第25讲 弧长与扇形面积（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

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01· TOC \ "1-1" \h \z \u \l "_Tc214359310" 考情剖析·命题前瞻1
02· \l "_Tc214359311" 知识导航·网络构建3
\l "_Tc214359312" 03·考点解析·知识通关4
04· \l "_Tc214359313" 命题洞悉·题型预测13
05·重难突破·思维进阶难 \l "_Tc214359314" 27
\l "_Tc214367046" 06·优题精选·练能提分35
考点一 弧长公式
弧长的计算：；
弧长变形：，
1．（2025·江苏盐城·中考真题）如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的判定，求弧长，根据已知可得，则是等边三角形，进而根据弧长公式，即可求解．
【详解】解：依题意，，
∴是等边三角形．
∴．
∴的长为．
故选：D．
2．（2025·江苏淮安·中考真题）观察点和观察的图形在同一平面内，我们把以观察点为顶点，包含被观察图形的最小角称为从观察点观察该图形的张角．如图（1），为观察点P观察正方形的张角．如图（2），在正方形所在平面内观察这个正方形，若张角为，则观察点的位置都在图中的圆弧上．如图（3），等边三角形的边长为6，在三角形所在平面内观察这个三角形，若张角为，则所有符合条件的观察点组成的图形周长为______．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，等边三角形的性质等知识点，难度较大，解题的关键是确定所有符合条件的观察点组成的图形．
先作出符合题意的图形，再根据弧长公式求解整个图形的周长即可．
【详解】解：先作出点关于的对称点，连接，以点为圆心，为半径画圆，
则，
∴，
同理作出圆，
∴点在以为弦的优弧上，如图：
延长交圆于点，当点在劣弧上时，此时不符合题意，如图；
∴点P组成的图形应去掉6段和劣弧一样的弧，如图：
作以点为圆心，为半径的圆与圆交于点，当在劣弧上也符合题意，此时，
∴点也可以在另外两段和劣弧一样的弧，如下图，整个实线图形即为所有符合条件的观察点组成的图形，
∴周长为，
故答案为：．
3．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，直线，直线分别交于点A、B，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了弧长计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键．连接，先根据平行线的性质求出，，，根据平行线的性质得出，根据弧长公式求出结果即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
根据作图可知：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴的长为．
故选：C．
考点二 扇形面积公式
扇形面积公式1:
扇形面积公式2:
1．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，，求扇形的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）先根据圆周角定理得到，则，再由即可证明，即可证明是的切线；
（2）先根据圆周角定理得到，再由扇形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵是半圆O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴扇形的面积．
2．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，为正三角形的外接圆，直线经过点C，．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)直线与相切，理由见解析(2)
【分析】（1）由正三角形的性质可得，由平行线的性质可得，求出，可证直线与相切；
（2）由圆周角定理得，根据阴影部分的面积等于，即可求解．
【详解】（1）解：直线与相切，理由如下：
如图，连接，
是正三角形，
，
为正三角形的外接圆的圆心，
∴也是正三角形的内接圆的圆心，
平分，
，
，
，
，
是半径，
直线与相切；
（2）解：如图，连接，作于点H，
，
，
．
，，
，，
，
，
．
图中阴影部分的面积为：．
3．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)直线与相切，理由见解析；(2)．
【分析】（）连接，，由直线与相切，可得，证明，则，然后通过切线的判定方法即可求证；
（）由（）得，，则，，所以，通过直角三角形性质得，由勾股定理得，最后通过即可求解．
【详解】（1）解：直线与相切，理由，
如图，连接，，
∵直线与相切，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴直线与相切；
（2）解：由（）得，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
．
考点三 圆锥的侧面积
1.圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．
2.若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，
圆锥的侧面积为S圆锥侧=12l⋅2πr=πrl．
圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr(l+r)．
方法点拨：
在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．
1．（2025·江苏盐城·中考真题）已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是_____．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥侧面积公式，根据，代入数据即可得到答案．
【详解】解：∵
∴，
∴，
故答案为：．
2．（2025·江苏宿迁·中考真题）已知圆锥的底面半径为3，高为4，则其侧面积为___________．
【答案】
【分析】考查圆锥侧面积的计算，勾股定理，熟记侧面积计算公式是解题的关键．
根据已知和勾股定理求出母线的长，再根据圆锥侧面积公式即可求解．
【详解】解：由题意得母线长为，
∴其侧面积为，
故答案为：．
3．（2024·江苏盐城·中考真题）若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为___________．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．根据圆锥的侧面积公式即可求解．
【详解】解：该圆锥的侧面积为．
故答案为：．
命题点一 弧长公式
►题型01利用弧长公式计算弧长
【典例】．（2025·江苏无锡·中考真题）已知圆弧所在圆的半径为6，该弧所对的圆心角为，则这条弧的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是弧长的计算，利用弧长的计算公式计算即可．弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），熟记公式是解题的关键．
【详解】解：，
故选：B．
【变式】
1．（2025·江苏常州·中考真题）如图，的半径为2，直径、互相垂直，则弧的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．先利用直径、互相垂直，得出，再利用弧长公式计算即可．
【详解】解：∵直径、互相垂直，
∴，
∴的长是，
故选：C．
2．（2025·江苏苏州·中考真题）“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为________．（结果保留）
【答案】
【分析】本题主要考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．先求出摩天轮半径，再求出，最后根据弧长公式求出结果即可．
【详解】解：∵最高点离水面平台的距离为，圆心O到的距离为，
∴摩天轮的半径为，
∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点A出发，后到达点B，
∴，
∴该轿厢所经过的路径长度为：
．
故答案为：．
►题型02利用弧长公式求扇形半径
【典例】．（2025·江苏徐州·模拟预测）在“制作几何体模型”的数学活动课上，小徐用圆心角为，面积为的扇形制作几何体模型，则该扇形的半径是_______．
【答案】6
【分析】本题考查了扇形的半径，掌握扇形面积公式是关键，根据扇形面积公式即可求解．
【详解】解：根据题意得到，，
解得，（负值舍去），
∴扇形的半径为，
故答案为：6 ．
【变式】
1．（2025·江苏宿迁·三模）将圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝处忽略不计），若这个圆锥的底面圆的半径为3，则扇形的半径为______．
【答案】9
【分析】本题主要考查了圆锥的计算及展开图折叠成几何体，熟知圆锥底面圆的周长与侧面展开扇形的弧长相等是解题的关键．根据圆锥底面圆的周长与侧面展开扇形的弧长相等即可解决问题．
【详解】解：圆锥的底面圆的半径为3，
圆锥的底面圆的周长为，
则扇形的弧长为．
令扇形的半径为r，
则，
解得，
则扇形的半径为9．
故答案为：9．
2．（2025·江苏连云港·一模）如图1，铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道（如图2，轨道厚度不计），需用此材料厘米，则此圆弧所在圆的半径为______厘米．
【答案】
【分析】本题考查了弧长的公式，熟练掌握弧长公式：是解题的关键，利用弧长公式求解即可．
【详解】解：设圆弧所在圆的半径为，由弧长公式得：
，
解得：，
故答案为：．
►题型03利用弧长公式求扇形圆心角
【典例】．（2024·江苏宿迁·中考真题）已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为________°．
【答案】
【分析】本题考查圆锥的侧面积，以及扇形面积，解决本题的关键是掌握圆锥的侧面积公式，以及扇形面积公式．设侧面展开扇形的圆心角的度数为度，根据“圆锥的侧面积扇形面积”建立等式求解，即可解题．
【详解】解：设侧面展开扇形的圆心角的度数为度，
侧面展开扇形的面积为：，
解得，
故答案为：．
【变式】
1．（2025·湖南湘西·模拟预测）如果一个扇形的半径为1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了弧长的有关计算．
根据弧长公式，即可求解．
【详解】∵弧长 ，其中 ，，
∴ ，
两边除以：，
即，
简化得，
∴ ．
故此扇形的圆心角为．
故选：C．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是_____．
【答案】/70度
【分析】本题考查弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键．
利用弧长公式列方程求解即可．
【详解】解：设扇形的圆心角为．
由题意得：，
解得：．
故答案为：．
命题点二 扇形面积
►题型04 求扇形面积
【典例】．（2025·江苏苏州·二模）扇形的半径为，弧长为，则扇形的面积为______（结果保留）．
【答案】
【分析】本题考查了扇形面积，利用扇形的面积公式求解即可，掌握扇形面积公式是解题的关键．
【详解】解：设扇形的面积为，
由题意得，弧长为，半径为，
∴扇形的面积，
故答案为：．
【变式】
1．（2025·江苏淮安·一模）一个扇形的弧长为6，半径为4，则该扇形的面积为______．
【答案】
【分析】本题考查了扇形面积的计算，比较简单，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积的计算公式．根据扇形的面积公式即可得出答案．
【详解】解：该扇形的面积为
故答案为：．
2．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边，分别以点，，为圆心，以长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为，则此曲边三角形的面积为_____．
【答案】
【分析】本题考查了扇形面积的计算、弧长公式，以及等边三角形的性质，此题的关键是明确曲边三角形的面积三角形的面积三个弓形的面积，然后再根据所给的曲边三角形的周长求出三角形的边长，从而求值．此三角形是由三段弧组成，如果周长为，则其中的一段弧长就是，所以根据弧长公式可得，解得，即正三角形的边长为2．那么曲边三角形的面积就等于三角形的面积三个弓形的面积，根据三角形和扇形面积公式即可得答案．
【详解】解：由题意得：，
∵曲边三角形的周长为，
∴，
解得：，
即，
如下图所示，过点作于点D，
则有，
，
，
，
∴曲边三角形的面积为．
故答案为：
►题型05计算不规则阴影部分面积
【典例】．（2025·江苏南通·中考真题）如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，且．
(1)连接，求证：；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析；(2)．
【分析】（1）利用切线性质得，再通过证明，从而推出；
（2）先结合已知角度推出相关角的度数，确定为等边三角形，求出圆的半径，再根据平行线间面积关系，将阴影部分面积转化为扇形的面积进行计算．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵与相切，
∴，
∴，
在和中
∴
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴
∵，
∴为等边三角形，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式】
1．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在菱形中,，点O是对角线的中点，以点O为圆心,长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为__________．
【答案】/
【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及扇形面积公式的应用，解题的关键是通过构造全等三角形，将不规则阴影部分的面积转化为扇形面积与规则三角形面积的差来计算．
先利用菱形性质得、，点为中点，故，进而得；构造等边，结合证，将转化为；再用勾股定理算、（即扇形半径）；最后用扇形面积公式算，减去得阴影面积．
【详解】解：如图，连接，在上取点，使，连接，
在菱形中，，点O是对角线的中点，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵
∴
∴，
∴．
故答案为：．
2．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，扇形中，，，点C为的中点，将扇形绕点C顺时针旋转，得到扇形，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】
【分析】与交于点E，连接点，交于点F，由旋转得，，设，，则，，证明，由对应边成比例得，推出，由三角函数得，解直角三角形求出，，，则阴影部分的面积等于．
【详解】解：如图， 与交于点E，连接点，交于点F，
扇形绕点C顺时针旋转，得到扇形，
，，
，点C为的中点，
，，
设，，则，，
，，
，
，即，
解得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即图中阴影部分的面积为：，
故答案为：．
命题点三 圆锥侧面积
►题型06求圆锥的侧面积
【典例】．（2025·江苏无锡·模拟预测）圆锥的底面圆直径为，母线为，则圆锥的侧面积为___________．
【答案】
【分析】本题考查圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积计算公式是解题的关键．
根据圆锥的侧面积公式计算即可．
【详解】解：，
∴圆锥的侧面积为．
故答案为：．
【变式】
1．（2025·江苏南通·模拟预测）圆锥的高为，底面圆的直径为，则该圆锥的侧面积等于______（结果用含π的式子表示）．
【答案】
【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，解题的关键是利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
根据圆周长公式求出圆锥底面周长，勾股定理求出圆锥母线长，圆锥的侧面积=底面周长×母线长，即可求出答案．
【详解】解：底面直径为，则底面周长，
由勾股定理得，母线长，
侧面积
故答案为：．
2．（2025·江苏无锡·二模）已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为3，则圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积，
根据（r为圆锥底边圆的半径，l为母线）计算即可．
【详解】解：．
故选：B．
►题型07求圆锥的底面半径
【典例】．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知一个扇形纸片的圆心角为，半径为，若用该扇形围成一个圆锥的侧面（无缝无重叠），则此圆锥的底面半径应为________．
【答案】3
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设圆锥的底面半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程即可．
【详解】解：圆锥的底面半径为r，
根据题意得，
解得，
即圆锥的底面半径为，
故答案为：3．
【变式】
1．（2025·江苏扬州·三模）用一个半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，若该圆锥的底面圆的半径是，则的值为___．
【答案】6
【分析】本题主要考查了求圆锥母线长，圆锥底面圆周长等于其侧面展开图得到的扇形弧长，据此建立方程求解即可．
【详解】解：，
∴，
故答案为：6．
2．（2025·江苏宿迁·三模）如图，正五边形的边长为10，以顶点为圆心，长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是____________．
【答案】3
【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，正多边形内角，熟知圆锥底面圆的周长即为其展开图中扇形的弧长是解题的关键．
先利用正多边形内角和定理求出的度数，再根据圆锥底面圆的周长即为其展开图中扇形的弧长进行求解即可．
【详解】解：设这个圆锥底面圆的半径是r，
由题意得，，
∴，
∴，
故答案为：．
►题型08求圆锥侧面展开图的圆心角
【典例】．（2025·江苏泰州·三模）已知圆锥的母线长与底面直径相等，则这个圆锥的侧面展开图形的圆心角为______．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的弧长的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．根据圆锥的弧长公式求出圆锥侧面展开图形的圆心角即可．
【详解】解：设圆锥的母线长与底面直径都为，
则圆锥的底面周长：，
扇形圆心角．
故答案为：．
【变式】
1．（2025·江苏徐州·二模）圆锥的底面圆半径为2，将该圆锥沿其某条母线剪开后，其侧面展开图是扇形，若扇形的半径为5，则该扇形的圆心角是______°．
【答案】144
【分析】本题考查了求圆锥侧面展开扇形的圆心角，掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．设其侧面展开扇形的圆心角为度，则，代入数据即可求解．
【详解】解：设其侧面展开扇形的圆心角为度，
由题知，，
解得，
∴其侧面展开扇形的圆心角为．
故答案为：144．
2．（2025·江苏宿迁·一模）底面半径为的圆锥，其侧面展开图是半径为的扇形，则这个扇形的圆心角为______．
【答案】
【分析】本题考查与圆锥有关的计算，根据底面圆的周长等于扇形的弧长，进行计算即可．
【详解】解：设圆心角的度数为，则：，
∴，
故答案为：．
突破一 圆的综合问题中的阴影部分面积问题
【典例】．（2025·江苏泰州·三模）如图1，在菱形中，，是的外接圆，E是上一动点，连接并延长交于M，连接并延长交于N，
(1)求证：是的切线；
(2)如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积；
(3)当时，求的长．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【分析】（1）连接，证明是等边三角形，可得，然后根据是的外接圆，可得，从而得到，即可求证；
（2）连接，设交于点F，根据垂径定理和圆周角定理可得，，从而得到，再根据图中阴影部分面积为，即可求解；
（3）过点M作于点H，证明，可得，可证明，从而得到，然后在中，解直角三角形可得，，从而得到，再利用勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵是的外接圆，
∴垂直平分，
∴，
∴，
即，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，连接，设交于点F，
由（1）得：是等边三角形，，
∴，
∵E是中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴图中阴影部分面积为；
（3）解：如图，过点M作于点H，
∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，，
∴，
∴．
【变式】
1．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在中，，，点在边上，以点为圆心，的长为半径的圆与相切于点，分别交于点，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，求涂色部分的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题主要考查了切线的性质，角平分线的定义，扇形面积的计算和勾股定理．熟练掌握切线的性质是解题的关键．
（1）连接，根据切线的性质得到，推出，得到，即可得到结论；
（2）根据题意得到，推出，，
则，，，根据勾股定理得到，求出，得到涂色部分的面积为．
【详解】（1）证明：如图，连接，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：在中，，
．
由（1）可知，
．
．
设，
则，，，
在中，，
，
，
．
∴涂色部分的面积为．
2．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是的直径，弦垂直平分半径，为垂足，弦与半径相交于点P，连接，若，．
(1)求的半径；
(2)求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)的半径(2)
【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了扇形的面积公式、圆周角定理和含角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键．
（1）根据垂径定理得的长，再根据平分得，根据勾股定理列方程求解即可得答案；
（2）先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：∵弦垂直平分半径，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴的半径．
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴
突破二 求动点的运动路径长（圆弧型）
【典例】．（2025·江苏苏州·模拟预测）曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示，当活塞在汽缸内往复运动时，通过连杆带动曲轴做圆周运动．静止时，活塞处于点处，且三点共线，当活塞运动到点处时，完成一次进气过程，已知，且完成一次进气过程，扫过的扇形面积为，则完成一次进气过程中，点运动的路径长为___________mm．
【答案】
【分析】本题考查了扇形的面积和弧长的求法：设与交于点，完成一次进气过程，扫过的扇形为扇形，设根据扇形面积公式求出n，再根据弧长计算方法计算出弧长即可．
【详解】解：如图，
设与交于点，完成一次进气过程，扫过的扇形为扇形，
设
完成一次进气过程，扫过的扇形面积为
，解得
，
由题意得，完成一次进气过程，点运动的路径即为，
点运动的路径长为．
故答案为：．
【变式】
1．（2025·江苏淮安·二模）如图，有一块长、宽的矩形木板在桌面上按顺时针方向无滑动地翻滚，木板上顶点A的位置变化为．其中，第二次翻滚时被桌面上一个小木块挡住，使木板边沿与桌面成角，则点A翻滚到点的位置经过的路径长为______．
【答案】
【分析】本题考查的是弧长的计算及矩形的性质，解答本题的关键是找准所旋转的弧的圆心和半径及圆心角的度数．第一次是点A以C为旋转中心，顺时针旋转得到，矩形的对角线长为，此次A点走过的路径为弧，第二次是点以E为旋转中心，顺时针旋转得到，此次A点走过的路径为弧，走过的总路径为两段弧长之和．
【详解】解：连接，
第一次是点A以C为旋转中心，顺时针旋转得到，
矩形的对角线长为，
此次A点走过的路径为弧，弧长；
第二次是点以E为旋转中心，顺时针旋转得到，
∵的长为，与桌面成角，
∴，
∴此次A点走过的路径为弧，弧长 ，
∴点A翻滚到点的位置路径为，
故答案为：．
2．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，，是的外接圆，为上一动点，过作直线的垂线，垂足为．在从沿运动到的过程中，点经过的路径长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可得，先确定点在以为直径的圆上运动，当与重合时，连接，取的中点，连接，求得点最终位置，根据已知条件得出点E旋转，进而最后根据弧长公式求解即可．
【详解】解：∵，则
∴在以为直径的圆上运动，
如图，当与重合时，连接，取的中点，连接，
∵，
∴，
∵
∴
∴
∵
∴是等边三角形
∴
∴即点E旋转，
∵，
∴
在中，
∴
∴点经过的路径长为．
故选：B．
1．（2025·江苏苏州·一模）已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其母线长为4，则其底面圆半径为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的侧面展开图，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
设圆锥底面圆半径为，得到，求出，即可得到答案．
【详解】解：设圆锥底面圆半径为，
根据题意得，
解得，
故选：B．
2．（2025·江苏镇江·一模）如图，平行四边形中，，以为直径的交于点E，则的长为（ ）
A．B．C．5D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了弧长的计算、平行四边形的性质及等边三角形的判定与性质，熟知弧长的计算公式及平行四边形的性质是解题的关键．先根据平行四边形的性质得出的长，再连接求出的度数，最后根据弧长公式即可解决问题．
【详解】解：四边形是平行四边形，且，，
，，
连接，
，
是等边三角形，
，
又，
，
故选：B．
3．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，正方形的边长为，以为圆心，为半径作圆弧；以为圆心，为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分别记为、，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据题意和图形，可以分别计算出和的值，然后用即可得到的值，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：如图，
由，，
∴
，
故选：．
4．（2025·江苏无锡·三模）劳动课上，小明用一张半径为，圆心角是的扇形红色纸片做成一个圆锥形的帽子（纸片无损耗），则这个圆锥形帽子的侧面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了扇形和圆锥的相关计算．根据扇形面积公式进行计算即可求解．
【详解】解：
故选：C．
5．（2025·江苏镇江·一模）若扇形的圆心角为，半径为5，则该扇形的弧长为________．
【答案】
【分析】本题考查了弧长公式．根据弧长的计算公式（是扇形圆心角的度数，是扇形的半径），由此即可求解．
【详解】解：根据题意可得，该扇形的弧长，
故答案为：．
6．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在三星堆文物挖掘工作中，考古人员发现一件珍贵的圆形陶器，可惜其部分破损，经测量得知，该圆形陶器完整时的直径为12cm，而破损处的缺口两端点A，B之间的距离为6cm，则的长为_______cm．
【答案】
【分析】本题主要考查弧长计算公式，垂径定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，设圆心为O，过点O作于点C，连接，，先求出，得出，然后求出，再根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：设圆心为O，连接，过点O作于点C，连接，，如图所示：
∵，O为圆心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
7．（2025·江苏徐州·模拟预测）在“制作几何体模型”的数学活动课上，小徐用圆心角为，面积为的扇形制作几何体模型，则该扇形的半径是_______．
【答案】6
【分析】本题考查了扇形的半径，掌握扇形面积公式是关键，根据扇形面积公式即可求解．
【详解】解：根据题意得到，，
解得，（负值舍去），
∴扇形的半径为，
故答案为：6 ．
8．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边，分别以点，，为圆心，以长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为，则此曲边三角形的面积为_____．
【答案】
【分析】本题考查了扇形面积的计算、弧长公式，以及等边三角形的性质，此题的关键是明确曲边三角形的面积三角形的面积三个弓形的面积，然后再根据所给的曲边三角形的周长求出三角形的边长，从而求值．此三角形是由三段弧组成，如果周长为，则其中的一段弧长就是，所以根据弧长公式可得，解得，即正三角形的边长为2．那么曲边三角形的面积就等于三角形的面积三个弓形的面积，根据三角形和扇形面积公式即可得答案．
【详解】解：由题意得：，
∵曲边三角形的周长为，
∴，
解得：，
即，
如下图所示，过点作于点D，
则有，
，
，
，
∴曲边三角形的面积为．
故答案为：
9．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，四边形为平行四边形，以点A圆心，长半径画弧，交边于点E，连接，，，则的长________．（结果保留根号和）．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、求弧长，熟练掌握弧长公式是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后利用弧长公式求解即可得．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
由作图可知，，
∴是等边三角形，
∴，
∴的长，
故答案为：．
10．（2025·江苏盐城·三模）如图，点在以为直径的半圆上，半径，，则的长度为______(结果保留)
【答案】
【分析】本题考查了弧长公式、根据，得出，进而根据弧长公式计算，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴的长度为，
故答案为：．
1．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，，是的外接圆，为上一动点，过作直线的垂线，垂足为．在从沿运动到的过程中，点经过的路径长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可得，先确定点在以为直径的圆上运动，当与重合时，连接，取的中点，连接，求得点最终位置，根据已知条件得出点E旋转，进而最后根据弧长公式求解即可．
【详解】解：∵，则
∴在以为直径的圆上运动，
如图，当与重合时，连接，取的中点，连接，
∵，
∴，
∵
∴
∴
∵
∴是等边三角形
∴
∴即点E旋转，
∵，
∴
在中，
∴
∴点经过的路径长为．
故选：B．
2．（2025·江苏南通·二模）如图①，在扇形中，，动点P从点O出发，沿匀速运动，的长度y与点P运动的路程x之间的函数关系如图②所示，则图中a的值为（ ）
A．12B．C．18D．
【答案】D
【分析】本题考查弧长公式，根据图象先得到半径长，然后代入弧长公式计算弧长，即可得到a的值解题．
【详解】解：由图象可得，
∴，
∴，
故选：D．
3．（2025·江苏泰州·三模）如图，大半圆的弦与小半圆交于、，且．则已知下列哪两条线段的长度可以求出阴影部分的面积（ ）
A．、B．、C．、D．、
【答案】C
【分析】本题主要考查垂径定理、圆的面积公式的应用，熟练掌握垂径定理将线段关系转化到直角三角形中，以及把阴影面积转化为两圆部分面积差是解题的关键．通过作辅助线，利用垂径定理和圆的面积公式，将阴影部分面积转化为与已知线段相关的表达式，从而判断哪些线段可求出阴影面积．
【详解】解：过作于，于M，连接，．则四边形是矩形，
∴，
∴， ．
∴ ．
在和中，，，
∴ ．
∴若已知、，则，，，代入阴影面积公式可求出面积；故C项符合题意；
对于选项，、无法直接转化出与的关系，不能求；
选项，、也无法直接转化出所需关系，不能求；
选项，、不能直接关联到阴影面积计算所需的与相关量，不能求．
故选：C ．
4．（2025·江苏南通·二模）如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求扇形面积，垂径定理，勾股定理．设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，，根据垂径定理可得，，再结合勾股定理可得，，从而得到，然后根据，即可求解．
【详解】解：如图，设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，，
∴，，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积是．
故选：B．
5．（2025·江苏南京·二模）如图，圆锥的母线长为6，底面直径长为4，为的中点．将圆锥侧面沿母线剪开并展平，在展开图中，之间的距离为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆锥的侧面展开图，根据圆锥的底面圆周长是其侧面展开图得到是的扇形弧长可求出侧面展开图扇形的圆心角度数，过点M作于D，分别求出的长，再利用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：设圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数为，
由题意得，，
∴，
如图所示，在扇形中，，
过点M作于D，
∴，
∴，
∴，
∴在展开图中，之间的距离为，
故选：D．
6．（2025·江苏盐城·三模）如图，在扇形中，，点C为半径上一点，现以点O为圆心，长为半径作弧，该弧交半径于点D，记的长为m，的长度为d，则的长为______．（用含m，d的式子表示）
【答案】
【分析】本题考查的是弧长的计算，先利用弧长公式求解，可得，再利用弧长公式计算即可．
【详解】解：∵的长为m，，
∴，
∴，
∴，
∴的长为，
故答案为：
7．（2025·江苏泰州·三模）将母线为的扇形围成一个圆锥的侧面，若扇形的圆心角是，则该圆锥底面圆的半径为_____．
【答案】/
【分析】本题考查了圆锥的相关计算，弧长公式，设该圆锥底面圆的半径为，根据圆锥的侧面扇形的弧长等于底面圆的周长，列方程计算，即可求解．
【详解】解：设该圆锥底面圆的半径为，根据题意得，
，
解得：；
故答案为：．
8．（2025·江苏泰州·三模）如图，在以为圆心的两个同心圆中，点是小圆上一点．
(1)过点作大圆的弦，使得；运用尺规作图，保留作图痕迹，不写画法
(2)在（1）的条件下，若两个同心圆中大圆的弦长为，则两个同心圆围成的圆环面积为______用含的代数式表示；
(3)在（1）的条件下，若两个同心圆圈成的圆环宽为，大圆的弦长为，求大圆中弦与弧所围成的图形面积．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)
【分析】（1）过P做的垂线交大圆于A，B，根据垂径定理可得．
（2）利用圆环面积等于大圆面积减去小圆面积及勾股定理计算即可．
（3）根据大圆中弦与所围成的图形面积求解．
【详解】（1）解：如图，连接，过P做的垂线交大圆于A，B，
，
，
则线段即为所求；
（2），
，
两个同心圆围成的圆环面积．
故答案为：；
（3），
，
设，则有 ，
，
，
，
，，
，
大圆中弦与所围成的图形面积
9．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，四点在上，为的直径，于点，平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求弦与弧围成的弓形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（）连接，由等腰三角形的性质和角平分线的定义可得，即得，进而由平行线的性质即可求证；
（）连接，过点作，由直角三角形的性质和圆周角定理可得，，可得，即得，进而可得，，最后根据计算即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵ 平分，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：连接，过点作，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，，
∴，是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
10．（2025·江苏泰州·三模）如图，四边形是的内接四边形，弦非直径，点在弦上（不与端点重合），延长、交于点．
(1)给出三个信息：①；②；③．请你从这三个信息中选择两个信息作条件，剩余一个信息作结论，构成一个命题，判断命题是否正确，并说明理由．
你选择的条件是________，_________，结论是________（只填序号）；
(2)在（1）的条件下，若的度数为，，．
①求的正弦值；
②求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)或或(2)①；②
【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，扇形的面积，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）利用圆内接四边形的性质得出，三个条件中等价于，等价于，再利用角度的和差即可判断；
（2）①连接，，，利用的度数为，得出，可得，利用勾股定理得出，再利用三角函数定义即可求解；②由（1）可得，得出，利用是等腰直角三角形，得出，最后利用求解即可．
【详解】（1）解：第一种情况：，
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
第二种情况：，
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
第三种情况：，
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故①正确；
故答案为：或或；
（2）解：①如图，连接，，，
∵的度数为，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②由（1）可得，
∴，
∴，
∴，
∵的度数为，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
1．（2025·海南·中考真题）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据切线的性质得出，再利用直角三角形两个锐角互余求得，然后利用圆周角定理求得，再利用弧长公式求解即可．
【详解】解：连结，
∵，以为直径的半圆交于点，
∴，
∵与半圆相切于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为，
故选：C．
2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查弧长公式，根据圆心角对应的弧长公式，代入已知条件求解半径即可．
【详解】解：根据弧长公式：，其中，
代入得：
解得：
故选：A．
3．（2025·浙江·中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查求弧长，斜边上的中线，根据斜边上的中线求出得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数，再根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：∵，是斜边上的中线，，
∴，
∴，
∴，
由作图可知，
∴，
∴，
∴的长为；
故选B．
4．（2025·山东德州·中考真题）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是，则剩余部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的是切线的性质、圆的面积计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
根据切线的性质得到，根据垂径定理求出，再根据勾股定理、圆的面积公式计算即可．
【详解】解：如图，平移小圆，使小圆的圆心与点重合，小圆与相切于，连接，
∵小圆与相切于，
，
，
在中，，
则剩余部分的面积为：，
故选：D．
5．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如图所示，过点A作于点D，证明出是等腰直角三角形，求出，然后得到，然后分别求出和，然后根据概率公式求解即可．
【详解】如图所示，过点A作于点D
∵是直径
∴
∵
∴是等腰直角三角形
∵
∴，
∴
∴，
∴该粒米落在扇形内的概率为．
故选：D．
6．（2025·山西·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得，，进而由解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
7．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的面积为______．
【答案】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，圆锥侧面积，先利用直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半计算出，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的面积公式计算圆锥的侧面积即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，
由题意得，，，
∴，
∴圆锥侧面展开图的面积为，
故答案为：．
8．（2025·四川达州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知圆锥的底面半径为2，则扇形的弧长是_______．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的相关计算，明确扇形的弧长=圆锥底面圆的周长是解题的关键；
根据扇形的弧长=圆锥底面圆的周长计算求解即可．
【详解】解：扇形的弧长=圆锥底面圆的周长；
故答案为：．
9．（2025·湖南长沙·三模）综合与实践
【主题】制作圆锥
【素材】直径为的圆形卡纸、剪刀、透明胶．
【实践操作】
步骤1：如图1，把直径为的圆形卡纸剪出一个圆心角为的最大扇形（图2）．
步骤2：如图3，将剪下的扇形卡纸无缝隙、不重叠地围成一个圆锥．并用透明胶粘住接合处．
【实践探索】
(1)求剪下的扇形的半径．
(2)如图3，求此圆锥形卡纸的底面圆的半径．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，圆周角定理，熟知相关知识是解题的关键．
（1）连接，过点O作于H，可证明是等边三角形，得到，由圆周角定理可得，则由三线合一定理可得，，解直角三角形求出的长即可得到答案；
（2）根据圆锥的底面圆周长等于其侧面展开图得到的扇形弧长计算求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，连接，过点O作于H，
∵扇形的圆心角为，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴剪下的扇形的半径为；
（2）解：，
∴此圆锥形卡纸的底面圆的半径为．
10．（2025·福建福州·二模）综合与实践
问题情境：如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半径为，圆心角为的扇形．
(1)探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长______；（填“相等”或“不相等”）若，则______．
(2)问题抽象：图2中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为，侧面展开图会得到一个半径为，圆心角为的扇形，请用含r，l的式子表示．
(3)拓展延伸：图3是一种纸质圆锥形草㡌，是线段中点，如今计划要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够长，并说明理由．
【答案】(1)相等，6(2)(3)不够长；理由见解析
【分析】（1）根据圆锥侧面展开图的意义，得到圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长是相等的，由，则解答即可．
（2）根据题意，得圆锥底面圆的周长为，侧面展开图的扇形弧长为，根据问1的结论，得到等式，变形表示即可．
（3）根据（2）得，得到，计算最短，继而得到，比较解答即可．
【详解】（1）解：根据圆锥侧面展开图的意义，得到圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长是相等的，由，则，
解得，
故答案为：相等，6．
（2）解：根据题意，得圆锥底面圆的周长为，侧面展开图的扇形弧长为，根据问1的结论，得，
解得．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴够长．
命题点一 弧长
题型01 利用弧长公式计算弧长
题型02 利用弧长公式求扇形半径
题型03 利用弧长公式求扇形圆心角
命题点二 扇形面积
题型04 求扇形面积
题型05 计算不规则阴影部分面积
命题点三 圆锥侧面积
题型06 求圆锥的侧面积
题型07 求圆锥的底面半径
题型08 求圆锥侧面展开图的圆心角
突破一 圆的综合问题中的阴影部分面积问题
突破二 求动点的运动路径长（圆弧型）
基础巩固→能力提升→全国新趋势
考点
2025年
2024年
2023年
课标要求
弧长公式
南京T27
盐城T6
淮安T16
镇江T9
无锡T6
常州T4
苏州T14
扬州T26
连云港T13
淮安T13
徐州T18
镇江T11
宿迁T14、15
苏州T14
宿迁T15
徐州T16
镇江T10
盐城T15
泰州T11
苏州T15
掌握弧长的计算、扇形面积的计算、圆锥侧面积、圆锥侧面展开图的圆心角，圆锥底面半径的计算。
扇形面积公式
淮安T22
徐州T24
宿迁T25
南通T23
徐州T18
南通T23
宿迁T14
淮安T24
南通T23
宿迁T25
无锡T24
连云港T8
圆锥侧面积
盐城T13
宿迁T14
南通T6
盐城T13
徐州T18
南通T12
宿迁T14
无锡T6
扬州T13
徐州T16
镇江T13
淮安T7
苏州T15
扬州T14
命题预测
2023 - 2025 年弧长公式与扇形面积公式的考查情况分析：
弧长公式、扇形面积、圆锥侧面积都属于高频考点：几乎每年必考，1–2 题，分值3–6 分，以填空/选择为主，很多城市也将扇形面积放在中档题中与圆的性质综合考查，偶尔也会出现在压轴题。
2026年中考数学关于弧长公式与扇形面积公式的命题预测：
地位不变：仍为必考基础题，分值3–6 分，以填空/选择为主，中档综合题可能也会出现在部分城市中考试卷中。
难度平稳：以直接套用公式为主，圆锥–扇形转化是考查重点情形。
命题方向：
基础计算：弧长、扇形面积、圆锥侧面积的直接求解（占比 70%）。
转化关系：已知圆锥底面半径求母线 / 圆心角，或反之（核心考点）。
实际应用：以旋转、滚动、扇形拼接为背景，考查建模与计算。
复习建议：
夯实基础：公式记牢、理解本质
理解关联：圆锥侧面展开图中，扇形弧长 = 底面圆周长，这是解题关键。
区分概念：扇形半径 = 圆锥母线l；圆锥底面半径 = r，切勿混淆。
题型突破：分类训练，掌握通法；
结合真题，限时训练
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