD−DC−CD−DO运动，到达点O停止运动．请问在点E的整个运动过程中，点M可能在正方形EFGH内（含边界）吗？如果可能，求出点M在正方形EFGH内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．
►题型21 与正方形有关的材料阅读类问题
87．（2022·江苏盐城·中考真题）【经典回顾】
梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法图1是其中一种方法的示意图及部分辅助线．
在△ABC中，∠ACB=90°，四边形ADEB、ACHI和BFGC分别是以Rt△ABC的三边为一边的正方形．延长IH和FG，交于点L，连接LC并延长交DE于点J，交AB于点K，延长DA交IL于点M．
(1)证明：AD=LC；
(2)证明：正方形ACHI的面积等于四边形ACLM的面积；
(3)请利用（2）中的结论证明勾股定理．
(4)【迁移拓展】
如图2，四边形ACHI和BFGC分别是以△ABC的两边为一边的平行四边形，探索在AB下方是否存在平行四边形ADEB，使得该平行四边形的面积等于平行四边形ACHI、BFGC的面积之和．若存在，作出满足条件的平行四边形ADEB（保留适当的作图痕迹）；若不存在，请说明理由．
88．（2024·四川成都·模拟预测）如图1，在正方形ABCD中，AB=4，P是边AD上的一点，连接CP，过点D作DH⊥PC于点H，在边DC上有一点E，连接HE，过点H作HF⊥HE，交边BC于点F．
(1)求证：DH⋅FH=EH⋅CH；
(2)如图2，连接EF，交线段PC于点G，当△FGC为等边三角形时，求DE的长；
(3)如图3，设M是DC的中点，连接BM，分别交线段HF，EF于点K，N，当P是AD的中点时，在边DC上是否存在点E，使得BK=KN？若存在，求此时DE的长；若不存在，请说明理由．
89．（2022·贵州黔东南·中考真题）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：
如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A在DE上．
求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．
(1)【探究发现】小明通过探究发现：连接DC，根据已知条件，可以证明DC=AE，∠ADC=120°，从而得出△ADC为钝角三角形，故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．
请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．
(2)【拓展迁移】如图，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上．
①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由．
②若AE2+AG2=10，试求出正方形ABCD的面积．
90．（2021·山东济宁·中考真题）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．
（1）阅读材料
立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．
例如，正方体ABCD−A'B'C'D'（图1）．因为在平面AA'C'C中，CC'//AA'，AA'与AB相交于点A，所以直线AB与AA'所成的∠BAA'就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC'所成的角．
解决问题
如图1，已知正方体ABCD−A'B'C'D'，求既不相交也不平行的两条直线BA'与AC所成角的大小．
（2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点．
①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 ；
②在所选正确展开图中，若点M到AB，BC的距离分别是2和5，点N到BD，BC的距离分别是4和3，P是AB上一动点，求PM+PN的最小值．
91．（2024·山东德州·一模）综合与实践
【阅读经典】2002年国际数学家大会在北京召开，如图①，大会的会徽是我国古代数学家赵爽画的“弦图”，体现了数学研究中的继承和发展．
“弦图”在三国时期被赵爽发明，是证明______的几何方法（填序号）．
①勾股定理 ②完全平方公式 ③平方差公式
【动手操作】
如图②，某数学兴趣小组发现，用四个大小、形状完全相同的直角三角形就可以拼接得到一个“赵爽弦图”．组员小明自制了四个大小形状一样，且两直角边的边长分别为5和12的三角板拼成了一个“赵爽弦图”，则中间四边形ABCD的面积为______；
【问题探究】
兴趣小组组员小红发现，通过旋转某个三角形得到一些美妙的结论：如图③，E为正方形ABCD内一点，△BCE满足BE2+CE2=BC2，将△BCE绕点C顺时针旋转90°，得到△DCE'．
（1）连接BD，若点E为BD的中点，则四边形DECE'为______（填形状）；
【问题解决】
（2）若BE,E'D的延长线交于点M，连接AC，点O,F分别为AC,CD的中点，请仅就图④的情形解决下列问题：
①请判断OM和FE'的数量关系，并说明理由；
②若DM=1,AB=5，求BE的长．
92．（2024九年级下·全国·专题练习）阅读与思考
阅读下列材料完成后面任务．
仅利用折纸将线段三等分
我们已经学过线段的中点、三等分点、四等分点等概念，并且可以利用三角函数等方法求出线段的三等分点，下面介绍一种新的方法可以利用其将线段三等分—折纸法．
具体步骤如下．
第一步：如图1，准备一张长为20cm，宽为16cm的矩形纸片ABCD．
第二步：如图2，将矩形纸片ABCD折叠，使得点B的对应点F落在边AD上，展开后得到折痕CE．
第三步：如图3，再将该矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使得点D的对应点H落在CF上，展开后得到折痕CG．
第四步：如图4，再将矩形纸片ABCD折叠，使得点G落在边DC上的点M处，展开后得到折痕DN，则M为CD的三等分点，即DM=13DC．
下面是该结论的部分证明过程：
证明：由折叠的性质，得CF=BC=20cm．∵CD=16cm，∴根据勾股定理，可得DF=CF2−CD2=12cm．
设DM=DG=GH=x，∵FH=CF−CH=20−16=4cm，∴…
任务：
(1)请再仔细阅读上面的操作步骤，完成材料中剩余的证明过程．
(2)在解决问题的过程中，我们通过计算GD的长，从而得到结论DM=13DC，这里运用的数学思想方法是 .（填序号即可）
①函数思想；②公理化思想；③数形结合思想；④分类讨论思想．
(3)如图5，在图4的基础上，将矩形纸片ABCD沿着折痕DN折叠后，点C恰好落在AD上的点Q处，连接NQ，判断四边形CDQN的形状，并加以证明．中考考点
考查频率
新课标要求
正方形的有关证明与计算
★★
理解正方形的概念；
探索并证明菱形的性质定理及其判定定理；
理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系.
【考情分析】正方形是最特殊的四边形，它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，对于正方形的考查多数是考查其性质，即在正方形的背景下考查全等三角形、相似三角形、圆等内容，试题形式多样，难度不等.
【命题预测】正方形是特殊平行四边形中比较重要的图形，也是几何图形中难度比较大的几个图形之一，年年都会考查，预计2025年各地中考还将出现. 其中，正方还经常成为综合压轴题的问题背景来考察，而正方其他出题类型还有选择、填空题的压轴题，难度都比较大，需要加以重视. 解答题中考查正方形的性质和判定，45°半角模型，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函数、动态问题综合应用的可能性比较大．
定义法
平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
判定定理
矩形+一组邻边相等
有一组邻边相等的矩形是正方形
矩形+对角线互相垂直
对角线互相垂直的矩形是正方形
菱形+一个角是直角
有一个角是直角的菱形是正方形
菱形+对角线相等
对角线相等的菱形是正方形