专题13 平行四边形中面积问题及中位线定理（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测（原卷版+解析版）

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题型一：平行四边形中面积问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例1】（2025·四川德阳·中考真题）六方钢也称六角棒，是钢材的一种，其截面为正六边形．六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛应用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、桥梁柱、输电塔等．在学校开展的综合实践活动中，兴趣小组对六方钢截面图（如图所示）的性质进行研究，测得边长，那么图中四边形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：六边形是正六边形，
，
，
，
，
同理可求：，
在中，
，
同理可求：，
四边形是菱形，
四边形的面积是：
；
故选：A．
【变式1-1】热点01：面积关系
（2025·四川雅安·二模）如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线，的垂线段，，则等于 ．
【答案】6
【详解】解：菱形的周长为20，面积为，
，，
∴，
分别作点到直线、的垂线段、，
，
，
．
故答案为：6．
【变式1-2】热点02：面积平分问题
（2025·福建莆田·模拟预测）在平面直角坐标系中，有反比例函数与的图象和正方形，原点与对角线、的交点重叠，且如图所示的阴影部分面积为，则 ．
【答案】
【详解】解：由图知有反比例函数与的图象和正方形，且正方形对角线的交点为点，
根据图形的中心对称性可知图中轴两侧的图形的面积是相等的，
正方形的面积阴影部分的面积，
．
故答案为：．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·陕西·中考真题）如图，在矩形中，，延长至点，延长至点，连接，．若四边形为菱形，则这个菱形的面积为（ ）
A．9B．C．D．
【答案】C
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，，
设，则在中，
∴
∵，
即，
∴，
即．
∴，
∴菱形的面积为，
故选：C
2．（2025·浙江丽水·二模）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是上的动点，且．若菱形的面积等于24，，记，则下列代数式的值不变的是（ ）
A．B．C．xyD．
【答案】B
【详解】解：如图，连接，交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵菱形的面积为24，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
同理可证，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
故选：B．
3．（2025·重庆·中考真题）如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：如图，连接，
，四边形是正方形，
，，
点E是边的中点，
,
将沿直线翻折得，
，,
，
，
，
，
设，则，
根据勾股定理可得,
即，
解得，
，
和的平分线相交于点H，
点到的距离相等，
，
故选：A．
4．（2025·湖南长沙·一模）如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第个正方形的面积为 ．
【答案】
【详解】解：，
，
，
，
通过上述分析，可以总结出第个正方形的边长为，
第个正方形的边长为，
个正方形的面积为，
故答案为：．
5．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在菱形中，，E，F，G分别为，，上的点，连接，．若，则菱形面积的最大值为 ．
【答案】180
【详解】解：在上截取，连接，过F作于N，过A作于H，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴△DEM≌△DEG（SAS），
∴EM=EG，
∵，
∴，
∴，
∵菱形的面积，
∴，
∴．
∵，
∴令，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积，
∵，
∴菱形的面积的最大值．
故答案为：180．
6．（2025·陕西西安·一模）如图，在菱形中，，连接，点分别是上的点，且垂直平分，若，则菱形的面积等于 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接交于点O，
∵四边形是菱形，，
∴，，，，，
∴是等边三角形，
∴，，
又∵垂直平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
7．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，是矩形的对角线，点为边上的点，连接、，交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
，，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
8．（2025·四川成都·一模）手机拍照构图，让照片从“随手拍”升级为“摄影作品”最直接、有效的方法，就是利用手机自带的“网格线”功能，将画面中的重要元素放置在黄金分割点上．在拍照前开启手机相机的网格功能，相机取景框会显示出两条水平线和两条垂直线，将画面分成九个部分，这四条线的四个交叉点，就是大家所说的“黄金分割点”或“兴趣点”（黄金比为）．如图，点E、F、G、H为矩形取景框内的四个交叉点，将拍摄物主体的核心部分放在E、F、G、H任意一个交叉点上，这样可以使拍摄物成为画面的视觉焦点，若矩形取景框的画面约为，则矩形的面积为 ．
【答案】
【详解】解：设，，
则，
∵，
∴，如图，
由题意可知，四边形和四边形都是矩形，
∴，，
∵点E、点F都是的黄金分割点，
∴，
∴，
同理，
∴
故答案为∶ ．
9．（2025·四川成都·中考真题）如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【详解】解：连接，交于点，则：，
∵四边形为平行四边形，，
∴四边形为菱形，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积；
故答案为：．
10．（2025·海南·中考真题）如图，在菱形中，对角线、相交于点．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点．若，，则 ．
【答案】
【详解】如图，作交于I，
∵菱形，
∴，即，
由作图可知平分，
∴，
∴，
故答案为：．
11．（2025·广东深圳·一模）如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交边，于点，，垂足为．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)在的延长线上取一点，使，连接．若为的中点，且，，求的面积．
【详解】（1）证明：垂直平分，
，，
四边形是平行四边形
，
，
在与中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形为菱形；
（2）解：，
，
，
四边形为菱形，
为的中点，
∵为线段的中点，
是三角形的中位线．
，
，
，，
，，
如图，作，垂足为，则，
，
则．
12．（2025·云南临沧·一模）如图，在平行四边形中，延长至点，使得，连接，，与交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若平分，，，求四边形的面积
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，即，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
是等边三角形，
，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
，，
，，
平行四边形是矩形，
，
，
．
13．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点．
(1)求证：是菱形；
(2)若，求的面积．
【详解】（1）证明：∵为对角线上的中点，且，
∴垂直平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴是菱形；
（2）解：如图：
∵，
∴，
设
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
14．（2025·甘肃临夏·二模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点．
(1)点D的坐标为________；
(2)不等式的解集是________；
(3)已知轴，以为边作菱形，求菱形的面积．
【详解】（1）解：将代入得，
∴，
∴，
∵点与关于原点对称，
∴；
故答案为：；
（2）解：将代入得，
即反比例函数解析式为：，
由图象知，当或时，，
故答案为：或；
（3）解：作于，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴菱形的面积为．
15．（2025·河南南阳·三模）小强借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点为顶点，分别作菱形和菱形，点，在轴上，，，以点为圆心，长为半径作，连接．
(1)求的值；
(2)求的长；
(3)请直接写出图中阴影部分面积之和．
【详解】（1）解：如下图所示，连接交于，
四边形是菱形，
，，
，
，
点的坐标是，
将代入到中，
得：，
解得：；
（2）解：，
半径为；
，
，
，
由菱形的性质可知，，
，
的长；
（3）解：如下图所示，
，
，
，
在菱形中，，
，
，
．
16．（2025·山东泰安·二模）综合与实践
在学习了角平分线的性质与判定以后，数学兴趣小组继续进行了以下探究：
【动手实践】
用两段铁丝分别折成一个锐角、一个钝角，，在锐角的两边分别截取，在平面内与相对放置，并且的两边刚好经过点C、点D，连接（如图1），兴趣小组通过测量发现．
【提出猜想】
兴趣小组提出猜想：
有一组邻边相等、对角互补的四边形中，经过两条相等邻边的公共顶点的一条对角线，必平分四边形的一个内角．
【验证猜想】
兴趣小组通过观察、探究，提出以下两种证明思路．
思路一：如图2，过点A作垂线交的延长线于点E，过点A作的垂线，垂足为F，证明平分．
思路二：如图3，延长到点E，使得，连接．证明平分．
请从两种思路选择一种给出完整证明，帮助兴趣小组验证猜想．
【拓展应用】
在平面内，兴趣小组用一根长铁丝围成一个四边形（如图4），，．
（1）请直接写出________度；
（2）经测量，求四边形的面积．
【详解】[验证猜想]思路一证明：
如图，过点作垂线交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，
证明：由题意得
∵在四边形中，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在平分线上，
∴平分；
思路二证明：如图，延长到点，使得，连接，
∵在四边形中，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴ ，，
∴ ，
∴，
∴ 平分；
[拓展应用]（）∵，，
∴由猜想可知：平分，
∴，
故答案为：；
（）解：如图：过点作垂线，垂足为．过点作的垂线交的延长线于点，
∵在四边形中，，，
由猜想可知：平分，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴ 四边形是正方形，
∴
设，则由勾股定理得，，
解得：，
∴．
17．（2025·江苏盐城·中考真题）请根据小明的数学探究活动单，完成下列任务．
【详解】解：概念理解：
，
；
探究性质：①根据概念理解可得，
，
，
故点、对应的“变换”点、如下图，
②线段经过一次平移或轴对称，不能得到，
线段可由线段通过旋转变换得到，
旋转中心如图所示，
，，
旋转中心为点，
，
为等腰三角形，
，
线段可由线段以点为中心，逆时针旋转得到，
；
运用性质：设曲线上任意一点为，点的“变换”点，
，
，
在反比例函数图象上，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
当时，解得或，
， ，
，
四边形是菱形，
，
，，
，，
的面积，
的面积，
设点到的距离为，
，
，
解得，
的面积
的面积的面积，
的面积的面积，的面积的面积，
．
18．（2025·山东日照·三模）“综合与实践”课上，同学们通过剪拼图形，用数学的眼光看问题，感受图形的变换美！
【特例感知】
（1）如图1，纸片为矩形，且厘米，厘米，点E，F分别为边，的中点，沿将纸片剪成两部分，将纸片沿纸片的对角线方向向上平移．
①当纸片平移至点与的中点O重合时，两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是______；
②当两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是时，则平移距离为______；
【类比探究】
（2）如图2，当纸片为菱形，，时，将纸片沿其对角线剪开，将纸片沿方向向上平移．当两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为时，求平移距离（用含a的式子表示）；
【拓展延伸】
（3）如图3，在直角三角形纸片中，，厘米，厘米，取，中点D，E，将沿剪开，得到四边形和，将绕点D顺时针旋转得到．在旋转一周的过程中，求面积的最大值．
【详解】解：（1）①为矩形，
厘米，，，
点，分别为边，的中点，
厘米，厘米，
，
，，
四边形是矩形，
又厘米，
矩形是正方形，
，，厘米，
由平移的性质得，，，
，
，
又，
四边形是矩形，
点与的中点重合，
厘米，
，，
和都是等腰直角三角形，厘米，厘米，
平方厘米，
平方厘米，
的面积与原矩形纸片的面积之比是．
故答案为：．
②由①中的结论得，四边形是矩形，和都是等腰直角三角形，
设厘米，则厘米，
厘米，厘米，
，
的面积与原矩形纸片的面积之比是，平方厘米，
，
解得：，，
平移距离为或．
故答案为：或．
（2）纸片为菱形，，
，和为等边三角形，
纸片沿方向向上平移，
，
，
两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为，
，
，
．
（3）如图，过点作于点，
，厘米，厘米，
厘米，
点，是，的中点，
厘米，厘米，厘米，
由旋转的性质得，厘米，厘米，
，
当上的高线最大时，则面积最大，
，
当点和点重合时，且旋转到外侧时，此时最大，
作出示意图如下：
，
此时、、三点共线，
即厘米，
平方厘米，
即面积的最大值为144平方厘米．
题型二：中位线定理
【中考母题溯源·学方法】
【典例2】（2025·四川广元·中考真题）如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，点P是的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】C
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，即为中点，
∵是的中点，
∴是中位线，
∴，
∵，点P是的中点，
∴，即，
故选：．
【变式2-1】难点01 利用中位线求最值
（2025·海南·中考真题）如图，点是内一动点，且，，．
（1）面积的最大值为 ；
（2）连接，分别取、的中点、，连接．若，则线段长度的最小值为 ．
【答案】 4
【详解】（1）解：∵点E是内一动点，且，
∴点E的运动轨迹为以为直径的半圆，
取的中点O，连接，当时，此时与的距离最大，
即此时面积取得最大值，如图，
∵
∴，
∴面积的最大值．
故答案为：4；
（2）连接，如图，
∵、的中点为M、N，
∴，
∴取得最小值时，长度最小．
由（1）可知，点E的运动轨迹为以为直径的半圆，设的中点为O，连接，
∴当、、三点共线时，此时最小，如图，
由（1）可知，，
过点O作，交的延长线于点F，如图，
∵四边形为平行四边形，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴线段长度的最小值．
故答案为：．
【变式2-2】难点02 构造双中位线
（2025·宁夏·中考真题）如图，在和中，，，．连接，点是的中点，连接．
(1)如图1，当点在上时，求证：是等边三角形；
(2)将图1中的绕点顺时针旋转．
①当旋转角为时，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
②当最长时，与的交点记作．若，则_________．
【详解】（1）证明：在中，
，
在中，
，
点是的中点，
在中，，在中，，
，，
，
是等边三角形；
（2）①（1）中的结论还成立，理由如下：
如图，延长交于点，分别延长相交于点，
由旋转角为可得，
，
又，
，
，
，
是的中位线，
，
，
同理可得，
，
，
是的中位线，
，
，
是等边三角形；
②如图，点E在以点A为圆心，3为半径的圆上，
，
延长至点G，使，延长至点P．使，连接、、、，
，，
，
，，
，
同理，
，，，
，
，
，，
，F为中点，
∴，，
，
同理，，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
最大时，即取得最大值时，
当三点共线时，取得最大值，此时最大，
即绕点A顺时针旋转240度时，最大，
延长交于点，分别延长相交于点，
由①得是的中位线，是的中位线，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：3
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2026·四川巴中·模拟预测）如图，在中，，．对角线、交于点O，E是内一点，且，，则的长为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【详解】解：如图所示，取的中点，连接，
∵四边形是平行四边形
∴
∴
又∵
∴在上，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴．
故选：B．
2．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，点、、分别是边、、的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：点、、分别是边、、的中点
∴为的中位线，
∴，
∴，四边形是平行四边形，
∴，
故A、B、D正确，不符合题意；
∵，是边的中点，
∴，
故C错误，符合题意，
故选：C．
3．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，四边形各边中点分别是，两条对角线与互相垂直，则四边形一定是（ ）
A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形
【答案】A
【详解】解：设交于点Q，交于点P，
∵分别是的中点，
∴，且，且，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
故选：A．
4．（2026·重庆大渡口·一模）如图，正方形的边长是3，点是边上一点，，是边上一点，，连接，，点是的中点，连接，于点，则的长为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【详解】解：连接，，
∵正方形的边长是3，
∴，，
∵，
∴，
∴，，，
∵点是的中点，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
5．（2025·辽宁·中考真题）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：在菱形中，对角线与相交于点，
，，
，
，
如图，取中点H，连接，
点为的中点，点H为的中点，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
6．（2026·四川成都·一模）如图，给定任意四边形．进行以下操作：第一次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第二次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第三次操作：连接四边形各边中点，得到四边形．现向四边形内部随机投掷一枚飞镖（忽略边界情况），则飞镖命中阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率为 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接，
∵是的中位线，
∴，，
∴，
同理，
∴，
同理，
∴，
∴，
同理，，
∴飞镖命中阴影区域的概率为．
故答案为：．
7．（2025·贵州·中考真题）如图，在矩形中，点E，F，M分别在，，边上，分别交对角线、线段于点G，H，且是的中点．若，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接，交于，过作于，
∵，，
∴，
∵矩形，
∴，，
∴，，
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，而，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
8．（2025·北京·中考真题）如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，，求和的长．
【详解】（1）证明：∵D，E分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵，
∴；
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴；
∵点D为的中点，
∴；
如图所示，过点A作于H，
在中，，
∴，
在中，由勾股定理得．
9．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明：
(1)；
(2)．
【详解】（1）证明：∵点分别是边的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接，，
∵点分别是边的中点，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵，为中点，
∴，
∴，
∵
∴，
∴．
10．（2026·云南·模拟预测）如图，已知，，，分别是矩形的边，，，的中点，连接，，，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
【详解】（1）证明：连接，，如下图所示：
在中，∵，，
∴点是的中点，点是的中点，
∴是的中位线，
∴．
同理，, ,
又∵在矩形中，，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：连接，，如下图所示：
∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵为矩形对边中点的连线，
∴，
又∵，且，
∴四边形为矩形，
∴，
同理可得，
∴菱形的面积为．
11．（2025·江苏徐州·中考真题）如图1，将绕直角顶点O旋转至，点A，B的对应点分别为C，D．连接，直线与交于点E．
(1)与的面积存在怎样的数量关系？请说明理由；
(2)如图2，连接，若的中点分别为P，Q，R．求证：P，Q，R三点共线；
(3)已知，随着及旋转角的变化，若存在以A，B，C，D为顶点的四边形，其面积为S，则S的最大值为_______．
【详解】（1）解：，理由如下：
由旋转的性质可得
过作于过点C作的延长线于，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
（2）证明：延长至， 使得， 连接，
为中点
为的中位线
由旋转的性质可得，
，，
，
，
四点共圆，
，
，
连接，
在中，点是的中点，
，
同理可得，
在中，点是的中点，
，
同理可得，
，
四边形是菱形，
，
即，
四边形是平行四边形，
，
又，
P，Q，R三点共线；
（3）解：过点C作延长线于，
由旋转的性质可得，
由（1）得，由旋转的性质可得，
，
，
，
，
，
，
，
中，，
，
则S的最大值为25．
故答案为：25．
题型一：平行四边形中面积问题
热点01：面积关系
热点02：面积平分问题
题型二：中位线定理
难点01：利用中位线求最值
难点02：构造双中位线
1.面积关系
2.面积平分问题
“变换”
研究内容
提出概念
已知点．如果点满足，那么称点是点的“变换”点．
理解概念
已知点，，求点的“变换”点．
探究性质
如图（1），已知点和点，当时，
①请在图（1）中分别画出点、对应的“变换”点、；
②研究发现：线段可由线段通过一次图形变换得到，点是点的对应点．如果是平移，请写出平移的距离；如果是轴对称或旋转，请用无刻度的直尺和圆规在图（1）中作出对称轴或旋转中心（不写作法，保留作图痕迹）
运用性质
如图（2），在平面直角坐标系中，菱形的顶点、、的坐标分别为，，，曲线是反比例函数（）图像的“变换”线，，交边于点、，直线、分别交边于点、，记、、、的面积分别为、、、，求的值．