专题05 倍半角模型（4大模型清单+模型大招）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测（原卷版+解析版）

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模型一：角含半角模型
【典例1】（2025·安徽池州·三模）如图，菱形ABCD中，∠B=60°,E是BC边上一点，F是CD边上一点，∠EAF=60°，连接EF交AC于点G．
（1）若∠CEF=α，则∠EAC=______（用α表示）；
（2）若AB=4，则EG⋅GF的最大值是______．
【变式】（江苏泰州）问题背景 如图1，在四边形ABCD中．AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．
由“∠EAF=60°，∠BAD=120°”的数据信息，解决问题的方法是：延长FD到G，使得DG=BE，连接AG，则可以先证△ABE≌△ADG，再证________≌________，从而得到BE，EF，FD之间的数量关系是：________；
验证猜想 写出上述推理的详细过程；
探索延伸 如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=12∠BAD，上述结论是否成立，并说明理由．
【典例2】（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD，BC上，且∠MAN=45°，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
(1)【初步尝试】如图1，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，连接MN．用等式写出线段DM，BN，MN的数量关系_____．
(2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形ABCD的边CD，BC的延长线上，∠MAN=45°，连接MN，用等式写出线段MN，DM，BN的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B+∠D=180°，点N，M分别在边BC，CD上，∠MAN=60°，用等式写出线段BN，DM，MN的数量关系，并说明理由．
【变式】（江西新余）【经典再现】
（1）如图1，D为等边△ABC外一点，BD=CD，∠BDC=120°，BD=2cm，连接AD．则：
①线段AD和线段BC的位置关系是______（直接写出结果）．
②AD=______cm．
【深入探究】
（2）如图2，D为等边△ABC外一点，BD=CD，∠BDC=120°，点M和点N分别为等边△ABC的边AB和AC上任意一点，∠MDN=60°，试探究线段BM，CN和MN的数量关系，并加以证明．
【拓展应用】
（3）①把（2）中的条件“点M和点N为等边△ABC的边AB和AC上任意一点”改为“点M和点N为直线AB和直线AC上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段BM，CN和MN的数量关系．
②当（2）中的点M和点N在等边△ABC的边AB和AC上运动时，记△AMN的周长为P，记△ABC的周长为Q，则PQ的值是否改变？若不变，请求出PQ的值：若改变，请说明理由．
题型二：等腰直角三角形与“半角模型”
【典例】
（福建泉州）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D为BC中点，点E为线段BD上一动点．
(1)求AD的长；
(2)如图1，∠BAE=15°，点P为射线AE上一动点，求PC−PB的最大值；
(3)如图2，点F在线段CD上，且∠EAF=45°，DE的长为有理数，求证：AFAE为无理数．
【变式】如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD'，连接D'E．
(1)当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝D'E；
(2)当DE＝D'E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．
(3)在（2）的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△D'EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明）
模型三：二倍角模型处理方法
【典例】如图，在△ABC中，∠C＝2∠A，AC＝2BC，求证：∠B＝90º.
模型四：倍半角模型
【典例】已知，求及的值（利用倍半角模型解题）.
1．（2024·江苏苏州·模拟预测）问题情境：如图1，在四边形ABCD中AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出BE，EF，FD之间的数量关系．
实际应用：如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB=AD，∠B+∠D=180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得∠EAF=12∠BAD，BE=10米，DF=15米，试在小王同学研究的基础上，求两凉亭之间的距离EF=_______．
2．（重庆合川·一模）如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM=DM＋CD．

(1)求证：点F是CD边的中点；
(2)求证：∠MBC=2∠ABE．
3．（江苏苏州）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连接BE，CE．

(1)求AD的长；
(2)判断△BCE的形状，并说明理由．
(3)CE=________．
4．（江苏苏州·一模）如图①，以ΔABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，且ED⊥AC.
（1）试判断ΔABC的形状，并说明理由；
（2）如图②，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C=75°，CD=2−3，求⊙O的半径和BF的长.
5．（江苏宿迁）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交从CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．
(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想
(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？猜想并加以证明；
(3)如图4，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形，∠ADC=90°，E，F是底边AC上任意两点，且满足∠EDF=45°，试探究AE，EF，FC之间的关系．
6．（江苏连云港）在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．
(1)在图1中，试说明：DE=DF；
(2)在图2中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明所归纳结论；
(3)若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为∠CAB=α，∠CDB=180°−α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）．
7．（四川）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF，EG，AG，∠1=∠2．
(1)若CF=2.5，AE=3，求BE的长；
(2)求证：∠CEG=12∠AGE．
8．（2025·甘肃平凉·二模）【模型建立】
（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，EF，并延长CB到点G，使BG=DF，连接AG．若∠EAF=45°，则BE，EF，DF之间的数量关系为________；
【模型应用】
（2）如图2，当点E在线段BC的延长线上，且∠EAF=45°时，试探究BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】
（3）如图3，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在B，C上，∠DAE=45°，试探究BD，DE，CE之间的数量关系，并说明理由．
9．（江苏·模拟预测）（1）如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的动点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM，可以证明△DEF≌△DMF，进一步推出EF，AE，FC之间的数量关系为 ；
（2）在图①中，连接AC分别交DE和DF于P，Q两点，求证：△DPQ∽△DFE；
（3）如图②，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E，F分别是边BC，CD上的动点（不与端点重合），且∠EAF=60°，连接BD分别与边AE，AF交于M，N．当∠DAF=15°时，猜想MN，DN，BM之间存在什么样的数量关系，并证明你的结论．

10．（江西赣州）【问题提出】
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD．求线段EF，BE，FD之间的数量关系．小明同学给出了以下证明方法，请你根据他的思路写出全部证明过程．
小明的解法：（1）如图1，延长EB至G，使BG=DF，连接AG，
∵AB=AD，∠ABG=∠ABC=∠D=90°，BG=DF，
∴△ABG≌△ADFSAS
∴AG=AF，……
【初步感知】
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
【拓展延伸】
（3）在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=180°，若E，F分别是边BC，CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD．请画出图形（除图②外），并求线段EF，BE，FD之间的数量关系．
11．（湖北武汉）如图1，在平面直角坐标系xOy中，A（a，0）、B（0，b）（﹣a，0），且2−a+b2−4b+4=0．
（1）求证：∠ABC＝90°；
（2）作∠ABO的平分线交x轴于一点D，求D点的坐标；
（3）如图2所示，A、B两点在x轴、y轴上的位置不变，在线段AB上有两动点M、N，满足∠MON＝45°，下列结论：①BM＋AN＝MN；②BM2＋AN2＝MN2，其中有且只有一个结论成立．请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论．
12．（广东汕尾）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90° ，E，F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD,BE=3,EF=7，则DF的长为______．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E，F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，请判断EF，BE，DF之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E，F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
模型大招
如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则BE＋DF＝EF.
简证：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90º得到△ABG，使得AD与AB重合，
通过证明△AEF≌△AEG即可得到BE＋DF＝EF.
模型大招
如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则AE平分∠BEF，AF平分∠DFE.
简证：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90º得到△ABG，使得AD与AB重合；将△ABE绕点A逆时针旋转90º得到△ADH，使得AB与AD重合.
∵旋转，∠1＝∠H，又∵△AFE≌△AFH，∴∠2＝∠H，∴∠1＝∠2；
∵旋转，∠4＝∠G，又∵△AEF≌△AEG，∴∠3＝∠G，∴∠3＝∠4，
即AE平分∠BEF，AF平分∠DFE.
模型大招
如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.
简证：连接AC，∵∠DAF＝∠EAC，∠ADB＝∠ACB，∴△ECA△NDA，
又∵△AMN△AFE，∴.
【补充】通过面积比是相似比的平方比亦可得到.
模型大招
如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.
简证：易得△DAM△BNA，∴，即.
模型大招
如图所示，在等腰直角三角形ABC中，若∠DCE＝45º，则.
证明：如图，将△ACD绕着点C顺时针旋转90º得到△，连接.
∵旋转，∴△ACD≌△，∴AD＝，
在△DCE与△中，
，∴ED＝，
∵∠BE＝∠BC＋∠EBC＝∠DAC＋∠EBC＝90º，∴，.
模型大招
1.作二倍角的平分线，构成等腰三角形.
例：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，作∠ABC的平分线交AC于点D，则∠DBC＝∠C，DB＝DC，即△DBC是等腰三角形.
2.延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形.
例：如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，延长CB到点D，使得BD＝AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形.
模型大招
1.由“倍”造“半”
已知倍角求半角，将倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长即可.
如图，若，则（）
2.由“半”造“倍”
已知半角求倍角，将半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段即可.
如图，在Rt△ABC（∠A＜45º）的直角边AC上取点D，当BD＝AD时，则∠BDC＝2∠A，设，则，在Rt△BCD中，由勾股定理可得，解得，故有.