专题14 平行四边形中的几何模型（3大题型3难点3新考法，题型清单）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测（原卷版+解析版）

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题型一：十字架模型
【中考母题溯源·学方法】
【典例1】（2025·江苏连云港·中考真题）综合与实践
【问题情境】
如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点．
【活动猜想】
（1）与的数量关系是_______，位置关系是_______；
【探索发现】
（2）证明（1）中的结论；
【实践应用】
（3）若，，求的长；
【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小．
【详解】解：（1）相等，垂直；
（2）过点作于，过点作分别交、于、，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴四边形为矩形，四边形为正方形，
∴，，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）在正方形中，由，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
得，
由等面积法得，
即，
∴，
在中，，
由（2）可知，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；
（4）如图，构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于，
由（2）可知，，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵正方形中，，是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴当最小时，的面积最小，
∴最小时，的面积最小，
∵，
∴当最小时，的面积最小，
由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小，
此时如图，点与重合，
则，
解得：，
∴，
∴．
【变式1-1】难点01 一条线段不经过正方形顶点
（2025·陕西西安·一模）问题提出
（1）如图1，在正方形中，分别在边上，连接，交于点，且，求证：；
问题解决
（2）如图2，某公园有一块正方形的空地，园区管理员准备在这块空地内修四条小路，其余部分种植各种不同的花卉．已知点分别在边上，且于点．若，求小路的最小值．（小路的宽度均忽略不计）
【详解】（1）证明：∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，过作，过作，两条平行线交于点，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴当三点共线时，最小，
过作交于，而，
∴，，
同理可得：四边形是平行四边形，
∴，
结合（1）可得：，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∵正方形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【变式1-2】难点02 两条线段不经过正方形顶点
（25-26九年级上·四川成都·期中）综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究．
(1)操作判断
如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，请直接写出和数量关系．
(2)迁移探究
如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，求的长．
(3)拓展应用
如图（3），在中，，点D，E分别在边，上，且，试证明：．
【详解】（1）解：如图，过点E作，过点H作，则，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
设与相交于点O，
，
，
，
又，
，
．
（2）如图，过点E作，过点H作，则，
四边形是矩形，
，
又，
，
设与相交于点O，
，
，
，
又，
，
，
，
．
（3）证：如图，过点C作交的延长线于点F，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握作辅助线构造全等和相似是解题的关键．
【变式1-3】新考法01： 综合与实践
（2024·河南·一模）综合与实践
完成任务：
（1）填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”）
【发现问题】
同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究．
【迁移探究】
（2）在正方形中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P．甲小组同学根据画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出图形如图3所示．甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立．
①在图2中，已知，求证：；
②在图3中，若，则的度数为多少?
【拓展应用】
（3）如图4，在正方形中，，点E在边上，点M在边上，且，点F，N分别在直线上，若，当直线与直线所夹较小角的度数为时，请直接写出的长．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：；
（2）①作于点H，

∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②作于点L，

同理可证四边形是矩形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：①当N、F在边上时，如图，，作于点G，作于点H，则四边形和四边形都是矩形，

同理可证，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴
∵，
∴，
∴．
设，则，
∵，
∴，
∴（负值舍去），
∴．
②当N、F在的延长线上时，如图，
同理可得：，，
∴．
．
【变式1-4】新考法02： 新定义
（2025·山东聊城·三模）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．
(1)在我们学过的下列四边形①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，是“神奇四边形”的是______（填序号）；
(2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连．
①判断四边形是否为“神奇四边形”，并说明理由；
②如图2，点M，N，P，Q分别是，的中点．判断四边形是否是“神奇四边形”，并说明理由．
【详解】（1）解：∵平行四边形的对角线既不互相垂直，也不相等；矩形的对角线相等，但不垂直；菱形的对角线相互垂直，但不相等；正方形的对角线互相垂直且相等，
∴正方形是“神奇四边形”，
故答案为：④；
（2）解：①四边形是“神奇四边形”，
理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是“神奇四边形”．
②四边形是“神奇四边形”，理由如下：
∵点M，N，P，Q分别是，，，的中点，
∴，，，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
由①可得，，
∵，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，且，
∴四边形是“神奇四边形”．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2026·安徽·模拟预测）如图，在正方形中，，分别是边，上的点，，连接，交于点．
(1)求证：；
(2)连接对角线与相交于点，交于点，交于点．
①求证：；
②过点作交的延长线于点，连接交于点，请写出，之间的数量关系，并说明理由．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）①证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
②解：；
理由：如图，作交于点，连接，，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
2．（2025·广东·模拟预测）综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动．
【动手操作】
如图1，将边长为的正方形对折，使点D与点B重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使点D落在边上的点P处，得到折痕，折痕与折痕交于点Q．打开铺平，连接．
【探究提炼】
（1）如图1，点P是上任意一点，请判断线段和的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，连接，当恰好垂直于时，求线段的长度．
【类比迁移】
（3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点M在上，点N在上，且．
①求的度数；
②请问步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由．
【详解】解：（1）．理由如下：连接，如图所示，
由折叠可知，
∴，
设，则，
∴，
∴；
（2）由折叠可知，
在正方形中，，
∴，
∵，
∴，是等腰三角形，
∴，
∵是等腰三角形，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴．
（3）①过点N作，垂足为E，过点N作，垂足为F，如图，
∵，
∴．
∵四边形是菱形，
∴是的平分线．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴；
②过点N作于点K，如图，
设，则， ，
∵，
∴，
∴当a最小时，的面积最小．
∴当时，的面积最小，如图，
∵，
∴．
∴，
∴，
∴，
∴的面积存在最小值，最小值为．
3．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，在平行四边形中，E，F分别是边，上的点，与交于点P．

(1)【特例感知】如图（a），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是
(2)【深入探究】如图（b），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？请证明你的猜想；
关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题．
(3)【类比迁移】如图（c），若四边形是菱形，E为的中点，，请求出的值；
【详解】（1）解：当四边形是正方形，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：猜想．
证明：思路一：如图，在上取一点M，使，则，

∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
思路二：如图，在延长线上取点N，使，则，

根据菱形的性质，，
∴，
又∵，，且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，延长，使，

∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，，
∴，
在和中，，，
∴，
∴．
4．（2025·云南怒江·模拟预测）已知点是正方形对角线上一点，与交于点，，垂足为，直线与交于点．
(1)如图1，当在线段上时，求证：；
(2)如图2，当在线段上时，的延长线交于点，若，求证：
①四边形为菱形；
②；
(3)如图3，若，在点从到的运动过程中，的最小值为 ．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
又，
，
．
在与中，
，
．
；
（2）证明：①当在上时，同理可证．而，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
又，
四边形是菱形．
②四边形是菱形，
是中垂线，
．
又，，
，
，
，
．
（3）解：如图3，取的中点，连接，，则，
四边形是正方形，
，，
，
，为的中点，
，
（当且仅当点在线段上时，等号成立），
，
即的最小值为，
故答案为：．
5．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，正方形中，点分别在上，G是上一点，连接，与交于点O．
(1)当时，
①当点G与点A重合时，如图1，求证：；
②平移图1中线段，使G点与点D重合，F点在延长线上，此时．连接，取中点H，连接，如图2，求证：．
(2)如图3，当时，若，求的长．
【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
②证明：在上截取，连接，如图，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，即点C为的中点，
又∵点H为的中点，
∴，
又，
∴，即．
（2）解：过点D作交于点K，
作，交延长线于点M，如图
则四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，，
由勾股定理可得，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
即，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
即，
整理可得，解得，
∴，
在中，，
∴的长为．
6．（2025·内蒙古·一模）（1）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．
【详解】证明：（1）∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴；
（2）证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
又，
，
点在的延长线上，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，延长到点，使，连接，
四边形是菱形，
，，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
．
7．（2025·北京海淀·模拟预测）如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在边CD，AD，BC上，且于点，连接BH，满足．
(1)求证：；
(2)点为边上一点，若且，用等式表示和的数量关系，并证明．
【详解】（1）证明：延长，，相交于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴在四边形中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴
（2）解：，证明如下：
延长至点K，使得，连接，．
∵，，
∴，
∴，，
∴
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，即，
∵，
∴，
∴，
由（1）有，又，
∴设，，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，即
整理，得，
∴，，
∴，
∵在等腰中，，
∴．
8．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）【问题探究】
（1）如图，已知正方形，点在边上，点在射线上，连接．
①如图1，当点在边上时，过点作交于点，则线段__________；（填“＞”“＜”或“＝”）
②如图2，平移图1中的线段，使点与点重合，点在的延长线上，连接，取的中点，连接，求证：；
【问题解决】
（2）如图3，有一块边长为的正方形农田，为了加强农田的基本建设，实现旱涝保收，水库、、（大小忽略不计）分别在边、、上，、是两条水渠，水渠和相交于点．已知，水渠，求水库到农田边的距离．
【详解】解：（1）①过点C作，交于点F，如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
故答案为：=；
②证明：由平移得，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
如图，在上截取，连接，
则是等腰直角三角形，
∴，
，，
，
∴点为的中点，
点为的中点，
是的中位线，
，
，即．
（2）解：如图，过点作交于点，
∵，即，
∴四边形是平行四边形，
∴，
，，
∴，
，
连接，在上方作，交的延长线于点，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
，
在和中，，，，
，
，
设，则，
在中，，即，
解得：，
水库到农田边的距离为．
9．（2025·四川乐山·二模）在正方形中，边长为3，点、分别是边、上的点，且，连接、．
(1)如图1，与的数量关系是______，位置关系是______；
(2)如图2，若点、分别是、的中点，求证：；
(3)延长至点，连接，若，试求与的函数关系表达式．
【详解】（1）解：设与交于点Q，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
（2）连接并延长交于G，连接
∵，
∴，
∵E为的中点，
∴
∵
∴
∴，，
∵F为的中点，
∴，
∴，
∵正方形的边长为3，，
∴，
∴；
∴，
∵
∴
（3）过点B作于点H，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
题型二：半角模型
【中考母题溯源·学方法】
【典例2】（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
(1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____．
(2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转，得到，
，，，，
四边形是正方形，
，
，
E、B、N三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）解：；理由如下：
将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，
，，，，
E在上，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：．理由如下：
将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，
，，，，
，
，
E、B、N三点共线，
，
，
，
，
．
【变式2-1】（2025·海南·中考真题）图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究．
【知识技能】
（1）如图1，在正方形中，、分别是边、上的点，连接、、、且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上．
①证明，并判断是否成立；
②若，，请计算正方形的周长．
【教学理解】
（2）如图2，在正方形中，、分别是边、上的点，．连接、，、分别是线段、上的点，连接、、，且（点、、、均不与端点重合）．请猜想线段、、的数量关系，并说明理由．
【拓展研究】
（3）如图3，是正方形的对角线，、分别为线段、上的点，且．将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至．连接，取线段的中点，连接、，求的值．
【详解】（1）解：①证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵将绕点B按逆时针方向旋转90°至，
∴，，，，
∴，，
∴点M在的延长线上，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴成立；
②∵，，，
，
∴，
∴，
∴正方形的边长为，
∴正方形的周长为；
（2），理由如下：
将绕点B逆时针旋转得，连接，如图：
由旋转性质可得：，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴；
（3）过C作于H，连接，设交于K，如图：
∵四边形是正方形，，
∴H为中点，是等腰直角三角形，
，
∵E为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵将绕点B按顺时针方向旋转（旋转角小于）至，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
即的值为．
【变式2-2】难点03 旋转构造120°角内含60°角的半角模型
（25-26九年级上·全国·月考）如图在四边形中，点E是直线上一点，将射线绕点A逆时针旋转交直线于点F．

(1)如图①．若四边形为菱形，，则与之间的数量关系是________；
(2)如图②，若四边形为正方形，，连接，当点E在的延长线上时，试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明；
(3)若四边形为正方形，，连接，当时，请直接写出的长．
【详解】（1）解：如图，连接，

∵四边形是菱形，
∴，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：，证明如下：

如图：在上取点，使得，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即．
（3）解：①如图，当点E在线段上时，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，
，
∵四边形为正方形，，
，
又，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理可得，即，解得：，
∴．
②如图，当点E在延长线上时，取的中点G，连接，

∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得，即，
解得∶．
∴．
综上所述，的长为或10．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2024·江苏苏州·模拟预测）问题情境：如图1，在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使DG＝，连接，先证明，再证明，可得出，，之间的数量关系．
实际应用：如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化，四周修有步行小径，且，，在小径，上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，米，米，试在小王同学研究的基础上，求两凉亭之间的距离 ．
【详解】如图，延长至，使，连接，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
米，米，
米．
故答案为：25米．
2．（24-25九年级下·吉林·开学考试）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中以达到解决问题的目的．
【探究发现】如图1，四边形是正方形，点，分别在边和上，且，探究图中线段，，之间的数量关系．
爱动脑筋的小明发现：这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图2，小明将绕点顺时针旋转得到，然后证明，就可以解决这道问题．请直接写出线段，，之间的数量关系__________________
【类比迁移】如图3，等腰直角三角形，，，点，在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由．
【拓展延伸】如图4，在中，，，点，在边上，且，当，时，则的长为____________．
【详解】（1）解：
证明：由旋转可得，，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）猜想：，
证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3，
，，，，
，
，
，即，
，
又，
，
，即，
在和中
，
，
．
（3）证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图4，
，，，，
，，
，
，即，
又，
，
在和中
，
，
过点作，垂足为，
∵，
∴，
∴，
．
∴，
∴
∴
3．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图1，四边形是正方形，，分别在边和上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点顺时针旋转后解决了这个问题．
(1)请根据图2直接写出线段，，之间的关系：______．
(2)如图3，等腰直角三角形，，，点，在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由．
(3)如图4，点在正方形的对角线上，是直角三角形，，斜边交于点，，，求的值．
【详解】（1）解：由旋转可得，，
∴，，，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴点G在直线上，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：；理由如下：
把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3，
由旋转的性质可得，，，，，
∵，，
∴，
∴，即，
由勾股定理可得，，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵四边形是正方形，，
∴，，，
由勾股定理可得，，
∵是直角三角形，，
∴，
把绕点顺时针旋转得到，连接，如图所示：
同理（2）可得：，
设，则有，
∴
解得：，
即．
4．（2025·山东·模拟预测）（1）如图1，四边形是边长为的正方形，，分别在，边上，．为了求出的周长．小南同学的探究方法是：
如图2，延长到，使，连接，先证，再证，得，从而得到的周长 ；
（2）如图3，在四边形中，，，．，分别是线段，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系；
（3）如图4，若在四边形中，，，，分别是线段，上的点，且，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（4）若在四边形中，，，点、分别在、的延长线上，且，请画出图形，并直接写出线段、、之间的数量关系．
【详解】解：（1）如图1，延长到，使，连接，
四边形是正方形，
，，
，
又，，
，
，，
，
，
，
又，，
，
，
，
的周长
，
故答案为：10；
（2）．
证明：如图2所示，延长到点．使．连接，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）成立．
证明：如图3，延长到，使，连接，
，，
，
在与中，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
；
（4），
理由如下：在上截取，使，
，，
，且，，
，
，，
∴，
，
，且，，
，
，
．
5．（24-25九年级上·广东韶关·期中）综合实践
【初步探究】如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．若，将绕点顺时针旋转得到．易证：．

（1）根据以上信息填空：
①________；
②线段，，之间满足的数量关系为________．
【迁移探究】
（2）如图2，在正方形中，若点在的延长线上，点在的延长线，，猜想线段，，之间的数量关系，并证明．
【拓展探索】
（3）如图3，已知正方形的边长为，，分别在，上，，连接分别交，于点，，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长．
【详解】（1）解：①如图（1），延长到点G，使，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）．
证明如下：如图（2），在上截取，连接．
在和中，
，
，
，，
即，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）如图（3），将绕点顺时针旋转得到，连接．
四边形是正方形，
，，，
，
，
由旋转可得，
，，，，
，
，，
．
．
，
．
设，则．
在中，

解得：，
．
6．（2024·江苏扬州·二模）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等．
【问题初探】
（1）如图1，在四边形中，，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系．
①如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论．
【类比分析】
（2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长．
【学以致用】
（3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长．
【详解】（1），理由如下：
∵在四边形中，，，
∴绕点旋转得到，
∴，
∴，，，，，三点共线，
∵，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴；
（2）在上取点，使得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，
∵，，，
∴，，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴．
（3）在上取点，使得，
∵与互补，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴．
7．（25-26九年级上·贵州毕节·月考）【阅读理解】半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题．
【初步探究】如图 1 ，在正方形中，点 E，F 分别在边上，连接．若，将绕点A 顺时针旋转 ．点 D 与点B 重合，得到 易证：．
（1）根据以上信息，填空：① ° ； ②线段之间满足的数量关系为 ；
【迁移探究】（2）如图 2 ，在正方形 中，若点 E 在射线上，点 F 在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论；
【拓展探索】（3）如图 3 ，已知正方形的边长为，连接分别交于点 M 、N ，若点 M 恰好为线段的三等分点，且，求线段的长．
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，
∴．
将绕点A旋转，点D与点B重合，得到，
则，
∴点G，B，E共线．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：45；；
（2），理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴；
（3）将绕点A顺时针旋转得到，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴．
由旋转，得，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
设，则．
在中，，
∴，
解得，
∴．
8．（24-25九年级上·广东惠州·期中）综合探究
【问题背景】在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用方法．如图①，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，连接，探究线段，，之间的数量关系．
【探究发现】
（1）小明同学的方法是将绕点逆时针旋转至的位置，使得与重合，然后证明，从而得出、、之间的数量关系：____________；
【拓展延伸】
（2）如图②，在正方形中，点，分别在边，上，且，连接，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
【尝试应用】
（3）在（2）的条件下，若，，求正方形的边长．
【详解】解：（1）如图①，将绕点逆时针旋转至的位置，使得与重合，
∴，
∵，
∴，
∴点在一条直线上，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
（2）（1）中的结论仍然成立,证明如下：
∵四边形是正方形，
∴，
如图②，将绕点顺时针旋转至的位置，使得与重合，
∴，
∴，
∴点在一条直线上，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，，
∴．
（3）设正方形的边长为，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，，
由（2）已证：，
∴，
在中，，即，
解得或（不符合题意，舍去），
所以正方形的边长为6．
9．（2025·贵州贵阳·模拟预测）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等．
【问题初探】
（1）如图1，在四边形中，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段之间的数量关系．
如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论．
【类比分析】
（2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长．
【学以致用】
（3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当时，求出的周长．
【详解】解：（1），理由如下：
∵将绕点D逆时针旋转得到，
∴，
∴三点共线，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）如图
在上取一点G，使得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴．
（3）在上截取，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴的周长．
10．（25-26九年级上·贵州黔西南·期中）【阅读理解】半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题．
【初步探究】如图 1 ，在正方形中，点 E，F 分别在边上，连接．若，将绕点A 顺时针旋转 ．点 D 与点B 重合，得到 易证：．
（1）根据以上信息，线段之间满足的数量关系为 ；
【迁移探究】（2）如图 2 ，在正方形 中，若点 E 在射线上，点 F 在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论；(提示：可将逆时针旋转）
【拓展探索】（3）如图 3 ，已知正方形的边长为，连接分别交于点 M 、N ，若点 M 恰好为线段的三等分点，且，求线段的长．
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，
∴．
将绕点A旋转，点D与点B重合，得到，
则，
∴点G，B，E共线．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：；
（2），理由如下：
如图，将绕点旋转得到，
∴，，，
∴点在线段上，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴；
（3）将绕点A顺时针旋转得到，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴．
由旋转，得，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
设，则．
在中，，
∴，
解得，
∴．
11．（2024·广东广州·二模）如图1是初中平面几何中非常经典的“半角模型”，即在正方形中，E，F分别是，上的点，，， 分别交对角线于P，Q两点．
我们很容易得到下面三个结论：
结论1：
结论2：
结论3：A，B，E，Q四个点在同一个圆上，A，P，F，D四个点在同一个圆上（本题若用到以上三个结论，可不用证明）
有题目如下：
(1)如图1，条件不变．求证：
①；
②．
(2)如图2，在矩形中，E，F分别是，上的点，，且．请写出，，三者之间满足的数量关系，并加以证明．
【详解】（1）证明：①连接，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，
∵A，B，E，Q四个点在同一个圆上，
∵，
∴为直径，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵A，P，F，D四个点在同一个圆上，，
∴为直径，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②延长，过点A作，交的延长线于点G，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：方法一：
．理由如下：
延长，交于点M，延长，交于点K，过点B作，取，连接，过点G作于点H，延长，过点G作于点N，如图所示：
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
在中，根据勾股定理得：
，
∴
，
即．
方法二：
过点E作与点H，过点F作与点I，相交于点G，连接，
∵四边形为矩形，，，
∴四边形、、为矩形，
∴，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴点E、B、F三点共圆，且点G为圆心，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，等腰直角是三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
12．（25-26九年级上·海南海口·期末）如图，正方形中，点E、点F分别是、上的两个动点，连接、，且，连接并延长，交的延长线于点G．
(1)若，
①求证：；
②求证：；
(2)如图2，移动点E，若，求证：；（思路提示：此图为半角模型，可将绕点A逆时针旋转或将绕点A顺时针旋转，请在图2上作旋转后的图形，并加以证明）
(3)如图3在（2）的条件下，作，垂足为点Q，交于点N，连结，求证：．
【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴；
②证明：∵，
∴，，
∵，，
∴
，
∴．
∵，
∴．
∴
，
又∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，．
∵，
∴．
在中，
，
∴，
∴；
（2）证明：如图，把绕点A逆时针旋转得到，则与重合，点的对应点为点，
，
，，，
三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）证明：如图，连接，
由（2）得，
，
垂直平分，
，
，
，
四点在以为直径的同一个圆上，
．
13．（24-25九年级上·江苏南京·月考）【模型回顾】在八年级，我们学习了全等三角形的经典模型—“半角模型”：如图1，在正方形中，E、F在边上，，连接．请你写出线段、、的数量关系：_______；
【探索发现】如图2，小明连接对角线，与、交于点M、N，图中与相似的三角形共有___________个，请你选择其中一组证明；
【深入研究】正方形边长为1，设的长为x，的长为，求与的函数关系式．
【详解】解：（1）；
理由：延长到点G，使，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）与相似的三角形有．
理由：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
将绕点A顺时针旋转得到，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与相似的三角形有，
故答案为：5；
（3）由（1）知，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
作于O，过A作于P，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴,
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
14．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）【探究】如图1，正方形中，E，F分别在边上，且．我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图1，延长至点，使，连接．求证：
（1）；
（2）若，求正方形的边长；
（3）连接分别交于点M，N，请直接写出的数量关系．
【拓展】（4）如图2，在四边形中，，，以为顶点的与边分别交于E、F两点且，求五边形的周长．
【详解】（1）证明：延长至点，使，连接，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知：，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设正方形的边长为，则：，
在中，由勾股定理，得，
解得或（舍去）；
故正方形的边长为6；
（3）解：将绕点逆时针旋转90度得到，连接，
∵正方形，
∴，
∵旋转，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（4）解：将绕点顺时针旋转，使点与点重合，得到，
，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
∴五边形的周长
，
∴五边形的周长．
15．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）问题背景：
在一次数学活动课上，老师让同学们根据所学的知识去了解“半角模型”，并探究“半角模型”的相关结论．
(1)初步探究：如图①，小明将一张正方形纸片折叠，使得，恰好都落在对角线上，展开正方形纸片后得到折痕，，求的度数；
(2)深入探究：如图②，小华在图①的基础上，将绕点逆时针旋转一定的角度，使的两边分别交，于点，，连接，请你帮助小华判断线段，和之间存在怎样的数量关系，并证明；
(3)拓展延伸：如图③，在正方形中，是上的一点，是延长线上一点，且，连接，过点作，垂足为点，交边于点．若，，求的面积．
【详解】（1）解：四边形是正方形，
，
由折叠的性质，得，，
，
即：；
（2）解：，
证明如下：如下图所示，把绕点顺时针旋转得到，
点的对应点为点，
，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）解：如下图所示：连接，，，
四边形是正方形，
，，，
在和中，
，
，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
垂直平分，
，
设，则，，
，
在中，根据勾股定理可得：，
即：，解得，
，，
．
16．（2025九年级下·甘肃·专题练习）【模型建立】如图1，四边形是正方形，点M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接．
（1）试判断之间的数量关系，并写出证明过程；
【模型应用】
（2）如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，请写出之间的数量关系，并写出证明过程；
【模型迁移】
（3）如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，请直接写出线段之间的数量关系．
【详解】（1）解：．证明如下：
由旋转的性质，得，，，，
∴，
∴点E，B，C共线．
∵，
∴．
在和中
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：，证明如下：
如图1，在上取，连接．
∵，，
∴，
∴，．
∴，
∵，
∴．
在和中
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：如图2，将绕点A逆时针旋转得，
∴，，，
∵，
∴，
∴点E，D，C共线．
，，
，
，，
，
∴，
∵，
∴．
17．（2025·福建·模拟预测）我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，达到解一题知一类的目的下面是一个案例，请你补充完整．
原题：如图，点分别在正方形的边上，，连接则，请说明理由．
思路梳理
（1），
把绕点逆时针旋转至，可使与重合．
，
，
即点在一条直线上．
根据______，易证______，得．
类比引申
（2）如图，四边形中，，点分别在边上，若都不是直角，则当与满足等量关系______时，仍有．
联想拓展
（3）如图，在中，，点均在边上，且．
①试猜想线段之间的数量关系，请证明你的猜想；
②直接写出的面积．
【详解】解：（1）如图，
，，
把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图，
，
，点，、共线，
则，，
，
即，
在和中，
，
≌，
；
故答案为：，；
（2）当时，，理由如下：
如图，
，，
把绕点逆时针旋转至，可使与重合，
，，
，，
，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
，
，
即；
故答案为：；
（3）①，理由如下：
把旋转到的位置，连接，，如图，则，，
，，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
是直角三角形，
，
②，，，
，
，
∵，
的边上的高为，
．
18．（2025·山东济宁·三模）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等．
【问题初探】
（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系．
如图1，从条件出发：将绕着点D逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论．
【类比分析】
（2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长．
【学以致用】
（3）如图3，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长．
【详解】解：（1），理由如下：
∵在四边形中，，，
∴绕点旋转得到，
∴，
∴，，，，
∵，
∴点，，三点共线，
∵，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴；
（2）在上取点，使得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，
∵，，，
∴，，，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴；
（3）在上取点，使得，
∵与互补，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴．
19．（2025·广东深圳·三模）【综合与实践】
【问题背景】阅读以下材料，并按要求解决问题：
【方法转化】如果把背景中的正方形换成特殊顶角的等腰三角形，同学们可以利用上述问题背景得到多个结论．
【问题解决】在半角模型中可以利用旋转的方法解决问题．
（1）如图3，在等腰中，以为顶点的，、与边分别交于、E两点，将绕点逆时针旋转，如图4，得到，易证，则可以得到之间的数量关系．
①若，则可得___________
②若，，，则a，b，c之间的数量关系是：___________
（2）如图5，在等边中，以为顶点的，、与边分别交于、两点．若，则之间的数量关系是：___________
（3）如图6，在等腰中，顶角，以为顶点的，与边分别交于、两点，则可以得到之间的数量关系．
①若，则可得___________
②若，，，则a，b，c之间的数量关系是：___________
【实践应用】
（4）在第（3）问第①小问基础上，把绕点逆时针旋转得，如图7，如果线段与边交于点G，则线段___________
【详解】（1）①∵将绕点逆时针旋转，得到，等腰，
∴，,,
∴
∴
∵
∴
故答案为：5；
②同①可知，
故答案为：；
（2）将绕点逆时针旋，如图，得到，连接，作交延长线于G，
∴，，
∵
∴
∴，
∵，
∴，，
由勾股定理可得
∴
整理得
故答案为：；

（3）①将绕点逆时针旋转，如图，得到，连接，作交于G，
∴，，
∵
∴
∴，
∵，
∴，，
∴
由勾股定理可得
∴
故答案为：；
②同①可得，，，，
∵
∴
整理得
故答案为：；
（4）如图，作交于M，交于N，交于H，
由（3）可知，，
由题意可知，
∴，，
∴，
解得
题型三：对角互补模型
【中考母题溯源·学方法】
【典例3】（2025·四川资阳·中考真题）在四边形中，是边上的一点，是对角线的中点．
(1)如图1，四边形是正方形，连接，作交于点，求证：；
(2)如图2，四边形是平行四边形，，连接，作交于点，连接，求的值；
(3)如图3，四边形是菱形，，连接交于点是边上的一点，，若，求的长．
【详解】（1）证明：连接，
∵是正方形，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点A作于点G，过点F作于点，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
设，则，
∴，
同理可得，即，
解得，
∴，
又∵O是的中点，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点D作于点P，作于点Q，设，
∵是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在射线上截取，在射线上截取，
∵是菱形，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
同理：，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
解得，
又∵，
∴，，
∴，
∴，即，
解得：，
又∵O是的中点，
∴，
∴．
【变式3-1】新考法01：综合与实践
（2025·湖南株洲·三模）【问题背景】在学习了三角形的相关知识后，某中学数学兴趣小组的几个同学对等腰直角三角形进行了探究．如图，在中，，，点、分别在边、上（不同时在点），连接．
(1)【初步感知】如图1，当点、分别与点、重合时，将线段绕点顺时针方向旋转，得到线段，连接．试判断四边形是正方形．
(2)【问题探究】如图2，当点D、E不与点B、C重合时，将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，连接．则与的位置关系是怎样的？请说明理由．
(3)【拓展延伸】如图3，当点不与点重合，且为的中点时，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，点是点关于直线的对称点，若点在一条直线上，求的值．
【详解】（1）解：由旋转的性质可得，，，
在中，，，点、分别与点、重合，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是正方形；
（2）解：，理由如下：
如图2，过点作交延长线于点，
在中，，，
，
，
，
，
，
由旋转的性质可知，，，
，即，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，连接、，过点作交、于点、，
由（2）可知，，
点在一条直线上，
，
，，
为的中点，
，
，
，
点是点关于直线的对称点，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
由旋转的性质可知，，，
，
，
，
，
，，
四边形是矩形，是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
【中考模拟闯关·练提分】
1．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，解决相应问题，通常会涉及到旋转构造、全等三角形的证明等综合性较高的几何知识．如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考察．

(1)【问题解决】如图①，，平分，小明同学从P点分别向，作垂线，，由此得到正方形，与全等的三角形是________；
(2)【问题探究】如图②，若，，平分，，，求的长；
(3)【拓展延伸】如图③，点P是正方形外一点，，，对角线，交于点O，连接，且，求正方形的面积．
【详解】（1）解：，，且平分，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
在和中，
，
；
故答案为：．
（2）如图，过点P作于M，于N，如图：
平分，
．
，
．
．
在四边形中，，
且，，
．
，
．
又
．
．
，，设，则，．
，
解得，．
．
在中，，，
．
（3）如图，延长到，使，连接．如图：

在四边形中，，且．
四边形是正方形，
，．
．
又，
．
．
，．
，
．
是等腰直角三角形．
由勾股定理，．
在中，，设，由勾股定理，，
．
．
．
．
．
2．（2025·四川成都·模拟预测）综合与实践：
【特例】
（1）如图1，正方形中，E为边上一点，连接，过点E作交边于点F，连接，将沿直线折叠后，点A落在点处，当点恰好落在上时，求证：；
【探究】
（2）如图2，当四边形为矩形时，，其他条件不变，试判断与之间的数量关系，并证明；
【拓展】
（3）如图3，当四边形为菱形时，，，其他条件不变，当时，求的长．

【详解】解：（1）∵四边形是正方形，
∴，
由翻折性质可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
由翻折性质可知，，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2），理由如下：
由（1）可知，，，
∵，
∴；
（3）如图3，过E作，交延长线于H，作的平分线，交于G，

∴，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
由勾股定理可得：，
∴，
解得：，
即的长为．
3．（25-26九年级上·江西南昌·月考）背景：“对角互补”是经典的四边形模型，常通过旋转构造全等三角形解决问题；若问题中出现特殊角度（如，，），则会结合等腰直角三角形或等边三角形等特殊的三角形的知识考查学生的学习情况．
(1)如图1，，平分，过点P作，，得正方形．若，，则______；
(2)如图2，，，平分，过点P作，，连接．
①是______三角形；
②若，，求的长．
【详解】（1）解：四边形是正方形，
，，
又，
，
，
，
，
，，
，
，
．
（2）①如图，过点P作于点E，于点F，连接，
平分，
，
，
，
是等边三角形；
②设，
，
，
，
，，
，
，
，，，
，解得，
，
，
由勾股定理得．
4．（2025·山东德州·中考真题）已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线．
(1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F．
①如图1，当点P与点O重合时，求证：；
②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；
(2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）．
【详解】（1）①证明：过点P作、，如图所示：
则
四边形是正方形
四边形是矩形
在中，
四边形是正方形
，
；
②过点P作、，如图所示：
由①可知四边形是正方形
、
故 为定值，该定值为；
（2）解：过点P作、，连接，如图所示：
四边形是正方形
射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F
、
同理可得
是等腰直角三角形
在中，
由勾股定理得
．
答：四边形的面积为．
题型一：十字架模型
难点01：一条线段不经过正方形顶点
难点02：两条线段不经过正方形顶点
新考法01：综合与实践
新考法02：新定义
题型二：半角模型
难点03 旋转构造120°角内含60°角的半角模型
题型三：对角互补模型
新考法03：综合与实践
在正方形中存在两条线段相交且垂直，因其形似“十字架”，所以我们称其为“十字架”模型
线段不过正方形顶点时的辅助线作法
1.作垂直，构造全等三角形
2.作平行,构造全等三角形
数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，已知，求证：．
甲小组同学的证明思路如下：
由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得．
乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下：
由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得．
思路一
思路二
如图，在边上取一点M使……
如图，在的延长线上取一点N，使，……


从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，与正方形两个边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可以利用旋转得出多个几何结论，例如：
如图1，在正方形中，以为顶点的与边分别交于两点，若（为常数）．易证：，则可以得到，之间的数量关系是：．
证明：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得三点共线，，可证明，故，进而得到．